ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos
ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos
Dimensiones adecuadas
- sin interferencia
- esfuerzos por Ntransmitida
- grado recubr. adecuado
- choques
- bajo nivel ruido
- desgaste
Cálculo
geométrico
Cálculo
resistente
Dext, Dint
Dp, b, Z, M,
Grado recub.
tratam. Sup.
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Geometría
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Paso circunferencial
pc =
πDp
z1
=
πd p
z2
Módulo (normalizado)
pc Dp d p
M= =
=
π
z1 z 2
Paso Diametral
(Diametral Pitch)
z1 z 2
pd =
=
Dp d p
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Geometría: normalización
Diámetro exterior:
De = Dp + 2 a
para a = M:
Dext = (Z + 2) M
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Geometría: Interferencia
El problema de interferencia o socavación aparecerá cuando el
contacto se intente producir por debajo de la circunferencia base. En
este caso la trayectoria del punto de contacto, punto "C", al ser el
punto "I" centro instantáneo de rotación relativo, intenta penetrar en
el diente de la otra rueda produciendo la interferencia y si el punto "C"
fuese de la herramienta, produciría la socavación.
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La circunferencia de cabeza de la rueda
"1" no debe pasar más allá del punto
"T2". En la figura se representa el radio
máximo de cabeza de la rueda "1" para
que no le produzca interferencia o
socavación a la rueda "2".
Esta interferencia limita la altura de la
cabeza del diente.
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Para engrane sin interferencia, contacto
debe realizarse dentro de los límites g-e
de la línea de presión.
Analizado geométricamente el diámetro
máximo exterior Ae, de la cabeza del
diente del engranaje conducido A está
dado por la expresión:
(Ag)2 + (ge)2
Ae = R + ht =
R 2 cos 2α+ (R + r )2 sen 2α
R=
MZ R
2
r=
MZ r
2
ht = a M
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Para una relación conocida de a y conociendo el ángulo de
presión α, se puede obtener el número mínimo de dientes
Zr del piñón que puede engranar con una rueda de ZR
dientes, sin interferencia entre ambos. Para el mismo piñón
de Zr dientes, solo podrán engranar con él ruedas de menor
número de dientes que ZR, ya que para ruedas de mayor
cantidad de dientes habrá interferencia. Para un piñón de Zr
dientes y una cremallera ZR = ∞
4a (z R + a )
z + 2z r z R =
sen 2α
2
r
2a
zr =
sen 2α
La curva que expresa estos valores es
una hipérbola de asíntota horizontal
para ZR = ∞ (cremallera), que para el
caso de un diente de altura completa
(a = 1) y un ángulo de presión de 20°
vale 17, lo que significa que un piñón
con 17, o más dientes, no tendrá
interferencia con una cremallera o
con cualquier otra rueda.
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Tipos de fallas
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2 Zonas de
altas tensiones:
- Raíz del diente (tensión de flexión)
-Punto de contacto (tensión superficial)
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,
Fuerzas y tensiones
en los dientes
y
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N = Ft V
V=WR=2∏Rn
Para N en HP, R en cm y v en m/s
resultan Ft, Fr y Fn en kg:
2πR n
v=
60.100
Ft .v
N=
75
Ft .R.n
N=
71620
71620 N
Ft =
R n
71620 N
Fr =
tgα
R n
71620 N 1
Fn =
R n cosα
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Métodos de cálculo: Flexión en la base
Lewis
Lewis-Barth
Buckingham
Norma AGMA
Métodos de cálculo: fatiga superficial
Buckingham
Norma AGMA
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Métodos de cálculo: FLEXIÓN
Como el esfuerzo de compresión es
pequeño comparado con el de flexión, su
efecto sobre la resistencia del diente se
suele omitir en los cálculos
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Métodos de cálculo: Wilfred Lewis (1892)
Hipótesis simplificativas:
- Diente empotrado en cuerpo del engrane
- Solicitación estática de flexión
- Carga uniforme en el ancho
- Carga aplicada en el extremo del diente
Objetivo:
Determinar la fuerza tangencial máxima que puede transmitir.
