5. DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

8
Observaciones: Si alguno de los límites anteriores es distinto de los otros o no existe, podemos
afirmar que no existe
lim
( x , y )→( a1 , a 2 )
f ( x, y )
La existencia e igualdad de todos los límites anteriores no nos permite asegurar la existencia del
límite. Lo único que podemos afirmar es que si existe el límite tiene el mismo valor que los anteriores
(la única manera de demostrar la existencia de límite es mediante la definición)
Ejemplo 4.1
iterados:
f (x, y) =
xy
2
x +y
2
lim
( x, y )→ (a1 ,a 2 )

xy 
lim  lim 2
2 = lim 0 = 0
x →0  y→ 0 x + y 
 x→ 0
f (x,y)

xy 
lim  lim 2
2 = lim 0 = 0
y →0  x→ 0 x + y 
 y→ 0
direccionales: las rectas que pasan por el (0,0) y=mx
xy
xmx
mx 2
m
lim
2
2 = lim 2
2 2 = lim
2
2 =
( x, y )→ (0, 0) x + y
x→0 x + m x
x→ 0 x(1 + m )x
1 + m2
Este límite depende de m, entonces para diferentes valores de m tendremos diferentes valores del
límite por tanto podemos afirmar que no existe.
4.2 CONTINUIDAD DE FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
Def. 4.3 − f : A ⊂ R 
→ R es continua en un punto a ssi lim f (x) = f (a)
n
x →a
Nota. Suma, producto, cociente de continuas son continuas siempre que estén definidas.
5. DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
5.1 DERIVADAS DIRECCIONALES
Recordemos la definición de derivada en funciones de una variable:
Dada una función y=f(x) definida en un cierto intervalo.
Supongamos que aumentamos o disminuimos x en una cantidad a la
f(x+∆
∆x)
∆y
∆y
f(x)
que llamaremos ∆x (incremento de x). Entonces la función "y"
∆x
también variará y tendremos un cierto incremento ∆y .
Al valor x de la variable le corresponde el valor y = f(x) de la función.
Al valor x + ∆x de la variable le corresponde el valor
∆y f (x + ∆x) − f (x)
=
calcularemos
∆x
∆x
la variación de la función, y, para una variación unidad de la variable x.
A esta expresión se le llama cociente incremental.
x+∆
∆x
f ( x + ∆x ) de la función, por tanto:
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x)
Si realizamos el cociente
x
9
Ejemplo: Dada la función de demanda
q = f ( p ) = 40 − 3 p ¿Cuál será la variación de q por variación
unidad de p si sabemos que ésta última ha pasado de valer 5 a valer 10?
q ( 5 ) = 40 − 3·5 = 25
q (10 ) = 40 − 3·10 = 10
La variación de q ha sido de 10−25=−15 para una variación de 10−5=5 en p.
La variación de q por variación unidad de p será:
−15
= −3
5
Si realizamos el mismo cálculo cuando p pasa de 5 a 7:
q ( 5 ) = 40 − 3·5 = 25
q ( 7 ) = 40 − 3·7 = 19
La variación de q ha sido de 19−25=−6 para una variación de 7−5=2 en p.
La variación de q por variación unidad de p será:
−6
= −3
2
Si vamos haciendo cada vez más pequeño el incremento de p, el cociente incremental se va aproximando a
lo que llamaremos derivada de la función en el punto p=5.
Hacer cada vez más pequeño el incremento de p lo expresaremos diciendo que
∆p → 0
Este incremento nunca podrá valer exactamente 0 ya que entonces el incremento de la función también
valdría 0 y el cociente incremental no tendría sentido:
∆q 0
=
∆p 0
Volviendo a nuestra función f ( x ) para poder conocer este cociente incremental en cualquier valor de x y
para incrementos muy pequeños de la variable se realiza el cálculo con límites:
Si
∆x → 0
⇒ ∆y → 0 ⇒
∆y
0
→
∆x
0
El valor
0
∆y
no existe pero el límite del cociente
si
0
∆x
existe y es una expresión finita o infinita. En caso de ser finita le llamamos función derivada de la función
f ( x ) respecto a la variable independiente x y se designa por f ′( x ) .
∆y
f ( x + ∆x) − f ( x)
= lim
∆x → 0 ∆x
∆x →0
∆x
f ′( x) = lim
Es muy frecuente designar los incrementos por la letra h; entonces la expresión queda de la forma:
f ′( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x)
h
A veces los nombres asignados son:
f ′( x) = lim
x1 → x
siendo
f ( x1 ) − f ( x)
f ( x1 ) − f ( x)
= lim
h →0
x1 − x
h
f(x1)
f(x)
h = x1 − x el incremento de la variable
x
x1
10
Dos expresiones de la derivada de f ( x ) en cualquier punto x :
f ( x + h) − f ( x)
h →0
h
f ′(x) =
′
f ( x ) − f ( x)
lim
x′ → x
x′ − x
lim
El incremento de x puede ser positivo o negativo es decir que podemos aumentar el valor de x o
disminuirlo. Se definen derivadas laterales:
Si x1 > x el incremento h es positivo:
f ( x + h) − f ( x)
h →0
h
f +′( x) =
f ( x1 ) − f ( x)
lim+
x1 → x
x1 − x
lim+
Derivada por la derecha
x
←x1
Si x1 < x el incremento h es negativo:
f ( x + h) − f ( x)

