GUÃ A Relatividad especial

UN SISTEMA DE REFERENCIA es un sistema coordenado relativo al cual se toman medidas físicas.
Un sistema de referencia inercia! es aquél que se mueve a velocidad constante, es decir, que no
está acelerado.
LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD fue propuesta por A. Einstein y se ocupa del estudio del
movimiento de los cuerpos a velocidad constante. Los postulados de Einstein fueron:
(1) Las leyes de la física son las mismas para todo sistema inercial. Por lo tanto, todo movimiento
es relativo. La velocidad de los objetos sólo puede darse en relación a otros cuerpos. Es imposible
determinar la velocidad absoluta de un objeto.
(2) La rapidez de la luz en el vacío, o, tiene el mismo valor para cualquier observador,
independiente del movimiento de la fuente o del movimiento del observador.
Estos postulados conducen a predecir lo siguiente.
VARIACIÓN DE LA MASA: La medida de la masa de un objeto que está en reposo con repecto al
medidor se denota por m◦ y se llama masa en reposo del objeto. Si un objeto se mueve con
rapidez y, pasando frente a un observador, el objeto tiene, para el observador, una masa
aparente.
m=m0/ √ 1-(v/c)²
donde c = 2.988 x 10⁸m/s es la velocidad de la luz en el vacío (espacio libre). Nótese que m ∞.
cuando v c. El factor √1-(v/c)²se llama efecto relativista.
RAPIDEZ LÍMITE: Cuando v = c, la masa del objeto se vuelve infinita. Para ello se requeriría de una
fuerza infinita para acelerarlo hasta la velocidad de la luz. Por lo que se concluye que ningún
objeto puede acelerarse hasta la velocidad de la luz c, y así c es el límite superior para la rapidez.
EL MOMENTO LINEAL de una partícula de masa en reposo m y rapidez y es
𝑝=
𝑚0𝑣
√1 − (
𝑐
𝑣
)²
CONVERSIÓN MASA — ENERGÍA: Si la energía de un objeto cambia en AE, entonces su masa
cambia en una cantidad dada por
∆E = (∆m)c²
(Esta relación se escribe con mucha frecuencia como E = mc².) La relación es verdadera para
cualquier tipo de cambio de energía.
Cuando a un objeto se le suministra energía cinética traslacional, su masa aparente m se vuelve
mayor que su masa en reposo m0. La relación es:
EC traslacional = (m — m0)c²
Si la rapidez de un objeto no es muy grande, entonces ésta se reduce a la expresión usual
EC traslacional =½ m0v² (v « c)
LA ENERGÍA TOTAL de una partícula (es decir, su energía de masa en reposo m0c² más su energía
cinética translacional) se representa por E. Dos expresiones convenientes para E son
E = mc² y E² = p² c² + m0²c⁴
DILATACIÓN DEL TIEMPO: Dos relojes idénticos localizados uno junto al otro marcan el tiempo al
unísono. Sin embargo, si uno de los relojes se acelera hasta una alta velocidad y y se mueve
pasando frente al reloj estacionario y frente a un observador :estacionario, entonces le parecerá a
este observador estacionario que el reloj marca el tiempo con cierta lentitud. Mientras .que el
reloj estacionario marca un tiempo ts el observador medirá que el reloj en movimiento marca un
tiempo ts, < ts, donde
t„, = ts √1 − (
𝑐
𝑣
)²
El tiempo que tarda en ocurrir un evento, cuando es registrado por un observador estacionario en
el sitio del evento se h▪ llama tiempo propio. Todos los observadores en movimiento registrarán
un tiempo mayor que el que toma en ocurrir el evento. De esta manera el tiempo propio para la
duración de un evento es la medida más pequeña de tiempo para este evento.
SIMULTANEIDAD: Supóngase que para un observador dos eventos ocurren en diferentes
localidades, pero al mismo tiempo. Los eventos son simultáneos para este observador, sin
embargo, en general, éstos no son simultáneos para un segundo observador en movimiento
relativo al primero.
CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD: Supóngase que un objeto tiene una longitud Lo de componente
x cuando está en reposo I. respecto a un observador (Lo se llama longitud propia). Si al objeto se le
da una rapidez y en la dirección x, al observador 1: estacionario le parecerá haberse acortado en la
dirección x (pero no en las direcciones y y z). Éste observará la longitud x como si fuera de
𝑣
𝐿 = 𝐿0√1 − ( ) ²
𝑐
FÓRMULA PARA SUMAR VELOCIDADES: Supóngase que un cohete espacial se mueve en la
dirección x con una rapidez y en relación a la Tierra. El cohete dispara una partícula en la dirección
x con una rapidez u relativa al cohete. La rapidez de la partícula relativa a la Tierra no es u + y
(debido a que esto podría ser mayor que c). En lugar de eso, la rapidez de la partícula medida por
un observador en la Tierra está dada por
𝑣+𝑢
𝑣𝑢
1 + ( 2)
𝑐
Nótese que aún cuando y = u = c, esta rapidez es sólo c. Esto concuerda con el hecho de que la
partícula no puede ser k acelerada hasta una rapidez mayor que c.
PROBLEMAS RESUELTOS
42.1 ¿Qué tan rápido debe moverse un objeto para que su masa aparente sea 1% mayor que su
masa en reposo? Al hacer uso de m = m0 √1 - (v/c)² se obtiene
𝑣 2
𝑚0 2
𝑚0
1 − (𝑐 ) = ( 𝑚 ) = (1,01 𝑚0 ) =
0,9803
Al resolver da y - 0.14c - 4.2 x 107m/s.
42.2 Calcule la masa aparente de un electrón que viaja a la mitad de la rapidez de la luz. La masa
en reposo del electrón es 9.1 x 10-31 kg. Entonces
𝑚=
𝑚0
2
√1−(𝑣)
𝑐
=
𝑚0
√1−(0,5)²
=
𝑚0
√0,75
=
9,1 𝑥 10−31
0,866
= 1,05 𝑥 10−30 kg
42.3 Si 1 g de material pudiera convertirse íntegramente en energía, ¿cuál debería ser el valor de
la energía producida, si el costo por kW h es de 10 centavos? Se utiliza ∆E = (∆m)c² para
determinar
Energía ganada = (masa perdida)c² (10−3 𝑘𝑔) (3𝑥108
1𝑘𝑗 𝑥 ℎ
$0,10
)(
)
3,6𝑥106 𝑗
𝑘𝑤 𝑥 ℎ
valor de la energía = (9𝑥1013 𝑗 ) (
𝑚 2
)
𝑠
= 9𝑥1013 𝑗
= $2 500 000
42.4 Un objeto de 2 kg se levanta desde e) piso hasta una mesa que esta a 30 cm sobre éste. ¿En
qué cantidad se incrementa la masa objeto debido a su incremento en su EP?
Se utiliza ∆E = (∆ mc ) c ² , con ∆E= mgh . Por tanto
∆𝐸
∆𝐸 = 𝑐 2 =
𝑚𝑔ℎ
𝑐2
=
𝑚2
)(0,3𝑚)
𝑠
2
𝑚
(3𝑥108
)
𝑠
(2𝑘𝑔)(9,8
= 6,5 𝑥10−17
42.5 Un electrón es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 1.5 MV y
en consecuencia adquiere una energía de 1.5 MeV. Determine su rapidez y su masa aparente.
