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Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014 / p.p. 25-32
STOCHASTIC ANALYSIS OF
ANÁLISIS ESTOCÁSTICO
CONTINUOSLY REINFORCED
DE PAVIMENTOS DE CONCRETO
CONCRETE PAVEMENTS
CON REFUERZO CONTINUO
Fecha de recepción: 19 de mayo de 2014
Fecha de aprobación: 16 de julio de 2014
Ing. Fabricio Leiva Villacorta, PhD.
Ing. Adriana Vargas Nordcbeck, PhD.
Laboratorio Nacional de Materiales y Modelos Estructurales (LanammeUCR)
Costa Rica
[email protected]
Laboratorio Nacional de Materiales y Modelos Estructurales (LanammeUCR)
Costa Rica
[email protected]
RESUMEN
Los pavimentos de concreto con refuerzo continuo son pavimentos de
uncertainty. The objectives of this study were to evaluate the design
concreto reforzados longitudinalmente con barras de acero y construidos
methodology for continuously reinforced concrete pavements using
sin el corte de juntas transversales de contracción. En este pavimento
a probabilistic analysis and to evaluate the variability of the design
resulta importante controlar el espaciamiento de grietas, ancho de grietas
parameters: crack spacing, crack width and steel stress. To accomplish
y nivel de esfuerzos en el acero a manera que se mantengan dentro de
these objectives, the variability of the material properties and slab thickness
ciertos límites que garanticen el buen desempeño del pavimento.
was included through the Monte Carlo simulation method for a case study.
La consideración de la variabilidad de las propiedades de los materiales
KEY
y la variabilidad en el espesor de la losa mediante un análisis estocástico
reinforcement, Monte Carlo simulation.
WORDS:
stochastic
analysis,
rigid
pavements,
continuous
puede servir al proceso de optimización del diseño y la reducción
de la incertidumbre. Los objetivos de este estudio son el de evaluar
la metodología de diseño de pavimentos de concreto con refuerzo
continuo usando un análisis probabilístico y evaluar la variabilidad de
los parámetros de diseño: espaciamiento de las grietas, el acho de las
grietas y el esfuerzo en el acero. Para esto, se incorporó la variabilidad
de las propiedades de los materiales y la variabilidad en el espesor de
la losa mediante la metodología de simulación de Monte Carlo para un
INTRODUCCIÓN
En pavimentos de concreto con refuerzo continuo el refuerzo
asume todas las deformaciones y específicamente las de
temperatura, con lo cual se eliminan las juntas de contracción. En
este tipo de pavimento, se permite que el concreto se agriete en
forma aleatoria como resultado de cambios de volumen derivados
caso de estudio.
de variaciones de temperatura y humedad. Sin embargo, el
PALABRAS CLAVES: análisis estocástico, pavimentos rígidos, refuerzo
restricción de la capa de base a manera de que se mantenga la
continuo, simulación de Monte Carlo.
transferencia de carga y la integridad del pavimento. Las grietas
agrietamiento se controla mediante el refuerzo de acero y la
en este tipo de pavimento aparecen típicamente cada 1.1 a
ABSTRACT
Continuously reinforced concrete pavements are rigid pavements that are
reinforced with steel bars in the longitudinal direction and are built without
transverse joints. In this type of pavements it is important to control crack
2.4 m (3.5 a 8 pies) (Huang 2004) y se mantienen controladas
gracias a una armadura de acero continua en el medio de la
calzada, diseñada para garantizar el buen comportamiento de la
estructura del pavimento
spacing and width, as well as the stress level in the steel bars so that
Las variables que controlan el diseño de pavimentos de concreto
these parameters remain within a range that will ensure good pavement
con refuerzo continuo son: el espaciamiento de las grietas, el
performance.
ancho de las grietas y el esfuerzo en el acero. Estas variables
Considering variability of material properties and slab thickness through
a stochastic analysis may help optimize the design process and reduce
deben ser controladas para optimizar los recursos y el desempeño
de la estructura de pavimento. La consideración de la variabilidad
de las propiedades de los materiales y la variabilidad en el espesor
Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014
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de la losa mediante un análisis estocástico puede servir al proceso
Un generador de números variables fue utilizado para el
de optimización del diseño y la reducción de la incertidumbre.
cálculo de variable aleatorias utilizando la metodología de Box
Una de las metodologías más comunes para análisis de variabilidad
y confiabilidad es la simulación de Monte Carlo (Harr, 1987). Esto
implica reproducir artificialmente cada distribución probabilística de
la variable de entrada, introduciendo los valores en la función, y
la obtención de la distribución de salida. La principal ventaja de
este método es que se determina la distribución de probabilidad
completa de la variable aleatoria dependiente. En pavimentos, esta
aleatorias independientes con una distribución normal con
S = - 2ln(U1) • cos (2πU2)
1 1.
