Problemas 3: Condensadores

Problemas tema 3: Condensadores
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Problemas 3: Condensadores
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2010/11
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Problemas tema 3: Condensadores
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Problema 1:
Calcular
Calcular la
la capacidad
capacidad de
de un
un condensador
condensador cilíndrico
cilíndrico de
de radio
radio interior
interior a,
a,
radio
radio exterior
exterior b,
b, yy longitud
longitud L.
L.
Sabemos:
JG
E=
El campo
eléctrico en la
zona
interconductora:
λG
1
2πε 0 r
ur
a≤r≤b
Tasmbíén sabemos:
La ddp. entre sus placas:
b
a
r =b
Vab = Va − Vb =
∫
JG JJG
E ⋅ dA =
r=a
=
Fátima Masot Conde
1
2πε 0
Dpto. Física Aplicada III
r =b
∫
r =a
λ
b
λ
dr =
ln
r
2πε 0 a
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Problema 1: cont.
Sólo tenemos que
poner la densidad de
carga λ en función
de la carga total Q:
Q
λ=
L
E introducirla en la
expresión del potencial:
Vab =
De donde el valor de capacidad sale
directamente:
C=
Fátima Masot Conde
λ
b
Q
b
ln =
ln
a
2πε 0 a
2πε 0 L
O por unidad de longitud, p.u.l.
2πε 0 L
Q
=
b
V ab
ln
a
Dpto. Física Aplicada III
C p .u .l .
2πε 0
Q
=
=
b
V ab
ln
a
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Problema 2:
Un
Un condensador
condensador de
de 100
100 nF
nF está
está conectado
conectado aa una
una batería
batería de
de 50
50 V.
V. Se
Se
desconecta
desconecta de
de la
la batería
batería yy se
se conecta
conecta en
en paralelo
paralelo con
con otro
otro condensador.
condensador. Se
Se
conecta,
conecta, aa continuación,
continuación, un
un voltímetro
voltímetro entre
entre sus
sus placas,
placas, yy se
se mide
mide una
una
d.d.p.
d.d.p. de
de 35
35 V.
V. Calcular
Calcular la
la capacidad
capacidad del
del segundo
segundo condensador.
condensador.
Sabemos:
Q
C=
V
Datos:
Q = CV = 5000 nC
V=50 V
C=100 nF
Fátima Masot Conde
Esta es la carga, que ahora…
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Problema 2: cont.
… se va a repartir (pues se conserva) entre los dos condensadores:
el que tenía (y sigue teniendo) 100 nF
de capacidad, y el otro, de capacidad
desconocida, que se le conecta en
paralelo:
Q = Q1 + Q2
Como sabemos que, en esta nueva
situación, el potencial es 35 V, la
carga que ahora almacena el
primero es conocida:
Q1 = C1 ⋅V =
= (100 nF ) ( 35 V ) = 3500 nC
C1 = 100 nF
C2 , a determinar
Y de ella, su capacidad:
Así que la carga del otro, también lo es:
Q2 = Q − Q1 = 5000 − 3500 = 1500 nC
Fátima Masot Conde
C2 = Q2 / V = 1500 nC / 35 V = 42.8 nF
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Problema 3:
El
El circuito
circuito de
de la
la figura
figura está
está formado
formado por
por cuatro
cuatro condensadores,
condensadores, cuyas
cuyas
capacidades
capacidades son:
son: CC11=
= 1μF,
1μF, CC22=2μF,
=2μF, CC33=3μF,
=3μF, CC44=4μF.
=4μF. La
La d.d.p
d.d.p entre
entre A
A yy
BB es
es de
de 12
12 V.
V. Calcular
Calcular la
la carga
carga de
de cada
cada condensador.
condensador.
C1
C13eq
C3
≡
C2
C4
12 V
12 V
C1 , C2 , C3 , C4
Fátima Masot Conde
C24 eq
datos
Dpto. Física Aplicada III
C13eq C24 eq
conocidas
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Problema 3: cont.
C13eq
C3
C1
C2
≡
C4
C24 eq
12 V
12 V
12
C13eq =
1
C13eq
1
C24 eq
1
1
=
+
C1 C3
⎛3
⎞
Q13eq = Q1 = Q3 = C13eq V = ⎜ μ F ⎟ (12 V ) = 9 μ C
⎝4
⎠
1
1
=
+
C2 C4
⎛4
⎞
Q24 eq = Q2 = Q4 = C24 eq V = ⎜ μ F ⎟ (12 V ) = 16 μ C
⎝3
⎠
C24 eq =
Fátima Masot Conde
3
μF
4
4
μF
3
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Problema 4:
Un
Un condensador
condensador cilíndrico
cilíndrico se
se sumerge
sumerge parcialmente
parcialmente en
en líquido
líquido dieléctrico.
dieléctrico.
