2) Expresa como un solo logaritmo, Solución

Problemas de propiedades de logaritmos
x
) + ln 4 ex 2
x
1) Simplifica ln(
Solución:
ln(
x
) + ln 4 ex 2
x
1
1
x2
= ln( ) + ln(ex 2 ) 4
x
1
−
1
= ln( x 2 ) + ln(ex 2 )
4
1
1
= − ln x + (ln e + ln x 2 )
2
4
1
1
1
= − ln x + ln e + ln x 2
2
4
4
1
1 2
= − ln x + + ln x
2
4 4
1
1 1
= − ln x + + ln x
2
4 2
1
=
4
2) Expresa como un solo logaritmo,
log( x 2 + 1) log x
−
=
3
2
Solución:
log( x 2 + 1) log x
−
3
2
1
1
= log( x 2 + 1) − log x
3
2
1
3
= log( x + 1) − log x
2
1
2
= log 3 x 2 + 1 − log x
x2 + 1
= log
x
3
3) Expresa como un solo logaritmo, log 2 (3x) − log 2 3 + 4 log 2 x − log 2 ( xy ) =
Solución:
log 2 (3 x) − log 2 3 + 4 log 2 x − log 2 ( xy )
= log 2 (3 x) + 4 log 2 x − log 2 3 − log 2 ( xy )
= log 2 (3 x) + log 2 x 4 − (log 2 3 + log 2 ( xy ))
= log 2 (3 xx 4 ) − log 2 (3 xy )
3x5
= log 2
3 xy
x4
= log 2
y
4) Si logb 2 = .30 y log b 3 = .48 halla log b 216
Solución:
log b 216
= log b 27(8)
= log b 27 + log b 8
= log b 33 + log b 23
= 3log b 3 + 3log b 2
= 3(.48) + 3(.30)
= 1.44 + .90
= 2.34
5) Expresa como una suma de logaritmos a ln 3 x 2 y =
Solución:
ln 3 x 2 y
(
= ln x
2
y
(
)
1
3
)
1
= ln x 2 y
3
1
= (ln x 2 + ln y )
3
1
1
1
2
= ln x + ln y 2
3
3
2
11
ln y
= ln x +
3
32
2
1
= ln x + ln y
3
6
6) La venta anual de autos está dada aproximadamente por
autos vendidos donde t = 1 corresponde a el año 2001.
a) ¿Cuántos autos se venderán en 2007?
b) ¿En que año se llegará a 6 millones de autos vendidos?
Solución:
a) En el 2007 se venderán aproximadamente
f (7) = 1.66 + 1.91ln 7 = 1.66 + 1.91(1.95)
= 1.66 + 3.72 = 5.38
b) Hallar el valor de t para el que f (t ) = 6
1.66 + 1.91ln t = 6
1.91ln t = 4.34
4.34
= 2.27
1.91
t = e2.27 ≈ 9.67
ln t =
Aproximadamente en el año 2010.
f (t ) = 1.66 + 1.91ln t en millones de
1
2
1
4
7) Expresa como un solo logaritmo a log 3 5 − 2 log 3 x − log 3 y + 3log 3 z + log 3 w
Solución:
1
1
log 3 5 − 2 log 3 x − log 3 y + 3log 3 z + log 3 w
2
4
1
1


= log 3 5 + log 3 z 3 + log 3 w 4 −  log 3 x 2 + log 3 y 2 


(
)
(
= log 3 5 z 3 4 w − log 3 x 2 y
= log 3
)
5z 3 4 w
x2 y
 x2 y 
8) Expande como una suma de logaritmos a log  3 
 y 


Solución:
1
1
 x2 y 
 = log x 2 y − log 3 y = log ( x 2 y ) 2 − log y 3
log 
 3 y 


1
1
1
1
= log ( x 2 y ) − log y = ( log x 2 + log y ) − log y
2
3
2
3
1
1
1
1
= log x 2 + log y − log y = log x + log y
2
2
3
6
9) ¿Cuál de las siguientes fórmulas no es cierta?
a) ln ( xy ) = ln x + ln y
b) ln ( x − y ) = ln x − ln y
c) ln x n = n ln x
Solución: b) no es cierta
10) Simplifica a log 2
(
)
x 2 + 2 + 2 − 2 log 2 x + log 2
Solución:
log 2
(
)
x 2 + 2 + 2 − 2 log 2 x + log 2
(
)(
(
x2 + 2 − 2
)
 x2 + 2 + 2
x2 + 2 − 2 


= log 2 
2

x




 x2 + 2 − 2 
x2
log
= log 2 
=

2 2 = log 2 1 = 0
x2
x


)
(
x2 + 2 − 2
)
11) Si log 2 ( 5 x + 3) = 3 ¿Cuánto es x?
Solución:
2 2 ( ) = 23
5x + 3 = 8
5x = 5
log 5 x + 3
x =1
9x2 x + y
=
12) Expande a log 3
y3
Solución:
9x2 x + y
= log 3 9 + log 3 x 2 + log 3 x + y − log3 y 3
y3
1
= 2 + 2 log 3 x + log 3 ( x + y ) − 3log3 y
2
log 3
13) log8 8
x2 + y 2
=
Solución:
log8 8
x2 + y 2
= x2 + y 2
1
2
14) Simplifica 3ln x − ln x =
Solución:
1
3ln x − ln x = 3ln x − ln x = 2 ln x = ln
2
= ln x
15) log100 ( −.01) =
a) −2
b) −1
c) 1
d) no está definido
Solución:
d) no está definido
( x)
2