lim
−
 h→0
h
f −′( x) = 
 lim f ( x1 ) − f ( x)
x1 − x
 x1 → x−
f(x)
f(x1)
x1 →
Derivada por la izquierda
x
Pero en definitiva la derivada en un punto lo que nos mide es si la función en ese punto va a variar
mucho o poco, si la variable cambia de valor.
En el caso de funciones de una variable existía el límite por la derecha y por la izquierda lo que servía
para calcular las derivadas por la derecha y por la izquierda.
En el caso de funciones de dos variables hemos visto que los límites a calcular en un punto son
infinitos ya que nos podemos acercar a él de infinitas maneras y por infinitas direcciones.
Para definir la derivada nos va a pasar algo similar. El concepto de derivada es el mismo. ¿Qué va a
pasar con la función cuando la variable cambia? ¿Será la función muy sensible o poco sensible a
cambios en la variable?
Pero mientras en una variable, ésta únicamente podía aumentar o disminuir moviéndose a lo largo de
una recta (eje OX) , en funciones de dos variables, ambas variables pueden cambiar a lo largo de dos
rectas; el resultado en este caso como ya sabemos es el movimiento de un punto en el plano.
En el caso de un punto de una recta su movimiento solo es hacia
la derecha o hacia la izquierda.
←x →
•
11
En el plano un punto puede seguir infinitas direcciones para moverse.
Por eso para definir la derivada debemos precisar en qué dirección
•
vamos a mover el punto.
Sea f : A ⊂ R 2 
→ R una función de dos variables y
v = ( v1 , v2 )
un vector unitario.
Partimos de un punto
v = ( v1 , v2 ) una cantidad h. De esta forma llegamos
sentido del vector
al punto
P = ( x, y ) y nos movemos en la dirección y
P1 = ( x1 , y1 ) . Se ha producido una variación en las variables
que se refleja en el movimiento desde el punto P al punto
Así queda formado un vector:
Este vector es paralelo a
por lo tanto:
P1
• P1
PP1
P•
v = ( v1 , v2 ) y de longitud h,
PP1 = h·v = ( hv1 , hv2 )
Recordando la dualidad punto-vector escribiremos las componentes del vector
las del vector
OP = ( x, y ) y lo mismo
OP1 = ( x1 , y1 ) vectores posición de los puntos P y P1 respectivamente.
Una vez dibujados, queda patente la relación vectorial que
podemos escribir:
OP + PP1 = OP1 es decir
( x, y ) + h ( v1 , v2 ) = ( x1 , y1 )
O
Aplicaremos aquí el mismo concepto de derivada que en una
• P1
variable. Calcularemos:
P•
El valor de la función en el punto P (punto inicial)
f ( x, y )
El valor de la función en el punto
Su diferencia:
P1 (punto final): f ( x1 , y1 )
f ( x1 , y1 ) − f ( x, y )
El cociente incremental: Recordando que la longitud recorrida para ir de P a
f ( x1 , y1 ) − f ( x, y )
h
y teniendo en cuenta que
( x, y ) + h ( v1 , v2 ) = ( x1 , y1 )
quedaría:
P1 ha sido h
12
f
( ( x, y ) + h ( v , v ) ) − f ( x, y )
1
2
h
y por último le aplicamos límites:
f v′( P) = lim
f
h →0
( ( x, y ) + h ( v , v ) ) − f ( x, y ) = lim f ( x + hv , y + hv ) − f ( x, y )
1
2
1
2
h →0
h
h
v = ( v1 , v2 ) un vector unitario.
Sea f : A ⊂ R 2 
→ R una función de dos variables y
Def. 5.1.-
Diremos que f es derivable en ( x, y ) ∈ R 2 según la dirección
f v′ ( x, y ) = lim
f
v = ( v1 , v2 ) , ssi existe el límite
(( x, y ) + h ( v1 , v2 ) ) − f ( x, y )
h →0
h
Y este límite se llama derivada direccional según la dirección v = ( v1 , v2 ) ∈ R 2 y lo representaremos
por f v′ ( x, y ) = Dv f ( x, y )
Ejemplo 5.1 Calcular la derivada direccional de la función f ( x, y ) = x 2 y según la dirección del vector
v = (1, −2 )
Primero hay que comprobar que el vector sea unitario. Si no lo es lo dividiremos por su norma para
obtener otro vector en la misma dirección y sentido pero con norma 1.
v =
(1, −2 )·(1, −2 ) =
1+ 4 = 5
v
No es unitario, pero sí lo es.
v
v
1
(1, −2 )
=
v
5
Apliquemos la definición:
f v′ ( x, y ) = lim
h →0
f
(( x, y ) + h ( v , v )) − f ( x, y ) = lim f ( x + hv , y + hv ) − f ( x, y ) =
1
2
1
h →0
h
2
h