¿Cuál
¿Cuál es
es su
su nueva
nueva capacidad?
capacidad? ¿Cómo
¿Cómo cambia
cambia la
la energía
energía acumulada
acumulada en
en el
el
condensador?
condensador?
Para visualizar el tipo de
asociación, “desenrollemos”
el cilindro:
L2
L2
L1
Fátima Masot Conde
L1
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Problema 4: cont.
Sistema
equivalente de
condensadores
en paralelo:
C1 =
2πε 0κ L1
R
ln 2
R1
C2 =
Capacidad de la parte sumergida
Asociación paralelo:
b)
Capacidad de la parte vacía
Ceq = C1 + C2
A carga constante,
la energía disminuye
1Q
U =
2C
Fátima Masot Conde
2πε 0 L2
R
ln 2
R1
2
En
e
s
a
l
c
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Ceq > C0
A V constante, la
energía aumenta
U =
1
CV 2
2
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Problema 5:
Las
Las armaduras
armaduras de
de un
un condensador
condensador plano
plano de
de 22 pF
pF tienen
tienen una
una superficie
superficie de
de
2
11 cm
cm2.. El
El espacio
espacio entre
entre las
las placas
placas se
se rellena
rellena de
de nylon,
nylon, que
que tiene
tiene una
una
constante
constante dieléctrica
dieléctrica de
de 3.4,
3.4, yy una
una resistencia
resistencia aa la
la ruptura
ruptura dieléctrica
dieléctrica de
de
6
14·10
14·106 V/m.
V/m. a)
a) Calular
Calular la
la nueva
nueva capacidad
capacidad del
del condensador.
condensador. b)
b)
Determinar
Determinar la
la d.d.p.
d.d.p. máxima
máxima que
que puede
puede aplicarse
aplicarse entre
entre las
las placas
placas del
del
condensador
condensador sin
sin provocar
provocar la
la ruptura.
ruptura. c)
c) Sabiendo
Sabiendo que
que la
la resistencia
resistencia aa la
la
6
ruptura
ruptura dieléctrica
dieléctrica del
del aire
aire es
es 3·10
3·106 V/m,
V/m, calcular
calcular el
el cociente
cociente entre
entre la
la
energía
energía electrostática
electrostática máxima
máxima que
que puede
puede almacenar
almacenar el
el condensador
condensador relleno
relleno
de
de nylon,
nylon, yy la
la que
que puede
puede almacenar,
almacenar, relleno
relleno de
de aire.
aire.
a)
Sabemos:
C = κ C0
C = κ C0
C = κ C0 =
3.4
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Dpto. Física Aplicada III
6.8 pF
2 pF
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Condensadores
Condensadores con
con dieléctricos/Recordamos:
dieléctricos/Recordamos:
Esto se traduce, en términos de capacidad:
Q
Q
Q
C =
=
= κ
= κ C0
V
V0 / κ
V0
La capacidad del
condensador con die- es
K veces la del
condensador sin die-.
El efecto del die- es, por
tanto, aumentar la
capacidad (además del
máximo voltaje aplicable
y la resistencia mecánica
del sistema)
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Problema 5: cont.
b)
Ddp. máxima, sin ruptura dieCampo de ruptura: Máximo campo eléctrico sin que se produzca una
descarga o corriente eléctrica. Por encima, el diepierde sus propiedades aislantes, y conduce.
Erup (max)
6
= 14 ⋅ 10 V/m
Vrup (max) = Erup (max) ⋅ d =
6.2 103 V
(dato)
Necesitamos
Necesitamos“d”:
“d”:
C=
ε0 A
d
d=
ε0 A
C
8.85 10-12 F/m
1 cm2
=
4.42 10-4 m
2 pF
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Problema 5: cont.
c)
Cociente máximas energías almacenadas con y sin die-.
La energía máxima
almacenada, vendrá dada
en función del máximo
voltaje que se pueda
alcanzar
Sabemos:
Energía
almacenada en un
condensador, en
función del pot.:
1
U = CV 2
2
U max
1
= CV
2
2
max
datos
Para un condensador
relleno de aire:
U
air
max
(
1
= C0 V
2
Fátima Masot Conde
air
max
air
E max ⋅ d
)
2
Para otro, relleno de
dieléctrico (nylon):
die −
E max ⋅ d
U
diemax
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(
1
= C V
2
diemax
)
2
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Problema 5: cont.
c) cont.
