trisección de un ángulo con la hipérbola de pappus

TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO CON
LA HIPÉRBOLA DE PAPPUS
Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez1
Benjamin R. Sarmiento Lugo2
Universidad Pedagógica Nacional
[email protected]
Universidad Pedagógica Nacional
[email protected]
RESUMEN
En este artículo se presentan la construcción de la curva mecánica conocida como
hipérbola de Pappus, usada desde hace varios siglos para darle solución al problema de
la trisección de un ángulo, uno de los problemas clásicos de la geometría griega;
además se describe en forma abreviada cómo usarla para tal fin. Para lograr la curva
mediante los pasos que aquí se presentan se sugiere usar el software de geometría
dinámica Cabri II Plus. Se aclara que con esta curva no se resuelve el problema con su
planteamiento original, pero se presenta una solución mezclando el ingenio de los
antiguos con la potencialidad de los programas de geometría dinámica.
INTRODUCCIÓN
Cuando se hace una revisión bibliográfica de artículos, documentos electrónicos y libros de
texto con el fin de encontrar detalles sobre las construcciones geométricas de curvas
mecánicas y mecanismos físicos usados para resolver los tres problemas clásicos de la
geometría griega, no se encuentran suficientes fuentes sobre el tema, a excepción de algunos
sitios en la red Internet que abordan esta temática de manera incompleta. Lo anterior ha
motivado la realización de un trabajo sobre curvas y mecanismos inventados a lo largo de la
historia para resolver estos problemas. Aquí se presentará una de ellas, la hipérbola de
Pappus, inventada para resolver el problema de la trisección del ángulo.
El problema de la trisección del ángulo, consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres
partes iguales usando únicamente la regla y el compás. Hay varias razones por las cuales este
problema difiere de los otros problemas clásicos griegos: primero, no hay una historia real
que relate la manera cómo el problema llegó a ser estudiado por primera vez; segundo, es un
problema de otro carácter, ya que no es posible cuadrar un círculo ni duplicar un cubo, pero
sí es posible trisecar ciertos ángulos. La primera curva creada para resolver este problema, se
atribuye a Hipias de Elis y aparece en el siglo V a.C. Esta curva apareció antes de las cónicas
y permitía no solo dividir un ángulo en tres partes sino en cualquier número de partes. En la
antigüedad el problema también es resuelto por Arquímedes de Siracusa con su espiral
uniforme, por Nicomedes con su Concoide y por Pappus con su Hipérbola. En los últimos
cuatro siglos aparecen otros mecanismos y curvas para resolver el problema, tales como la
cicloide de Ceva, el caracol y el trisector de Pascal, la trisectriz de Maclaurin, la trisectriz de
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Licenciada en Matemáticas – Universidad Pedagógica Nacional
Magíster en Educación Matemática – Universidad Pedagógica Nacional
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Catalán, la trisectriz de Delanges, la trisectriz de Longchamps y la espiral de Durero, entre
otros.
En 1837, Pierre Wantzel publicó en el Journal de Liouville la demostración del siguiente
teorema: “Un número real es construible con regla y compás si verifica dos condiciones
(además son necesarias y suficientes): (1) El número es algebraico sobre Q; (2) El polinomio
irreducible que lo contiene como raíz es una potencia de 2”. Con este resultado Wantzel pone
fin a la antigua polémica sobre si un problema geométrico puede o no ser resuelto mediante
regla y compás, demostrando así que los tres problemas son irresolubles con las condiciones
impuestas en sus inicios.
1. HIPÉRBOLA DE PAPPUS
En el 340, Pappus de Alejandría manifiesta que Apolonio de Perga había resuelto el
problema de la trisección del ángulo usando curvas cónicas. La solución de Pappus aparece
en el libro IV de sus Colecciones Matemáticas. Pappus consideraba que se debían usar las
curvas clásicas en ese entonces: la recta, el círculo y las cónicas. Para la trisección del ángulo
utiliza la hipérbola equilátera.
Sus ecuaciones son las siguientes
Ecuación cartesiana: ( 3x 2 - y 2 ) = 4ax
Ecuación polar: ρ = 2a
Sen2θ
Sen3θ
⎧⎪ x = at 2
Ecuaciones paramétricas: ⎨
3
⎪⎩ y = at
3. CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA DE PAPPUS.
1. Trazar un segmento AB.
2. Trazar la recta m mediatriz del segmento AB.
3. Sea M punto de intersección del segmento AB con la mediatriz m.
4. Trazar la circunferencia CA con centro en A y radio AM.
5. Trazar la circunferencia CB con centro en B y radio BM.
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6. Sea C un punto sobre la circunferencia CA.
7. Trazar la circunferencia CC con centro C y radio CM.
8. Sea D la otra intersección entre las circunferencias CC y CA.
9. Sea E el simétrico del punto E con respecto a la recta m.
10. Trazar las semirrectas AC y BE (aquí tenemos que la medida del ángulo ABE es el doble
de la medida del ángulo BAC).
11. Sea P el punto de intersección entre las semirrectas AC y BE.
12. Sea Q el simétrico del punto P con respecto a la recta m.
13. El lugar geométrico generado por los puntos P y Q cuando se mueve C sobre la
circunferencia CA es la Hipérbola de Pappus.
Figura 1
3. USO DE LA HIPÉRBOLA DE PAPPUS
Para trisecar el ángulo BHA se deben seguir los siguientes pasos:
1. Ocultar todos los elementos construidos excepto la Hipérbola y los puntos A y B.
2. Sea G un punto sobre la hipérbola.
3. Trazar los segmentos AG y BG.
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4. Sean l y n las mediatrices de los segmentos AG y BG, respectivamente.
5. Sea H la intersección de las mediatrices l y n.
6. Trazar las semirrectas HA y HB (a medida que se mueve el punto G, varia el ángulo
BHA, (ángulo a trisecar).
7. Trazar la semirrecta HG.
La medida del ángulo BHG es un tercio de la medida del ángulo BHA.
Figura 2
Se pueden obtener otras trisecciones al realizar los siguientes pasos:
8. Trazar la semirrecta HM.
9. Sea S punto de intersección entre el segmento BG y la recta n.
10. Trazar la semirrecta v que pasa por los puntos B y G.
11. Sea T la intersección entre la semirrecta v y la mediatriz l.
12. Trazar la semirrecta AT.
13. Las medidas de los ángulos BHS, SHG y GHM son iguales y son un tercio del ángulo
BHM.
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14. Los ángulos BHG, GHT y THA son iguales y son un tercio del ángulo BHA.
15. el ángulo BAG es un tercio del ángulo MHA.
16. El ángulo ABG es un tercio del ángulo BHA.
Figura 3
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Álvarez, J. (2006), Curvas en la historia. España. Nivola Libros Ediciones.
Boyer, Carl. Historia de las matemáticas, Madrid editorial,1996
Fuller, G. y Tarwater, D. Geometria Analítica. Eddison Wesley. Iberoamericana.
Wilmington, 1995.
Hitt, F. y Filloy, E. Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamérica. México, 1997.
Kline, Morris. El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid,
Editorial Alianza. Tomos I , II y III.
Lehmann, Charles. Geometría Analítica. Editorial Limusa. Máxico, 1994.
De Andres, Luis C. De las trisectrices, la cicloide y otras curvas.
En http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/03-04/PG03-04-lcandres.pdf
Escribano, J. y Pérez, M. Problemas clásicos de geometría desde un punto de vista actual.
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En http://webpages.ull.es/users/revmat/geometria/inicio/musuario.pdf
http://www.mathcurve.com/
http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html
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