Gramáticas independientes del contexto

TEMA 6
GRAMÁTICAS INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO
TEMA 6.- GRAMÁTICAS INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO
6.1. Gramáticas independientes del contexto.
6.2. Limpieza de Gramáticas Independientes del contexto.
6.3. Gramáticas limpias y gramáticas sucias.
6.4. Limpieza de gramáticas
6.4.1. Teorema de los símbolos vivos
6.4.2.Teorema de los símbolos accesibles
6.4.3. Análisis automático de la limpieza de gramáticas
6.5 Gramáticas bien formadas
6.6. Formas Normales de Gramáticas Independientes del
contexto.
6.6.1. Forma Normal de Chomsky (FNC)
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)
TALF. Tema6
nº 2
6.1. Gramáticas independientes del contexto.
 Técnicas para preparar una gramática tipo 2 para
ser tratada eficientemente por un autómata con
pila:
 Gramáticas limpias
 Gramáticas bien formadas
 Formas normales de Chomsky y Greibach
TALF. Tema6
nº 3
6.2. Limpieza de Gramáticas Independientes del contexto.
 Las gramáticas de los lenguajes de programación
están formadas por un conjunto de reglas BNF,
cuyo número suele ser bastante amplio, lo cual
incide en la ocultación de distintos problemas que
pueden producirse, tales como
tener reglas que produzcan símbolos que no se usen

después, o
 que nunca se llegue a cadenas terminales.

Todo esto se puede solventar realizando la
transformación de la gramática inicial “sucia” a una
gramática “limpia”.
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nº 4
6.3. Gramáticas limpias y gramáticas sucias.

Definiciones.
 Símbolo muerto (superfluo): es un símbolo no terminal que
no genera ninguna cadena de símbolos terminales.
 Símbolo vivo: es un símbolo no terminal del cual se puede
derivar una cadena de símbolos terminales. Todos los
símbolos terminales son símbolos vivos. Es decir son
símbolos vivos lo que no son muertos.
 Símbolo inaccesible: es un símbolo no terminal al que no
se puede llegar por medio de producciones desde el símbolo
inicial.
 Símbolo accesible: es un símbolo que aparece en una
cadena derivada del símbolo inicial. Es decir, aquel símbolo
que no es inaccesible.
 Símbolo extraño: se denomina así a todo símbolo muerto o
inaccesible.
 Gramática sucia: es toda gramática que contiene símbolos
extraños.
 Gramática limpia: es toda gramática que no contiene
símbolos extraños.
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nº 5
6.4. Limpieza de gramáticas
 toda gramática en bruto ha de limpiarse con el objetivo
de eliminar todos los símbolos extraños.
 El método de limpiar las gramáticas sucias consiste

en detectar en primer lugar todos los símbolos muertos, y
a continuación

se detectan todos los símbolos inaccesibles. Es importante
seguir este orden, puesto que la eliminación de símbolos
muertos puede generar nuevos símbolos inaccesibles.
 Los algoritmos que se utilizan en la limpieza de
gramáticas se basan en los teoremas que se enuncian a
continuación
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nº 6
6.4. Limpieza de gramáticas
6.4.1. Teorema de los símbolos vivos
 Si todos los símbolos de la parte derecha de una
producción son vivos, entonces el símbolo de la parte
izquierda también lo es.
 Algoritmo para detectar símbolos muertos:
1. Hacer una lista de no-terminales que tengan al
menos una producción sin símbolos no terminales en
la parte derecha.
2. Dada una producción, si todos los no-terminales de la
parte derecha pertenecen a la lista, entonces
podemos incluir al no terminal de la parte izquierda.
3. Cuando no se puedan incluir más símbolos mediante
la aplicación del paso 2, la lista contendrá todos los
símbolos vivos, el resto serán muertos.
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nº 7
6.4. Limpieza de gramáticas. Ejemplo.

Determinar los símbolos muertos de la gramática expresada en BNF:
<INICIAL>::= a <NOTA 1> <NOTA2> <NOTA3> | <NOTA4> d
<NOTA 1>::= b <NOTA2> <NOTA3>
<NOTA2>::= e | d
<NOTA3>::= g <NOTA2>
<NOTA4>::= <NOTA 1> f <NOTA5>
<NOTA5>::= t <NOTA4> | v <NOTA5>

