Formalismo Termodinámico de Sistemas Unidimensionales en Red

Formalismo Termodinámico
Formalismo Termodinámico de Sistemas
Unidimensionales en Red
Edgardo Ugalde
Universidad Autónoma de San Luis Potosı́
Noviembre 2007
Edgardo Ugalde
Formalismo Termodinámico
Formalismo Termodinámico
El Plan
1 Antecedentes
Sistemas en Red
Medidas de Gibbs
2 Resultados
Proyecciones
Aproximaciones
Otros Proyectos
3 Conclusiones
Edgardo Ugalde
Formalismo Termodinámico
Formalismo Termodinámico
Antecedentes
Sistemas en Red
···
bn
an
mn
mn
an
bn· · ·
···
···
−2
HN (ω) :=
−1
X
0
1
J(ωn , ωm )3−|m−n| +
−N6n<m6N
J=
2
b m a
b 0 ι 2ι
m ι 0 ι
a 2ι ι 0
Edgardo Ugalde
X
−N6n6N
B=
b m a
0 b 2b
Formalismo Termodinámico
3
B(ωn )
Formalismo Termodinámico
Antecedentes
Sistemas en Red
···
bn
an
J
"
B &
mn
mn
an
! %
···
?
H̄N (ω) :=
N
X
φ(ωn ωn+1 ωn+2 · · · )
n=−N
φ(ωn ωn+1 ωn+2 · · · ) = B(ωn ) +
∞
X
J(ωn , ωn+j )3−j
j=1
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bn· · ·
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Antecedentes
Sistemas en Red
La Probabilidad
n
xm
:= xm xm+1 · · · xn ,
X
(N)
n
Pβ (xm
= ω1n−m ) :=
(N)
Zβ
e −βHN (x)
n =ω n−m
x∈{b,m,a}[−N,N] : xm
1
(N)
Zβ
X
:=
e −βHN (x)
x∈{b,m,a}[−N,N]
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Antecedentes
Sistemas en Red
X
(N)
n
P̄β (xm
= ω1n−m ) :=
≈
e −β H̄N (x··· )
n =ω n−m
x∈{b,m,a}[−N,N] : xm
1
(N)
Z̄β
(N)
n
Pβ (xm
= ω1n−m )
m−1
x−N
N
xn+1
n
ωm
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Antecedentes
Sistemas en Red
El Lı́mite Termodinámico
n
n
P̄β (xm
= ω1n−m ) := lim P̄β (xm
= ω1n−m )
N→∞
n
e −Kβ P̄β (xm
= ω1n−m ) 6 e (n−m)Pβ −β
φ(xs∞ ) := B(xs ) +
∞
X
Pn
s=m
φ(xs∞ )
n
6 e Kβ P̄β (xm
= ω1n−m )
log(Z̄β (N))
N→∞
2N + 1
J(xs , xs+j )3−j , Pβ := − lim
j=1
N
xn+1
n
ωm
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Antecedentes
Medidas de Gibbs
Energı́a Local
A
d
c
b
a
⌧4
⌧2
0
2
4
6
8
Espacio de Configuraciones
Energı́a Local
X := AZ
φ:X →R
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Antecedentes
Medidas de Gibbs
Medidas de Gibbs son Estados de Equilibrio
Teorema (Bowen, Ruelle, y otros)
Para cada “buena” energı́a local φ : X → R, y para cada β > 0,
hay una “única” medida de probabilidad P̄β que cumple
e −Kβ 6
n = ω n−m )
P̄β (xm
1
e (n−m)Pβ −β
Pn
s=m
φ(xs∞ )
6 e Kβ ,
para cada ω ∈ An−m .
P̄β es la medida de equilibrio para la energı́a local φ,
correspondiente a la temperatura inversa β
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Antecedentes
Medidas de Gibbs
Ejemplo
Una cadena de Markov estacionaria (Xn )n∈N en A define una
medida de Gibbs con energı́a local
∞
φ(xm
)=
log P(X1 = xm+1 |X0 = xm )
β
En este caso
n
P(xm
= ω1n−m ) ≈ exp β
n−m
X
!