Utilizaremos ∆E = (∆m)c², con
𝑗
∆E =(1,5𝑥106 𝑒𝑉)(1,6𝑥10−19 𝑒𝑉 = 2,4𝑥10−13 𝑗
2,4 𝑥10−13
∆𝐸
∆m = m –m0= 𝑐 2 =
Entonces
(3𝑥108
𝑚)²
𝑠
= 2,67𝑥10−30 𝑘𝑔
Pero 𝑚0 9,1𝑥10−31 𝑘𝑔 = 0,91𝑥10−30 𝑘𝑔 y la 𝑚 = 358𝑥10−30 𝑘𝑔
Para calcular la rapidez, se empleará 𝑚 =
𝑚0
𝑣
lo cual nos da
√1−(𝑐)²
𝑣 2
𝑚0 2
0,91 2
1−( ) =( ) =(
) = 0,0646
𝑐
𝑚
3,58
de donde
𝑣 = 𝑐√1 − 0,0646 = 0,967𝑐 = 2,90𝑥108 𝑚/𝑠
42.6 Determine la energía requerida para dar a un electrón una rapidez de 0.9 la de la luz,
partiendo del reposo.
𝑣 2
𝑐
𝑣
𝑐
𝐸𝐶 = (𝑚 − 𝑚0)𝑐² = [𝑚0/√1 − ( ) − 𝑚0 ] 𝑐² = 𝑚0𝑐²(1/√1 − ( )² -1
= (9,11 𝑥10−31 𝑘𝑔)(3𝑥108
𝑚
)²(1/√1 −
𝑠
(0,9)² -1 ) =1,061𝑥10−13j=0,663 MeV
42.7 Demuestre que EC = (m – m0)c² se reduce a EC 1/2m0v² cuando v es mucho menor que c.
𝑣
𝑐
𝐸𝐶 = (𝑚 − 𝑚0)𝑐 2 = (𝑚0/√1 − ( )² -𝑚0) 𝑐 2 = 𝑚0𝑐 2 [(1 −
𝑣2
)
𝑐2
−1/2
− 1]
1
Se hace que b=-v²/c² y se expande (1 + 𝑏)−2 por el teorema binominal :
1
3
(− 2) (− 2)
1
1
1𝑣 2 3𝑣 4
−
(1 + 𝑏) 2 = 1 + (− ) 𝑏 +
𝑏2 + ⋯ = 1 + 2 + 4 + ⋯
2
2!
2𝑐
8𝑐
Si v es muy pequeña comparada con c ,entonces los términos después de ½ m0v² son
despreciables por pequeños .
42.8 Un electrón se mueve con rapidez relativista perpendicularmente a un campo magnético de
0.20 T. Su trayectoria es circular, con radio de 15 m. Determine (a) el momento, (b) la rapidez y (c)
la energía cinética del electrón.
Recuerde que, en situaciones no relativistas, la fuerza magnética qvB contrarresta la fuerza
centrípeta mv²/ r. Se igualan estos dos valores y se determina el momento p = mv como
p = qBr
Esta relación se debe tomar cuando los efectos relativistas son importantes.
(a) p = (1,60𝑥10−19 𝑐)(0,20𝑇)(15𝑚) = 4,8𝑥 10−19 𝑘𝑔 𝑥
𝑚
𝑠
(b) Debido 𝑝 = 𝑚0𝑣√1 − (𝑣 2 /𝑐 2 ) con 𝑚0 = 9,1 𝑥 10−31 𝑘𝑔, nosotros tenemos
4,8 𝑥 10−19 𝑘𝑔 𝑥
𝑚
𝑠
=
𝑣
𝑐
(𝑚0𝑐)( )
√1− 𝑣 2 /𝑐 2
Elevando al cuadrado ambos lados y resolviendo para (v/c)² se obtiene
𝑣2
𝑐2
1
= 1+3,23𝑥 10−7 o
𝑣
𝑐
=
1
√1+3,23𝑥10−7
La mayoría de las calculadoras no manejan esto. Sin embargo, recuérdese
que para x « 1. Entonces
𝑣
𝑐
≈ 1 − 1,61𝑥 10−7= 0.999 999 84
1
√1+𝑥
1
= 1 − 2𝑥
𝐸𝐶 = (𝑚 − 𝑚0)𝑐 2 = 𝑚0𝑐 2 (
(c )
1
√1−(𝑣 2 /𝑐 2
− 1)
𝑣
Pero ya se ha calculado que (𝑐 )2 = 1/(1 + 3,23𝑥 10−7 ) Si se utiliza la aproximación 1/(1 +x) =1 -x
𝑣
para x « 1, tenemos (𝑐 )2 ≈ 1 − 3,23𝑥10−7. Entonces
EC=(m-m0) c²= (1/√3,23𝑥10−7 -1 )(𝑚0𝑐 2 )(1,76𝑥103 )
(Nótese que m/m0= 1.76 x103 .) Al evaluar esto sobre la expresión se obtiene
𝐸𝐶 = 1,44𝑥10−10 𝑗 = 9,0 𝑥108 𝑒𝑉 = 900 𝑀𝑒𝑉
Un método alternativo de solución podría ser el de utilizar E² = p² c²+ m0² 𝑐 4 y recordar que EC = E
– m0 c².
