MATEMÁTICA I Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz INDICE INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 4 CAPÍTULO 1: ECUACIÓN DE LA RECTA....................................................................................... 5 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O PLANO CARTESIANO ............................ 5 LA RECTA: PENDIENTE, ECUACIÓN, RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES........ 7 MISCELÁNEA DEL CAPÍTULO ............................................................................................ 10 CAPÍTULO 2: RELACIONES Y FUNCIONES.............................................................................. 15 RELACIONES ....................................................................................................................... 15 FUNCIONES ......................................................................................................................... 15 FUNCIÓN LINEAL................................................................................................................ 18 PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL ......................................................................... 19 INGRESO, COSTO, UTILIDAD .................................................................................... 19 OFERTA Y DEMANDA ................................................................................................. 21 FUNCIÓN CUADRÁTICA ..................................................................................................... 24 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA ........................ 27 CAPÍTULO 3: PROPORCIONALIDAD ......................................................................................... 30 PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE ....................................................................... 30 PORCENTAJES ..................................................................................................................... 32 AUMENTOS Y DESCUENTOS ..................................................................................... 38 FIJACIÓN DE PRECIOS ................................................................................................ 40 CAPÍTULO 4: CONVERSIONES .................................................................................................... 43 CONVERSIONES .................................................................................................................. 44 CAPÍTULO 5: MATEMÁTICA FINANCIERA .............................................................................. 45 INTERÉS SIMPLE ................................................................................................................ 45 CLAVE DE RESPUESTAS................................................................................................................ 49 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O PLANO CARTESIANO .......................... 49 LA RECTA: PENDIENTE, ECUACIÓN, RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES...... 50 MISCELÁNEA....................................................................................................................... 51 FUNCIONES ......................................................................................................................... 53 FUNCIÓN LINEAL................................................................................................................ 54 PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL ................................................................................... 57 INGRESO, COSTO, UTILIDAD .................................................................................... 57 OFERTA Y DEMANDA ................................................................................................. 59 FUNCIÓN CUADRÁTICA ..................................................................................................... 60 2 Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA....................................... 66 PROPORCIONALIDAD......................................................................................................... 67 PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE ............................................................. 67 PORCENTAJES............................................................................................................... 68 AUMENTOS Y DESCUENTOS ..................................................................................... 68 FIJACIÓN DE PRECIOS ................................................................................................ 69 CONVERSIONES .................................................................................................................. 70 MATEMÁTICA FINANCIERA .............................................................................................. 71 GLOSARIO DE VARIABLES Y FORMULAS ................................................................................ 72 VARIABLES .......................................................................................................................... 72 FÓRMULAS .......................................................................................................................... 73 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................ 76 3 Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz INTRODUCCIÓN El presente cuadernillo de problemas es una herramienta necesaria para que nuestro alumnado pueda desarrollar correctamente los criterios matemáticos, formulando, operando, y resolviendo ecuaciones aplicadas al mercado de bienes; de forma tal, que le permita analizar situaciones futuras en la administración de los negocios internacionales. Este cuadernillo consta de un glosario de variables y fórmulas que permiten al alumno desarrollar los diferentes problemas planteados, los mismos que están dosificados con grado de dificultad creciente. Así mismo, las respuestas alcanzadas por los alumnos pueden ser contrastadas con el listado de respuestas que el cuadernillo al final presenta. 4 Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz CAPÍTULO 1: ECUACIÓN DE LA RECTA Ejercicios propuestos N°1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O PLANO CARTESIANO 1) Indica las coordenadas de los puntos en el plano: 2) Considera los puntos de la gráfica siguiente y completa el cuadro. 5 Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz 3) Dibuja un sistema de ejes coordenados y ubica los sgtes puntos: 4) Indica el cuadrante o eje en el que se encuentra el punto de coordenadas dadas: 5) Indica las coordenadas de los puntos en el gráfico 6 Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°2 LA RECTA: PENDIENTE, ECUACIÓN, RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1. ¿Cuál es el valor de p en la II. Si m >0 la recta forma un coordenada (3p -2; 5) sabiendo que ángulo 0° < ∝ < 90° con el eje este punto se encuentra en el eje de de las abscisas. las ordenadas (eje y) A. B. C. D. III. Si m < 0 la recta forma un ángulo 90° < ∝ < 180° con el 2 3 3 2 3 2 2 -3 eje de las abscisas. A. Sólo I B. Sólo II E. Otro valor C. Sólo I y II D. Sólo II y III 2. ¿Cuál es el valor de p en la E. I, II y III coordenada (11; 6p - 12) sabiendo que este punto se encuentra en el eje de las abscisas (eje x) 4. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta 2x – 3y + 5? A. -2 B. 2 A. (1; -1) C. -6 B. (-1; 1) D. 6 C. (-1; -1) E. 18 D. (1; 1) E. Ninguno de los anteriores. 3. Si m es la pendiente de una recta cualquiera ¿cuál(es) de 5. ¿Cuál de las siguientes rectas las pasa por el origen? siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? A. x – y + 5 = 0 3 I. Si m = 0, la recta es paralela B. Y= 2x - 2 al eje de las ordenadas. C. Y + 5 = 0 7 Matemática I D. 