desviación típica
S1 =
(2πU
S1 =- 2ln(U
) • cos
(2πU
- 2ln(U
1) •1cos
2) 2)
S1 = - 2ln(U1) • cos (2πU2)
S2 = - 2ln(U1) • sin (2πU2)
(1)
(2)
donde U1 y U2 son números aleatorios
en espesores de capa (Laszlo, 2012), en diseño de pavimentos
S2 =
(2πU
S2 =- 2ln(U
) • sin
(2πU
- 2ln(U
1) •1sin
2) 2)
S2distribución
sinutilizaron
(2πU2las
) ecuaciones
X=a =- µ2ln(U
σ1a)S•1se
Para variables con
normal,
a+
flexibles (Timm y otros, 1999) y desempeño de pavimentos
3 y 4 para generar variables aleatorias normalmente distribuidas.
metodología ha sido incorporada en la evaluación de la variabilidad
flexibles (Lu y otros, 2003). Una de las más recientes y reconocidas
aplicaciones de la metodología Monte Carlo se encuentra en la
Guía Mecanística-Empírica MEPDG (ARA Inc., 2004) la cual
Xaµ=a1)+
µ•aσcos
+a Sσ1(2πU
S1 = -X2ln(U
a=
a S1 2)
X
=
µ
+
σ
b X =b µ +b S
2 S
σ
S1 = - 2ln(U
a 1) •a cos (2πU
a 1 2)
(3)
Xb =
X µ=b +
µ σ+b Sσ2 S
(4)
b
b
b
2
Xb =)µ•bsin
+
b S2 2)
S2 = - 2ln(U
σxσ(2πU
1
ln
σ
=
+1 )
S2 = - y2ln(U1) • sin
µx (2πU
2
2 2
μ = promedio deSla
variable
(2πU2)
- 2ln(Uσ1x) •σcos
1=
x+ 21
ln
σ
=
ln
σ
=
+
1 )
y
Objetivo
SX1a == yµ-a2ln(U
+ σaµS1)1 µ
•σcos (2πU
x xx
σ = desviación estándar
de la ln
variable
σy =
+1 2
Los objetivos de este estudio son el de evaluar la metodología
Xa = µa + σa S1 µσx 2
de diseño de pavimentos de concreto con refuerzo continuo
= ln(µ
- y
Para variables con µdistribución
el promedio y la
+ σxb)S1lognormal,
SX2b ==y µ-b2ln(U
)2 • 2sin (2πU2)
usando un análisis probabilístico y evaluar la variabilidad de los
desviación estándar fueron convertidos
al
espacio
logarítmico
2
2
SX2bµ== =µ-bln(µ
y σ(2πU
+ σb) S1-)2 •σsin
2ln(U
y
2)
parámetros de diseño: espaciamiento de las grietas, el ancho de
µ
=
ln(µ
)
con las ecuaciones 5 y 6.y
2
x x
2 σ2y
µy =µln(µ
)
las grietas y el esfuerzo en el acero.
2
x
+σ
S
y
y 3
XcX=a =
eµ
σa + σa S12
σy = Xln= µ x+ 2σ+ S1
a
a 1
σaµxxyyS+σ
µ
µy+σ
3 yS3
Alcance
lnce=
(5)
σy =Xc =
+1
X
e
µµ
y+σ
yyS
4σ
µ
+
S
µ
+σ
S
y
3
XdXX
=
e
x
b=
b
b
2
Para cumplir con el objetivo de este estudio se consideró una
c=e
Xb = µb + σb S2
incorporación de la variabilidad de las propiedades de los
µy+σµyyS+σ
Xd =
Xde=
e 4σyyS24
materiales y la variabilidad en el espesor de la losa mediante
(6)
µy = ln(µ
)
-µ +σyS24 2 1.15
6.70
x
ft Xd = e y σ2σ
la metodología de simulación de Monte Carlo. Inicialmente se
yα
2.19
s
1.32 1 +µy =
σyln(µ
= x)ln1- + x 2 + 1(1 + φ)
donde
σ2α
consideró un escenario con datos de entrada para evaluar los
1000
µ
6.70 2
xx c +1.15
σf y5.20
=f 6.70ln
1 1.15
X
=
α
t
2.19 2.19
s αs
parámetros de diseño a nivel determinístico. Finalmente, con el
t
µ
1.32
6.70
1.32
1en+αX
1
+
(11.15
)1.79
x
μy = promedio
espacio
1w+= efµlog
1
+
+(1φ+
y+σyS3
φ)
α
2α
t(1 + P) 4.60
c 1000
análisis probabilístico se determinó la probabilidad de falla, el
s
11.32
+ 11000
+ c1000(1Z)+ φ)2.19
+ µy+σyS3 1 +(1c2α
X =X = 1000
5.20
Xc =1000
een5.20
nivel de confianza y el ajuste en el espesor de losa para optimizar
σy = desviación estándar
espacio log 2α
σ 2c
X =1 + αw αwµ =
4.60 4.60 y
1.79
ln(µ
)
)
(
1 + α yµ(y5.20
el diseño de la estructura.