φ(xs∞ )
s=1
···
bn - an - cn - cn - an - dn· · ·
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Antecedentes
Medidas de Gibbs
Beneficios Conocidos
Z
φ(x)d P̄β (x) − h(P̄β )
Pβ = β
X
P
h(P̄β ) := − lim
P̄β (ω) log(P̄β (ω))
2N + 1
ω∈A[−N,N]
n→∞
dPβ
=
dβ
Z
φ(x)d P̄β (x)
X
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Antecedentes
Medidas de Gibbs
Para alfabetos numéricos, A ⊂ R, tenemos el
Teorema del Lı́mite Central
P̄β
!
PN
Z t
x
−
Ē
(x
)
1
2
s
s
β
s=−N
p
6t ≈ √
e −y dy
2π −∞
2π(2N + 1)σ
con
σ 2 := Ēβ (xs − Ēβ (xs ))2
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Resultados
Proyecciones
La proyección
B
d
c
b
a
w
u
t
s
r
q
p
⌧4
!
⌧2
2
0
4
6
8
A
d
c
b
a
⌧4
⌧2
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0
2
4
6
8
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Resultados
Proyecciones
Resultado
π
(B Z , P̄β (ψ))
6
- (AZ , P̄ (φ))
β
6
Medida de Gibbs
buena energı́a local
Medida de Gibbs
buena energı́a local
Teorema (Chazottes & U, 2007)
Proyecciones de medidas de Gibbs asociadas a buenas energı́as
locales son medidas de Gibbs asociadas a buenas energı́as locales
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Resultados
Proyecciones
Resultado Preparatorio
π
(B Z , P̄β (ψ))
6
Markoviana
alcance acotado
- (AZ , P̄ (φ))
β
6
Medida de Gibbs
buena energı́a local
Teorema (Chazottes & U, 2003)
Proyecciones de medidas de Markov (interacción de alcance
acotado) son medidas de Gibbs asociada a una buena energı́a local.
Ver también el resultado sobre aproximaciones
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Formalismo Termodinámico
Resultados
Aproximaciones
Recortando el alcance de la interacción
· · · bn
an
cn
cn
dn· · ·
φr
· · · bn
an
an
cn
P̄β,r
cn
an
φr −1
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P̄β,r −1
Formalismo Termodinámico
dn· · ·
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Resultados
Aproximaciones
Lı́mite Proyectivo
Decimos que limpror→∞ P̄β,r = P̄β si existe {εr > 0}r ∈N
convergente a 0, tal que
e −εr 6
n = ω n−m )
P̄β (xm
1
6 e εr .
n = ω n−m )
P̄β,r (xm
1
Teorema (Chazottes, Ramı́rez & U, 2005)
Si la energı́a local es buena, entonces
limpror→∞ P̄β,r = P̄β .
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Resultados
Otros Proyectos
Lı́mite Débil
Decimos que limdebβ→∞ P̄β = P si
n
n
lim P̄β (xm
= ω1n−m ) = P(xm
= ω1n−m ),
β→∞
Convergencia al Estado Base
Teorema (Brémont 2003, Leplaideur 2005)
Para cada energı́a local de alcance acotado, existe una medida de
probabilidad P tal que
limdebβ→∞ P̄β = P.
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Resultados
Otros Proyectos
Medidas Microcanónicas
Dado {εN }N∈N convergente a 0 y e ∈ φ(X ), llamamos medidas
microcanónicas a las distribuciones
n
PN,e (xm
= ω1n−m ) =
#{ω ∈ A[−N,N] : xnm = ω1n−m y HN (ω) = e ± εN }
.
#{ω ∈ A[−N,N] : HN (ω) = e ± εN }
Equivalencia Fuerte de Ensambles
Teorema (Adams 2001)
Para cada energı́a local de alcance r = 1, y para cada β ∈ R+ , si
e = Eβ (φ) entonces
limdebN→∞ PN,e = P̄β .
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Conclusiones
Convergencia Proyectiva
Para extender
equivalencia fuerte,
convergencia al estado,
a interacciones de alcance arbitrario que den lugar a buenas
energı́as locales.
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Conclusiones
¡Muchas Gracias!
Presentación disponible en:
http://www.ifisica.uaslp.mx/~ugalde
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