𝑦 = − Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz 𝑥−2 A. -1/5 2 B. -5 E. 5x – 4y = 0 C. 1 6. ¿Cuál de las siguientes rectas D. -1 pasa por el punto ( -2; 5)? E. 5 A. x – y + 5 = 0 10. ¿Qué valor debe tomar k en la B. 2x + y + 9 = 0 3 ecuación 3x – 2ky + 9 = 0, 2 sabiendo que el punto (1; 2) 3 pertenece a la recta? C. Y= - 2x - 2 D. Y= - 3x - 2 E. Y= - 2x + 2 A. -1/5 7. ¿Cuál de las siguientes rectas B. -3 pasa por el punto ( -1; -3)? C. 3 D. -1 A. x – y + 2 = 0 E. 5 B. x + y + 4 = 0 C. y = -x – 2 11. La pendiente de la recta que pasa D. y = x + 2 por los puntos ( 2 ; -4) y E. y = x + 4 es: 8. ¿Qué valor debe tomar p en la A. -1 ecuación px – (2p – 1)y + 1 = 0, B. 1 sabiendo que el punto (3, -4) C. 5/7 pertenece a la recta? D. – 5/7 E. – 1/7 7 A. − 11 B. -3 12. La pendiente de la recta que pasa C. 3 D. (-12; 6) por los puntos ( -4 ; -5) y 7 11 7) es: E. Otro valor. A. -1 9. ¿Qué valor debe tomar p en la B. 1 ecuación 5x – (3 - p)y - 4 = 0, C. 2 sabiendo que el punto (0; 2) D. -2 pertenece a la recta? E. – 1/7 8 (-2 ; - Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz 13. La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2 ; 3 ) y A. Sólo I (5 ; 1) B. Sólo II es: C. Sólo I y II D. Sólo II y III A. 2x – 3y – 5= 0 2 13 2 3 10 B. Y = 3x + C. Y = 3x + E. I, II y III 16. En la ecuación de la recta 8x – 3 20y D. 2x + 3y – 13 = 0 + 5 = 0, los valores correspondientes a lo pendiente y E. Ninguno de los anteriores el coeficiente de posición son, respectivamente: 14. La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2 ; 1 ) y (-3 ; 6) es: A. 4/10 y 4 A. y = x + 3 C. 2/5 y -1/4 B. x – y – 3 = 0 D. – 2/5 y ¼ C. y = x - 1 E. 2/5 y -4 B. 2/5 y ¼ D. Y = - x + 3 17. En la ecuación de la recta: E. x + y + 1 = 0 4y = -6x + 7. Los valores 15. Si m1 y m2 son pendientes de dos correspondientes a la pendiente y rectas. ¿Cuál(es) de los siguientes el coeficiente de posición son, afirmaciones respectivamente: es (son) verdadera(s)? A. – 6 y 7 I. II. Si m1 = m2, las rectas B. 3/2 y 7 correspondientes son C. – 3/2 y 7/4 paralelas si b1 ≠ b2. D. 2/3 y – 7/4 Si m1 . m2 = -1, las E. – 2/3 y 7 rectas son siempre 18. La ecuación de la recta expresada perpendiculares. III. Si m1 = m2, las rectas en su forma principal (ec. Punto- correspondientes son pendiente), queda: coincidentes siempre 3 5 2 3 12 5 2 12 A. Y = x + que b1 = b2. B. Y = - x - 9 Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz 3 C. - 2x – 5 A. 3x – y + 67 = 0 2 5 3 12 D. Y = x - B. 3x + 10y + 73 = 0 C. 3x – 10y + 10 = 0 D. 3x – y + 73 = 0 19. Si L1 pasa por los puntos A( 1; -2) E. 3x + 10y + 4 = 0 y B( -4 ; 3) y es paralela a la recta L2, entonces la ecuación L2 es: 22. Si L1 pasa por los puntos (3; -1) y A. 3x – 3y – 1 = 0 ( -3; 11) y es paralela a la recta L2 B. x + y + 1 = 0 que además pasa por el origen, C. y = x – 4 entonces L2 tiene como ecuación: D. y = x + 7 E. 2x + 2y – 9 = 0 A. 2x – y = 0 B. X – 2y = 0 20. Si una recta tiene pendiente m = - C. 2x + y = 0 3 y pasa por el punto (-3; -3), D. X + y = 0 entonces su ecuación de recta es: E. Falta información A. Y = -3x – 12 23. Si L1 pasa por los puntos (-2; 3) y B. 3x – y + 12 = 0 (8; -1) y es perpendicular a la C. Y = 3x + 6 recta L2 que pasa por el punto D. 3x + y – 12 = 0 (0; 5). Entonces la ecuación de L2 es: 21. Si una recta tiene pendiente 3 m=− 10 y pasa por el punto (-1; -7), A. 2x + 5y + 19 = 0 entonces su ecuación de recta es: B. 5x + 2y -3 = 0 5 C. Y= 2x + 5 2 D. Y= 5x + 1 3 E. Ninguna de Ejercicios propuestos N° 3 MISCELÁNEA DEL CAPÍTULO 1. Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos: a) (3;6) y (4;10) b) (-2;-5) y (6; 9) c) (-3;-4) y (-7;-2) 10 las anteriores Matemática I Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz d) (1;2) y (-5;-6) 2. Calcula las pendientes de todas las rectas: 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos. a) (–2;5) y (3;2) b) (-1;-5) y (-4;-3) c) (6;4) y (-3;-4) d) (7;0) y (3;4) 4. Escribe la ecuación correspondiente para cada gráfica: a) b) 11 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz c) 5. Relaciona cada ecuación con la recta. 6. Determinar la ecuación de la recta con pendiente m y ordenada al origen b. a) m = 2 ; b = 4 c) m=3;b=6 b) m = -5 ; b = -1 d) m = -2/3 ; b = -1/4 7. Encuentre la ecuación de la recta paralela a 2x + 3y -5=0 y que pasa por (4,3). 8. Hallar la ecuación de la recta paralela a −6x − 2y + 19 = 0 y que pasa por el punto (3,-2). 9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 2x + 3y − 6 = 0. 10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 4x − 2y − 4 = 0. 11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (-3,4). 12 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-3,-2) y (-2,3). 13. Si la ecuación y = (4-k)x + 3 e y = (2k+1)x + 5 representan rectas paralelas, entonces encuentre el valor de k. 14. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-2) y es perpendicular a la recta x + 3y − 6 = 0. 15. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,0) y es perpendicular a la recta x − 2y = 6. 16. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4x − 5y − 6 = 0 y pasa por el punto (-1, 4). 17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-2,-3) y es perpendicular a la recta que pasa por (2,3) y (1,0). 18. Sean L1 y L2 rectas perpendiculares cuyas ecuaciones son L1 : y = kx − 2x + 1, L2 : y = kx + 7. Determinar el valor de k. 19. Las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son: L1 : y = kx + x−1 y L2 : y = 3x−5. Si L1 L2, hallar el valor de k. 20. Hallar el punto de intersección de los siguientes pares de rectas: a) L1: 3x – 4y +6 = 0 L2: 2x + 4y -16 = 0 b) c) L1: 3x + 2y -7 = 0 L2: 4x – 3y +2 = 0 d) 2x - 3y + 14= 0 3x + 3y – 39 = 0 e) y= 3x + 5 y= 6x + 11 21. Dada la siguiente gráfica responde: 13 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz a) La ecuación del artículo A b) La ecuación del artículo B c) Las coordenadas del punto de intersección e interpretar. 14 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz CAPÍTULO 2: RELACIONES Y FUNCIONES Ejercicios propuestos N°4 RELACIONES 1) Dado: A = {2, 3, 4 } y B = { 3, 4, 5 }. Indicar la relación que implica: que el primer elemento sea menor que el segundo o mejor dicho: R = { (x, y) A x B / x < y } 2) Si A = { -1, 0, 1, -2, -3 } y B = { 1, 2, 4, 5, 7, 9 } Hallar los elementos del dominio y rango de las siguientes relaciones: a) R1 = { ( x, y ) A x B / y + 2x = 0} b) R2 = { ( x, y ) A x B / y = x2 } c) R3 = { ( x, y ) A x B / y < x2 } d) R4 = { ( x, y ) A x B / x2 + y2 < 3 } e) R = { ( x, y ) A x B / y > 2x + 1 } 3) M = 3 x 2 / X Z, - 4 < x Hallar R = x, y Z x M / 4 y = 3x - 1 así como su Dominio y Rango. Ejercicios propuestos N°5 FUNCIONES 4) Indica si los siguientes pares ordenados representan una función. a) b) c) d) e) f) (1,3), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3) (1,3),(2,4),(3,5),(6,7),(8,5) (2,4), (2,5),(3,4),(5,2),(1,4) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) (0,0), (1,1,(2,4,(3,9),(4,16) (0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5) 15 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz g) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5) 5) Dadas las siguientes relaciones que aplican A en B, mediante diagrama de flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple. 6) Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple. 16 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 7) Cuáles de los siguientes conjuntos corresponde a una función: a. b. c. d. { { { { (a ; 1) , (b ; 1) , (c ; 1) } (1 ; 1) , (1 ; 3) , (1 ; 5) } (a ; m) , (b; m) , (c ; n) , (b ; 1) } (1 ; 1) , (2 ; 1) , (3 ; 2) , (4; 2) , (5 ; 2) } 8) Sean: A = { -2; 0; 1; 3; 5; 7} , B = { 0; 2; 8 ;10; 12} R = {(x;y )∈AxB / y = 2x} a) b) c) d) Realiza el diagrama sagital para la correspondencia R. ¿R es función? ¿por qué? Determina los elementos de R Indica el dominio y rango de R 17 y la relación: Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°6 FUNCIÓN LINEAL 1) Grafica las siguientes funciones lineales: A) y = 2 B) y = − 2 C) x = − 5 D) y = x E) y = − 2 x – 1 F) y = ½ x − 1 2) Dadas las siguientes funciones lineales A) Graficar usando los conceptos de pendiente y ordenada al origen. B) Hallar el cero, igualando la función a cero y despejando la “x”. C) Verificar su ubicación en el gráfico. D) Decir si la función es creciente, decreciente o constante. 3) Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal correspondiente. 18 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°7 PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL INGRESO, COSTO, UTILIDAD 1. Un fabricante de menaje de vidrio produce copas para vino a un costo variable de $ 0,85 cada uno y costos fijos son de $ 80 al día. Si cada copa se vende a $ 1,10 determinar el punto de equilibrio. 2. Los costos por producir un llavero publicitario son de $ 0,90 por unidad y los costos fijos son de $ 30 al día. El llavero se vende en $1,20 cada uno. ¿Cuántos unidades deberá producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas 3. Los costos fijos por producir una lata de “Retbol” son de S/. 5 000 diarios y los costos variables son de S/. 3,50 por lata. Si se vende a S/. 6,00 cada lata. Determine el número de latas que deberán producirse y venderse al día para lograr el punto de equilibrio y represente gráficamente todas las funciones involucradas. 4. El costo de editar “q” revistas de marketing a la semana está dado por: C(q) = 1000 + 5q a) Si cada revista puede venderse a $ 7,00; determine el punto de equilibrio. 19 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz b) Si el fabricante puede reducir los costos variables a $ 4, 00 por revista incrementando los costos fijos a $ 1 200 a la semana, ¿convendrá hacerlo? 5. Los costos fijos por elaborar el Menú Económico N° 1 en un Restaurant Turístico son de S/. 5 000 al mes y los costos variables son de S/. 3,50 por Menú. Si se vende cada menú a S/. 6,00: a) Encontrar el punto de equilibrio. b) ¿Cuál es el número de menús que debe preparar y vender al mes para obtener una utilidad de S/. 1 500 mensuales? c) ¿Cuál es la utilidad, cuando sólo 1 500 menús se producen y venden cada mes? d) Si el Restaurant puede reducir los costos variables a S/. 