1+σ+y(1SP
Z) Z)1.79
(
121000
+ 1000
4 +x P) 1σ+
X
=
e
1000
y
w
2
1.79
Variables aleatorias independientes
y S4 también obtenidas
d µ = ln(µ )S3- 4.60
1 + 1000
1 + P) 6.53 (1 + 1000Z)
y µy+σ(
yS4 x
=
e
2
de las ecuaciones X
11000
y
2
fueron
utilizadas
para
generar
variables
d
f
0.00932por 1medio
+ det las ecuaciones
(1 + φ)2.20
METODOLOGÍA
aleatorias lognormales
7 y 8.
6.70
1.15
1000
µ
+σ
S
y
y
3
6.53 6.53
ft Xc = e f4.91
α
CW
=
t yfsSt3 1.15
1.32 10.00932
µy+σ
6.70 1 +
+ 0.00932
)φ2.19
+φ+
(7)
Simulación de Monte Carlo
(6.53
)φ2.20
+ 2α
1(1+4.55
(
)2.20
1
ft1 +X1c σ=+w1e1000
α
1000
f
2.19
s
(
)
c
t
2.20
1000
1
+
P
1.32
11 ++
(1(1+ +φ)φ)
0.00932
X = CWCW
=1 +=1000
La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina
5.20 1000
µy4.91
+σ
S4
y4.91
2α
(8)
1000
X
=
e
c
α
d
σ
w
X = 1CW
4.55 4.551.79
conceptos estadísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad
wy+σ(
+ = 15.20+X1(1 ++=wPeσ)µ4.60
4.91
)
S14 +(11000
)
Z
y(
P+ P)
αw
σw4.60
d
0.425
4.09
1000
1.79
4.55
donde 1 + 1000
que tienen los ordenadores para generar números pseudo1(1++f1000
)
(
(
P
1
+
1000
1
+∆TP)Z)
t
1000 1 + 1000
47300
1+
aleatorios y automatizar cálculos (Samik, 2008). Para este caso
6.70
1.15
μy = promedio en espacio f1000
log
4.09 4.09 αs100 0.4250.4252.19
t
la metodología se utilizó para simular la variabilidad en las
1.15
σs = 1.32 1 + 3.14 ft 6.70
1 + ∆T ∆T
(1 + φ)
ft+ fft 2.746.53
α
1000
0.4252.19
4.09
2α
47300
1
+
s+
1
+
47300
1
1
σ
0.494
c
propiedades de varios materiales.
1.32
w
1 + 1en
+(1( +100
σy = desviación
espacio
2.20
(
ft t) 1log
∆T
1
+
φ)
X =10.00932
(
)
1000
1
+
P
1000
Z
100
+ estándar
1000
6.53
+
)
5.20
12α
1000
47300
1++c φ
1 +1000
σs =
f
1000
σ
=
α
t
2.20
w 3.141000
Xs = 0.00932
4.60
1.79
100
1 +5.20 (14.91
CW
1σ+w σ 3.14
0.494
+2.74P)(2.74(1 (+1 φ+) 1000
Z)0.494
σs =
=
ww (
α
1000
)
)
3.14
1000
1
+
P
1
+
1000
Z
(
)
(
)
1
+
4.60 1 + 1000Z 1.79
++ σ σw 1(1 ++ PP)2.74
4.55
CW = 111000
4.91 (1)+ P)((1 + 1000Z))0.494
+w
(
1
+
P
14.55+ 1000Z
1000
1 + 11000
σ
1000
w
1000
1 +43.5E
(1 + P)
c / Número 28 / Octubre, 2014
Revista Infraestructura Vial / LanammeUCR / ISSN: 2215-3705
100016
SC /=Volumen
+
488.6
6.53
6 4.09 f
10
t ∆T 0.425 2.20
f
6.53 (1 + φ)
0.00932
t c1 +
43.5E
43.5E
47300
0.425 2.20
1 f+t
4.09
1000
S 1=
+c 488.6
S +=
incorpora el análisis de variabilidad y determina la confiabilidad del
diseño y desempeño de la estructura de pavimento.
