Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen Final de Fı́sica II
Primer Curso del Grado en Ingenierı́a de Tecnologı́as Industriales.
Junio de 2011
PROBLEMA 1
La figura muestra un plano infinito con una densidad superficial de carga uniforme y positiva
de valor σ = 0,25 nC/m2 . A una distancia d = 1 m del plano se encuentra una partı́cula cargada
con carga q desconocida y masa m = 1 g. Sabiendo que el campo eléctrico total de esta distribución
de carga es nulo sobre el eje x en el punto x0 = −2 m responda a las siguientes preguntas:
a) ¿Será q una carga positiva o negativa? Razone su respuesta y, a continuación, halle su valor.
b) Para el valor de q hallado ¿Hay algún otro punto o puntos en el eje x donde el campo eléctrico
sea nulo?. Si los hay, indique su posición.
c) Indique la región del eje x donde es razonable considerar únicamente el campo creado por el
plano infinito, despreciando el campo creado por la partı́cula cargada.
d) Suponga que la carga q se suelta desde el reposo y se le permite moverse bajo la acción del
campo eléctrico del plano infinito. ¿Impactará la carga en el plano? Si se produce este impacto, ¿a
qué velocidad?
Dato: Constante de Coulomb: k = 9 × 109 V·m/C.
SOLUCIÓN:
Apartado a)
El campo eléctrico creado por el plano infinito de carga es perpendicular al plano, con sentido
hacia fuera del plano (por ser la carga positiva) y módulo Ep = 2πkσ. En concreto, en la región
x < 0 (a la izquierda del plano) el campo eléctrico es paralelo al eje x y con sentido negativo. Para
que la suma de este campo con el creado por la carga de lugar a un cero en esta región es preciso
que el campo de la carga tenga sentido positivo. Es decir, el campo debe apuntar hacia la carga y
por tanto la carga es negativa.
Para encontrar el valor de q imponemos la condición de que en x0 = −2 m los módulos de ambos
campos son iguales:
|q|
k 2 = 2πkσ
(1)
r0
Donde usamos r0 = d − x0 = 3 m, que es la distancia del punto x0 a la carga q. De la anterior
ecuación podemos despejar:
|q| = 2πσr02 = 14 nC.
(2)
Recordemos que, según hemos deducido, la carga puntual es negativa: q = −14 nC.
Apartado b)
Dado que el campo eléctrico del plano infinito es uniforme (no decae con la distancia) y de
igual módulo a ambos lados del plano, se deduce que la condición de igualdad de módulos de los
campos (1) se cumple a una distancia r0 = 3 m de la carga puntual tanto por su izquierda como
por su derecha. Como la carga q es negativa tendremos que en los puntos del eje x a la derecha
de la carga los campos eléctricos de ambas distribuciones serán también de sentido opuesto. En
conclusión debe existir también un cero del campo eléctrico en un punto situado a 3 metros por la
derecha de la carga puntual, es decir, en x = 4 m.
Apartado c)
Teniendo de nuevo en cuenta que el campo creado por la carga disminuye con la distancia
mientras que el campo del plano no varı́a con la distancia al plano, es evidente que si nos alejamos
lo suficiente en el eje x (hacia la izquierda o hacia la derecha) debe llegar un momento en que el
campo de la carga sea despreciable frente al campo del plano infinito. Para ser más precisos en
la determinación del rango de puntos que cumplen esto se puede establecer mátemáticamente la
condición de que el campo de la carga es despreciable frente al del plano:
k
|q|
≪ 2πkσ.
r2
De esta ecuación se deduce que debe ser:
√
r≫
|q|
= r0 = 3 m.
2πσ
Donde se ha sustituido el valor de |q| usando (2). Cabe puntualizar que esta condición está expresada
en función de la variable r, que es la distancia en valor absoluto desde la carga a un punto sobre
el eje x. Si quiere expresarse en función de la coordenada x de los puntos es inmediato comprobar
que esta condición equivale a considerar que x ≫ 4 m o bien que x ≪ −2 m.
Apartado d)
La carga puntual es negativa y en consecuencia sufrirá una fuerza en dirección opuesta al campo
eléctrico externo (el campo que crea el plano), es decir, se verá atraida hacia el plano. En general
puede determinarse la velocidad en el punto final del trayecto que sigue la carga (x = 0) utilizando
que el trabajo de las fuerzas externas (en este caso la fuerza electrostática) es igual al incremento
de la energı́a cinética de la carga (We = ∆Ec ). Como la fuerzas electrostáticas son conservativas
el trabajo puede expresarse en función de la variación de la energı́a potencial electrostática de la
carga y tenemos que: We = −∆Ue = −q∆V . Donde la diferencia de potencial entre el punto inicial
(x = d) y el punto final (x = 0) puede calcularse de una forma trivial a partir de la circulación del
campo eléctrico creado por el plano infinito de carga:
∆V = V (0) − V (d) = −
∫
0
Ep dx = Ep d = 2πkσd
d
De donde:
∆Ue = q2πkσd = −|q|2πkσd
Por otro lado el incremento de energı́a cinética, considerando que la carga parte del reposo es
sencillamente ∆Ec = 12 mv 2 . Entonces tenemos:
−∆Ue = ∆Ec
→
1
|q|2πkσd = mv 2
2
De aquı́ puede despejarse la velocidad:
√
v=
|q|4πkσd
= 0,02 m/s.
m
Alternativamente es posible resolver este apartado obviando el uso del concepto de energı́a electrostática y potencial. En efecto, como
cualquier otro trabajo el trabajo de las fuerzas electrostáticas
∫
es la circulación de la fuerza We = F⃗e · d⃗x. Al tratarse de un campo eléctrico uniforme y un desplazamiento paralelo a la propia fuerza el resultado es un trabajo positivo igual al producto de la
fuerza por el desplazamiento: We = Fe d = |q|Ep d = |q|2πkσd. Igualando este término al incremento de energı́a cinética podemos despejar de nuevo la velocidad. La ventaja de usar el concepto de
potencial se ve más claramente en situaciones más complicadas donde el campo eléctrico externo
y/ó la trayectoria seguida por la carga no son tan sencillos. Como ejemplo, piense en cómo podrı́a
resolverse este apartado por uno y otro método si en lugar se suponer que la carga parte del reposo
se le hubiese asignado una velocidad incicial ⃗v0 = v0⃗i (alejándose del plano).