42.9 El Sol irradia energía igualmente en todas direcciones. En la posición de la Tierra (r =
1.50x1011 m), la radiación del Sol es de 1.4 kW/m2. ¿Qué cantidad de masa pierde el Sol por día
debido a la radiación?
El área de una esfera centrada sobre el Sol y que pasa a través de la Tierra es:
Área = 4πr2 = 4π(1.50 x 1011 m)2 = 2.83 x 1023 m2
A través de cada metro cuadrado de esta área, la energía que el Sol irradia por segundo es de 1.4
kW/m2. Por lo tanto la radiación total del Sol por segundo es
Energía /s = (area)(1400 W/m2) = 3.96 x 10 26 kg
La energía irradiada en un día (86 400 s) es
Energía/día = (3.96 x 1026 W)(86 400 s/ día ) = 3.42 x 1031 J/ día
Debido a que la masa y la energía están relacionadas a través de ∆E = ∆mc², la masa perdida por
día es
∆𝐸
∆𝑚 = 𝑐 2 =
3,42𝑥1031 𝑗/𝑑𝑖𝑎
𝑚
𝑠
(3𝑥108 )²
= 3,80𝑥10 ²𝑘𝑔/𝑑𝑖𝑎
Para comparación, la masa del Sol es 2 x 10 kg.
42.10 Se mide un haz de partículas radiactivas cuando se dispara en un laboratorio. Se encuentra
que, en promedio, cada partícula "vive" durante un tiempo de 2 x 10-8 s; después de este tiempo,
la partícula cambia a una nueva forma Cuando las mismas partículas estaban en reposo en el
laboratorio, "vivían" en promedio 0.75 x 10-8 s ¿Qué tan rápido se mueven la partículas del haz?
Ciertas clases de mecanismos de tiempo dentro de las partículas determinan cuánto "viven". Este
reloj interno, que marca el tiempo de vida propio, debe obedecer la relación de la dilatación del
tiempo. Por lo que se tiene
𝑣
Tm=ts√1 − (𝑐 )²
o
𝑣
0,75𝑥10−8 = (2𝑥10−8 )√1 − (𝑐 )²
Nótese que tm es el tiempo que marca el reloj en movimiento durante los 2 x 10-8 s marcados por
el reloj del laboratorio. Al elevar al cuadrado cada lado de la ecuación y resolviendo para y, da v =
0.927c = 2.78 x 108 m/s.
42.11 Dos gemelos tienen 25 años de edad; entonces uno de ellos sale en un viaje por el espacio a
una velocidad aproximadamente constante. El gemelo que va en el cohete espacial mide el tiempo
con un reloj exacto. Cuando regresa a la Tierra, su reloj le indica que tiene 31 años, mientras que
su gemelo, que se quedó en la Tierra tiene 43 años. ¿Cuál fue la velocidad del cohete espacial?
