2008_AI_8 - Repositorio Principal

Estimación Iterativa de Movimiento No Rígido
Basada en Modelos Paramétricos
Juan Morales Sánchez, Rafael Verdú Monedero, José Luis Sancho Gómez
Dpto. de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones. Universidad Politécnica de Cartagena
Campus Muralla de Mar. Edificio Antiguo Hospital de Marina
30202 Cartagena
Teléfono: 968 32 5977 Fax: 968 32 5973
E-mail: [email protected]
Resumen. La correspondencia entre estructuras deformables ha atraído gran atención en los últimos
tiempos dentro del procesado de imagen y sobre todo en el campo médico. Este trabajo propone un
método que aborda el problema que por naturaleza se encuentra mal condicionado utilizando una
función de coste de similitud de reducido tamaño: la ambigüedad en cada mapa de similitud se
describe mediante un modelo paramétrico difuso, y finalmente se lleva a cabo una interpolación difusa
y espacialmente no uniforme, para transformar la información paramétrica en un conjunto de vectores
de movimiento. El método obtiene la correspondencia espacial entre dos imágenes de forma global y
con precisión subpixel. Los resultados del método en imágenes reales con alta deformación no lineal
prueban la validez de este método. La extensión al caso volumétrico es también posible.
1. Introducción
Las transformaciones necesarias para la estimación
de
un
movimiento
deformable
conducen
generalmente a problemas mal condicionados, de
forma que se requieren restricciones adicionales para
alcanzar una solución cercana a la real.
Habitualmente las restricciones se contemplan
incorporando al método de estimación de movimiento
el conocimiento a priori sobre las características de la
deformación, restringiendo así el espacio de posibles
soluciones [1][2]. Para ello, la opción más utilizada
son las técnicas de regularización donde se minimiza
una energía potencial, que controla la deformación,
junto con una función de coste que describe
diferencias de la imagen. La estimación de
movimiento deformable en el campo médico ha sido
ampliamente tratada en la bibliografía sobre el tema
[3][4], aunque sin solución definitiva al problema.
Se propone aquí un método novedoso para estimar la
correspondencia espacial entre pares de imágenes. El
objetivo de este método es parametrizar el campo de
movimiento de cada uno de los píxeles o nodos
pertenecientes a una determinada rejilla uniforme
definida sobre la imagen. Este ámbito de
movimiento, calculado mediante una función de coste
local de semejanza, incluye generalmente un área
grande de varios píxeles, que representaremos a
través de un modelo paramétrico difuso.
Posteriormente, mediante interpolación espacial
difusa y no uniforme se convierten los datos
paramétricos a un sistema de referencia de vectores
de movimiento (VM) que relacionan ambas imágenes
con una precisión inferior al tamaño del pixel. El
método es capaz de seguir altas deformaciones no
lineales.
2. Estimación de Movimiento No
Rígido
El método propuesto
consecutivas:
consta
de
dos
etapas
1. Estimación del movimiento o emparejamiento
entre imágenes de forma difusa. Este paso hace uso
de una función de coste de semejanza y de un bloque
de comparación de tamaño muy reducido. A
diferencia de los algoritmos clásicos de blockmatching, en los cuales se toman decisiones drásticas,
el objetivo en este proceso es ampliar la zona de
ambigüedad en la correspondencia entre píxeles, para
parametrizar posteriormente la zona con el nivel de
parecido más alto. En la mayoría de los casos esta
zona tiene una forma de punto o de línea curva,
aunque a veces el resultado es amorfo. Cada uno de
estos casos conduce a un modelo paramétrico difuso
diferente.
2. Regularización paramétrica difusa. Esta fase
transforma la información difusa de cada pixel en un
sistema de VM numéricos que emparejan
perfectamente ambas imágenes.
Estos VM se
obtienen gracias a una interpolación espacial difusa y
no uniforme, un proceso iterativo que consiste en un
filtrado lineal discreto de entropía mínima,
restringido por los modelos paramétricos estimados
para cada pixel.