2,50 por menú, incrementando los costos fijos a S/. 7 000 al mes. ¿Convendrá hacerlo? 6. Un fabricante de muebles puede vender mesas para oficina por $ 70 cada una. El costo total de fabricación está formado por los gastos generales fijos de $ 8000 dólares mensuales más los costos de producción de $30 por mesa. a) ¿Cuántas mesas debe vender el fabricante para llegar al punto del beneficio nulo? b) ¿Cuántas mesas debe vender el fabricante para obtener un beneficio de $6000. c) Calcule el beneficio ó pérdida del fabricante si se han vendido 150 mesas. d) En el mismo sistema de ejes coordenados grafique las funciones ingreso total y costo total. 7. Un fabricante de cierto componente electrónico tiene costos fijos de $ 3 000 y costos variables de $ 25 por unidad. Encuentre la ecuación que relacione los costos de producción “C” con la cantidad producida “q”. ¿Cuál es el costo de producir 100 unidades? 8. Una empresa cafetalera tiene en sus registros que el costo por el procesamiento (cosecha, secado y molido) de un kilogramo de café es de S/. 1,75; mientras que por gastos de renta de local y servicios básicos a la semana destina S/. 1 400 a) Establezca la función lineal del costo de producir “q” kilogramos de café, semanalmente. b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de café a la semana 20 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 9. Un taxista decide regularizar su plan tarifario para poder cobrar lo justo por cada servicio ofrecido. Debido a su experiencia y al modelo de automóvil que maneja establece que debe cobrar S/. 3,00 más S/. 0,80 por cada kilómetro recorrido. a) Establezca la tarifa por recorrer “ k “ kilómetros. b) ¿Cuánto debería cobrarle a una señora que le pide un servicio de 6,5 kilómetros? c) Si quiere reunir 50 soles en un día, ¿cuántos kilómetros debería recorrer? 10. Un hotel renta un cuarto a una persona; la tarifa es de $25 por la primera noche y $15 por cada noche adicional. Considerando un modelo lineal: a) Exprese en costo “C“ de alquiler de cuarto para “x“ noches de estadía. b)Con 460 soles, ¿por cuántas noches podrá rentar el cuarto? 11. La empresa D&R SAC solicita los servicios de “Fantasy Party & Eventos” - especialistas en catering- para la preparación y supervisión de banquetes. La empresa obtiene la siguiente información: el costo por persona es de $ 20 además de un cargo fijo extra de $ 50. a) Encuentre el modelo lineal que refleja el costo de la preparación de un banquete para “q” personas b)Si la empresa D&R SAC tiene un presupuesto de $ 3 050 para eventos de fin de año, ¿a cuántas personas podrá invitar a la actividad? 12. Para “Rimax”, el costo total diario, en dólares, de producir “x” sillas plásticas está dado por: C total = 2.5 x + 300. a) Si cada silla se vende a $ 4.00 ¿Cuál es el punto de equilibrio de producción y venta? b) Si el precio de venta se incrementa a $ 5.00 por silla, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio? c) Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día, ¿Qué precio debería fijarse con el objeto de garantizar que no haya pérdidas? 13. Un fabricante de Discos Compactos (CD´s) logra el punto de equilibrio de su producción si sus ingresos por ventas son de $ 180 000 al año. Si los costos fijos anuales son de $ 45 000 y cada millar de CD´s se vende a un precio de $ 30, hallar el costo variable por cada millar. OFERTA Y DEMANDA 1. La empresa Movil Star prepara el lanzamiento de un nuevo modelo de teléfono celular. Establece que a un precio (p) de $ 200 la unidad se venderán 5 21 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz unidades diarias (q) y si el precio se fija en $ 180 la unidad, se venderán 9 unidades diarias. Encontrar la función de demanda, suponiendo que es lineal. 2. En un análisis de mercado, La Pastelería San Anatolio encuentra que sus ventas semanales por tienda, en promedio, son de 1 500 sandwich cuando el precio es de S/. 7.00 cada uno, pero las ventas se incrementan a 1 800 sandwich si el precio se reduce a S/. 5.00. Determine la función de mercado correspondiente 3. Por temporada alta, el Hotel Prado Inn. puede ofrecer 7 habitaciones dobles si el precio es de S/. 150 la noche (por habitación), pero si el precio lo incrementan a S/. 180 la noche, la empresa puede ofrecer 13 habitaciones dobles. Establezca la correspondiente función de oferta. 4. Art & Desing, fabricante de artículos publicitarios puede confeccionar 8 000 polos al mes si el precio es de $ 2,50 la unidad. Si el precio es de $ 4,00 la unidad, puede producir 14 000 polos al mes. Suponiendo un modelo lineal, determine la correspondiente función de mercado. 5. Para la asistencia a un concierto musical, a un precio de S/. 50 por boleto, la cantidad demandada es de 4 500 boletos, mientras que la cantidad ofertada es de 3 300 boletos. Si el precio se incrementa en S/. 10 por boleto, las cantidades demandadas y ofertadas serán de 4 400 y 4 200 boletos, respectivamente. Suponiendo linealidad: a) Determinar las funciones de mercado (oferta y demanda) correspondientes. b) Encontrar el precio y cantidad de equilibrio de mercado 6. La gerencia de producción de una empresa que fabrica artículos deportivos ha establecido que al precio de S/. 180 la docena se venden 800 artículos. Si el precio disminuye en $ 5 por unidad, la cantidad de artículos ofrecidos se reduce en un 50 %. Además se sabe que la otra función de mercado, correspondiente a dicho artículo es q = -40p + 1040, siendo q = cantidad; p = precio. a) Hallar la función de oferta b) Hallar la cantidad y precio de equilibrio de mercado. 7. Una conocida marca de Shampoo para cabello promociona un nuevo producto y al analizar sus ventas encuentra que éstas son de 1 000 paquetes (six pack de 22 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz sachets) diarios cuando el precio es de $ 1,20 por paquete, pero las ventas se incrementan a 1 200 paquetes cuando el precio se reduce a $ 1,10 por paquete. Determine la respectiva función de mercado. 8. La empresa Asia-Beach tiene proyectado lanzar para la temporada 2008 nuevos modelos de ropas de baño. Según estudios realizados, el mercado respondería de acuerdo a lo que se establece: Si el precio es de S/. 30 c/u, confeccionarán 2 000 prendas semanales y si elevan el precio en S/. 5 c/u. confeccionarán 2 500 prendas semanales. Determine la función de mercado correspondiente para este modelo lineal. 9. Se solicitó la colaboración de los alumnos del primer ciclo de la carrera de Administración quienes realizaron un estudio para proyectar la conveniencia o no un evento y se obtuvieron los siguientes resultados: Precio Capacidad Capacidad Ofrecida Solicitada $5 50 personas 100 personas $ 10 90 personas 60personas de Entrada a) Determine las funciones de oferta y demanda correspondientes. b) Determine el punto de equilibrio de mercado. 10. La empresa Nike, ha elaborado un nuevo modelo de T-Shirt donde están bordadas las insignias de los equipos de fútbol profesional peruano y con el afán de despertar un mayor interés en la asistencia a los estadios. En el siguiente cuadro se muestra el comportamiento del mercado según el estudio realizado por alumnos de la carrera de Marketing de iSIL. Precio Unidades Unidades Ofrecidas Demandadas $ 12.50 3 600 8 000 $ 14.00 8 000 5 000 de T -Shirt a) Determine las funciones de oferta y demanda correspondientes. b) Determine el punto de equilibrio de mercado. 23 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°8 FUNCIÓN CUADRÁTICA 1) Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = (x−1)² + 1 b) y = 3(x−1)² + 1 c) y = 2(x+1)² − 3 d) y = −3(x − 2)² − 5 e) y = x² − 7x −18 f) y = 3x² + 12x − 5 2) Representa gráficamente las funciones cuadráticas: a) y = −x² + 4x – 3 b) y = x² + 2x + 1 3) Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas: a) y = x² - 5x + 3 b² - 4ac = 25 - 12 > 0 Dos puntos de corte b) y = 2x² - 5x + 4 b² - 4ac = 25 - 32 < 0 No hay puntos de corte c) y = x² - 2x + 4 24 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz b² - 4ac = 4 - 4 = 0 Un punto de corte d) y = -x² - x + 3 b² - 4ac = 1 + 12 > 0 Dos puntos de corte 4) Graficar: a) b) c) 5) Sabiendo que la forma de la función cuadrática es: (𝑥 − ℎ)2 = 𝑦 − 𝑘, dar la ecuación de las funciones cuadráticas graficadas a continuación: 25 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 26 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°9 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 1. El costo por unidad (en dólares) al producir x de juegos de vajilla para restaurantes es: C( x) 20 0,06x 0,0002x 2 . de vajilla producidas minimizarían el costo?. a) ¿Qué número de juegos b) ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad? 2. El ingreso mensual (en soles) por concepto de la venta de x Menús Ejecutivo en cierto Restaurante de Miraflores está dado por: I (x) 12x 0,01x2 . a) ¿Cuál es el Nº de Menús que deben venderse para maximizar el ingreso? b) ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo? 3. Para una imprenta, la utilidad U(x), (en dólares), obtenida por fabricar y vender x unidades de gigantografías publicitarias está dada por: U ( x) 60x x 2 a) ¿Cuál es el Nº de unidades que deben producirse para maximizar la utilidad? b) ¿Cuál es esta utilidad máxima 4. La cantidad demandada mensual, q, de pantalones “jeans” al precio de p dólares por unidad, está dada por la relación: q 1350 45 p . El costo de mano de obra y de material con que se fabrica este pantalón es de $ 10 por unidad y los costos fijos son de $ 2 000 al mes, ¿Qué precio, por unidad, p deberá fijarse el consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual? 5. Se estima que el número de clientes que llega a una cafetería está relacionada con la hora del día de la siguiente manera: Número de clientes = - hora² + 24 hora – 94, donde la hora se mide entre las 06 y 22. Se desea saber: a) A qué hora habrá el máximo número de clientes y cuántos serán éstos? b) A qué hora habrán 34 clientes? c) Cuántos clientes habrán a las 6 de la tarde? 