El reloj del cohete espacial indica que el viaje sólo duró 6 años, mientra que el reloj de la Tierra
señala que fue de 18 años. Entonces
𝑣
tm=ts√1 − (𝑐 )²
de donde
𝑣 2
(𝑐 ) = 1 − 0,111
se vuelve
o
𝑣
6=18√1 − (𝑐 )²
v=0,943c=2,83 x 108 m/s
42.12 Dos células que se dividen en la Tierra cada 10 s inician desde la Tierra un viaje hasta el Sol
(1.5 x 1011 m de camino) en una nave espacial que se mueve a 0.85c. ¿Cuantas células deberían
existir cuando la nave espacial se estrelle con el Sol? De acuerdo con un observador en la Tierra, el
tiempo que toma el viaje al Sol es de
1,50 𝑥 1011 𝑚
Ts=x/v=(0,85)(3𝑥 108 𝑚/𝑠 = 588 s
Debido a que el reloj de la nave se mueve, parece que corre más lentamente. El tiempo que marca
para el viaje es de
𝑣
Tm=ts√1 − (𝑐 )² = 310 s
Las células se dividen de acuerdo al reloj de la nave espacial, que es el reloj que está en reposo
respecto a ellas. Por lo tanto realizan 31 divisiones en ese tiempo, ya que se dividen cada 10 s. Por
lo tanto el número total de células presentes al estrellarse es
(2)31 = 2.1 x 10 9 celdas
42.13 En una nave espacial, una persona sostiene una regla de medir cuando se dispara y pasan
por la Tierra con una rapidez paralela a la superficie del planeta. ¿Qué notará la persona que va en
la nave cuando la regla se gira de la posición paralela a la posición perpendicular, con respecto al
movimiento de la nave?
Para la persona en la nave la regla permanece constante; no aparece cambio en su longitud
porque no tiene movimiento traslacional respecto al observador. Sin embargo, alguien que
observa en la Tierra diría que la regla mide (1m) √1—(v/c)²) cuando está paralela al movimiento
de !a nave, y de 1 m cuando está perpendicular al movimiento de ésta.
42.14 Una nave moviéndose a 0.95c viaja desde la Tierra hasta la estrella Alfa Centauro, la cual
está a 4.5 años luz. ¿Qué tan largo será el viaje para (a) un reloj en la Tierra y (b) para un reloj en la
nave? (c) ¿Qué tan lejos está la Tierra de la estrella de acuerdo a los ocupantes de la nave? (d)
¿Cuál es su cálculo de rapidez que llevan? Un año luz es la distancia que recorre la luz en 1 año, es
decir
1 año luz = (3 x 108 m/s)(3.16 x 10 7 s) = 9.5 x 10 15m
Por consiguiente la distancia a la estrella (de acuerdo a los terrícolas) es
(a)
𝑑 = (4,5)(9,5𝑥1015 𝑚) = 4,3 𝑥1016
𝑑
4,3 𝑥 1016 𝑚
𝑡 = 𝑣 = (0,95)(3𝑥108 ) = 1,51 𝑥 108 𝑠
(b) Debido a que los relojes en la nave corren lentamente
𝑡 𝑛𝑎𝑣𝑒 = 𝑡 𝑒 √1 − 𝑣/𝑐 2 = (1,51 x 10 8s)(0,312)= 4,71 x 107 s
(c) Para los ocupantes de la nave, !a distancia Tierra- Estrella está moviéndose frente a ellos con
una rapidez de 0.95c. Por lo tanto, la distancia se acorta para los tripulantes, quienes determinan
que es de
( c)
t nave= (4.3 x 1016 m)√1 − (0,95)
2
= 1,34 x 1016
Para los ocupantes de la nave, su rapidez relativa es
(d)
v= d/t = 1,34 x 10 16m/4,71x 10 7s = 2,84 x 108 m/s
la cual es 0.95c. Para ambos observadores en la Tierra o en la nave la rapidez relativa es la misma.
42.15 Cuando un cohete pasa en su órbita por la Tierra con rapidez v, manda un pulso de luz por
delante de él. ¿Qué tan rápidamente se moverá el pulso de luz de acuerdo a una persona que se
encuentre sobre la Tierra?