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Momento flector:
Mf = Ft h = W σf
W (módulo resistente a la flexión, para rectángulo = b t² / 6)
b. t 2
Ft.h =
σ
6 f
p/sólido de igual resistencia:
σ=cte
Y como b=cte
h=
Sólido de igual resistencia a la flexión
determina la sección de empotramiento
σ.b 2
t = Cte t 2
6.Ft
que es la ecuación de una parábola
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b. t 2
Ft.h =
σ
6 f
Como t y h son funciones del paso:
t²/6h = y p
y: factor de forma
función de Z p/valor particular de α
y del punto de aplicación de carga
tabulado p/perfiles normalizados
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Z
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
23
25
27
30
34
38
43
50
60
75
100
150
300
Cremallera
Ø = 14.5°
0.056
0.067
0.070
0.072
0.075
0.077
0.080
0.083
0.087
0.090
0.092
0.094
0.097
0.100
0.102
0.104
0.107
0.110
0.112
0.114
0.116
0.118
0.120
0.122
0.124
Ø = 20°
0.064
0.078
0.083
0.088
0.092
0.094
0.096
0.098
0.100
0.102
0.104
0.106
0.108
0.111
0.114
0.118
0.122
0.126
0.130
0.134
0.138
0.142
0.146
0.150
0.154
Stub Ø = 20°
0.083
0.099
0.103
0.108
0.111
0.115
0.117
0.120
0.123
0.125
0.127
0.130
0.133
0.136
0.139
0.142
0.145
0.147
0.151
0.154
0.158
0.161
0.165
0.170
0.175
Ø = 25°
0.076
0.088
0.093
0.098
0.102
0.106
0.109
0.112
0.115
0.118
0.120
0.124
0.128
0.131
0.135
0.140
0.144
0.148
0.152
0.156
0.161
0.166
0.171
0.176
0.180
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Con:
b. t 2
Ft.h =
σ
6 f
y
t²/6h = y p
F t = y b σf p
Para obtener fuerza tangencial máxima admisible:
σf = σadm ≈ σrot/3
Fb = b y p σadm
Para un diseño adecuado
Fb ≥ Ft
71620 N
Ft =
R n
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Estimación del tamaño del engrane:
DISEÑO
Estimación de tamaño
(prediseño)
Formulas empíricas, recomendaciones,
experiencia, métodos simples (Lewis)
Verificación
Formulas más exactas (Buckingham),
normas (AGMA, ISO)
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ecuación de Lewis para cálculos preliminares de diseño
Fb ≥ Ft
Partimos de la igualdad:
Fb = b[cm] y p[cm] σadm[Kg/cm2] = Ft [Kg] = 71620 N[HP] / (n[rpm] R[cm])
se considera como buena
la siguiente proporción:
2.5 p < b < 4 p ó
como Dp = ( p / π ) Z
8 M < b < 12.5 M
Es decir, b = r p
Fb = r y p2 σadm
Ft = 71620 N / [ n ( p Z / 2 π ) ]
Ft = 450.000 N / ( n p Z )
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Fb = r y p2 σadm
Fb = F t
Ft = 450.000 N / ( n p Z )
p = 76,6
3
N
ρ y σadm n Z
- N y n, así como i, son condiciones a cumplir por el diseño
- Adoptar: α (generalmente 20°), material para el engranaje y Z
(según recomendaciones o criterios adecuados, por ejemplo, adoptar el número mínimo de dientes
necesarios para que no se produzca interferencia a fin de obtener las mínimas dimensiones exteriores)
Con p se calcula M, se redondea hasta el valor estandarizado inmediato superior;
después, por los valores de r y Z, se determinan los diámetros de las ruedas y su ancho,
luego de acuerdo a las proporciones estándar se obtienen las restantes dimensiones:
diámetro exterior e interior, etc.
ya se tienen los engranajes para realizar las verificaciones según Buckingham o AGMA
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Esfuerzos en los apoyos
No importa la perfección con que se diseñe y fabrique un engranaje, éste debe ser
montado correctamente para tener un funcionamiento libre de fallas.
La función de un engrane es transmitir movimiento y/o potencia. La función del
soporte es crear un estado de equilibrio. Como un engrane es un cuerpo que gira o
está en movimiento, debe obtenerse un estado de “equilibrio dinámico”, es decir,
la totalidad de las fuerzas de trabajo y momentos de entrada deben ser igualados
por la totalidad de fuerzas y trabajo de salida.
“la suma de todas las fuerzas debe ser
igual a cero y la suma de todos los
momentos debe ser igual a cero”
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todas las reacciones de los engranajes pueden
ser descompuestas en fuerza tangencial, fuerza
radial o separadora y empuje axial
sin importar el número de momentos
o de fuerzas que actúen sobre un
engrane, todos pueden concretarse a
dos tipos básicos de carga que son:
axial y radial
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos
Hay dos tipos básicos de estructuras de montaje: doble soporte o entre apoyos (izquierda) y voladizo o cantilever (derecha).
Las reacciones de los apoyos actúan en dirección
opuesta a la de las cargas producidas por los
engranajes
Las cargas no actúan en el mismo sentido, la reacción
en el apoyo más cercano al punto de carga es opuesta
a dicha carga, la reacción en el más distante actúa en
el mismo sentido que el de la carga aplicada.