26
& Muller (1958). Las ecuaciones 1 y 2 definen las variables
donde
2
Xa = µa + σa S1
Xb = µb + σb S2
Estas ecuaciones
valores que
S = -fueron
) • cos para
(2πUproducir
)
2ln(Uutilizadas
1
1
2
representan
S = la variabilidad de espesor de la losa, módulo de
1
- 2ln(U1) • cos (2πU2)
reacción de la subrasante, módulo del concreto y el coeficiente
σy =
térmico del
S concreto.
= - 2ln(U
1
1) • cos (2πU2)
S2 = - 2ln(U1) • sin (2πU2)
S2 = de
- 2ln(U
Ecuaciones
análisis
1) • sin (2πU2)
La Figura 1 muestra parte de los parámetros críticos de diseño de
S2 = X-a2ln(U
= µa 1+) •σsin
a S1 (2πU2)
pavimentos con refuerzo
continuo.
Para este tipo de pavimento
X = µa + σagrietas
S1 de contracción térmica que
se espera quea se generen
ln
σx
µx
µy = ln(µx) -
2
+1
σy2
2
se controlan y diseñan
un espaciamiento y un
Xb = µpara
σb Stengan
b + que
2
Xa = µa + σa S1
ancho definidos.
entre grietas se controla para
Xb =Elµespaciamiento
b + σb S2
Xc = eµy+σyS3
minimizar el escalonamiento y el desprendimiento del concreto.
µbgrietas
+ σσb tengan
S2
Se diseña para X
que
una separación máxima
b =las
2
ln
σyy =una separación
+ 1 de 1.1 m (3.5 pies).
de 2.4 m (8 pies)
mínima
2x
σx µx
σy = ln
+1
2
µx se controla
El ancho de las grietas
para minimizar el
σ
x
escalonamientoσy evitar
la penetración
ln
+ 1de agua relacionado con
y=
x σy2de grieta permisible es de
el bombeo de finos. El ancho µ
máximo
µy =Finalmente,
ln(µx) - 2 el esfuerzo en el refuerzo de
1.0 mm (0.04 pulg).
σy 2
µy =para
ln(µprevenir
x) acero se controla
plásticas (Huang
2deformaciones
2
σ
2004) mediante una limitación del yesfuerzo aplicado del 75%
µy = ln(µ
x)del
yS3 acero. Las ecuaciones 9 a 11
del esfuerzo últimoX
ac =
tensión
eµy+σ
2
3
se utilizan para
de grietas, ancho de
Xccalcular
= eµy+σelySespaciamiento
grietas y el esfuerzo aplicado en el acero.
µy+σyS4
XXcd==eeµy+σyS3
EspaciamientoXde =
grieta
eµy+σyS4
d
X = eµy+σyS4
Figura 1. Elementos críticos deddiseño.
donde
ft =
X
1.32 1 +
=
ft
1000
6.70
1+
αs
2αc
1.15
(1 + φ)2.19
Esfuerzo a tensión
a los 28 días del concreto, psi
5.20
αw
1000
(
)4.60 (
)1.79
1 +entre coeficiente
1 +térmico
P
1 acero
+ 1000
αs/αc = razón
del
y elZcoeficiente
térmico del concreto (5 x 10-6 pulg/pulg/°F)
Φ =
diámetro de la barra de acero, pulg
6.53
ft
0.00932
(1 +psiφ)2.20
σw = esfuerzo
vertical de1 la+carga aplicada,
1000
CW =
4.91
P=
cantidad de acero σtransversal
como porcentaje
w
1
+
(1 + P)4.55
sección transversal de la losa, %
1000
de la
1.15
µy+σyS4
X f = e6.70
α
1.32 1 + d t6.70
1 + s1.15 (1 + φ)2.19
ft1000
αs 2αc
Z=
Coeficiente de contracción del concreto
(9)
1
+
(1 + φ)2.19
X1.32
= 1+
5.20
0.425
4.09
1000
2α
6.70
1.15
c
α
ft
∆T máximas y
wf
4.60
1.79
X=
α
ΔT
=
caída
de
temperatura
(entre
temperaturas
t
1
+
5.20
2.19
s
(1 +1P+) (1 + 1000
47300 1 +
1+
Zφ))
1.32α11000
+
(1 +1.79
100
1000
4.60 2α
mínimas
esperadas),
°F
1 + w 1000
(
)
(
)
1+P
1 +c1000Z
σs =
X = 1000
3.14
5.20
σ
0.494
αw
(1 + Pfue)2.74
(1 + 1000
El esfuerzo a1 tensión
calculado
utilizando
1.79
Z) el 86%
+ wdel concreto
Ancho de
Grieta
1+
(1 + P)4.60 (6.53
1 + 1000Z)
1000
1000
del módulo de ruptura (1). El módulo de ruptura fue calculado
ft
2.20
0.00932 1 + 6.53 (1 + φ)
utilizando la ecuación 12.