27 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 6. Una empresa fabricante de choco tejas para exportación (cajas de 24 unds.), tiene costos fijos mensuales de $ 2000 y el costo variable, por caja, de $ 25. a) Determine la función de costo. b) El ingreso mensual ($) al vender q cajas está dado por: I (q) 60q 0,01q 2 , ¿Cuántas cajas deben venderse para maximizar el ingreso? ¿Cuál es este ingreso máximo? c) ¿Cuántas cajas deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? 7. Para la empresa Laboratorios Lima, función demanda de un determinado antibiótico es: p = -q + 26. Los costos variables de producir este producto son de $ 6 por unidad y los costos fijos son de $ 50 diarios. a) Halla las funciones costo, ingreso y utilidad. b) ¿Cuál es la utilidad máxima? y ¿para qué cantidad demandada se produce? c) Grafica las funciones ingreso y costo en un mismo plano 8. Para la empresa UNIKE, la función demanda de cierta fragancia de perfume 15 p 2q 720. El costo ($) de producir q unidades es: C (q) 200 8q . ¿Qué precio p por unidad deberá fijarse al es: consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima? 9. Si una editorial fija el precio de un nuevo libro de matemática en $ 20 se venderán 10 000 ejemplares. Por cada dólar de aumento en el precio, las ventas se reducen en 400 ejemplares. ¿Qué precio deberá fijar a cada libro se manera que se logre el ingreso máximo? ¿Cuál es este ingreso máximo? 10. La función demanda p = f(q) para un producto de exportación (espárragos) es lineal. Dos puntos (q, p) que definen dicha función son (24800, 100), ( 8800, 500). Los costos variables de producción son de $ 80 por tonelada y los costos fijos ascendieron a $ 2 500 000. Sí q se expresa en toneladas y p en dólares: a) Calcula la función demanda b) Calcula las funciones del ingreso y el costo. c) ¿A qué precio se maximiza el ingreso?; ¿Cuál es la utilidad para el precio anterior? 28 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 11. Por cada dólar de incremento en el precio de un producto, la cantidad demandada disminuye en una unidad. Una cantidad demandada de 80 unidades corresponde a un precio de $ 20 por unidad. Se pide: a) Exprese el ingreso como una función de la cantidad vendida, asumiendo que todo lo que se produce, se vende. b) Si el costo fijo de producción es de $ 400 y el costo variable es de $ 50 por unidad, encontrar la utilidad como una función de la cantidad producida y vendida. c) ¿Qué precio de venta hace máxima la utilidad? 12. Una empresa familiar de elaboración de alhajas de bisutería determina que por cada dólar de aumento en el precio unitario de una sortija, la cantidad demandada del mismo se reduce en una unidad; asimismo saben que cuando el precio fijado es de $ 5,00 por cada sortija, les comprarán 5 unidades. Si el costo de material para la elaboración de una sortija es de $ 1,00 y los costos fijos son de $ 5,00 diarios, Obtener: a) La función demanda. b) La función costo total. c) La función Ingreso y el ingreso máximo d) La función utilidad y la utilidad máxima. 29 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz CAPÍTULO 3: PROPORCIONALIDAD Ejercicios propuestos N° 10 PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE 1) La razón entre el gasto en alimentación y el sueldo de una familia es 1/3. ¿Cuánto gastará en alimentación si gana al mes 1506 soles? (502 soles) 2) Dos socios han invertido 18000 y 24000 euros, respectivamente, para formar un negocio. Si el primero, a la hora de repartir beneficios, ha percibido 1446€ ¿cuánto debe recibir el segundo? (1928€) 3) Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, calcula cuanto tardarían 30 vacas. (32 días) 4) Juan ha recibido 20 soles por un trabajo de 5h. ¿Cuánto recibirá si trabaja 8 horas? (32 soles) 5) Un famoso cuatrero del oeste americano sabe que por cada 30 caballos entregados percibe $ 1500. ¿Cuántos caballos deberá conseguir para cobrar $ 6 000 (120) 6) Si abro tres desagües de una piscina, esta tarde en vaciarse dos horas. ¿Cuánto tardaré en vaciarla abriendo doce desagües? ( media hora) 2 7) Si el valor de un local de 120m es de $ 120 200 . ¿Cuánto valdrá otro 2 similar de 180 m ?. (180 300 dólares) 8) Tras cronometrar 15s he contado 14 pulsaciones. ¿Cuántas pulsaciones tengo por minuto? (56 pulsaciones) 9) Un púlsar, cuerpo celeste de pequeño diámetro, gira sobre sí mismo 2500 veces en tres segundos. ¿Cuánto tiempo necesitará para girar 20.000 veces? (24 s) 10) Un reloj de atrasa 5s cada 6h. ¿Cuántos minutos se atrasará en 15 días? (5 min) 11) Doce limpiadores barren todo un teatro en ocho horas. ¿Cuántos limpiadores hacen falta para hacerlo en seis horas? (16 obreros) 12) La barba de Robinson Crusoe creció 4 cm en tres meses. ¿Cuántos años tendremos que esperar para que la barba le crezca 80 cm? (5 años) 13) Un satélite da 8 vueltas a la Tierra en 40 min. ¿Cuántas vueltas completará en 10h? (120) 30 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 14) Vemos un relámpago y 5s más tarde oímos el trueno. ¿A qué distancia se encuentra la tormenta si sabemos que el relámpago y el trueno se producen en el mismo instante y que la velocidad del sonido es de 340 m/s? (1700m) 15) Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días? (16 h/d) 16) Una pulga de 0,13cm puede llegar a saltar 19,5cm de altura. ¿Cuántos metros llegaría a saltar un niño de 1,60m si tuviera la misma habilidad para el salto? (240m) 17) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿cuántas horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas? (20) 18) ¿cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m sabiendo que a la misma hora una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0,63 m? (3,5 m) 19) Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho? (16 kg) 20)Para hacer 96 m2 de un cierto género se necesitan 30 kg de lana;¿ cuántos kg se necesitarán para tejer una pieza de 0,90 m de ancho por 45 m de largo? (12,656 kg) 21) Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km? (55 min 12 seg) 22)Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros abandonan el trabajo. ¿cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? (27 h) 23)Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas? (18) 24)Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho, ¿cuántos rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m? (9) 25)Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿cuántos kg de $66 podría haber comprado con esa misma suma de dinero? (31 kg) 26)Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30días ¿cuántos obreros deberán aumentarse? (32) 27)A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2 hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿qué tiempo empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 k/h? (3 hs 53 min 20 s) 31 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°11 PORCENTAJES 1) En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68% están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos son 2) Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el 12% de los 50 dólares que ha cobrado. ¿Cuánto dinero recibiré 3) Pedro posee el 51% de las acciones de un negocio. ¿Qué cantidad le corresponde si los beneficios han sido de 74 500 €? 4) Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina? 5) En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de ausencias 6) Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo que representa el 84% del total. ¿De cuántas camas dispone el hospital? 7) El 24% de los habitantes de un pueblo tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años? 8) ¿Cuánto me costará un abrigo de $360 si me hacen una rebaja del 20%? 9) A un trabajador que ganaba 1300 soles mensuales le van a aumentar el sueldo un 4%. ¿Cuál será su nuevo salario? 10) En una tienda en la que todo está rebajado el 15% he comprado un pantalón por el que he pagado 102 soles. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja? 11) El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de 2 100 €. ¿Cuál era el valor anterior? 