Medidas de tendencia central. Casos prácticos resueltos

UNIDAD II
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
“Medidas de tendencia central. Casos prácticos
resueltos”
M. en C. Mario Arturo Vilchis Rodríguez
Caso 1.
Se tienen los siguientes resultados de una encuesta:
CASO PRE1 PRE2 PRE3 PRE4 PRE5
1
0
25
6
1,200
1
2
0
30
5
1,500
0
3
1
23
2
5,000
2
4
0
27
9
3,200
2
5
0
32
6
4,000
3
6
1
28
5
3,000
3
7
1
29
8
6,000
2
8
1
27
7
5,000
1
9
1
25
5
1,500
0
10
0
26
2
2,500
1
Siendo:
PRE1: Sexo, con código “0” si hombre y “1” si mujer.
PRE2: Edad en años.
PRE3. Grado de satisfacción con el consumo de una nueva bebida, de “1” a
“10”, siendo “10” la máxima satisfacción.
PRE4: Gasto mensual en refrescos en céntimos de euro.
PRE5: Nivel de estudios con código “0” sin estudios; “1” formación básica; “2”
bachiller y “3” estudios universitarios.
a) Calcula la moda, mediana y media aritmética, en aquéllos caracteres en
los que sea apropiado hacerlo.
Solución.

La mediana (Me) es aquel valor que acumula el 50% de la población o
de la muestra. En éste caso es, al hacer N/2, el 5° valor, esto es Me = 27
años.

La media aritmética (𝑥̅ ) es:
𝑥̅ =
∑𝑁
𝑗=1 𝑥𝑖
𝑁
=
272
= 27.2 𝑎ñ𝑜𝑠
10
PRE3: Se ordenan las respuestas de menor a mayor.
1
Orden Ai
1
2
2
2
3
5
4
5
5
5
6
6
7
6
8
7
9
8
10
9

La moda (Mo) es 5.

Al hacer N/2, la categoría situada en 5° lugar es la mediana, esto
es Me=5.
Caso 2.
Se tiene la siguiente distribución de edades, en años, para un colectivo de 37
jóvenes:
xi
17
18
19
20
25
27
fi
5
22
4
4
1
1
Calcula:
a) La moda
b) La mediana
c) La media aritmética
Solución.
La tabla siguiente facilita el cálculo de las medidas estadísticas solicitadas:
2
xi
fi Fi xi fi xi2- fi
17
5 5 85 1,445
18
22 27 396 7,128
19
4 31 76 1,444
20
4 35 80 1,600
25
1 36 25
625
27
1 37 27
729
TOTAL 37
689 12,971
a) Mo=18 años, dado que tiene la frecuencia absoluta mayor (f 2=22).
b) Para hallar la mediana ha de procederse de la forma siguiente:

Se hace N/2 = 18.5.

Se busca la frecuencia absoluta acumulada (Fi) que incluye N/2 y
está más próximo a él. En esta caso será la correspondiente al
segundo valor (N2=27); por lo tanto la mediana será ese valor: Me
= 18 años.
c) La media aritmética es:
𝑥̅ =
∑6𝑗=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑁
=
689
= 18.622 𝑎ñ𝑜𝑠
37
Caso 3.
A 100 sujetos se les preguntó el número de horas que veían TV cada día. Con
las respuestas que dieron se ha elaborado la distribución siguiente:
xi
1
2
3
4
5
fi
13
38
33
11
5
Determina:
a) La moda y la mediana
b) La media aritmética
3
Solución.
La tabla que aparece a continuación facilita el cálculo de las medidas
requeridas:
xi
fi
Fi xi fi xi2- fi
1
13 13 13
13
2
38 51 76 152
3
33 84 99 297
4
11 95 44 176
5
5 100 25 125
TOTAL 100
257 763
a) La moda es Mo = x2 = 2 horas, que es el valor que tiene la frecuencia
absoluta mayor (f2=38).
Para la mediana se hace N/2 = 50 y se busca la frecuencia absoluta
acumulada que incluye N/2 y está más próxima a ese valor. En este
caso sería el segundo vlor con N2=50, y, por lo tanto, la Me = x2 = 2
horas.
b) La media aritmética es:
𝑥̅ =
∑5𝑗=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑁
=
257
= 2.57 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
100
Caso 4.
En un estudio sobre gustos y hábitos de los jóvenes respecto a la música, se
les preguntó ¿Cuánto te gastas al es en discos compactos (CD’s)? Los veinte
primeros entrevistados respondieron, en euros, lo siguiente:
4
CASO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
9
12
0
14
8
15
16
18
20
0
15
14
20
11
0
5
6
12
18
14
Sin hallar previamente la distribución de frecuencias, determina:
a) La moda, la mediana y la media aritmética.
Solución.
La tabla siguiente, donde se han ordenado las respuestas de menor a mayor,
facilita el cálculo de las medidas requeridas:
5
Orden CASO xi
1
3
0
2
10
0
3
15
0
4
16
5
5
17
6
6
5
8
7
1
9
8
14
11
9
2
12
10
18
12
11
4
14
12
12
14
13
20
14
14
6
15
15
11
15
16
7
16
17
8
18
18
19
18
19
9
20
20
13
20
227
a) Moda (Mo): Hay dos modas, Mo1 = 0 euros y Mo2 = 14 euros, ambas con
una frecuencia absoluta (fi) = 3.
Mediana (Me): Es aquél valor que acumula el 50% de la población o de
la muestra. En éste caso es, al hacer N/2, el 10° valor, esto es Me = 12
euros.
Media aritmética (𝑥̅ ):
𝑥̅ =
∑20
𝑗=1 𝑥𝑖
𝑁
=
227
= 11.35 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
20
Caso 5.
En el estudio planteado en el problema anterior y para la misma pregunta,
¿Cuánto te gastas al mes en discos compactos?, el resultado para los 100
primeros entrevistados viene recogido en la distribución siguiente:
6
xi fi
0 15
3 2
4 5
5 7
6 7
7 4
8 6
9 10
10 8
11 1
12 8
13 3
14 6
15 4
16 3
17 1
18 3
19 1
20 5
22 1
Determina:
a) La moda, la mediana y la media aritmética.
Solución
La tabla siguiente facilita el cálculo de las medidas requeridas:
xi
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
fi
15
2
5
7
7
4
6
10
8
1
8
3
6
4
3
1
Fi
15
17
22
29
36
40
46
56
64
65
73
76
82
86
89
90
xi fi
0
6
20
35
42
28
48
90
80
11
96
39
84
60
48
17
xi2- fi
0
18
80
175
252
196
384
810
800
121
1152
507
1176
900
768
289
7
18
3
93 54
972
19
1
94 19
361
20
5
99 100 2000
22
1 100 22
484
TOTAL 100
899 11445
a) Ahora en vez de haber dos modas hay una que es Mo = 0 euros (en el
problema anterior además era moda 14 euros) con fi = 15.
Para la mediana se hace N/ 2 = 50 y se busca la frecuencia absoluta
acumulada que incluye N/2 y está más próxima al resultado de ese
cociente. En esta caso sería el octavo valor con F8 = 56, y, por lo tanto,
la Me = x8 = 9 euros (en el problema anterior era 1 euros).
Media aritmética (𝑥̅ ):
𝑥̅ =
∑20
𝑗=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑁
=
899
= 8.99 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
100
En el problema anterior era 11.35 euros.
Fuentes de información
Rubio Andrada, Luis., Marco Crespo, Rocío., Estadística aplicada a los
negocios y la economía., Editorial McGraw-Hill., Madrid, España.
8