ft1000
2.20
1+
CW0.00932
=
( )
4.91 1 + φ
1000
6.53
σ
4.55
43.5Ec
w
(10)
CW =
1
+
(12)
4.91 ft
(
1
+(P) )2.20
SC =
+ 488.6
0.00932σw11000
+
1
+
φ
6
4.55
10
1000
1+
(
)
1+P
CW =
1000
4.91
σ
4.09
donde
4.55 0.425
1 + fwt
(1 + P)∆T
47300 1 +10004.09
1 + 0.425
Esfuerzo en Acero
ft1000
∆T100
SC = Modulo de ruptura, psi
0.316P 4log 1
1+
σs =47300 1 + 3.14
+ 1.069
=
σ
100
1000
w
0.425
4.09
σw
2
b
2.74
0.494
E
=
Módulo
del
concreto,
psi
h
σs =
f
∆T
C
(
)
(
)
1t + P 1 1+ + 1000Z
147300
+ 3.14
σw10001 (+
2.74
100Z)0.494
1000
1
+
P) (1 + 1000
1+
El esfuerzo aplicado por la carga de tránsito se calculó utilizando
(11)
σs = 1000
3.14
la ecuación de Westergaard para cargas internas en la losa
σ
(1 + P)2.74 (1 + 1000Z)0.494
1+ w
(Ecuación 13):
1000 43.5E
c
b = 1.6a2 + h2 - 0.675h
SC =
+ 488.6
6
43.5E10
c
SC =
+ 488.6
106
43.5E
SC = Vial /cLanammeUCR
+ 488.6 / ISSN: 2215-3705 / Volumen 16 / Número 28 / Octubre, 2014
Revista Infraestructura
106
0.316P 4log 1
+ 1.069
σw =
1 b
0.316P2
27
s
σ
1+ w
1000
3.14
C
(1 + P)2.7410
(1 + 1000Z)0.494
6
El esfuerzo aplicado en el acero depende de la resistencia a
0.316P 4log 1
+ 1.069
σw = c 2
43.5E
b
SC =
h
+
488.6
106
(13)
refuerzo. La Figura 2 muestra la relación entre esfuerzo permitido
para el acero y resultados de tensión indirecta del concreto para
donde
una barra Nº 5. Adicionalmente, para calcular el coeficiente de
σw = esfuerzo vertical de la carga aplicada, psi
contracción del concreto, se estableció su relación con la tensión
1
0.316P 4log
2 - 0.675h
++ h1.069
1.6a2 pulg
bde=contacto,
σwa= = radio
2
b
h
indirecta del concreto como se muestra en la Figura 3.
h = espesor de la losa, pulg
l
EJEMPLO DE ANÁLISIS
= radio de rigidez, pulg
b
= 1.6a2 + h2 - 0.675h
la tensión indirecta del concreto y del tamaño de la barra de
El siguiente escenario (Tabla 1) muestra los resultados de una
si a < 1.724h, de otra forma b=a
estructura de pavimento rígido con refuerzo continuo diseñado
previamente utilizando la metodología AASHTO 93. El proyecto se
diseñó para la carretera Interestatal I-80 en Nebraska. Los datos
de temperatura fueron obtenidos del sitio web de “High Plains
68,000
Regional Climate Center” (HPRCC 2006). Con esta información
66,000
se determinó que la temperatura alta promedio fue de 87 °F (30.1
y = 19.143x + 51638
R2 = 0.9891
°C) y que la temperatura baja promedio fue de 11 °F (11.7 °C),
64,000
lo cual resulta en una caída de temperatura de 76 °F (24.4 °C).
62,000
La metodología de diseño involucra el cálculo del espesor de la
losa para resistir las cargas de diseño y el cálculo del contenido
60,000
de acero longitudinal obtenido de las ecuaciones 9 a 11. El
contenido de acero de diseño se obtuvo a partir del valor máximo
58,000
calculado para las 3 condiciones críticas, que además fuera
56,000
200
300
500
400
600
700
800
900
mayor a 0.4%. En este caso este valor corresponde al parámetro
esfuerzo aplicado en el acero por lo que se determinó como
parámetro dominante del diseño. Además, el espesor de losa
obtenido fue de 8.0 pulgadas (20.3 cm) con un porcentaje de
acero longitudinal de 0.535% y se utilizó barras de acero #5
Figura 2. Esfuerzo permitido para barras de acero Nº 5. (Huang 2004).