12) El billete del autobús cuesta 1,45€ y lo van a subir un 3%. ¿Cuánto tendré que pagar después de la subida? (1,49). 13) Este año el Dr. Rodríguez rindió el examen en la convocatoria para la selección de trabajadores en una empresa exportadora. El universo de exámenes para esta convocatoria comprende 120 preguntas. El Dr. Rodríguez respondió solamente el 75% de las preguntas, de las cuales el 30% estaban erradas. ¿Cuántas preguntas acertó? a) 63 b) 54 c) 48 d) 12 32 Matemática I 14) Prof. Alicia Herrera Ruiz ¿Qué porcentaje aumentó? 504 420 a) 120% b) 40% c) 30% d) 20% 15) Si sombrea el 25% de la tarjeta adjunta. ¿A cuántos cuadraditos equivale? a. 16 b. 10 c. 8 d. 4 16) En la tienda Mipley, un producto tiene el precio de venta original de 250 soles, para las fiestas navideñas le suben el precio en 20%, para luego anunciar una oferta de que todo artículo está a la venta con el 20% de descuento. Además en el momento de la compra de un artículo, el vendedor hace un descuento adicional del 10% sobre el precio ya rebajado. ¿Cuál fue la diferencia en soles entre el precio de venta original y lo que realmente se pagó por el artículo? a) 18 17) b) 25 c) 34 d) 10 La producción de zapatos de cierto fabricante es de 5000 pares al mes, distribuidos por color, en porcentaje, de acuerdo a la siguiente tabla: Color % Negro 27 Blanco 23 Azul 18 Marrón 15 33 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz ¿Cuántos pares de zapatos produce mensualmente en otros colores que no aparecen en la tabla? a) 850 b) 4150 c) 1850 d) 1350 18) En una convención, el 50% de los asistentes tiene maestría. Entre los que tienen maestría, el 30% tiene doctorado. ¿Qué porcentaje de todos los asistentes tiene doctorado? A) 15% B) 20% C) 25% D) 40% 19) El precio inicial de una casaca se disminuyó en un 20%. Para volverla al precio inicial al nuevo precio se le hace un aumento de: a) 7 % b) 25 % c) 30% d) 20% 20) En la tienda de un amigo está a la venta un juego de video por $50. En otra tienda, el mismo juego estaba la semana pasada $60, pero ahora me hacen un descuento del 20%. Cuando se lo conté a mi amigo, él me dijo que me podía hacer un descuento del 10%. En un gran almacén la semana pasada estaba a $45, pero por la gran demanda ahora está con un precio del 10% adicional. ¿Cuánto pagué en dólares por el videojuego si escogí el que me hizo mayor descuento en dinero?. a) 45 b) 48 c) 40 d) 49,5 21) Encontrar el valor final en: 40 30% a) 28 b) 12 c) 52 d) 10 34 e) 20 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 22) El gráfico representa al número de postulantes de un aula. El área sombreada representa a los postulantes que recién han egresado del colegio, de los cuales 1 es mujer y representa el 20 % del área sombreada. ¿Cuántos postulantes hay en esa aula? a) 20 b) 40 c) 50 d) 30 e) faltan más datos. 23) Si las áreas en blanco representan los juicios perdidos por un abogado, indicar el porcentaje de juicios ganados. a) 20% b) 80% c) 50% d) 75% 24) Un contenedor de 50 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 20 litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuevamente se extraen 20 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje de jugo hay en la mezcla final?. a) 24% b) 36% c) 30% d) 27% 25) En una fiesta se observa que el 70% de los invitados son mujeres. Si se fueran el 25% de las mujeres quedarían 42 mujeres. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? a) 240 b) 120 c) 80 d) 60 e) 90 26) Un comerciante vende 2 artículos en S/. 960 cada uno. Si en la primera gana el 20% de lo que le costó y en la segunda pierde el 20% de lo que le costó. Determinar si hubo ganancia o pérdida y cuánto. A. Gana S/. 80 B. Pierde S/. 80 D. Pierde S/. 70 E. Pierde S/. 90 35 C. Gana S/. 7 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 27) ¿Qué porcentaje aumentó? 650 500 a) 20% b) 30% c) 120% d) 130% e) N. A. GRÁFICO Nº 2 El gráfico muestra como se distribuyen los gastos mensuales de un padre de familia. Sueldo = S/.3600 Alimentació n Educación 28) ¿Cuánto gasta en alimentación? A. S/. 900 B. $ 1 080 C. S/. 1 200 D. S/. 1 120 . E. S/. 960 29) ¿Cuánto más gasta en educación que en vestido? A, S/.640 B. S/. 600 C. S/. 540 D. S/.500 E. S/.480 30) ¿Qué porcentaje es lo que gasta en vestido respecto a lo que gasta en educación? A. 10% B. 20% C. 25% D. 30% E. 40% 31) Si el 5% de otros es diversiones, ¿cuánto gasta en este rubro? A. S/.180 B. S/.126 C. S/. 189 36 D. S/.63 E. S/.100 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 32) Si el 20% del gasto en educación lo invierten en materiales de estudio. ¿Cuánto se invierte en dicho rubro?. A. S/.160 B. S/.120 C. S/.180 D. S/.200 E. S/.140 33) Si el sueldo se incrementara en S/.180 y la distribución mantuviera inalterable la proporción. ¿Cuánto más se gastaría en alimentación?. A. S/. 48 B. S/. 52 C. S/. 42 D. S/. 54 E. S/. 35 GRÁFICO Nº 3 En el gráfico se muestra la distribución de aulas A, B, C y D de un total de 600 alumnos. 35% 30% 20% 15% A B C D 34) ¿Cuántos alumnos hay en C? A. 200 B. 210 C. 140 D. 350 E. 280 35) La cantidad de alumnos en B es mayor en ……..que la cantidad de alumnos en A. A. 60% B. 10% C. 50% D. 40% E. 20% 36) La cantidad de alumnos en A excede a la de D en: A. 30 alumnos B. 33,3% C. 32 alumnos D. 30% E. Más de una es correcta 37) Si de cada aula se retiran 25 alumnos. ¿Qué porcentaje del nuevo total representan los alumnos en A? A. 18% B. 19% C. 20% D. 21% 37 E. 25% Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 38) ¿A cuánto se debe vender un artículo que costó S/. 300 para ganar el 20% del costo? a) S/.380 b) S/.400 c) S/.330 d) S/.360 e) S/.340 39) En una reunión se encuentran 20 hombres adultos y 30 mujeres adultas y 75 menores de edad. ¿Qué tanto por ciento de los reunidos no son menores de edad? a) 40% b) 50% c) 60% d) 45% e) 25% 40) En un salón de clases el número de hombres equivale al 80% total, si se retiran el 20% de los hombres, ¿Qué porcentaje el resto son mujeres? rpta: 23,8% Ejercicios propuestos N°12 AUMENTOS Y DESCUENTOS 1) Se ha realizado una compra por un total de 350 soles, sin incluir IGV, pero me hacen un descuento del 10% si el monto es menor a 300 soles y 13% si es mayor a esa cantidad. ¿Cuánto tendré que pagar? Y ¿cuánto aportaré por el 2) Al precio de venta de un artículo se le ha hecho dos descuentos sucesivos; el primero de 12 % y el segundo, que se calcula tomando como base el precio ya rebajado, del 10 %. ¿Cuál será el descuento único equivalente, partiendo del precio original? 3) Al precio de venta de un artículo se le rebaja el 10%. Determinar en qué porcentaje sería necesario aumentar el precio rebajado para que, el nuevo precio coincida con el original? 4) Una magnitud variable aumentó, en una primera etapa, en el 30% de su valor y, en una segunda, disminuyó en el 20% del valor que tenía al finalizar la primera etapa. Cuál era el valor inicial de tal magnitud si al finalizar la segunda etapa era de 8 840? 38 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 5) Determinar el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 40 y del 25%. 6) Determinar el porcentaje de incremento único, equivalente a dos incrementos sucesivos del 3 % y del 6 %. 7) Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 50% del 40% de dicho precio. Si al venderse se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado, ¿que tanto por ciento del costo se ganó?. 8) Se estima que una mezcladora de concreto sufre una depreciación de 10% por cada año de uso respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 4 años su precio es $131220, entonces el costo original de la mezcladora fue de…. 9) Una fábrica aumenta en un 20% el precio de venta de sus artículos debido al costo de vida ¿en que porcentaje disminuyen sus ventas si su ingresos se incrementaron en un 8%? 10) Un novato comerciante quiere vender un objeto aumentando su precio en un 20%, pero luego de unos días rebaja este precio en un 10% y a la semana nuevamente aumetna el precio recién fijado en una 40%, decidiendo al día siguiente rebajar un 20% de este último precio. ¿Podrías determinar si este comerciante está ganando o perdiendo y en qué porcentaje? 11) Una persona ganó dos facturas; por la 1era. pagó $845000, luego de que le hicieran el 35% de descuento, por la 2da. pagó $1400000 en la cual le recargaron el 12%.¿cuanto ahorró o pagó de recargo en total?. 12) Un comerciante compra un artículo de $8000.¿cuál debe ser el precio a que debe fijarlo para que rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% del precio de costo? 13) Un comerciante poco honesto, antes de anunciar una rebaja del 25% aumenta un 25% el precio de referencia de los artículos. ¿Cuál es el verdadero descuento?. 14) Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%.¿Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original? 