Pauta ejercicio 4 - U

Prof. Natalia González
Prof. Eugenio Finat
Ayud. Alejandro González
Ayud. Iván Morales
Universidad de Chile
Programa de Bachillerato
Matemáticas 1
1er semestre de 2015
Pauta Prueba 1 ej. 4
La función que describe la posición con respecto al tiempo de una piedra lanzada hacia arriba desde una
altura h0 , medida en [m], con una velocidad inicial v0 , medida en [m/s], esta dada por
1
f (t) = g t2 + v0 t + h0 ,
2
donde g la aceleración de gravedad medida en [m/s2 ]. Suponiendo que la piedra es lanzada desde una
altura inicial h0 = 1 [m], con una velocidad inicial v0 = 4 [m/s], y considerando la aceleración de gravedad
como g = −10 [m/s2 ], responda:
(a) A partir de su lanzamiento, ¿cuánto tiempo demora la piedra en tocar el suelo?
(b) Determine en qué momento la piedra alcanza su máxima altura, y encuentre dicha altura.
(c) Muestre los intervalos de tiempo donde la piedra asciende y donde la piedra desciende.
Solución: Reemplazando los valores dados en la función f obtenemos que
f (t) = −5t2 + 4t + 1.
(a) Decir que la piedra toca el suelo es equivalente a que f (t) = 0, es decir, a resolver
−5t2 + 4t + 1 = 0,
cuyas soluciones son

p
√
2
2
−4 ± 4 − 4 · (−5) · 1
−4 ± 6  1
−b ± b − 4ac
=
=
=
t=
1
−
2a
2 · (−5)
−10
5
Como el tiempo debe ser positivo, necesariamente la solución correcta en este caso es t = 1. Luego,
la piedra se demora 1 [s] en tocar el suelo.
(b) La altura máxima se alcanza en el vértice de la parábola, es decir, cuando
t=
−b
−4
2
=
= .
2a
2 · (−5)
5
Para calcular la altura máxima reemplazamos este valor en la función y obtenemos
2
2
2
2
9
f
= −5 ·
+4·
+1= .
5
5
5
5
Luego, la altura máxima que alcanza la piedra es
9
[m].
5
2
(c) De los cálculos anteriores, vemos que la piedra asciende en el intervalo [0, ] y desciende en el
5
2
intervalo [ , 1].
5
1
2