1.
2.
3.
aplicando los pasos del algoritmo:
Confección de la lista: sólo hay un símbolo no terminal con el cual comenzar
la lista.
<NOTA2>
Aplicando el teorema 6.4.1. se incluyen en la lista por el siguiente orden:
<NOTA3>
<NOTA1>
<INICIAL>
No se puede aplicar el teorema más veces, por lo tanto la lista de símbolos
vivos está completa y los símbolos <NOTA4> y <NOTA5> son no terminales
muertos.
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nº 8
6.4. Limpieza de gramáticas
6.4.2.Teorema de los símbolos accesibles
 Si el símbolo no terminal de la parte izquierda de una
producción es accesible, entonces todos los símbolos
de la parte derecha también lo son.
 Algoritmo para detectar símbolos accesibles:
1. Se comienza la lista con un único no terminal, el símbolo
inicial.
2. Si la parte izquierda de la producción está en la lista,
entonces se incluyen en la misma a todos los no
terminales que aparezcan en la parte derecha.
3. Cuando ya no se puedan incluir más símbolos mediante
la aplicación del paso 2, la lista contendrá todos los
símbolos accesibles, y el resto será inaccesible.
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6.4. Limpieza de gramáticas. Ejemplo.

Sea la siguiente gramática en BNF:
<INICIAL>::= a<NOTER1><NOTER2>|<NOTER1>
<NOTER1>::= c <NOTER2> d
<NOTER2>: := e | f <INICIAL>
<NOTER3>::= g <NOTER4> | h <NOTER4> t
<NOTER4>::= x l y l z

Aplicando el algoritmo los símbolos inaccesibles son:
1.
Confección de la lista: <INICIAL>
2.
Aplicación del teorema 6.4.2
<NOTER1>
<NOTER2>
3.
No se puede aplicar más veces el paso, luego la lista de símbolos accesibles
está completa, y los no terminales inaccesibles son:
<NOTER3>
<NOTER4>
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6.4. Limpieza de gramáticas.
6.4.3. Análisis automático de la limpieza de gramáticas
 Los algoritmos de limpieza de gramáticas comprueban si
las gramáticas son limpias. Los pasos para el
tratamiento de cualquier gramática son:
 Una gramática es limpia si no tiene:
 símbolos muertos
 símbolos inaccesibles
 reglas innecesarias (A::=A; éstas se eliminan
directamente)
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nº 11
6.4. Limpieza de gramáticas. Ejemplo.
 Ejemplo:
<INICIAL>::= A <NOTER1> <NOTER2>
<INICIAL>: := <NOTER1>
<NOTER1>::= C <NOTER2> D
<NOTER2>::= E
<NOTER2>::= F <INICIAL>
<NOTER3>::= G <NOTER4>
<NOTER3>::= H <NOTER4> T
<NOTER4>::= X
<NOTER4>::= Y
<NOTER4>::= Z

El analizador indicará que la gramática no es limpia. La relación de
símbolos no accesibles: NOTER3 y NOTER4.
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nº 12
6.5 Gramáticas bien formadas
 Una gramática está bien formada si:
1. Está limpia.
 Sin símbolos muertos
 Sin símbolos inaccesibles
 Sin reglas innecesarias
2. No tiene reglas no generativas (A::= , A≠S).
3. No tiene reglas de redenominación (A::=B).
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nº 13
6.5 Gramáticas bien formadas

Algoritmo para eliminar las reglas no generativas (A::= , A≠S):
P´ = P
//P´= reglas no generativas; P=reglas generativas
Repetir
Para cada P=( A   P´ y A≠S )
P´ = P´- {P}
Para cada P´ = (B::=xAy) P´
P´ = P´  {B::=xy}
Hasta que todas las reglas sean generativas
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nº 14
6.5 Gramáticas bien formadas. Ejemplo.
 Ejemplo:
P = {(A::=C0B), (A::=), (B::=BC), (B::=), (C::=0B), (C::=)}
 Aplicando el algoritmo:
 Eliminación de la regla B::= :
P = {(A::=C0B), (A::=C0) ,(A::=), (B::=BC), (B::=C),
(C::=0B), (C::=0), (C::=)}
 Eliminación de la regla C::= :
P = {(A::=C0B), (A::=0B), (A::=C0) , (A::=0) ,(A::=),
(B::=BC), (B::=C), (B::=B), (B::=), (C::=0B), (C::=0)}
 Eliminación de la regla B::= que ha aparecido de nuevo:
P = {(A::=C0B), (A::=0B), (A::=C0) , (A::=0) ,(A::=),
(B::=BC), (B::=C), (C::=0B), (C::=0)}
 Esta será la gramática sin reglas regenerativas
 Par eliminar las reglas de redenominación (A::=B) se
genera una nueva producción A::= por cada regla B::=,
con  * y se borra la regla A::=B.
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nº 15
6.6. Formas Normales de Gramáticas Independientes del contexto.