39 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°13 FIJACIÓN DE PRECIOS Ejercicios: 1. Completa el cuadro: Producto Costo unitario Ganancia MB y UB Valor de Venta IGV Precio de Venta Tetera Eléctrica Yelmo - Jarra de 1,8 $102.00 lts. MB=20% del costo UB= Jarra Electrica Ultracomb de Acero $164.00 220 W - Termotasto Regulable MB= 13% del VV UB= Procesadora de Alimentos Yelmo 250 W - Capacidad 800 Ml. MB= 25% del costo UB= $190.00 Tostadora Electronica de Acero Ultracomb - Acero Inoxidable MB= 11% del VV UB= $134.00 Caja Herramientas Grande C/Gavetero 48X20X22 Cm MB= 27% del costo UB= $26.99 Set caja Herramientas X 3 (prods. 602, 604 y 606) MB= 16% del VV UB= $100.80 40 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 2. Un restaurante sabe que su costo por menú ejecutivo, de lunes a viernes, es de S/. 20 y el margen de utilidad bruta (MB) que aplican es del 10% de su costo. Hallar el valor de venta del menú. (S/. 22) 2. Una casa de hospedaje sabe que su costo unitario diario, por habitación simple, es de S/. 20 y su MB es de 10% del valor de venta. Hallar el valor de venta de la habitación por día. 3. Un taller de confección de polos publicitarios sabe que su costo unitario es de S/. 40, su MB lo considera como un 50% del costo. Hallar el precio de venta. Considere el IGV = 19% . 4. Una empresa de producción de componentes para computadoras tiene un costo total de S/. 35 000 y produce 500 artículos, su MB es de 70% del valor de venta. Hallar el valor de venta de cada unidad. 5. Una empresa vitivinícola tiene costos fijos de S/. 5 000 y costos variables de S/. 10 000. Fabrica 1 500 botellas y establece un MB del 30% del costo. Hallar el precio de venta unitario. 6. La agencia de Publicidad “AKM” tiene los siguientes costos para la instalación de afiches: Alquiler de local S/. 3 000; servicios de luz, agua y teléfono S/. 2 000; insumos publicitarios S/. 1 000; mano de obra S/. 5 000. El Margen de utilidad es del 40% del costo y se confeccionan 800 afiches. Hallar el precio de venta. 7. Para un concierto musical una empresa de espectáculos compró una determinada marca de cerveza en lata a un costo de S/. 2.35 cada unidad y la vendieron a un precio (incluido el IGV) de S/. 4.50. Hallar: a) b) El MB sobre el costo. El MB sobre el valor de venta. 8. Supermercados Bong vende, en su sección de alimentos preparados, ensaladas a S/. 15.49 por kilo, aplicando un MB del 125.5 % del costo. Halle el costo del kilogramo de ensalada. 9. Una importadora de vehículos compra un determinado modelo a un costo de $ 8 453.95 y lo venden con un MB del 37.45% del valor de venta. Hallar el valor de venta. 41 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 10. Una fábrica de toallas de baño para hoteles tiene un costo total de S/. 20 000 y produce 1 000 unidades, su MB es de 60% del costo, Hallar el valor de venta de cada unidad. 11. Una empresa de mantenimiento de lectoras de CD tiene un costo total de S/. 10 000 y fabrica 1 600 componentes, su MB es de 10% del costo. Hallar el precio de venta unitario. 12. Una empresa fabrica 200 quemadores para cocinas de hoteles y tiene los siguientes costos: alquiler de local S/. 4 000, servicios S/. 3 000, en total; materia prima S/. 4 por artículo, mano de obra S/. 5 por artículo. El margen de utilidad es del 20% del costo. Hallar el precio de venta y el total de IGV pagado. 13. El costo de fabricar copas de cristal, para eventos sociales, es de S/. 17.60 y se venden con un MB del 43.5% del valor de venta.: a) Hallar el valor de venta. b) Hallar el precio de venta. c) ¿Cuál fue la utilidad bruta? d) Determine el MB sobre el costo. e) Determine el MB sobre el valor de venta 14. Una distribuidora de duraznos en conserva adquiere un lote exclusivo para preparación de “aperitivos”l. Compra 200 cajas, de 24 unidades cada una, a S/. 80 por caja. Para la comercialización se agrega un MB del 60% del valor costo. a) Calcular el valor de venta unitario (por lata) y el precio de venta unitario. b) Si el 40% del lote se vende a S/. 4.80 por lata, ¿A qué precio se deberían vender el resto de las latas para lograr el margen inicial sobre todo el lote? 15. Un grupo de alumnos emprende un proyecto empresarial de confección de “polares”. El costo de cada polar se establece en $ 12 y le aplicarán un MB del 52% del costo. Al finalizar la temporada de invierno, las unidades sobrantes se venderán a $ 15 cada una. Si se confeccionaron 500 polares y el 11% de vendió a precio rebajado: a) ¿Cuál será el valor de venta total si venden todos los polares? b) ¿Cuántos polares se vendrán a precio rebajado? c) ¿Cuál es el valor de venta de los polares vendidos fuera de temporada? 42 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz CAPÍTULO 4: CONVERSIONES UNIDADES Y CONVERSIÓN DE UNIDADES 1. Unidades de Longitud. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 1 Kilómetro (Km) = 1000 m = 100000 cm = 39370 pulgadas (“) = 3280,8 pies (‘) 1 metro ( m ) = 100 centímetros(cm) = 1000 mm = 39,37 pulgadas (“) = 3,2808 pies (‘) 1 centímetro (cm) = 10 milímetros (mm) 1 milímetro (mm) = 1000 micras ( 1 micra ( ) ) SISTEMA INGLES 1 milla terrestre (mi) = 1,609Km = 1609 m 1 milla marina ( náutica ) = 1852 m = 10 Angstroms ( ) 1 pie = 12 pulgadas = 30,48 cm = 304,8 1mm pulgada = 2,54 cm = 25,4 mm 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas = 0,914 m = 91,44 cm 2. Unidades de Área o superficie SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 1 Hectárea (ha) = 10000 m2 = 2,471 Acres 1 kilómetro2 ( km2) = 247,1054 Ac 1 metro2 (m2) = 10000 cm2 = 1550 pul2 = 10,7639 pie2 1 cm2 = 100 mm2 SISTEMA INGLES 1 Acre (Ac) = 4046,86 m2 = 0,4047 ha = 43560 pie2 1 milla2 (mi2) = 2,59 km2 1 yarda 2 (yd2) = 0,8361 m2 1 pul2 = 6,4516 cm2 3.. Unidades de Volumen SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 1 litro (lt) = 1000 mililitros (ml) = 1000 cm3 = 61,024 pul3 = 2,205 lb (sólo para el agua) 1 m3 = 1000 lt = 35 pie3 = 106 cm3 = 2204,5 libras (sólo para el agua) SISTEMA INGLES 1 galón USA = 4 cuartos (qr) = 3,785 lt. 1 galón inglés = 4,546 lt 1 pie3 = 1728 pulg3 = 7,48 gal USA 1 cuarto = 0,946 lt 1 pinta = 473 ml = 1,2 gal USA = 6,232 gal inglés = 28,317 lt 1 onza líquida = 29, 6 ml 1 Pulg3 = 16,3872 cm3 = 16 onzas líquidas 1 barril = 42 lt 4. Unidades de Masa: SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 1 Tonelada (Tn ) = 1000 Kilogramos (Kg) = 2200 lb. 1 gramo (g) = 1000 miligramos (mg) 1 Kilogramo (Kg) = 1000 gramos (g) = 2,2 Ib 1 miligramo (mg ) = 1000 microgramos (mcg) SISTEMA INGLES 2,2 libras (lb) = 1 kilogramo (Kg) 1 onza (oz) = 28,35 (g) 1 libra (lb) = 16 onzas = 453,6 g 1 quintal (q) = 50 Kg. 1 arroba (@) = 25 Ib. 43 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°14 CONVERSIONES 1) Convertir: A) 5,8724 meses, a trimestres, meses, día, horas, minutos y segundos. B) 1148,25 días a bimestre, meses, días, horas, minutos y segundos. C) 7 meses, 27 días, 45 horas, todo a bimestres. D) 2,5 bim, 1,1 meses y 27 días, todo a días solamente. 2) Encuentra las equivalencias A) 0,75 ha a pie cuadrado B) 37428 pulgadas cuadradas a AC C) En una recta se ubican los puntos A, B, C, D Si AB = 45 ‘, BC = 781,8 ‘’ ; CD = 342050 µ Hallar AD en cm D) 54,81 gal USA a pintas E) 67,8 @ a Tn 3) Hallar el volumen con las siguientes dimensiones: A) 0,0004 mi x 57’’ x 0,28’, en metros cúbicos B) 5,37 m x 407000 µ x 5,1x 106 A, en pulgadas cúbicas 4) Hallar el área del rectángulo, para cada una de las siguientes dimensiones: A) 4,8 yd x 0,023 mi náuticas, en metros cuadrados B) 37,2cm x 78’’, en pies cuadrados 44 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°15 CAPÍTULO 5: MATEMÁTICA FINANCIERA INTERÉS SIMPLE 1. Un banco otorgó a una empresa un préstamo de S/. 10 000 para devolverlo dentro de tres años, cobrando una tasa de interés del 24% anual simple. ¿Cuál será el interés que pagará la empresa al vencimiento del plazo? 2. ¿Cuál será el interés acumulado en 200 días por un depósito de ahorros de S/. 2 500 percibiendo una tasa de interés del 2.48% bimestral simple? 3. Un préstamo de $ 65 400 se pacta pagarlo en 18 meses y a la tasa de interés del 20% semestral simple. Hallar el monto que se tendrá que pagar. 4. Un inversionista depositó $ 36 780 en una cuenta que le ofrecía un rendimiento del 3.25 % cuatrimestral simple. La fecha en que se realizó el depósito fue el 02 de junio y retiró su capital más los intereses el 28 de noviembre del mismo año. ¿A cuánto ascendió dicho monto? 5. Calcular el monto que se podrá retirar de una inversión de S/. 5 890 que paga la tasa de interés del 3.45 % trimestral simple durante 1 año 10 meses 20 días. 6. Se pide calcular el monto de un capital de $ 2 800 que se coloca bajo RIS a una tasa del 2 % trimestral durante un tiempo total de 2 años 9 meses y 20 días. 7. Un inversionista depositó rendimiento del $ 35 890 en una cuenta que le ofrecía un 2.35 % cuatrimestral simple. La fecha en que se realizó el depósito fue el 04 de Junio y retiró su capital más los intereses el 17 de Octubre del mismo año. A cuánto ascendió dicho monto. ( contar excluyen el primer día y se incluye el último día. 45 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 8. Usted dispone de un capital de S/. 75 000 y le ofrecen una tasa de interés simple del 20 % semestral para que los invierta por 6 meses. Qué monto obtendría si acepta dicha opción. 