(diámetro de 5/8 pulg).
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
0.0009
El análisis inició con la determinación de la aceptabilidad del
0.0008
diseño aplicando las ecuaciones 9 a 11. La Tabla 2 muestra los
y = -0.0007ln(x) + 0.00487
R2 = 0.99905
0.0007
valores de entrada y los resultados del análisis determinístico
0.0006
del diseño. Con esta información se verificó que el diseño
0.0005
era adecuado para resistir los esfuerzos aplicados según la
0.0004
metodología de diseño utilizada.
0.0003
El siguiente paso en el análisis fue la evaluación de la variabilidad
0.0002
en valores de entrada cuantificables como el espesor de la losa,
0.0001
0
200
el módulo de reacción de la subrasante, el módulo del concreto
300
400
500
600
700
800
y el coeficiente térmico del concreto. La Tabla 3 muestra los
coeficientes de variabilidad para estas 4 variables al igual que su
respectiva distribución estadística.
Figura 3. Relación entre deformación por contracción y resistencia a la tensión del concreto.
(Huang 2004).
28
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Tabla 1. Escenario de Diseño
Parámetro
Valor promedio
Variabilidad, COV% (Distribución)
Ubicación
I-80 Kearney, Nebraska
--
Espesor de Losa
8 pulg (20.3 cm)
5 % (Normal)
Módulo de reacción subrasante
200 pci
40 % (Lognormal)
Carga de diseño
6 000 lb (26.6 kN), 100 psi (690 kPa)
--
Módulo del Concreto
3 000 000 psi (20.7 GPa)
15 % (Lognormal)
Coeficiente térmico del Concreto
6*10-6/ºF
10 % (Normal)
Porcentaje de Acero
0.535 %
--
Tamaño de Barra
#5
--
Coeficiente térmico del Acero
5*10-6/ºF
--
Tabla 2. Análisis determinístico del diseño
Valores Estimados
Valores de entrada
Espaciamiento de
Ancho de grietas
Esfuerzo aplicado
Esfuerzo permitido
3.98 pies
0.0346 pulgadas
61 402 psi
61 829 psi
(1.21 m)
(0.88 mm)
(423.4 MPa)
(426.3 MPa)
grietas
∆TD
h
k
Carga
q
Ec
αc
P
φ
αs
76
8
200
6,000
100
3,000,000
6.0E-06
0.535
0.625
5.0E-06
ºF
pulg
pci
lb
psi
psi
/ºF
%
pulg
/ºF
l
a
b
σw
28.45
4.37
4.32
128.62
pulg
pulg
pulg
psi
S`c
ft
619.0
532.3
psi
psi
z
0.00041
pulg/pulg
La metodología de simulación de Monte Carlo con 2 000
Tabla 3. Variabilidad de parámetros evaluados
ciclos se utilizó para determinar distribuciones estadísticas de
los parámetros de respuesta críticos. Se determinó que 2 000
ciclos de simulación eran suficientes para obtener distribuciones
representativas y para estabilizar los valores promedio de las
variables respuesta. Como se ejemplifica en la Figura 4, el
promedio del espaciamiento de las grietas tiende a estabilizarse
Valores de entrada
h
k
Ec
αc
8
200
3 000 000
6.0E-06
pulg
pci
psi
/ºF
COV
5%
40%
15%
10%
Normal
Lognormal
Lognormal
Normal
σ
σy
µy
0.4
80
450 000
6E-07
0.39
0.15
5.22
14.90
para una cantidad de ciclos cercana a los 1 000 ciclos. Aun
así se llevó el análisis a 2 000 ciclos para mejorar la definición
de las distribuciones tanto de las variables de entrada como las
variables respuesta. Adicionalmente, en la Tabla 4 se muestran
los valores promedio y desviación estándar de la simulación para
todas las variables y para los 3 parámetros de diseño.
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29
Otra forma de verificar la simulación de la variabilidad de las
5.0
variables de entrada es por medio de su distribución por frecuencia
4.8
y frecuencia acumulada. La Figura 5 muestra tales distribuciones
4.6
para la variable espesor de losa. Como se esperaba tiene una
4.4
distribución normal con valores promedio y media de 8.0 pulg.
4.2
Los resultados de la simulación de los parámetros críticos
4.0
de diseño para 2 000 ciclos y utilizando 0.535% de acero se
3.8
muestran en la Tabla 5. De aquí se puede obtener lo siguiente:
3.6
•
3.4
Se espera que el espaciamiento promedio sea de 3.99 pies
(1.22 m) y la probabilidad de obtener espaciamientos de
3.2
grietas dentro del rango establecido (3.5 a 8.0 pies) es de
3.0
0
500
1000
1500
2000
86.9%.