En algunas ocasiones es imprescindible que las gramáticas se
hallen dispuestas de una forma especial. Es decir, se trata de
obtener una gramática equivalente, que genera el mismo
lenguaje, pero que debe cumplir unas especificaciones
determinadas. A continuación se muestran las dos formas
normalizadas más frecuentes, que se emplean en los lenguajes
formales y sus aplicaciones.
 6.6.1. Forma Normal de Chomsky (FNC)
 6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)
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nº 16
6.6.1. Forma Normal de Chomsky (FNC)
 Una gramática se dice que está en la Forma Normal de
Chomsky si sus reglas son de una de estas formas:
A  BC
Aa
Siendo A, B, C no terminales y a un terminal.
 Teorema de la forma normal de Chomsky
Toda gramática libre de contexto sin la cadena vacía
tiene una gramática equivalente cuyas producciones
están en la Forma Normal de Chomsky.
 Forma Normal de Chomsky (FNC)
Una gramática se dice que está en la Forma Normal de
Chomsky si sus reglas son de una de estas formas:
A  BC
Aa
Siendo A, B, C no terminales y a un terminal.
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nº 17
6.6.1. Forma Normal de Chomsky (FNC)
 El algoritmo a seguir es:
1. PiP / Pi: A  1...n, donde i(NT ), n2
1. j, si jT (es terminal) entonces hacer:
1. N =N  {Cj}
2. P= P  {Cj  j}
3. Modificar Pi, donde antes ponía j ahora poner Cj.
2. PkP / Pk: A  B1...Bm, donde BN , m3
1. N =N  {Dj} j=1..m-2.
2. Reemplazar Pk por las producciones:
A B1D1, D1 B2D2,..., Dm-2 Bm-1Bm
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nº 18
6.6.1. Forma Normal de Chomsky (FNC). Ejemplo.

Sea la gramática G=( N={S, A, B}, T ={a, b}, P, S) cuyas producciones son:

las reglas pueden reescribirse:
S
A
B
encontrar
bA | aB
bAA | aS | a
aBB | bS | b
una gramática equivalente en FNC.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)(*)
(6)
(7)
S
S
A
A
A
B
B
(8)(*)

bA
aB
bAA
aS
a
aBB
bS
B b
Solamente las señaladas con (*) están en forma FNC. La producción (1) se sustituye por dos:
S  CbA
Cb  b

Igualmente la (2) puede sustituirse por
S  Ca B
Ca  a

Las producciones (3) y (4) se sustituyen por
A  CbD1
A  Ca S

D1  AA
y la (6) y la (7) por
B  C aD 2
D2  BB
B  Cb S
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nº 19
6.6.1. Forma Normal de Chomsky (FNC). Ejemplo.

la gramática equivalente en FNC es:
S  CbA
S  Ca B
A  Ca S
A  CbD1
A a
B  Cb S
B  CaD2
B b
D1  AA
D2  BB
Ca  a
Cb  b
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nº 20
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)

Se dice que una gramática está en la Forma Normal de
Greibach si sus reglas de producción son de la forma:
A a
A a
donde A ∑N, a ∑T  ∑N*
 Teorema de la forma normal de Greibach
Todo lenguaje de contexto libre sin la cadena vacía puede ser
generado por una gramática cuyas reglas de producción son de
la forma
A a
A a
donde A ∑N, a ∑T  ∑N*
 Ejemplo: La gramática dada en el ejemplo anterior.
S  bA | aB
A  bAA | aS | a
B  aBB | bS | b
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nº 21
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)

Funciones previas utilizadas en el algoritmo para obtener la FNG:
1.
Eliminar recursividad a izquierdas, las producciones A  A.

Operación para eliminar la recursividad en un símbolo:
1. Crear una nueva variable BA, ∑N = ∑N BA
2. PiP, Pi: A  A,
1. Añadir a P: BA   y BA  BA
2. Sacar A  A de P.
3. PjP, Pj: A  , y  no empieza por A
1. Añadir A  BA
 La notamos como ELIMINArecursividad(A)
2.
Sustiruir en las reglas A  B las reglas de B
 Operación para eliminar una producción A  B, con AB.
1. Sacar A  B de P.
2. PiP, tq B  , añadir A  
 La notamos como ELIMINAproducción(A  B)
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nº 22
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)
 Pasos para conseguir la FNG:
1.
Partir de una gramática en forma normal de Chomsky. En
realidad basta con que sea una gramática limpia y sus
producciones tengan la forma:
A  a o A  
2.
donde A ∑N, a ∑T  ∑N*
Establecer un determinado orden en los símbolos no-terminales y

