Clase 7 de Problemas

Binomial y Normal
1. En un canal de comunicación la probabilidad de error en la transmisión de un bit es del
0.8%. Sabiendo que los bits se empaquetan en bloques de información y la transmisión de
cada bit dentro del bloque es independiente del resto, se pide:
Clase 7 de Problemas
a) Calcule la probabilidad de que se produzca algún error en la transmisión de un bloque
formado por 1000 bits.
b) Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 15 errores en la transmisión de
un bloque de 1000 bits si sabemos que se observó algún error en la transmisión del bloque.
Modelos de Probabilidad
(Binomial, Geométrica,
Exponencial, Poisson,
Uniforme y Normal)
2
Poisson, Exponencial y Binomial
Exponencial y Binomial
2. Sea T la variable aleatoria `horas que un operario necesita para realizar una actividad
específica en una cadena de producción', que sigue un modelo exponencial con función de
densidad dada por f(t) = 1.5 e-1.5 t, si 0
0<t<∞.
t .
a) Suponiendo que el operario repite dicha actividad de forma independiente, determine el
número medio de veces que consigue realizar dicha actividad en 2 horas y la probabilidad
d que en 2 horas
de
h
consiga
i realizarla
li l all menos 1 vez.
b) Calcule la función de distribución de T y el tiempo t0 que necesita invertir en dicha
que realiza dicha actividad necesita invertir más
actividad si sólo el 10% de las veces q
tiempo.
c) Calcule la probabilidad de que el tiempo empleado en realizar una actividad no supere la
hora y media.
media
d) Suponiendo que los operarios trabajan de forma independiente unos de otros, ¿cuál es la
probabilidad de que exactamente 2 de 10 operarios, inviertan más de hora y media en
realizar la actividad en cuestión?
3
3. La v.a. T representa
p
el tiempo
p en horas de las conexiones q
que un empleado
p
realiza a lo
largo de una jornada laboral desde su puesto de trabajo a dominios de la red que no están
relacionados directamente con su trabajo, y tiene como función de densidad la función
f(t)=3exp(-3t), si t>0. Si un empleado es “pillado”, según la política de la empresa se le
sanciona
i
con una cantidad
tid d que asciende
i d a Z=exp(T)
Z
(T) euros. Con
C estos
t datos,
d t
se pide:
id
a) Determine la densidad de la v.a. Z.
b) Calcule la probabilidad de que un sancionado tenga que pagar menos de 5 euros.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado se encuentre más de media hora
conectado a la red “sin trabajar”?
d) Para evitar que los empleados se dediquen a malgastar sus horas de trabajo, el director
p
decide controlar los accesos de 10 empleados
p
elegidos
g
al azar. ¿
¿Cuál es la
de la empresa
probabilidad de que exactamente 7 de ellos dediquen más de media hora al día a estar
conectados a la red “sin trabajar”?
4
Poisson y Normal
Poisson y Uniforme
4. En unos grandes almacenes, el número X de devoluciones por hora que se producen en
una determinada sección sigue una Poisson. Sin embargo, se sabe que de 10h a 16h el
número medio de devoluciones a la hora es de 2 mientras que de 16h a 21h el número
medio de devoluciones a la hora es de 4. Nótese que se supone que el establecimiento
permanece abierto ininterrumpidamente desde las 10h a las 21h y que las devoluciones se
producen de manera independiente a lo largo del día.
a) Calcule la probabilidad de que no se produzca ninguna devolución de 10h a 11h.
b) Calcule la probabilidad de que se produzcan no más de 30 devoluciones a lo largo de un
día de trabajo.
5. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Razone su respuesta.
a) El siguiente código en MATLAB/Octave devuelve para a un valor muy cercano a cero:
n=1000;
n
1000;
x=poissrnd(8,n,1);
y=(x>4);
a=sum(y)/n
b) El siguiente código en MATLAB/Octave aproxima por simulación el valor de E[exp(-X)],
siendo X un modelo Uniforme en (−1, 1):
n=1000;
1000
u=rand(n,1);
x=2*u-1;
mux=sum(x)/n;
muy=exp(-mux)
(
)
5
6
Geométrica
Uniforme
6. a)) Complete
p
el siguiente
g
código
g en MATLAB/Octave p
para aproximar
p
Pr(X>0.1),
(
) donde X
denota una v.a. continua con densidad f(x)=3x2, si 0<x<1.
n=10000;
u=rand(n 1);
u=rand(n,1);
x=____________ ;
cond=(x _________);
p=sum(cond)/n
7. Una empresa de telefonía móvil cobra a sus clientes 0,25 euros por cada minuto de
conversación. Si X denota ‘el tiempo (en minutos) que una persona invierte en cada llamada
realizada
li d desde
d d su móvil’,
ó il’ la
l compañía
ñí le
l cobrará
b á lo
l mismo
i
(1 25 euros)) sii habla
(1,25
h bl 5 minutos
i t
que 4.15 minutos. Se sabe además que X se puede modelizar a través de una exponencial
con media 125 segundos.
a) Considere la v.a. Y = [X] + 1, donde [x] denota la parte entera de x. Compruebe que dicha
variable sigue una distribución Geométrica e identifique su parámetro p.
b) Escriba
E ib ell coste
t en función
f
ió de
d Y y determine
d t
i ell coste
t medio
di por llamada.
ll
d
b) Indique la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación y razone su respuesta.
Sea X una v.a. que se distribuye según un modelo uniforme continuo en el intervalo (0,1) y
sea Y=exp(X2) una transformación de X,
X entonces Y es una v.a.
v a continua con densidad
dada por la siguiente función f(y) = (2y (log y)1/2)-1, si 1<y<e.
7
c) Ante la queja de algunos clientes, el director de la compañía se plantea cobrar por el
p exacto X q
que dure la llamada. Con esta estrategia
g se p
pretende ser más jjusto,, p
pero
tiempo
sin que eso conlleve el tener una ganancia media por llamada inferior a la de antes.
Determine cuál debe ser el coste por minuto que el encargado deberá cobrar para que esto
así suceda.
d) Indique qué devuelve el siguiente código en MATLAB/Octave:
n=100000;
lambda=0.48;
u=rand(n,1);
t=-log(1-u)/lambda;
prob=sum(0<t & t<1)/n
8