•
Se espera que en promedio las grietas sean de 0.035 pulg
(0.89 mm)de ancho y la probabilidad de obtener anchos de
Figura 4. Media móvil para 2 000 ciclos de espaciamiento de grietas.
grieta menores a 0.04 pulg es de 100%.
Tabla 4. Resumen de la simulación de las variables de entrada
h
αc
k
Ec
l
b
σw
ft
z
Promedio
8.0
6.0E-06
202.0
299 807
29.0
4.33
130.0
532.3
4.1E-04
Des. Est.
0.40
6.1E-07
83.7
456 805
3.3
0.06
13.1
17.1
2.3E-05
Promedio
8.0
6.0E-06
200.3
3 003 931
29.1
4.33
129.8
532.5
NA
Des. Est.
0.40
6.0 E-07
80.9
440 799
3.2
0.06
12.8
16.5
NA
Promedio
8.0
6.0E-06
199.8
2 986 972
29.0
4.33
130.4
532.3
4.1E-04
Des. Est.
0.40
5.8E-07
79.1
452 891
3.2
0.06
13.1
16.9
2.2E-05
Valores de diseño
Espac. de
grietas
Ancho de
grietas
Esfuerzo
en Acero
100%
160
90%
140
80%
120
100
Frecuencia
Acumulada, %
80
distribuciones acumuladas para cada variable respuesta. Por
50%
ejemplo, se observa en la Figura 6 la distribución acumulada
20%
10%
0%
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
8.2
8.4
8.6
8.8
9.0
Espesor de Losa (pulg)
9.2
9.4
permitido promedio 61 828 psi (426.3 MPa) es de 40.7%.
60%
30%
0
213 psi (422.1 MPa) y la probabilidad de exceder el valor
La probabilidad de cumplimiento o de falla fue calculada utilizando
40
20
Se espera que en promedio el esfuerzo en el acero sea de 61
70%
40%
60
•
para el espaciamiento de grietas. Nótese como el 86.9% de los
datos se encuentra dentro del rango requerido. Para un 40.7% de
probabilidad de falla o excedencia en el acero indica que es más
probable que se presenten deterioros asociados a la potencial
baja capacidad soportante y transferencia de carga del acero; en
este caso deformaciones o ahuellamientos en el pavimento.
El diseño original fue ligeramente modificado para mejorar con
los requerimientos y se estableció un porcentaje de cumplimiento
Figura 5. Distribución por frecuencia para la variable Espesor de Losa.
30
para todos los parámetros del 75%. Un incremento en el contenido
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Tabla 5. Resultados del análisis
Parámetro
Espaciamiento de
grietas, pies
Ancho de grietas, psi
Esfuerzo aplicado, psi
Esfuerzo permitido, psi
Promedio
3.988
0.035
61 213
61 828
Desviación Estándar
0.454
0.001
3622
321
COV
11.4%
0.2%
5.9%
0.5%
MAX
6.169
0.048
0.42
0.51
MIN
2.704
0.026
78 421
63 568
% Sobre valor límite
86.9%
NA
NA
NA
% Bajo valor límite
100%
100%
59.3%
NA
de acero produce una disminución en el esfuerzo que recibe el
acero debido a la carga aplicada y por lo tanto disminuye la
probabilidad de falla en el parámetro del esfuerzo aplicado en
el acero. Sin embargo, a la vez se disminuye el cumplimiento del
espaciamiento de grietas al producir grietas más cerca unas de
otras. Por esto, no se puede obtener un 100% de cumplimiento
para los 3 parámetros simultáneamente.
La Tabla 6 muestra los resultados del proceso iterativo llevado
160%
90%
80%
70%
60%
50%
86.9% Dentro de rango
40%
30%
20%
a cabo con la misma metodología de simulación modificando
10%
el espesor de la losa y el porcentaje de acero. Para obtener el
0%
cumplimiento de los 3 parámetros críticos de diseño fue necesario
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
Espaciamiento de Grietas, pies
modificar levemente el espesor y el contenido de acero. Los
resultados del análisis para 0.55% de acero y 8.0 pulgadas de
espesor de la losa se observan en la Tabla 7.
Figura 6. Frecuencia acumulada para ancho de grietas.
De la Tabla 7 se encontraron los siguientes resultados:
•
Se espera que el espaciamiento promedio sea de 3.84 pies
Tabla 6. Ajuste del diseño
(1.17 m) y la probabilidad de obtener espaciamientos de
grietas dentro del rango establecido (3.5 a 8.0 pies) es de
77.1%.