Poner las producciones en la forma: AiAj, con j>i.
1. Para k=1,...,m
1. Para j=1,...,k-1
1. PiP, Pi: Ak  Aj,
ELIMINARproducción(Ak  Aj)
2. Si  Ak  Ak entonces ELIMINArecursividad(Ak)
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nº 23
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)
3. Poner las producciones en la forma: Aia.
1. Para i=m-1,...,1
1. PiP, Pi: Ai  Aj, y j>i
ELIMINARproducción(Ai  Aj)
2. Para k=1,...,m
1. PiP, Pi: Bj  Ak,
1. ELIMINARproducción(Bj  Ak)
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nº 24
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG). Ejemplo.

Ejemplo:
1.
Partimos de la gramática en FNC del ejemplo anterior:
1. S  CbA |CaB
2. A  Ca S| CbD1|a
3. B  Cb S| CaD2|b
4. D1  AA
5. D2  BB
6. Ca  a
7. Cb  b
2.
Tomamos el orden anterior para ∑N ={S=A1…}. Poner las
producciones en la forma: AiAj, con j>i.
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nº 25
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)
2.
Tomamos el orden anterior para ∑N ={S=A1…}.
1.
Poner las producciones en la forma: AiAj, con j>i.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
S  CbA |CaB
A  Ca S| CbD1|a
B  Cb S| CaD2|b
D1  AA
D2  BB
Ca  a
Cb  b

Resultado paso 2
1.
2.
3.
S  CbA |CaB
A  Ca S| CbD1|a
B  Cb S| CaD2|b
ELIMINARproducción(D2  BB) por:
4.
D1  CaSA| CbD1A| aA
D2  CbSB| CaD2B|bB
5.
6.
7.
D2  CbSB| CaD2B|bB
Ca  a
Cb  b
Para k=1,...,m
//m=7
1. Para j=1,...,k-1
1. PiP, Pi: Ak  Aj,
ELIMINARproducción(Ak  Aj)

k=4 (D1), j=2 (A) cambian las producciones:
ELIMINARproducción(D1  AA) por:
D1  CaSA| CbD1A| aA

2.
K=5 (D2), , j=3(B)
No  Ak  Ak
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nº 26
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)
3.
Poner las producciones en la forma: Aia.
1.
Para i=m-1,...,1 //m=7
1. PiP, Pi: Ai  Aj, y j>i

i=5 ELIMINARproducción(D2  CbSB| CaD2B|bB)
por: D2  bSB| aD2B|bB

i= 4 ELIMINARproducción(D1  CaSA| CbD1A| aA)
por: D1  aSA| bD1A| aA

i= 3 ELIMINARproducción(B  Cb S| CaD2|b) por:
B  bS| aD2|b

i= 2 ELIMINARproducción(A  Ca S| CbD1|a)
A  aS| bD1|a

i= 2 ELIMINARproducción(S  CbA |CaB) por:
S  bA |aB
1.
Para k=1,...,m
1. PiP, Pi: Bj  Ak, No existen
TALF. Tema6
1.
2.
3.
S  CbA |CaB
A  Ca S| CbD1|a
B  Cb S| CaD2|b
4.
D1  CaSA| CbD1A| aA
5.
6.
7.
D2  CbSB| CaD2B|bB
Ca  a
Cb  b

1.
2.
3.
Resultado paso 3
S  bA |aB
A  aS| bD1|a
B  bS| aD2|b
4.
D1 aSA| bD1A| aA
5.
6.
7.
D2  bSB| aD2B|bB
Ca  a
Cb  b
nº 27
6.6.2. Forma Normal de Greibach (FNG)

Resultado paso 3: gramática
equivalente e FNG:

1. S  bA |aB
1. S  bA |aB
2. A  aS| bD1|a
2. A  aS| bD1|a
3. B  bS| aD2|b
3. B  bS| aD2|b
4. D1 aSA| bD1A| aA
4. D1 aSA| bD1A| aA
5. D2  bSB| aD2B|bB
5. D2  bSB| aD2B|bB
6. Ca  a
7. Cb  b

Si ahora la limpiamos:


Quedando la gramática limpia:
Simbolos vivos:
 todos
Símbolos accesibles:
 S, A, B, D1, D1
 Eliminamos C1,C2
TALF. Tema6

Equivalente a:
1. S  bA | aB
2. A  bAA | aS | a
3. B  aBB | bS | b
nº 28