3 Estimación Difusa de
Correspondencia Espacial
la
El objetivo de esta fase es calcular y parametrizar
para cada pixel de una rejilla uniforme definida sobre
la primera imagen la zona con mayor parecido en la
segunda imagen. Este proceso tiene 3 claves
principales:
- La función de coste de semejanza, que es
compromiso entre la correlación entre bloques y su
diferencia. Los bloques comparados son muy
pequeños (3-5 pixeles de anchura),
- El resultado de la evaluación del coste es un mapa
de semejanza que refleja el parecido entre ambas
imágenes en la vecindad de cada pixel,
- El mapa de la semejanza suele contener muchos
pixeles de alto grado de parecido (todos ellos son
candidatos probables); esta ambigüedad se resuelve
ajustando un modelo paramétrico a dicho mapa de
semejanza, cuyo resultado es una estimación difusa
del movimiento.
El cálculo de la correspondencia supone una clara
diferencia respecto a los algoritmos clásicos de
block-matching: aquí las dimensiones del bloque son
muy reducidas. Esto conduce a una mayor
ambigüedad en el emparejamiento espacial y, por otra
parte, a un aumento de la capacidad de seguimiento
del movimiento flexible.
4. Refinamiento de la Solución
Difusa
La fase anterior estima la deformación entre las dos
imágenes como información paramétrica difusa, lo
que restringe más o menos la zona de
correspondencia según el modelo asociado a cada
pixel. Puesto que el objetivo del problema es obtener
la información espacial que relacione las imágenes de
una manera directa y explícita, es necesario convertir
la solución difusa en un conjunto de VM o cualquier
otro tipo de soporte. La solución propuesta es utilizar
un método de regularización basado en un
procedimiento iterativo que combine el filtrado lineal
discreto 2D [7] y la aplicación de las restricciones
proyectando sobre los modelos paramétricos. Este
proceso es equivalente a una interpolación espacial
difusa no uniforme. La solución alcanzada, plasmada
en un conjunto de VM 2D tiene dispersión mínima.
Llamaremos vx(x,y) y vy(x,y) a las coordenadas de
los dos VM correspondiente al pixel (x,y).
4.1. Interpolación de Baja Energía de
Curvatura
Algunos métodos de regularización se basan en un
filtrado discreto iterativo de los VM con diversos
tipos de núcleos, por ejemplo gaussianos [1]. En este
trabajo se propone utilizar un núcleo que minimice la
energía de curvatura de los VM, es decir su segunda
diferencia. En el caso 2D, el núcleo de filtrado se
define como el pseudo-inverso de la energía de la
curvatura, donde aparecerá una constante que
determina la frecuencia de corte del filtro paso-bajo.
Cuanto más grande sea dicha constante más grande
será la frecuencia de corte, y por tanto más grande la
capacidad de seguir un gran movimiento deformable,
pero más lenta será la velocidad del proceso. Este
filtrado iterativo ha sido implementado mediante el
eficiente algoritmo FFT.
4.2.
Aplicación
Restricciones
Paramétrica
de
Además de la minimización de la energía de
curvatura global, resultante del filtrado lineal en cada
iteración y para cada pixel (x,y), se imponen a los
valores de los VM de cada pixel (vx( x,y), vy(x,y)) las
restricciones
del
modelo
paramétrico
correspondiente. La restricción se consigue
proyectando los VM sobre el modelo para cada pixel.
Dependiendo del modelo:
- Si el modelo es un punto, el VM es sustituido por
dicho punto de correspondencia exacta, (px, py),
- Si el modelo es una línea curva, el VM que
corresponda es sustituido por su proyección sobre la
curva,
- Si el modelo es indefinido, el VM, (vx(x,y), vy(x,y))
se mantiene sin modificación.
El problema de proyectar un punto sobre una
parábola tiene solución analítica, y también se puede
obtener numéricamente por medio de un algoritmo
del gradiente. Para el caso de otras cuádricas es
inevitable la resolución de forma numérica, ya que no
existen expresiones cerradas.