•
Se espera que en promedio las grietas sean de 0.033 pulg
(0.84 mm) de ancho y la probabilidad de obtener anchos de
grieta menores a 0.04 pulg es de 100%.
•
Se espera que en promedio el esfuerzo en el acero sea de 59
636 psi (411.2 MPa) y la probabilidad de exceder el valor
permitido promedio 61 820 psi (426.2 MPa) es de 24.6%.
•
Espesor
%
(pulg)
Acero
%
%
Cumplimiento
Cumplimiento
Esp. Grietas
Ancho Grietas
%
Cumplimietno
Esfuerzo
Acero
8.0
0.60
27.7
100
97.6
8.5
0.60
46.8
100
92.9
8.5
0.55
90.1
100
51.8
8.0
0.55
77.1
100
75.4
Con un pequeño cambio en el contenido de acero (de 0.535
a 0.55) se logró disminuir la probabilidad de exceder el
esfuerzo máximo permitido en el acero (de 40.7% a 24.6%).
A pesar de la disminución en la probabilidad de obtener
espaciamientos de grietas dentro del rango establecido (de
86.9% a 77.1%), en general, se obtuvo una mejora en la
confiabilidad del diseño.
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Tabla 7. Resultados finales (0.55% acero y 8.0 pulgadas de espesor)
Parámetro
Espaciamiento de
grietas, pies
Ancho de grietas, psi
Esfuerzo aplicado, psi
Esfuerzo permitido, psi
Promedio
3.839
0.033
59 636
61 820
Desviación Estándar
0.452
0.001
3 465
322
COV
11.8%
0.4%
5.8%
0.5%
MAX
6.283
0.047
0.42
0.45
MIN
2.771
0.026
76 138
63 270
% Sobre valor límite
77.1%
NA
NA
NA
% Bajo valor límite
100%
100%
75.4%
NA
CONCLUSIONES
Evaluación de la variabilidad de materiales y procesos constructivos
En general, el diseño estocástico produce una mejora significativa
en el diseño de pavimentos es una forma útil para entender el
ya que se reduce la probabilidad de incumplimiento de las
porqué a veces el producto final no se desempeña como se
especificaciones de diseño. Este aumento en la confiabilidad
esperaba. No se trata simplemente de diseñar para cumplir con
del diseño implica también el tener un mejor control sobre los
los requerimiento establecidos; se vuelve necesario incorporar la
deterioros esperados para este tipo de pavimento. En este caso se
probabilidad de falla o cumplimiento de los parámetros críticos
espera que los escalonamientos, desprendimientos del concreto
de diseño.
y deformaciones plásticas sean los deterioros más probables que
Para este caso específico, con la consideración de la variabilidad
se presenten.
en variables de diseño se estimó que existe una alta probabilidad
Finalmente, se recomienda analizar el diseño de este tipo de
de exceder el valor permitido promedio de resistencia del
pavimento con metodologías que permitan la evaluación de la
acero (40.7%). Con el uso de la misma metodología usada
variabilidad. Además, en caso necesario se recomienda utilizar
para estimar esta probabilidad de excedencia se logró reducir
esta misma metodología de análisis para mejorar el diseño o
significativamente este valor de incumplimiento.
disminuir la probabilidad de incumplimiento.
REFERENCIAS
32
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Applied Research Associates, Inc., ERES Consultants Division (2004). Guide for Mechanistic-Empirical Design of Pavement Structures, NCHRP Project
1-37A, National Cooperative Highway Research Program, Washington, D.C.
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Huang, Y.H. (2004) Pavement Analysis and Design. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall.
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Laszlo Petho, ARRB Group Ltd., Australia (2012). Analysis Of The Stiffness Variability In Asphalt Layers Using The Monte Carlo Simulation. 25th ARRB
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7.
Lu Sun, W. Ronald Hudson, P.E., and Zhanming Zhang (2003): Empirical-Mechanistic method based stochastic modelling of fatigue damage to predict
flexible pavement cracking for transportation infrastructure management: Journal of Transportation Engineering, Vol. 129, No. 2, March 1, 2003.
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Samik Raychaudhuri, (2008): Introduction to Monte Carlo simulation: Proceedings of the 2008 Winter Simulation Conference Oracle Crystal Ball Global
Business Unit 390 Interlocken Crescent, Suite 130 Broomfield, C.O. 80021, U.S.A.
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Timm, D.H., Newcomb, D.E., Birgisson, B., and Galambos, T.V., (1999): Incorporation of Reliability into the Minnesota Mechanistic-Empirical Pavement
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