1
2 
f x+h
,y−h
 − f ( x, y )
5
5

lim
h →0
h
2

1
2  
1  
2   2 1 2 2
2 

f x+h
,y−h
h  y −
h =  x + h +
xh  y −
h =
=x+
5
5
5 
5  
5  
5 
5 

x2 y −
2 2
1
2 3 2
4
x h + h2 y −
h +
xhy − xh 2
5
5
5
5 5
5

1
2 
2 x2
y
2 3 2 xy
4x
2
f x+h
,y−h
−
f
x
,
y
=
x
y
−
h + h2 −
h +
h − h2 − x2 y
(
)

5
5
5
5
5
5 5
5

13

1
2 
1 2 2 xy
2 x2
2 3 4 2
,y−h
f x+h
yh +
h−
h−
h − xh
 − f ( x, y )
5
5
5
5
5
5
5
5

=
=
h
h
1
2 2 4
2 xy 2 x 2
hy −
h − xh +
−
5
5
5 5
5
5

1
2 
f x+h
,y−h
 − f ( x, y )
1
5
5
2 xy 2 x 2
2 2 4  2 xy 2 x 2

lim
= lim  yh +
−
−
h − xh  =
−
h →0
h →0 5
h
5 
5
5 5 5
5
5

f v′ ( x, y ) =
2xy 2x 2
5
5
Ejemplo 5.2
a) Calcular la derivada direccional de f ( x, y ) = x 2 y según la dirección del vector v = (1,0 )
Definición: f v′ ( x, y ) = lim
h →0
f
lim
h →0
f
(( x, y ) + h ( v , v )) − f ( x, y ) =
1
2
h
para v = (1,0 )
(( x, y ) + h (1,0)) − f ( x, y ) = lim f ( x + h, y ) − f ( x, y )
h →0
h
(
)
h
Numerador: f x + h, y − f ( x, y ) = ( x + h ) y − x 2 y = x 2 y + h 2 y + 2 xhy − x 2 y = h 2 y + 2 xhy
2
h 2 y + 2 xhy
= lim ( hy + 2 xy ) = 2 xy
h →0
h →0
h
f (′1,0) ( x , y ) = 2 x · y
lim
b) Calcular la derivada direccional de la función f ( x, y ) = x 2 y según la dirección del vector v = ( 0,1)
Definición para v = ( 0,1)
(
f
lim
h →0
(( x, y ) + h ( 0,1)) − f ( x, y ) = lim f ( x, y + h ) − f ( x, y )
h
h →0
h
)
Numerador: f x, y + h − f ( x, y ) = x 2 ( y + h ) − x 2 y = x 2 y + x 2 h − x 2 y = x 2 h
lim
h →0
(
)
f x , y + h − f ( x, y )
h
x2h
= x2
h →0 h
= lim
f (′0,1) ( x , y ) = x 2
5.2 DERIVADAS PARCIALES
Def. 5.2 − Sea z = f ( x, y ) . Se llama derivada parcial respecto de x, de la función f en el punto
P ( p1 , p2 ) ∈ R 2 , a la derivada direccional de la función f según la dirección (1,0).
Representa la variación de la función por unidad de variación de la variable x, manteniendo la y cte.
14
Def. 5.3 − Sea z = f ( x, y ) . Se llama derivada parcial respecto de y, de la función f en el punto
P ( p1 , p2 ) ∈ R 2 , a la derivada direccional de la función f según la dirección (0,1).
Representa la variación de la función por unidad de variación de la variable y, manteniendo la x cte.
Ejemplo 5.3
f ( x, y ) = x 2 y 3
∂f
= 2 xy 3
∂x
∂f
= 3x 2 y 2
∂y
f ( x, y, z ) = x 2 y sen yz
f ( x, y ) = sin xy
∂f
= y cos xy
∂x
∂f
= x cos xy
∂y
∂f
= 2 x y sen yz
∂x
∂f
= x 2 sen yz + x 2 y z cos yz
∂y
∂f
= x 2 y 2 cos yz
∂z
5.3 VECTOR GRADIENTE
Def. 5.4 − Si existen todas las derivadas parciales de f en un punto concreto P ( p1 , p2 ) definimos el
vector gradiente de f en P ( p1 , p2 ) y lo representamos por ∇f ( P ) como
∂ f

∂f
∇f ( P ) = 
( P ) , ( P )  ∈ R2
∂y
∂x

Si existen todas las derivadas parciales de f en un punto cualquiera G ( x, y ) definimos el vector
gradiente de f en G ( x, y ) ) y lo representamos por ∇f ( x, y ) como:
∂ f