9. Un señor debe $ 1 400, los cuales iba a retornar sin intereses al cabo de 1 mes, proponiendo retrasar dicho pago 5 meses más, convino en pagar lo correspondiente a la tasa de interés del 25 % anual simple. ¿Qué cantidad deberá recibir el prestamista transcurrido el plazo? 10. Una corporación accede a un préstamo de $ 300 000 a una tasa Líbor 5 ¾ % más 4.5 % (anual simple) con fecha 23 de Marzo. Hallar el monto que deberá pagar el 27 de Mayo. 11. Una corporación petrolera solicitó un préstamo de $ 1 800 000 con fecha 18 de Agosto y que se cancelará el 13 de Octubre. El Banco aplica una tasa de interés simple anual Líbor 6 ½ % + 3.85 %. Determinar el monto que se cancelará al vencimiento. 12. Hallar el capital que colocado a una tasa de interés del 10% semestral simple, se convirtió en un monto de $ 30 000 al cabo de 9 años 7 meses y 5 días. 13. En el proceso de adquisición de una maquinaria, la empresa TITAN SAC recibe de sus proveedores las siguientes propuestas: Cuotas Mensuales (en Cuota Proveedor Inicial (en $) $) 1ra. 2da. A 6 500 3 000 3 500 B 7 500 2 500 2 800 ¿Cuál es la mejor oferta evaluando, cada una a valor presente y asumiendo que el costo de dinero es del 2% de interés simple mensual? 14. Una persona que ahorra puso su capital en un tiempo de 2 años 7 meses y 5 días en una entidad financiera que pagaba el 0.11 % diario. Al finalizar el plazo retiró el capital y los intereses que éste le había originado, invirtiendo todo el monto en un negocio que le reditúa el 20 % trimestral en un año, con lo que acumuló $ 80 000. Hallar el capital inicial (Considérese RIS). 46 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 15. Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/. 850.40 al 12 % semestral en 7 trimestres. 16. Se pide calcular la tasa de interés simple bimestral a la que estuvo colocado un capital de $ 5 400 que se transformó en $ 9 700 al cabo de 2 años 1 mes y 17 días. 17. Cierta persona prestó a un amigo $ 3 672, sin intereses, que precisaba para completar el capital para emprender un negocio. Sin embargo, a los 5 meses le devolvió $ 3 916.80, indicándole que en gratitud participaba del beneficio. ¿Qué tasa de interés anual simple supone ese beneficio? 18. Mediante un avance en cuenta corriente se recibe $ 1 000 000 con fecha 10 de Mayo y que se cancelará el día 20 de Mayo con el pago de $ 1 002 986.11. Calcular la tasa anual de interés simple aplicada. 19. Por la compra de un terreno, valorizado en $ 185 790, una constructora se compromete a pagar $ 16 837.85 como intereses por financiamiento al cabo de 1año 2 meses 3 días. Calcular cuál será la tasa de interés simple anual; mensual y diaria que la constructora pagará. 20. En qué tiempo un capital de $ 4 000 se transforma en $ 7 500 a una tasa de interés simple del 5 % cuatrimestral. 21. 3Una corporación accede a un préstamo de $ 4 300 000, que fue desembolsado el 03 de Octubre. Si la tasa de interés simple fijada fue del 10.5 % anual y hasta la fecha de cancelación generó $ 79 012.50 de intereses. Hallar la fecha de pago. 22. Un inversionista deposita $ 15 000 en una cuenta que rinde el 11.5 % anual simple. Aproximadamente en cuánto tiempo logrará incrementar su capital en un 40 %. 23. Una Asociación de Vivienda invirtió $ 87 650 en una cuenta a plazo fijo, la cual pagaba la tasa de interés del 8.31 % anual simple. Si al vencimiento del plazo establecido recibieron por concepto de intereses $ 9 424.85. Calcular el tiempo del depósito en años, meses y días. 47 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 24. El Sr. Lucas Juárez, ahorrista de Financiera Perú tiene depositado S/. 12 300 en su cuenta de ahorros. ¿Cuál será el interés que el Sr. Lucas habrá ganando entre el 6 de julio y el 30 de setiembre, si entre el 6 de julio y el 16 de julio la tasa fue de 24% anual; entre el 16 de julio y el 16 de setiembre la tasa anual bajó a 21 % y a partir del 16 de setiembre la tasa fue de 17 % anual? 25. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 8 000 para pagarlo dentro de un año y a una tasa del 36% anual simple y sujeta a las variaciones de mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las tasas anuales fueron: 36% durante 2 meses, 34% durante 3 meses, 35% durante 4 meses y 34.5% durante 3 meses. ¿Qué interés deberá cancelarse al vencimiento del contrato? ¿Cuál es la tasa acumulada? 26. ¿Por qué importe debe extenderse un pagaré que vence el 04 de junio si lo descontamos el 16 de abril pagando una tasa del 24 % anual simple y necesitamos disponer de S/. 8 500 en la fecha de descuento? 27. Se desea comprar una nueva máquina industrial de limpieza. El precio al contado de esta máquina es de S/. 7 000, pero existe un financiamiento que permite pagar una cuota inicial de S/. 2 500 y el saldo con una letra a 45 días por el importa de S/. 5 000. Calcular la tasa de interés simple bimensual que se está cobrando. 28. David desea comprarse un auto de segunda, valorizado en S/. 8 570. En estos momentos sólo posee S/. 1 500 y no desea solicitar un préstamo. Cuánto tiempo necesitaría para juntar lo necesario para comprarse el auto si decide depositar su dinero en un banco que le paga la tasa de interés simple del 15% mensual. Expréselo en años, meses y días. 29. Actualmente tengo una deuda de S/. 5 000 la cual vencerá dentro de 3 meses y acuerdo con mi acreedor cancelarla hoy, actualizando el monto con las siguientes tasas mensuales de interés simple: 2 % para el primer mes y 2.5 % para los dos últimos meses. Hallar el importe a cancelar. 30. Un artículo cuyo precio al contado es de S/. 2 000 se vende con una cuota inicial de S/. 800 y sobre el saldo, a cancelarse dentro de 60 días, se cobran las siguientes tasas de interés simple: 24% anual durante 7 días, 0.1% diario durante 13 días, 14% semestral durante 15 días, 9% trimestral durante 25 días. ¿Qué monto deberá cancelarse al vencimiento del plazo? 48 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz CLAVE DE RESPUESTAS Ejercicios propuestos N°1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O PLANO CARTESIANO 1) Las coordenadas son: A. (2, 4) B. ( 3, 1) C. ( 5, 3) D. (-3, 2) E. (-4, 3) F. ( -1, 5) G. (-2, -4) H. (-5, -5) I. ( -1,-2) J. (3, -4) K. (2, -2) L. (4, -4) 2) Punto Cuadrante o eje Signo de x Signo de y A II - + B I + + C III - - D IV + - E Y F x - 49 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 4) IV y IV II x IV III X I y 5) Las coordenadas son: A. ( 1, 3) G. (-3, -5) B. (4 , 2) H. (-4, -4) C. 5, 2) I. (-2, -1) D. (-2, 4) J. (5, -4) E. ( - 3, 3) K. (3, -2) F. (- 1, 2) L. (4, -1) Ejercicios propuestos N°2 LA RECTA: PENDIENTE, ECUACIÓN, RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1) A 13) D 2) B 14) D 3) D 15) E 4) B 16) B 5) E 17) C 6) E 18) A 7) B 19) E 8) A 20) A 9) E 21) B 10) C 22) C 11) D 23) C 12) A 50 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°3 MISCELÁNEA 1) a) 4 b) 7/4 c) -1/2 d) 4/3 2) M1 = -2; M2 = 1 /2; M3= 3 ; M4 = -1 /4 3) a) 3x + 5 y – 19 = 0 b) 2x + 3y + 17 = 0 c) Y = 8/9x – 12/ 9 d) Y = -x +7 4) a) Y = -x +4 b) Y = 2x – 3 c) Y = -4/3x – 4 6) a) Y = 2x + 4 b) Y = -5x – 1 c) Y = 3x + 6 d) Y = -2/3 x – 1 /4 7) 2x + 3y – 17 = 0 8) 3X + Y – 7 =0 9) 2X + 3Y + 13 =0 10) 0 = 2X – Y -7 11) 7X + 2 Y + 24 = 0 12) 0 = 5X – Y + 16 51 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 13) K 0 1 14) 3X – Y – 5 = 0 15) Y = -2X – 6 16) 5X + 4Y – 11 = 0 17) X + 3Y + 11 = 0 18) K = 1 19) K = - 4 / 3 20) A) G r á f i c a m e n t e B) x = 1 , y = 2 52 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz C) Rpta: ( 1;2) D) Rpta: x = 5 ; y =8 E) rpta: x = - 2 ; y = - 1 21) a) A : C = 15/ 2 n + 100 b) B: C = 5/ 2 n + 300 c) Cuando se fabrican 40 artículos de cada uno el costo es de $400 para cada uno. Se tiene el mismo costo para ambos artículos. FUNCIONES Ejercicios propuestos N°5 4) Si si no si si si si si 5) a) Sí es función. b) No es función (no hay existencia para "2"). c) Sí es función. 53 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz d) No es función (no existe para "1" y no hay unicidad para "4") e) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "3", etc.) f) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "1" y "3") 6) RPTAS: a) No es función (no se cumple unicidad). b) No es función (no hay existencia en el intervalo [1,2)). c) Sí es función. d) Sí es función. e) No es función (no hay unicidad para "3"). f) No es función (no hay existencia para "3"). 7) Si no no si Ejercicios propuestos N°6 FUNCIÓN LINEAL 1) Las gráficas son: A) Y= 2 B) y = − 2 54 Matemática I C) Prof. Alicia Herrera Ruiz x = − 5 D) y = x E) y = − 2 x – 1 55 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz F) y = ½ x − 1 2) 56 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 3) Ejercicios propuestos N°7 PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL INGRESO, COSTO, UTILIDAD 1. qe = 320 unidades 2. qe = 100 artículos 57 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 3. qe = 2 000 latas 4. respuestas: a) qe = 500 artículos b) Conviene, punto equilibrio baja a 400 5. Respuestas: a) qe = 2000 menús b) 2600 c) Pérdida de S/. 