Actividades de ampliación

11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 1
ENUNCIADOS
1 Se desea fabricar un tubo de 2 m de largo y 5 cm de diámetro soldando los
dos bordes de un rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si en las soldaduras se solapan 5 mm de chapa?
2 Calcula la superficie total de estas figuras:
a)
b)
2 cm
2 cm
6 cm
3 cm
3 Se desea pintar un depósito de combustible de forma cilíndrica, que mide
5 m de radio de la base y 8 m de altura.
Si la contrata cuesta 6 € el metro cuadrado, ¿cuál es el presupuesto de la
obra?
4 Se va a renovar totalmente el tejado de la
torre que ves en la fotografía.
El diámetro de la base mide 3 m y la altura
desde la base del tejado al vértice es de 4 m.
¿Cuántas planchas de pizarra son necesarias, sabiendo que para cubrir un metro
cuadrado se necesitan 60 planchas?
5 Si cada metro cuadrado de superficie necesita 250
gramos de pintura, ¿cuántos botes de medio kilo
necesitaremos para pintar una cúpula esférica de 5
m de radio y 3,5 m de alto?
Unidad 11. Cuerpos de revolución
5m
3,5 m
11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 2
6 ¿Cuáles de estos desarrollos corresponden a un cono?
a)
b)
c)
7 a) Calcula la superficie total del cono que se en-
B
gendra al girar el triángulo de abajo alrededor
del lado AB.
b) Calcula también la superficie total del cono
que se engendra al girar alrededor del lado AC.
4 cm
C
3 cm
A
8 Calcula la superficie del cuerpo de revolución engendrado por un triángulo
rectángulo en el que los catetos miden 15 cm y 20 cm, respectivamente, al girar alrededor de la hipotenusa.
15 cm
20 cm
Unidad 11. Cuerpos de revolución
15 cm
20 cm
11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 3
SOLUCIONES
1 Se desea fabricar un tubo de 2 m de largo y 5 cm de diámetro soldando los
dos bordes de un rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si en las soldaduras se solapan 5 mm de chapa?
d
d'
Radio del turbo ⫽ 2,5 cm
d ⫽ 2π · r ⫽ 2π · 2,5 ⫽ 5π ⫽ 15,7 cm
2m
d ' ⫽ 5mm ⫽ 0,5 cm
Las dimensiones del rectángulo serán 2 m de altura y 16,2 cm de ancho.
2 Calcula la superficie total de estas figuras:
a)
b)
2 cm
2 cm
6 cm
3 cm
a)
Es laEs
mitad
de undecilindro
de altura
la mitad
un cilindro
de altura 2
2 cmyyradio
radio33cm
cmmás
máslalapared
paredfrontal.
frontal.
2 cm
6 cm
Área total de medio cilindro ⫽ π · r · h ⫹ π · r 2 ⫽ 18,84 ⫹ 28,26 ⫽ 47,1 cm2
Área de la pared frontal ⫽ a · b ⫽ 6 · 2 ⫽ 12 cm2
Área total de la figura ⫽ 47,1 ⫹ 12 ⫽ 59,1 cm2
Unidad 11. Cuerpos de revolución
11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 4
b)
Es un Es
cuarto
de cilindro
más lasmás
dos las
paredes
rectanun cuarto
de cilindro
dos paredes
gulares.
gulares.
2 cm
3 cm
47,1
⫽ 23,55 cm2
2
Área de las dos paredes ⫽ 2 · a · b ⫽ 2 · 3 · 2 ⫽ 12 cm2
Área total de un cuarto de cilindro ⫽
Área total de la figura ⫽ 23,55 ⫹ 12 ⫽ 35,55 cm2
3 Se desea pintar un depósito de combustible de forma cilíndrica, que mide 5 m
de radio de la base y 8 m de altura.
Si la contrata cuesta 6 € el metro cuadrado, ¿cuál es el presupuesto de la
obra?
Área lateral ⫽ 2π · 5 · 8 ⫽ 80π ⫽ 251,2 m2
Área total ⫽ Área lateral ⫹ 2π · r 2 ⫽ 251,2 ⫹ 50π ⫽ 408,2 m2
8m
REGLA DE TRES
5m
→ x⫽
1 m2
→ 6 € 
→
408,2 m2 → x 
408,2 . 6
⫽ 2 449,2 €
1
El presupuesto de la obra es 2 449,2 €.
4 Se va a renovar totalmente el tejado de la
torre que ves en la fotografía.
El diámetro de la base mide 3 m y la altura
desde la base del tejado al vértice es de 4
m. ¿Cuántas planchas de pizarra son necesarias, sabiendo que para cubrir un metro
cuadrado se necesitan 60 planchas?
g
3m
1,5 m
Unidad 11. Cuerpos de revolución
g ⫽ 兹42 ⫹ 1,52 ⫽ 兹18,25 ⫽ 4,27 m
Área lateral ⫽ π · r · g ⫽ π · 1,5 · 4,27 ⫽
⫽ 6,405π ⫽ 20,11 m2
11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 5
REGLA DE TRES
20,11 . 60
1 m2
→ 60 planchas 
⫽ 1 206,6 planchas
→
x
⫽