∂ f
∇f ( x, y ) = 
( x , y ) , ( x, y )  ∈ R 2
∂y
∂x

15
Propiedades
1) Sean f y g dos funciones de dos variables con derivadas parciales en a .
∇ ( f + g ) ( P ) = ∇f ( P ) + ∇g ( P )
∇(c. f ) ( P ) = c.∇f ( P ) c ∈ R
2) Sea
v = ( v1 , v2 ) un vector unitario v = 1 . La derivada direccional de una función f en P según la
dirección v se puede escribir f v′ ( p1 , p2 ) = ∇f ( p1 , p2 )· v
En general para cualquier punto G ( x, y ) :
f v′ ( x, y ) = ∇f ( x, y )· v
Ya habíamos calculado la derivada direccional de la función f (x, y ) = x 2 y en cualquier punto (x,y) y en
la dirección del vector v = (1, −2 ) . Y era f v′ ( x , y ) =
2
5
x· y −
2
x2
5
Aplicando la segunda propiedad del vector gradiente:
(
)
2  2
2 2
 1
f v′ ( x, y ) = ∇f ( x, y )· v = 2 xy , x 2 
,−
x· y −
x
=
5
5
5
 5
Efectivamente obtenemos la derivada direccional.
3) Recordemos la definición de producto escalar de dos vectores u ·v = u v cos α donde α es el
ángulo que forman los dos vectores.
Empleando esta definición vamos a dar otra interpretación al vector gradiente.
Según la propiedad 2
f v′ ( x, y ) = ∇f ( x, y )· v
con v vector unitario.
Si ∇f ( x, y ) ≠ 0 ≠ 0. f v′ ( x, y ) = ∇f ( x, y )· v = ∇f ( x, y ) . v cos α = ∇f ( x, y ) .cos α
α: ángulo que forma ∇f ( x, y ) y v
fv′ ( x, y ) = ∇f ( x, y ) cosα
Los valores de cos α varían entre 1 y −1 al seleccionar todos los posibles vectores v .
El valor máximo de cos α es 1 y se obtiene cuando α=0, es decir cuando los vectores v y ∇f ( x, y )
tienen la misma dirección y sentido. Por tanto obtenemos el siguiente resultado.
"La dirección del gradiente es la de máximo crecimiento de la función y ese valor máximo es:
f′
∇f ( x , y )
( x, y ) =
∇f ( x, y ) ·cos 0 = ∇f ( x, y )
Cuando cos α=−1
la norma del gradiente”
α=π es decir en la dirección opuesta a ∇f ( x, y ) tendremos la dirección de
máximo decrecimiento de la función.
16
4) Dada una función z = f ( x, y ) consideremos el conjunto de curvas de nivel de la función.
El vector gradiente ∇f ( x, y ) es perpendicular a las curvas de nivel z=cte en cada punto”.
Esta propiedad queda demostrada en el apartado siguiente.
5.4 RECTA TANGENTE A UNA CURVA DE NIVEL
Dada la función z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 consideremos la curva de nivel correspondiente al valor de z=5
z = f ( x, y ) = 5 → 5 = x 2 + y 2
Circunferencia de centro (0,0) y radio
5.
Vamos a obtener la ecuación de la recta tangente a esta curva de nivel en el punto (2,1).
Para ello emplearemos la forma punto-pendiente: y − y0 = m ( x − x0 ) donde ( x0 , y0 ) es un punto
conocido de la recta y m su pendiente.
Recordar que la pendiente de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos es la derivada de
la curva en ese punto (interpretación geométrica de la derivada).
Calcularemos la derivada de la curva en ese punto.
Como la curva está en forma implícita, 5 = x 2 + y 2 , derivaremos implícitamente
0 = 2 x + 2 yy ′
→