1 250 6. Rptas: a) 200 mesas b) 350 mesas c) .Pérdida de $ 2000 7. C(q) = 3 000+25q ; C(100) = $5 500 8. Rptas: a) C(q) = 1,75q + 1400 nuevos soles b) S/. 3 150 9. Rptas: a) T(k) = 3 + 0,80k nuevos soles b) 8.2 nuevos soles c) 58,75 km 10. Rptas: a) C(x)=15x+10 b) 30 noches 11. Rptas a) C(q)=20q+50 b)150 12. Rptas: a) 200 unds. b) 120 unds 58 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz c) $ 4.5 13. $ 22.50 OFERTA Y DEMANDA 1. - 5q + 225 2. p(q) = - (1/150) q + 17 (función de demanda). 3. p(q) = 5q + 115 4. . p(q) = (1/4000)q + 0.50 (función de oferta). 5. rptas g) Oferta: p(q) = (1/90)q + 40/3 ; Demanda: p(q) = - (1/10)q + 500 h) Punto de Equilibrio: q = 4 380 personas ; p = S/. 62 6. Rptas: c) p(q) = (1/80)q + 5 d) p = S/. 12 ; q = 560 unds. 7. p(q) = - 0.0005q + 1.70 (función de demanda) 8. p(q) = (1/100)q + 10 (función de oferta) 9. rpta: a) Oferta:p(q) = (1/8)q – (5/4) ; Demanda: p(q) = - (1/8)q + (35/2) b) . q = 75 personas ; p = $ 8.12 10. rptas a) Oferta: p(q) = 0.00034q + 11.2727 ; Demanda: p(q) = - 0.0005q + 16.5 b). q = 6216.22 unidades ; p = $ 13.39 59 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°8 FUNCIÓN CUADRÁTICA 1) E l v é r t i c e y l a e c ua c i ó n d e l e j e d e s im e t r í a d e l a s s i gu ie n t e s p a r áb o l a s es : a) V = ( 1 , 1 ) x = 1 b) V = (1, 1) x = 1 c ) V = ( − 1 , − 3) d) V = (2, −5) x = −1 x = 2 e ) V = ( 7/ 2 , − 1 2 1 / 4) x = 7/ 2 f) V = (−2 , −17 ) x = −2 2) a) 1 . V é r t i c e x v = − 4/ −2 = 2 y v = − 2 ² + 4· 2 − 3 = − 1 2. Puntos de corte con el eje OX. x² − 4x + 3 = 0 (3, 0) 3 . P u n t o d e c or t e co n e l e j e O Y . (0, −3) 60 ( 1 , 0) V ( 2 , 1) Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz b) 1 . V é r t i c e x v = − 2/ 2 = −1 y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0 2. Puntos de corte con el eje OX. x² + 2x + 1= 0 C o i n c i d e c o n el v ér t i c e : ( − 1 , 0 ) 3 . P u n t o d e c or t e co n e l e j e O Y . 61 ( 0, 1 ) V( − 1 , 0) Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz c) 3) a) y = x² - 5x + 3 b ² - 4 a c = 25 - 1 2 > 0 D o s p u n t o s d e c or t e b ) y = 2 x² - 5 x + 4 b ² - 4 a c = 25 - 3 2 < 0 N o h a y p u n t o s de c o r t e c) y = x² - 2x + 4 b² - 4ac = 4 - 4 = 0 Un punto de corte d) y = -x² - x + 3 b ² - 4 a c = 1 + 1 2 > 0 D o s pu n t o s d e c o r t e 4) a) 62 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Interceptos en el eje de Y (0, -3) b) Parámetros a = -1 , b = 0, c = 4 Dominio Números reales Concavidad a = -1 Cóncava hacia abajo Vértice ( 0, 4 ) Punto máximo 63 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz c) 64 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 65 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°9 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 1. a) 150 juegos ; b) $ 15.5 2. a) 600 menús b) S/. 3 600 3. a) 30 unds. b) $ 900 4. precio = $ 20 5. Rptas: a) A las 12 horas ; 50 clientes b) A las 8 de la mañana y a las 4 de la tarde c) Habrán 14 clientes 6. Rptas: a) Ctot. = 2 000 + 25q b) q = 3000 cajas ; I máx = $ 90 000 c) q = 1750 cajas ; U máx = $ 28 625 7. rptas d) Ctot. = 50 + 6q ; I = -q² + 26q ; U = -q² + 20q - 50 e) ? q = 10 unds. ; U máx = 50 8. p = $ 28 9. p = $ 22.50 ; I máx. = $ 202 500 66 Matemática I 10. Prof. Alicia Herrera Ruiz rptas: a). p(q) = -0.025 + 720 b). I(p) = -40p² + 28880p ; C tot.= 2 500 000 + 80q c) p = $ 360 ; utilidad = $ 1 532 000 11. rptas: a) I = -q² + 100q b) C tot = 400 + 50q c) p = $ 75 12. rptas: e) p = -q + 10 f) C tot. = 5 + q g) I = -q² + 10q ; I máx = $ 25 h) U = -q² + 9q - 5 ; U máx = $ 15.25 PROPORCIONALIDAD Ejercicios propuestos N°10 PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE 14) (1700m) 1) (502 soles) 15) (16 h/d) 2) (1928€) 16) (240m) 3) (32 días) 17) (20) 4) (32 soles) 18) (3,5 m) 5) (120) 19) (16 kg) 6) ( media hora) 20) (12,656 kg) 7) (180 300 dólares) 21) (55 min 12 seg) 8) (56 pulsaciones) 22) (27 h) 9) (24 s) 23)(18) 10) 5 min) 24) (9) 11) (16 obreros) 25)(31 kg) 12) (5 años) 26)(32) 13) (120) 27) (3 hs 53 min 20 s) 67 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°11 PORCENTAJES 1) 15980 22) B) 2)6 dólares 23) D) 3)37995 € 24) B) 4)1700 25) C) 5)20% 26) B) 6)500 camas 27) B) 7)375 habit. 28) B) 8) $ 288 29) C) 9)1353 soles 30) E) 10) 200 soles 31) 11) 2000 € 32) C) 12) (1,49). 13) A) 14) D) 15) D) 16) C) 17) A) 18) A) 19) B) 20) B) 21) A) D) 33) D) 34) B) 35) C) 36) A) 37) B) 38) D) 39) 40) 23.8 Ejercicios propuestos N°12 AUMENTOS Y DESCUENTOS 1) IGV? Rpta: 362.36 y 57,86 6) 9,18% 2) 20,8% 7) rpta:8% 3) 11,11 %. 8) :$200000 4) 8 500. 9) 10% 5) 55%. 10) gana 20,96% 68 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 11) ahorró $305 000 13) 6,25% 12) : 13000 14) re:25% Ejercicios propuestos N°13 FIJACIÓN DE PRECIOS 2. (S/. 22.22) 3.. (S/. 71.40) 4. (S/. 233.33) 5. (S/. 15.47) 6.. (S/. 22.91) 12. RPTAS a) El MB sobre el costo. (60.85%) b) El MB sobre el valor de venta. (37.83%) 8. (S/. 5.77) 9. ($ 13 515.50) 10. (S/. 32) 11. (S/. 8.18) 12. (S/. 62.83; S/. 2006.40) 13. RPTAS: a) el valor de venta. (S/. 31.15) b) el precio de venta. (S/. 37.07) c) ¿Cuál fue la utilidad bruta? (S/. 13.55) d) Determine el MB sobre el costo. (76.99%) e) Determine el MB sobre el valor de venta (43.50%) 14. RPTAS a) (S/. 5.33 ; S/ 6.34) b) (S/. 7.37) 15. a) ($ 9 120) b) (55) c) (S/. 825) 69 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°14 CONVERSIONES 1) Convertir: A) 1 trim, 2m 26 d 4 h 7 min 41seg B) 19 bim 0 m 8 d 6 h C) 3.981 bim D) 210 días 2) Equivalencias: A) 80729.25 pie2 B) 0,005967 AC C) 3391,cm D) 438.595 pintas E) 0,77045 Tn 3) Volumen C) 0,0792635 m3 D) 68022.552 pulgadas cúbicas 4) Área A) 186.867 m2 B) 7,93 pie2 70 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Ejercicios propuestos N°15 MATEMÁTICA FINANCIERA 1. Rpta. S/. 7 200 2. Rpta. S/. 206.67 3. Rpta. $ 104 640 4. Rpta. $ 38 563.06 5. Rpta S/. 7 425.33 6. 3428.44 7. Rpta. $ 36 838.84 8. Rpta. S/. 90 000 9. Rpta. $ 1 545.83 10. Rpta. $ 305 552.08 11. Rpta. $ 1 828 980 12. Rpta. $ 10 275.93 13. Rpta. A = $ 12 806.56 ; B = $ 12 643.29 14. Rpta. $ 21 910 15. Rpta. S/. 2 024.76 16. Rpta. 6.23 % 17. Rpta. 16 % 18. Rpta. 10.75 % 19. Rpta. 7.71 % anual ; 0.64 % mensual ; 0.021 % diario 20. Rpta. 5a 10m 21. Rpta. 5 Diciembre (63 días) 22. Rpta. 3a 5m 23d 23. Rpta. 1a 3m 16d 24. Rpta. S/. 608.17 25. Rpta. I = S/. 2 783.33 i = 34.79% 26. Rpta. S/. 8 777.67 27. Rpta. 14.81% 28. Rpta. 2a 7m 13d 29. Rpta. S/. 4 668.53 30. Rpta. S/. 1 265.20 71 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz GLOSARIO DE VARIABLES Y FORMULAS VARIABLES m= PENDIENTE CU= COSTO VARIABLE UNITARIO CV= COSTO VARIABLE TOTAL CF= COSTO FIJO q = Nº DE UNIDADES C= COSTO TOTAL I= INGRESO TOTAL U= UTILIDAD C´I= CANTIDAD INICIAL C´F= CANTIDAD FINAL MB = MARGEN DE UTILIDAD BRUTA UB = UTILIDAD BRUTA VV = VALOR DE VENTA PV = PRECIO DE VENTA I = INTERÉS SIMPLE 72 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz P = PRINCIPAL, VALOR PRESENTE, CAPITAL O STOCK INICIAL EFECTIVO. i= TASA DE INTERÉS n = NÚMERO DE PERÍODOS DE TIEMPO S = MONTO, CAPITAL O STOCK FINAL DE EFCTIVO, VALOR FUTURO FÓRMULAS ECUACIÓN DE RECTA 𝒎= (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ) (𝒙𝟐 −𝒙𝟏 ) : PENDIENTE DE LA RECTA 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑦2 ): PUNTO PENDIENTE 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏: FORMA PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN. 𝑥 𝑦 = 1: FORMA CANÓNICA 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 : FORMA GENERAL 𝑎 + 𝑏 𝑚= − 𝐴 𝐵 𝐶 𝑏= − : 𝐵 PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN 73 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz COSTOS 𝑐𝑉 = 𝑐𝑈 ∗ 𝑞 : COSTOS VARIABLES 𝐶 = 𝐶𝐹− 𝐶𝑉 : COSTOS TOTALES 𝐼 = 𝑃𝑉 ∗ 𝑞: INGRESO TOTAL 𝑈 = 𝐼 − 𝐶: UTILIDAD TOTAL PUNTO DE EQUILIBRIO 𝐶 = 𝐼: COSTOS = INGRESOS 𝑂𝐹 = 𝐷𝑀 : OFERTA = DEMANDA FUNCIÓN CUADRÁTICA V( −𝒃 −𝒃 ; 𝒇 ( 𝟐𝒂 )): 𝟐𝒂 𝑥= − 𝑏±√𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 VÉRTICE DE LA PARÁBOLA : ECUACIÓN CUADRÁTICA INDICE DE VARIACIÓN 𝑛 = 𝑛1 ∗ 𝑛2 ∗ 𝑛3…. 𝐶´𝐹 = 𝐶´𝐼 ∗ 𝑛 74 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz FIJACIÓN DE PRECIOS 𝑀𝐵 ∗ 𝐶 𝑈𝐵 = UTILIDAD BRUTA 𝑀𝐵 ∗ 𝑉𝑉 𝑉𝑉 = 𝐶 + 𝑀𝐵 VALOR DE VENTA 𝑃𝑉 = 𝑉𝑉 + 0,19 ∗ 𝑉𝑉 PRECIO DE VENTA INTERÉS SIMPLE 𝐼 =𝑃∗𝑖∗𝑛 INTERÉS SIMPLE 𝑆 = 𝑃+𝐼 MONTO FINAL 𝑆 = 𝑃 [1 + 𝑖 ∗ 𝑛 ] MONTO FINAL 75 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz BIBLIOGRAFÍA Textos COVEÑAS NAQUICHE, Manuel. 2001 Problemas de Razonamiento Matemático. Lima. San Marcos. 1999. SILVA SANTISTEBAN, Mario Razonamiento Matemático-Teoría y Problemas. Lima. Edit. San marcos. 2000. FATELA, Marcos A., Instituto Fatela Preuniversitarios. Mendoza, Argentina 2010 RÁZURI, Andrés. Módulo de Matemática Financiera Electrónicos: ARACENA C., Víctor N. Clases y Guías de Matemática M M X. http://victornac.blogspot.com/ Waldo Márquez González Rectas paralelas y perpendiculares http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/rectaspar alelasperpendiculares.pdf 76