x
20,11 m2 →
1

Son necesarias unas 1 207 planchas de pizarra.
5 Si cada metro cuadrado de superficie necesita 250
gramos de pintura, ¿cuántos botes de medio kilo
necesitaremos para pintar una cúpula esférica de
5 m de radio y 3,5 m de alto?
5m
3,5 m
3,5 m
5m
S ⫽ 2π · R · h ⫽ 2π · 5 · 3,5 ⫽ 35π ⫽ 109,9 m2
REGLA DE TRES
109,9 . 250
1 m2
→ 250 g 
⫽ 27 475 g
x
⫽
→
109,9 m2 → x 
1
27 475
1 bote → 500 g 
⫽ 54,95 botes
→ x⫽

x
→27 475 g 
500
Necesitaremos 55 botes.
6 ¿Cuáles de estos desarrollos corresponden a un cono?
a)
c)
Unidad 11. Cuerpos de revolución
b)
11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 6
a)
0,
55
cm
2,2 cm
Perímetro del círculo de la base:
Perímetro ⫽ 2π · R ⫽ 2π · 0,55 ⫽ 3,454 cm
El perímetro del círculo de la base debe ser igual a un cuarto del perímetro del
círculo de radio 2,2 cm:
1
1
1
Perímetro ⫽ . 2π . R ⫽ . 2π . 2,2 ⫽ 3,454 cm
4
4
4
Por tanto, el desarrollo corresponde a un cono.
b)
0,
55
cm
4,5 cm
Perímetro del círculo de la base = 3,454 cm
El perímetro del círculo de la base debe ser igual a un medio del perímetro del
círculo de radio 2,25 cm:
1
1
Perímetro ⫽ . 2π . R ⫽ π . 2,25 ⫽ 7,065 cm
2
2
Por tanto, el desarrollo no corresponde a un cono.
c)
2,25 cm
3,375 cm
Perímetro del círculo de la base:
Perímetro ⫽ 2π · R ⫽ 2π · 1,6875 ⫽ 10,5975 cm
Unidad 11. Cuerpos de revolución
11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 7
El perímetro del círculo de la base debe ser igual a tres cuartos del perímetro
del círculo de radio 2,25 cm:
3
3
3
Perímetro ⫽ . 2π . R ⫽ . 2π . 2,25 ⫽ 10,5975 cm
4
4
4
Por tanto, el desarrollo corresponde a un cono.
B
7 a) Calcula la superficie total del cono que se engendra al girar el triángulo de abajo alrededor
del lado AB.
b) Calcula también la superficie total del cono
que se engendra al girar alrededor del lado AC.
4 cm
C
a)
B
3 cm
g
4 cm
C
3 cm
A
g ⫽ 兹32 ⫹ 42 ⫽ 兹25 ⫽ 5 cm
Área lateral ⫽ π · r · g ⫽ π · 3 · 5 ⫽ 15π ⫽ 47,1 cm2
Área total ⫽ Área lateral ⫹ π · r 2 ⫽ 47,1 ⫹ 9π ⫽ 75,36 cm2
b)
B
g
4 cm
C
3 cm
A
Área lateral ⫽ π · r · g ⫽ π · 4 · 5 ⫽ 20π ⫽ 62,8 cm2
Área total ⫽ Área lateral ⫹ π · r 2 ⫽ 62,8 ⫹ 16π ⫽ 113,04 cm2
Unidad 11. Cuerpos de revolución
A
11
ACTIVIDADES INCLUIDAS
EN LA PROPUESTA DIDÁCTICA: DE AMPLIACIÓN
Pág. 8
8 Calcula la superficie del cuerpo de revolución engendrado por un triángulo
rectángulo en el que los catetos miden 15 cm y 20 cm, respectivamente, al
girar alrededor de la hipotenusa.
15 cm
15 cm
20 cm
25 cm
20 cm
→
x
15 cm
r
25 – x
15 cm
20 cm
→

152 ⫽ x 2 ⫹ r 2
→
2
2
2
20 ⫽ (25 ⫺ x) ⫹ r 
20 cm

152 ⫽ x 2 ⫹ r 2
→ 152 ⫽ x 2 ⫹ 202 ⫺ (25 ⫺ x)2 →
2
2
2
r ⫽ 20 ⫺ (25 ⫺ x ) 
→ 152 ⫽ x 2 ⫹ 202 ⫹ 252 ⫺ x 2 ⫹ 50x → 50x ⫽ 450 → x ⫽ 9 cm → r ⫽ 12 c
Área lateral del cono de arriba ⫽ π · r · g ⫽ 180π ⫽ 565,2 cm2
Área lateral del cono de abajo ⫽ π · r · g ⫽ 240π ⫽ 753,6 cm2
Área total de la figura ⫽ 565,2 ⫹ 753,6 ⫽ 1 318,8 cm2
Unidad 11. Cuerpos de revolución