Universidad Nacional de Salta Variable Compleja Facultad de Ciencias Exactas T. P. N 1er. Cuatrimestre 2016 ◦ 6: Series de Laurent. Teorema de los Residuos 1. Encontrar el desarrollo en Serie de Laurent de las siguientes funciones alrededor de 0: 1 z ii) senz z i) sen iii) z 3 e z z2 1 ez −1 z 2 2 iv) z sen z v) z vi) 1+cos z4 2. Desarrollar las siguientes funciones en Serie de indicadas: √ Laurent en las regiones √ 1 a) en: i) |z − 1| < 1 ; ii) 1 < |z − 1| < 2 ; iii) |z − 1| > 2 ; iv) 0 < |z| < 1; v) |z| > 1 z(z+i) 1 b) en: i) 0 < |z − 3| < 3; ii) |z − 3| > 3 z 2 (z−3)2 e2z en |z − 1| > 0 c) (z−1)3 3. Clasicar las singularidades de las siguientes funciones, y, en los casos en que sean evitables, redenir la función de modo que sea analítica en ellas. 2 1 i) f (z) = cosh z1 ii) f (z) = ze z−1 iii) f (z) = iv) f (z) = sen z senh z z 2 +z+1 √ 2z+1−i 3 4. El punto z0 es cero de orden n para la función f (z) y es un cero de orden m para la función g(z). (z) ¾Qué es el punto z0 , para las funciones f (z) + g(z), f (z)g(z) y fg(z) ? 5. Demostrar que si z0 es singularidad evitable o polo para f , y f (z0 ) = 0, entonces z0 es un cero aislado para f . (Sugerencia: para las singularidades evitables, considere la expansión en serie para un entorno reducido alrededor de z0 , observando que c0 6= 0, y entonces esa expansión dene una función no nula y analítica en z0 . Para los polos, tenga presente que lı́mz→z0 f (z) = ∞.) 6. a ) Determinar el orden del polo de (z 2 + 1)/(ez + 1) en z = iπ . b ) Determinar el orden del polo de sen z/ senh z en z = 0. c ) Encontrar los polos y determinar sus órdenes, para las siguientes funciones: i) v) ii) 1 z 4 −1 vi) 1 (ez +1)4 √ 2z+1−i 3 (z 2 +z+1)2 sen z1 iii) vii) 3 (z+ z1 ) iv) sen z z 10 (z+1) 1 10z −ez viii) 1 1 z 2 senh4 z 1 1 4 1−z 2 7. Determinar qué tipo de singularidad es 0 para las siguientes funciones: z 1 1 iii) e−zsen i) z−sen ii) e−z +z−1 z +z−1 8. Hallar los puntos singulares y determinar su carácter, para las funciones: i) ii) 1 1−sen z iv) cos z1 1 iii) e z+2 1−cos z z2 1 + z12 e−z −1 z cos 1 z v) vi) cos z−1 9. Determinar el carácter de la singularidad en los puntos indicados: i) 1+cos z (z0 = π) z−π Ln(1+z 3 ) iv) (z0 = z2 ii) z 2 −3z+2 (z0 = z 2 −2z+1 sen2 z (z0 = 0) z 1 iii) cos z+π 1) (z0 = −π) v) vi) cos + sen 2−πz 2z 10. Calcular el residuo en los puntos singulares para las siguientes funciones: z ez i) ztan ii) 1 −sen iii) z2z+4 z + 2i 2− π z 2z 0) 4 iv) vii) − 1 e z2 1+z 4 cos z z 3 − π2 z 2 1 z 4 2+ 1 z2 v) cos( z1 ) + z 3 vi) ez viii) ix) cot2 z z 2n (z−1)n (n ∈ Z+ ) 11. Calcular sea posible: R 1las siguientes integrales por el teorema de los residuos, cuando 1 a) γ sen 1 dz siendo γ la circunferencia con centro en 0 y radio 10 . b ) R 1 γ sen z 1 z dz siendo γ la circunferencia con centro en 1 2π y radio 1 30 . (z0 = 0) 2 12. Vericar los siguientes resultados: i) R iii) v) |z|=1 z tan(πz)dz ez z 3 (z+1) R |z|=2 dz = 1 − 2 ez −1 |z−1|=3 z 3 −iz 2 dz R =0 2 e πi = 2 πe (e − 1)i ii) R iv) R vi) R z |z|=10 (z−1)2 (z+2) dz |z|= 12 =0 z 2 sen z1 dz = − π3 i z |z−1|=5 ez +3 dz = −4π 3 i ln 3 13. Vericar las siguientes igualdades para integrales reales: i) R 2π 0 iii) dθ 1−2ρ cos θ+ρ2 R 2π 0 = dθ 1−2k sen θ+ρ2 2π 1−ρ2 = para 0 < ρ < 1 ii) R 2π para k2 < 1 iv) R 2π 2π 1−k2 0 0 dθ 5−3 cos θ = π 2 dθ (a+b cos θ)2 = 2aπ 1 (a2 +b2 ) 2 (a > b > 0) 14. Comprobar los siguientes resultados: i) R∞ iii) dx −∞ 1+x4 R∞ = x3 dx −∞ 1+x8 π √ 2 2 =0 ii) R∞ iv) R∞ dx −∞ (1+x2 )3 = 3π 8 x −∞ (x2 −2x+2)2 dx = π 2 15. Aplicando el teorema de los residuos a funciones de la forma f (z)eimz , vericar: i) R∞ cos(sx) −∞ k2 +x2 dx iii) v) R∞ = πk e−ks para k > 0 y s > 0 sen(2x) −∞ 1+x+x2 dx R∞ 0 = − 2πe √ − 3 √ sen 1 3 ii) R∞ iv) R∞ sen(sx) −∞ k2 +x2 dx cos x −∞ 1+x4 dx = 0 para k > 0 y s > 0 1 = π − √2 √ e 2 sen √12 + cos √12 2 e−x cos(2x)dx = 0 16. Sea K compacto y f