probabilidad_condicional8

Probabilidad (Ejercicios resueltos)
Matemática · Probabilidad
1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se
devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b) La primera bola no se devuelve.
Solución
a) E = { BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN }
b) E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV } (definición de
espacio muestral)
Oservemos que en el caso a) el experimento es con repetición.
2. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar
calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.
Solución
a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos.
E: espacio muestral, de 20 elementos.
P(A) = 8/20 = 2/5
(definición de probabilidad).
b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos
Bc: extraer uba bola al azar que NO sea verde.
P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20 (propiedad 5)
3. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas; se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos. a) con
reemplazo, b) sin reemplazo
Solución:
R: extraer bola roja
E = { RR, RB, BR, BB }
B: extraer bola blanca
a) Con reemplazo
RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R) =
(3/10)(3/10) = 9/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente de el
mismo cuando hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B) =
(3/10)(7/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso R es independiente del B
cuando hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R) =
(7/10)(3/10) = 21/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente del R
cuando hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B) =
(7/10)(7/10) = 49/100 (propiedad 3, porque el suceso B es independiente de el
mismo cuando hay reemplazamiento).
b) Sin reemplazo
RR, extraer bola roja y extraer bola roja: P(RR) = P(R ∩ R) = P(R).P(R/R) =
(3/10)(2/9) = 6/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente de el mismo
cuando NO hay reemplazamiento).
RB, extraer bola roja y extraer bola blanca: P(RB) = P(R ∩ B) = P(R).P(B/R) =
(3/10)(7/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente del R cuando
NO hay reemplazamiento).
BR, extraer bola blanca y extraer bola roja: P(BR) = P(B ∩ R) = P(B).P(R/B) =
(7/10)(3/9) = 21/90 (propiedad 4, porque el suceso R es dependiente del B cuando
NO hay reemplazamiento).
BB, extraer bola blanca y extraer bola blanca: P(BB) = P(B ∩ B) = P(B).P(B/B) =
(7/10)(6/9) = 42/100 (propiedad 4, porque el suceso B es dependiente de el mismo
cuando NO hay reemplazamiento).
4. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6
negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la
probabilidad de que no sea blanca?
Solución
R: extraer bola roja
B: extraer bola blanca
R U B: extraer bola roja o blanca, P(R U B) = P(R) + P(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 =
3/5 (propiedad 1, porque R y B no tienen elementos comunes por lo que son
mutuamente excluyentes o incompatibles)
Bc: NO extraer bola blanca, P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5 (propiedad 5)
5. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10
morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un
alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea
rubio.
Solución
H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3
M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3
P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1 (Propiedad 1, porque no hay elementos comunes entre H
y M)
6. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben
hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución
a) Suceso A: Saben hablar inglés.
Suceso B: Sabe hablar francés
Estos sucesos son compatibles porque tiene elementos en común, por tanto:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5
(eventos compatibles)
b)
P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad
condicionada)
c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24
7. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al
azar.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b)Describe los sucesos:
A:
"Mayor que 6"
B:
"No obtener 6"
C : "Menor que
6"
escribiendo todos sus elementos.
c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.
Solución
a) Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) A: "Mayor que 6"
A = {7,8,9}.
B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}.
C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5}
c)
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos
que A∩B = {7,8,9} (elementos comunes), entonces P(A∩B) = 3/10
B' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B' ∩A' = {6}, por tanto P(B'∩A') = 1/10
8. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la
probabilidad de que sean:
a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de
oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución
a) A: extraer una carta oro, P(AA) = P(A∩A) = P(A).P(A/A) = (10/40).(9/39) =
90/1560 = 3/52 (probabilidad condicionada)
b) B: extraer una carta de copas, P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) = 10/40 + 10/40 0 =1/2 (A y B son eventos incompatibles o mutuamente excluyentes porque no
tienen elementos comunes)
c) P(al menos una de oro) = 1 – P(ninguna de oro) = 1 – (30/40).(29/39) = 87/156
=29/52.
d) P(B∩A) = P(B).P(A) = (10/40).(10/39) = 10/156 = 5/78 (Eventos independientes)
Los cálculos anteriores son bajo el supuesto de que la baraja española de 40
cartas tienen 10 oros y 10 copas, más información sobre la baraja española en la
página:http://www.salonhogar.net/Enciclopedia/Baraja_espanola/Indice.htm
9. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta
leer y ver la televisión. Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
- A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución
A: les gusta ver la tele
B: les gusta leer
P(A∩B) = 32/120,
P(B) = 92/120, P(A) = 47/120
a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 (propiedad de eventos
complementarios)
b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47 (probabilidad condicionada)
c) P(B) = 92/120 (definición de probabilidad)
10. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es
la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
Solución
Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4);
(1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3);
(4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1);
(2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el
mismo número es 5/25 = 1/5. (Definición de Probablidad).