Método 1
Con rapidez c (por el segundo postulado de la Relatividad Especial)
Método 2
De acuerdo con la fórmula de la suma de velocidades, la rapidez observada será (siendo u = c en
este caso)
(𝑣 + 𝑐)𝑐
𝑣+𝑢
𝑣+𝑐
𝑢𝑣 =
𝑣 = 𝑐+𝑏 =𝑐
1 + ( 2) 1 + ( )
𝑐
𝑐
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
42.16 ¿A qué rapidez se debe mover una partícula para que m sea 2m0? Sol. 2.6 x 108 m/s
42.17 Una partícula está viajando con una rapidez v tal que v/c - 0.9900. Determine m/m0 para la
partícula. Sol. 7.1
42.18 Calcule la energía en reposo de un electrón, es decir, la energía equivalente a su masa en
reposo, 9.11 x 10-31 kg. Sol. 0.512 MeV =820 pJ
42.19 Determine la masa aparente y la rapidez de un electrón que tiene una energía cinética de 1
x 10 -30 eV (1.6 x 10 -14J). Sol.1.09;x 10 -30 kg, 1.64 x 10 8m/s
42.20 Un automóvil de 2000 kg se mueve a 15 m/s. ¿Cuánto mayor es su masa a esta velocidad en
relación a su masa en reposo? Sol. 2.5 x 10 -12 kg
42.21 Un protón (m0 = 1.67 x 10 -27kg) es acelerado hasta una en energía cinética de 200 MeV.
¿Cuál es su masa aparente y su rapidez a esta energía? Sol. 2.03 x 10-27 kg, 0.57c = 1.70 x 10 8 m/s
42.22 Utilizando la definición de momento lineal y la relación entre masa y energía, pruebe que
E²=p² c²+m0² c4 . Utilice esta relación para demostrar que la EC traslacional de una partícula
es√𝑚02 𝑐 4 + 𝑝2 𝑐 2 = m0c2
42.23 Una cierta especie de bacterias duplican su número cada 20 días. Dos de estas bacterias son
colocadas en una nave espacial y enviadas a viajar desde la Tierra por 1000 días terrestres.
Durante este tiempo, la velocidad de la nave es de 0.9950c. ¿Cuántas bacterias estarán a bordo de
la nave cuando aterrice sobre la Tierra? Sol. 64
42.24 Cierta fuente de luz envía 2 x 1015 pulsos cada segundo. Cuando una nave espacial viaja
paralela a la superficie de la tierra con una rapidez de 0.90c, se utiliza esta fuente para enviar
pulsos a la Tierra. Los pulsos son enviados perpendicularmente a la trayectoria de la nave.
¿Cuántos pulsos son registrados por segundo? Sol. 8.72 X 10 14 pulso/s
42.25 La insignia pintada sobre el lado de una nave espacial es un círculo con una línea atravesada
a 45° con la vertical. Cuando la nave se dispara y pasa a otra nave en el espacio con una rapidez
relativa de 0.95c, la segunda nave observa la insignia. ¿Qué ángulo forma con la vertical la línea
observada? Sol. tan e = 0.31 y e = 17
42.26 Una nave espacial está moviéndose a 0.92c cuando la ve un observador sobre la Tierra. Esta
persona y los ocupantes de la nave ponen a funcionar la alarma de sus relojes idénticos para que
suenen después de que hayan pasado 6 h. De acuerdo con los observadores de la Tierra, ¿cuánto
marcará el reloj de la Tierra cuando suene la alarma del reloj de la nave? Sol. 15.3 h
42.27 Determine la rapidez y el momento de un protón (m0 = 1.67 x 10-27 kg) que ha sido
acelerado a través de una diferencia de potencial de 2000 MV. (A esto se le llama protón 2 GeV).
Sol. 0.948c, 1.49 x 10-18 kg • m/s.