y′ = −
x
y
→
m=−
2
= −2
1
Este valor será la pendiente de la recta tangente
Ecuación de la recta que pasa por (2,1) y tiene como pendiente −2
y − 1 = −2 ( x − 2 ) → 2 x + y − 5 = 0
Un vector director sería el (−1,2)
Ahora vamos a calcular el gradiente de la función z = f ( x, y ) en el punto (2,1)
∇f ( x, y ) = ( f x′, f y′ ) = ( 2 x, 2 y )
∇f ( 2,1) = ( 4, 2 )
Vamos a averiguar cómo son las direcciones del vector gradiente y de la recta.
Multiplicamos escalarmente el vector gradiente y el vector director de la recta que hemos calculado.
(−1,2) · (4,2)= 0 Son perpendiculares.
Este ha sido un caso particular de la propiedad del gradiente:
En general sea z = f ( x, y ) una función de dos variables y sean
Si hacemos la z constante:
f x y f y sus derivadas parciales.
k = f ( x, y ) desaparece la función de dos variables, ya que una de ellas
toma el papel de función y queda solo una como variable, y aparece una curva en el plano R 2 que es la
curva de nivel de orden k.
17
Veámoslo de una forma gráfica en el siguiente esquema:
k = f ( x, y )
z = f ( x, y )
z=k
fx
fy
x
y
x
y
curva de
nivel y=g(x)
x
Elegimos un punto P de la curva
k = f ( x, y ) (y=g(x)) por el que queremos trazar la recta tangente.
Para ello necesitamos conocer la pendiente de la recta.
La obtendremos calculando la derivada de la curva en ese punto:
dy
dx
y=g(x)
Para ello vamos a partir del cálculo de la diferencial de la función z.
P
En funciones de una variable definíamos la diferencial de una función
f (x) como df ( x ) = f ′(x ) dx y por ello una forma frecuente de expresar la derivada es f ′ ( x ) =
df ( x )
dx
Entonces se vió que el cálculo de la diferencial resultaba muy útil bajo determinadas condiciones para
sustituir al incremento de la función. El diferencial no era más que el incremento en la ordenada de la
recta tangente a la función.
∆f = f ( x + dx ) − f ( x ) ≅ df = y t (x + dx ) − y t (x )
Para una función de dos variables, podemos incrementar ambas variables por lo que el incremento de
la función será debido a la variación de una variable, de la otra o de ambas.
df ( x, y ) = f x′ dx + f y′ dy
Aplicando la expresión de la diferencial en nuestro esquema veremos que:
dz = f x dx + f y dy
z=k
dz = 0
0 = f x dx + f y dy
operando y despejando
f x dx = − f y dy
f
dy
=− x
dx
fy
podemos obtener la derivada en cualquier punto de la curva de nivel y=g(x) a partir de las derivadas
18
parciales de la función z = f ( x, y ) y como consecuencia conocemos la pendiente de la recta tangente a
y=g(x) en cualquier punto:
m=−
fx
fy
Por consiguiente un vector director de la recta sería:
(f
y
, − fx )
Por otra parte si calculamos el vector gradiente de la función z = f ( x, y ) :
∇ f ( x, y ) = ( f x , f y )
Y lo multiplicamos escalarmente por el vector director de la recta tangente veremos que
(f ,f )(f
x
y
y
, − f x ) =0 ambos vectores son perpendiculares.
“El vector gradiente de la función z = f ( x, y ) ,