analítica en K , excepto tal vez en singularidades aisladas que son evitables o polos. Suponga también que f no es idénticamente 0 en K . a ) Mostrar que f puede tener, a lo sumo, una cantidad nita de singularidades en K . (Sugerencia: Suponga que el conjunto S de singularidades es innito; por teorema ??, S tiene punto de acumulación z0 en K ; muestre que z0 ∈ S , pero entonces no es una singularidad aislada.) b ) Mostrar que f puede tener, a lo sumo, una cantidad nita de ceros en K . (Sugerencia: para cada z ∈ K , existe rz > 0 tal que Brz (z) contiene a lo sumo un cero de f ; esa familia de entornos es cubrimiento por abiertos para el compacto K .) 17. Sea f : D → C con D dominio simplemente conexo, y sea C un contorno cerrado simple en D. Supongamos que f no tiene ceros sobre C . a ) Mostrar que si f es analítica en D , entonces 1 2πi Z C f 0 (z) dz = N f (z) en donde C se recorre en sentido positivo y N es el número de ceros (contando sus órdenes) de f en el interior de C . (Sugerencia: Sea z0 un cero para f en el interior de C ; mostrar que debe ser aislado; sea m su orden; entonces f (z) = (z − z0 )m g(z); obtenga f 0 y luego f 0 /f ; deduzca que esta última tiene un polo simple en z0 y que el residuo de f 0 /f en z0 es m; concluya el ejercicio aplicando el ejercicio anterior y el Teorema de los Residuos.) b ) Generalizar el resultado anterior, mostrando que si f es analítica sobre C y no tiene singularidades esenciales en el interior de C , entonces 1 2πi Z C f 0 (z) dz = N − P f (z) en donde C se recorre en sentido positivo, N es el número de ceros (contando sus órdenes) de f en el interior de C , y P es el número de polos (contando sus órdenes) de f en el interior de C . 3 18. Demuestre el Teorema de Rouché: Sean f y g dos funciones analíticas sobre un contorno cerrado simple C y en su interior. Si |f (z)| > |g(z)| para todo z ∈ C , entonces f y f + g tienen el mismo número de ceros (contando sus órdenes) dentro de C . (Sugerencia: Dena φ(t) = 1 2πi Z C f 0 (z) + tg 0 (z) dz f (z) + tg(z) con t ∈ [0, 1] y C recorrido en sentido positivo. Muestre que el denominador del integrando no tiene ceros sobre C y que φ es continua en [0, 1]. Aplique entonces el ejercicio anterior para concluir que φ es constantemente igual a algún entero. Concluya el ejercicio observando a qué es igual φ(0) y φ(1). Para la continuidad de φ, probar que Z f (z)g 0 (z) − f 0 (z)g(z) |t − t0 | dz |φ(t) − φ(t0 )| = 2π C (f (z) + tg(z))(f (z) + t0 g(z)) 0 0 (z)−f (z)g(z)| ; por lo tanto, y que, para todo z ∈ C , el módulo de ese integrando está acotado por |f (z)g (|f (z)|−|g(z)|)2 para alguna constante positiva A, es |φ(t) − φ(t0 )| ≤ A|t − t0 |.) 19. En cada caso, determinar la cantidad de ceros (contando órdenes) de p(z) en el conjunto R. 7 3 3 7 a ) p(z) = z − 4z + z − 1, R = {z ∈ C : |z| < 1}. (Sugerencia: f (z) = −4z , g(z) = z + z − 1 y C = {z ∈ C : |z| = 1} para aplicar el Teorema de Rouché.) (Solución: 3) 6 4 3 b ) p(z) = z − 5z + z − 2z , R = {z ∈ C : |z| < 1}. (Solución: 4) 4 3 2 c ) p(z) = 2z − 2z + 2z − 2z + 9, R = {z ∈ C : |z| < 1}. (Solución: 0) 5 2 d ) p(z) = 2z − 6z + z + 1, R = {z ∈ C : 1 ≤ |z| < 2}. (Solución: 3) z n (con n natural, y c complejo de módulo mayor que e), R = {z ∈ C : |z| < 1}. e ) p(z) = e − cz (Solución: n) 20. Usando el Teorema de Rouché, demostrar que cualquier polinomio de grado n ≥ 1 tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Obtener así una demostración alternativa del Teorema Fundamental del Álgebra. (Sugerencia: Sea p(z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 . Argumentar por qué alcanza con tomar coeciente unitario en el monomio de mayor grado. Hacer f (z) = z n , n o P n−1 g(z) = an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 , y C = z ∈ C : |z| = 1 + k=0 |ak | . Mostrar que |f (z)| > |g(z)| sobre y fuera de C , y aplicar Teorema de Rouché.)