Y operando, el cociente pedido es:
κ C0
U
diemax
U
air
max
(
1
= C V
2
(
1
= C0 V
2
E max ⋅ d
air
diemax
air
max
)
2
)
E )
(
κ⋅
(E )
die −
=
2
2
max
air
2
max
die −
E max ⋅ d
Fátima Masot Conde
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(datos)
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Problema 6:
2
Las
Las armaduras
armaduras de
de un
un condensador
condensador plano
plano tienen
tienen una
una superficie
superficie de
de 10
10 cm
cm2, , yy están
están
separadas
separadas 22 mm.
mm. El
El condensador
condensador se
se carga
carga con
con una
una batería
batería de
de 99 V,
V, yy después
después se
se
desconecta
de
la
batería.
A
continuación
se
coloca
una
placa
de
material
dieléctrico,
desconecta de la batería. A continuación se coloca una placa de material dieléctrico,
de
deespesor
espesor 11 mm,
mm, yy de
de constante
constante dieléctrica
dieléctrica K
K =2,
=2, pegada
pegada aa una
una de
de sus
sus armaduras.
armaduras.
Calcular
a)
la
carga
del
condensador,
b)
la
capacidad
del
condensador
Calcular a) la carga del condensador, b) la capacidad del condensador con
con elel
dieléctrico,
dieléctrico, c)
c) la
la distancia
distancia adicional
adicional que
que deben
deben separarse
separarse las
las armaduras
armaduras del
del
condensador
condensador después
después de
de introducir
introducir elel dieléctrico
dieléctrico para
para que
que su
su capacidad
capacidad sea
sea la
la
misma
que
tenía
antes
de
introducir
el
dieléctrico,
d)
la
energía
electrostática
misma que tenía antes de introducir el dieléctrico, d) la energía electrostática
almacenada
almacenada en
en elel condensador
condensador relleno
relleno de
de aire,
aire, con
con la
la placa
placa dieléctrica,
dieléctrica, yy después
después de
de
separar
las
armaduras.
separar las armaduras.
a)
Carga del condensador:
Directamente
de los datos:
Sabemos:
Q = C ⋅V
C=
9V
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ε 0S
d
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Q
Datos:
V= 9 V
S=10 cm2
d=2 mm
ε0=8.85 10-12 F/m
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Problema 6: cont.
b)
Condensador original, vacío:
Condensador relleno:
d
d
d/2
V
El condensador relleno es equivalente
a dos condensadores en serie:
1) Vacío, distancia interplaca d/2, de
capacidad
ε S
(datos)
C = 0
1
d /2
C1
+ V1 - + V2 -
2) Relleno, distancia interplaca d/2, de
capacidad
C2 = κ ⋅ C1
Fátima Masot Conde
C2
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Ceq
1
1
1
=
+
Ceq C1 C2
Ceq
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Problema 6: cont.
c)
Condensador original, vacío:
Valor de la
capacidad
original,
(conocido)
Condensador relleno:
C0
d’ ?
Ceq= C0
d/2
d
C1
tal que
C2
+ V1 - + V2 -
Ceq
1
1
1
=
+
Ceq C1 C2
1) Vacío, distancia interplaca d’, de
capacidad
ε 0S
C1 =
C0
Fátima Masot Conde
d'
2) Relleno, distancia interplaca d/2,
de capacidad
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C2
d'
(Calculado en
el apartado b)
( Δ extra = d '− d / 2)
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Problema 6: cont.
d)
Energía almacenada en los casos anteriores:
Sabemos:
1 Q2
U=
2 C
Ambos casos tienen
el mismo valor de
capacidad y carga,
y por tanto
almacenan la misma
energía
Apdo. a) Condensador original, vacío:
C0
1 Q2
U=
2 C0
d
Apdo. c) Condensador relleno:
d’
tal que
Ceq= C0
d/2
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Problema 6: cont.
d)
En el apdo b), en cambio, hay una disminución de energía
almacenada respecto al caso a) y c).
Resultado del apdo. b):
Ceq = C1
κ
κ +1
Capacidad del condensador, con
el die- insertado (en fon de C1).
Esta capacidad es mayor que la que
tendría el condensador vacío: C =
0
κ
κ +1
>
1
2
para κ >1
C1
2
(en fon de C1).
Ceq > C0
con die-
U < U0
sin die-
La disminución de energía con die-, (a carga
constante), se debe al trabajo que realiza el campo
del condensador, que “succiona” el die- hacia dentro.
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
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