FUNCIONES ANALÍTICAS – Fa.M.A.F. – A˜no 2016 Práctico 2 1

FUNCIONES ANALÍTICAS – Fa.M.A.F. – Año 2016
Práctico 2
1. Mostrar que f (z) = |z|2 = x2 + y 2 tiene derivada sólo en el origen.
2. Mostrar que para toda sucesión {an }n∈N en R se tiene que lı́m inf an ≤ lı́m sup an .
Además, si {an }n∈N es convergente en R y a = lı́m an , entonces a = lı́m inf an =
lı́m sup an .
3. Sean {an }n∈N y {bn }n∈N sucesiones de números reales acotadas. Probar que
(i) lı́m sup(an + bn ) ≤ lı́m sup an + lı́m sup bn .
(ii) lı́m inf(an + bn ) ≥ lı́m inf an + lı́m inf bn .
(iii) (lı́m inf |an |)(lı́m inf |bn |) ≤ lı́m inf |an bn |.
(iv) (lı́m sup |an |)(lı́m sup |bn |) ≥ lı́m sup |an bn |.
4. Sean an , bn ∈ R>0 y supongamos que a = lı́m sup an y 0 < b = lı́m bn < ∞. Probar que
lı́m sup an bn = ab. ¿Sigue siendo esto válido si no se pide el requisito de positividad?
1
5. Mostrar que lı́m n n = 1.
6. Sean f y g funciones diferenciables (analı́ticas) probar que:
(i) f + g es diferenciable (analı́tica) y (f + g)0 (z) = f 0 (z) + g 0 (z).
(ii) f g es diferenciable (analı́tica) y (f g)0 (z) = f 0 (z)g(z) + f (z)g 0 (z).
(iii) si g 6= 0, entonces f /g es diferenciable (analı́tica) y
0
f
f 0 (z)g(z) − f (z)g 0 (z)
(z) =
.
g
(g(z))2
7. Probar que cos(z) = 12 (eiz + e−iz ) y sen(z) =
1
(eiz
2i
− e−iz ).
8. Probar que las series que definen cos(z) y sen z tienen radio de convergencia R = ∞.
9. Mostrar que (cos z)0 = − sen z y (sen z)0 = cos z.
10. Describir los siguientes conjuntos:
(i) {z ∈ C | ez = i}.
(iv) {z ∈ C | cos(z) = 0}.
(ii) {z ∈ C | ez = −1}.
(v) {z ∈ C | sen(z) = 0}.
(iii) {z ∈ C | ez = −i}.
11. Sean z := reiθ y zn := rn eiθn , con −π < θ, θn < π y n ∈ N, elementos en G := C \ {z ∈
R | z ≤ 0} tales que lı́m zn = z. Probar que lı́m θn = θ y que lı́m rn = r.
n→∞
n→∞
n→∞
2
12. Sean G como en el ejercicio anterior, n ∈ Z y f : G → C una rama del logaritmo. Probar
que z n = exp(nf (z)), ∀z ∈ G.
1
13. Mostrar que la parte real de la función z 2 es siempre positiva.
14. Sean G := C \ {z ∈ R | z ≤ 0} y n ∈ N. Hallar todas las funciones analı́ticas f : G → C
que satisfacen z = (f (z))n , ∀z ∈ G.
15. Sean A ⊂ C conexo y f : A → C analı́tica. Mostrar que si f (z) es real para todo z ∈ A,
entonces f es constante.
16. Para cada r > 0 fijo determinar el conjunto {exp( z1 ) | 0 < |z| < r}.
17. Encontrar un conjunto G ⊂ C abierto y conexo y dos funciones continuas distintas f y g
definidas en G tal que (f (z))2 = (g(z))2 = 1 − z 2 , para todo z ∈ G. ¿Podemos tomar G
maximal? ¿Son f y g analı́ticas?
√
18. Dar la rama principal de 1 − z.
19. Sean f, g : G → C ramas de z a y z b respectivamente. Mostrar que f g es una rama de z a+b
y que f /g es una rama de z a−b . Supongamos que f (G) ⊂ G y que g(G) ⊂ G; probar que
f ◦ g y g ◦ f son ramas de z ab .
20. Probar que no existe una rama del logaritmo definida en C \ {0}.
21. Para cada z ∈ C \ {0} definamos arg(z) como el único θ ∈ R, con 0 ≤ θ < 2π, tal que
z = r cis(θ) para algún r ∈ R>0 . Mostrar que arg(z) no es continua.