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
11. Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1
al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Solución
Del mismo modo que en el ejercicio 10, hay 125 formas posibles: (1,1,1); (1,1,2) ...
(5,5,4); (5,5,5); de las cuales 5 son favorables, por tanto la probabilidad de que las
tres personas elijan el mismo número es 5/125 = 1/25. (Definición de Probabilidad)
Esta solución es aporte de "mónica" ver el comentario #4
12. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas
caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
Solución
a) Sea P la probabilidad de obtener una cara, entonces P(1) + P(2) + P(3) + P(4) +
P(5) + P(6) = 1 y P(1) = P, P(2) = 2P, P(3) = 3P, P(4) = 4P, P(5) = 5P, P(6) = 6P
(por ser proporcionales a las caras), entonces P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P =
1; 21P = 1; P = 1/21, entonces P(6) = 6(1/21) = 6/21 = 2/7.
b) P(1) + P(3) + P(5) = P + 3P + 5P = 9P = 9(1/21) = 9/21 = 3/7.
13. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál
es la probabilidad de que salga el 7?
Solución
El espacio muestral tiene 62 = 36 resultados, de los cuales suman 7 los siguientes:
(1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga 7 en la
suma es 6/36 = 1/6.
14. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Las caras obtenidas sumen 7.
Solución
a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces:
P(A∩A∩A) = P(A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.
b) El espacio muestral tiene 63 = 216 resultados, de los cuales suman 7 los
siguientes: (1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1);
(3,1,3); (3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1), por tanto la probabilidad de que
salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.
15. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un
número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Solución
El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener
fichas con puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos
de 4.
A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}
B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 (propiedad 2
porque los sucesos A y B son compatibles por tener un elemento en común).
16. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son
blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de
un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres
papeletas.
Solución
Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de
un coche y Bj el suceso de sacar "j" papeletas blancas.
P(A1) = 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.
P(A2) = 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.
P(A3) = 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.
17. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de
suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen
simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de
los dos estudiantes suspenda el examen
Solución
P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5.
18. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la
mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que
una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
Solución
Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en
cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas
probabilidades conociendo otras de la tabla)
Ojos castaños
Total
Hombre
5
10
Mujer
10
20
Total
15
30
Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos
castaños.
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.
19. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de
automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres
casadas.
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea
una mujer?
Solución
Hombre Mujer
Total
Casados
45
80
35
Solteros
20
20
40
Total
65
120
55
a) P(hs) = 20/120 = 1/6.
b) P(m/c) = 45/80 = 9/16.
20. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles
con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de
chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos
y uno con problemas de chapa. Calcular:
a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la
mañana.
Solución
Mañana
Tarde
Total
ElectricidadMecánica
3
8
2
3
5
11
Chapa
3
1
4
Total
14
6
20
a) P(tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%
b) P(p.mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%
c) P(elect/mañ) = 3/5 = 0,6.
21. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos
temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del
mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de
los temas estudiados.
Solución
P(al menos un tema) = 1 - P(ningún tema) = 1 - (10/25)(9/24) = 1 - 3/20 = 17/20.
22. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la
mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie
francés?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?
Solución
a) Sea A el suceso de elegir un chico y B el suceso de elegir estudiante de francés.
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/20 + 10/20 - 5/20 = 15/20 = 3/4 (A y B son
sucesos compatibles)
b) En la gráfica se observa que la intersección entre el conjunto "alumnas" y el
conjunto "no francés" tiene 5 elementos, entonces P(chica y no francés) = 5/20 =
1/4.
23. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos
juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay
un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un
alumno de la clase: a) juegue sólo fútbol, b) juegue sólo baloncesto, c) Practique
uno solo de los deportes, d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
Solucióna
a) P = 0,3
b) P = 0,2
c) P = 0,3 + 0,2 = 0,5
d) P = 0,4
24. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene
ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al
azar:
a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también
ojos castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos
castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
Solución
Pelo castaño
Pelo no castaño Total
Ojos castaños
15
25
10
Ojos no castaños 25
50
75
Total
40
100
60
a) P(ojos castaños/pelo castaño) = 15/40 = 3/8
b) P(pelo no castaño/ojos castaño) = 10/25 = 2/5
c) P(pelo no castaño y ojos no castaño) = 50/100 = 1/2.
25. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y
15 son varones y usan gafas; si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de
que sea hombre?
Solución
Gafas
Sin gafas
Hombres
15
25
Mujeres
15
45
Total
30
70
a) P(mujer y sin gafas) = 45/100 = 9/20
b) P(hombres/sin gafas) = 25/70.
Total
40
60
100