5. Resultados
El método para estimar la correspondencia espacial
entre un par de imágenes se ha probado [5] haciendo
uso de una deformación sintética sobre la imagen de
Lenna, así como sobre una imagen patrón (rejilla
regular). La misma deformación se aplicó a ambas
imágenes. En la Figura 1 se muestran los resultados
alcanzados con el método propuesto. En [3] se
pueden encontrar los resultados del método aplicado
a determinación de contornos de movimiento sobre
imágenes médicas.
La imagen superior izquierda muestra el efecto de
deformar artificialmente una rejilla rectangular. La
misma deformación fue realizada en la imagen
original de Lenna, resultado mostrado en la imagen
inferior izquierda. Eligiendo la imagen de Lenna
original como imagen 1 y la versión deformada como
imagen 2, el método automático propuesto se aplica
sobre este par de imágenes. Las imágenes de la
derecha contienen los resultados alcanzados: la
imagen inferior muestra el resultado de des-deformar
la Lenna deformada aplicando el conjunto de
vectores de movimiento proporcionados por el
método, mientras que la imagen superior muestra el
mismo efecto aplicado en la rejilla rectangular de test
previamente deformada. En la Figura 2 (inferior) se
muestran resultados similares obtenidos [6]
(solamente para un plano de corte) a partir de una
extensión volumétrica del método propuesto aplicado
sobre dos volúmenes de datos de TAC (Tomografía
Axial Computerizada), mostrados en la figura 2
(superior y medio) correspondientes a un escaneo del
tórax en los puntos extremos del ciclo respiratorio
(inspiración y espiración).
6. Conclusiones
Figura 1. De arriba a abajo y de izquierda a derecha: Rejilla
deformada sintéticamente; Lenna deformada sintéticamente;
rejilla compensada con movimiento estimado; Lenna
compensada con movimiento estimado.
De los resultados gráficos observamos que el método
proporciona una valoración exacta de la
correspondencia espacial entre las dos imágenes. El
método propuesto consigue una estimación de
movimiento deformable con precisión subpixel. El
método se ha probado con éxito en imágenes reales y
con una alta deformación artificial no lineal. La
extensión de este método al caso 3D es también
factible como demuestran los resultados mostrados.
Referencias
[1] F.L. Bookstein, “Landmark methods for forms
without landmarks: morphometrics of group
differences in outline shape”, Medical Image
Analysis, 1 (3), 1997.
[2] J.P. Thirion, “Image matching as a diffusion
process: an analogy with Maxwell’s demons”,
Medical Image Analysis, 2 (3), 1998.
[3] J. Morales, L. Weruaga, et al., “Automatic
contour determination of moving volumes in the
thoracic area for radiotherapy planning,”, 6th
Biennial ESTRO Meeting, Sevilla (E), 2001.
[4] D. Terzopoulos, “Deformable models in
medical image analysis”, IEEE Computer Soc.
Press, 1998.
[5] J. Morales, R. Verdú, R. Berenguer, L.
Weruaga, “Non-rigid motion estimation based
on fuzzy models”, Proc. 14th Intl. Conf. on
Digital Signal Proc, Santorini (GR), Julio 2002.
[6] L. Weruaga, J. Morales, L. Núñez, and R.
Verdú, “Estimating volumetric motion in human
thorax with parametric matching constraints”,
IEEE Trans. Medical Imaging, vol. 22, no. 6,
pp. 766-772, June 2003.
Figura 2. Porción renderizada del tórax humano
utilizada en la fase de validación. Imagen superior:
espiración; imagen media: inspiración; imagen
inferior: vectores de movimiento para el sexto corte.
[7] L. Weruaga, R. Verdú and J. Morales,
“Frequency-based formulation of active
deformable models”, accepted at IEEE Trans.
Pattern Analysis and Machine Intell., August
2003.