→
∇f ( x, y ) = ( f x , f y ) es perpendicular a las curvas
de nivel z=cte en cada punto.”
Ejemplo 5.4: Sea z = f (x, y ) = x 2 y − x . Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel
z=3 en el punto (−3,0).
Curva de nivel
C3 : 3 = x 2 y − x .
Tomando y como función y x como variable podemos escribir la ecuación de cualquier recta tangente a
dicha curva.
Necesitamos un punto que ya nos lo dan y tenemos que calcular la pendiente. Sabemos que ésta es
igual a la derivada de la curva en el punto.
Derivando respecto a x en la ecuación 3 = x 2 y − x de forma implícita y teniendo en cuenta la regla de
la cadena nos quedará: 0 = 2 xy + x 2 y ′ − 1
y′ =
dy
2 xy − 1
=−
dx
x2
m=
1
9
Vamos a obtener también la derivada aplicando la fórmula que acabamos de obtener
f x = 2 xy − 1
fy = x
2
f
dy
=− x
dx
fy
dy
2 xy − 1
=−
expresión idéntica a la obtenida derivando directamente en la
dx
x2
función de una variable 3 = x 2 y − x .
Recta tangente: y =
1
( x + 3)
9
5.5 ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL
Ejemplo 5.5: Sea f ( x, y ) = xy 3 − 2 x 3 . Calcular el valor exacto de f (2,01, 2,98) y calcular un valor
estimado utilizando la diferencial.
El punto
( 2, 01, 2,98 ) está muy próximo al punto ( 2, 3)
19
La abcisa ha sufrido una variación de 2, 01 − 2 = 0, 01 a la que llamaremos
dx
y la ordenada ha sufrido una variación de 2,98 − 3 = −0, 02 a la que llamaremos
Es fácil calcular el valor de la función en
dy
( 2, 3) : f (2,3) = 2·33 − 2·2 3 = 38
Utilizando la calculadora obtendríamos el valor para el punto
( 2, 01, 2,98 )
f (2,01,2,98) = 2,01·2,98 3 − 2·2,013 = 36,9506
Con la diferencial obtendríamos un valor aproximado realizando un cálculo más sencillo:
df ( x, y ) = f x′ dx + f y′ dy
Necesitamos las derivadas parciales:
f x = y3 − 6 x2
f y = 3 xy 2
df ( x, y ) = f x′ dx + f y′ dy = ( y 3 − 6 x 2 ) dx + 3 xy 2 dy
En el punto (2,3) y con
dx = 0, 01

dy = −0, 02
df ( x, y ) = ( 33 − 6·2 2 ) 0, 01 + 3·2·32 ( −0, 02 ) = 0, 03 − 1, 08 = −1, 05
f (2,01,2,98) = f (2,3) + df = 38 − 1,05 = 36,95
Ejemplo 5.6: Utilizando x trabajadores expertos e y inexpertos un fabricante puede producir
Q = f (x, y ) = x 2 y unidades por día. Actualmente utiliza 16 expertos y 32 inexpertos y quiere
contratar un experto más. ¿Cómo cambiará y para que la producción no cambie?
Si la producción no cambia significa que nos moveremos sobre una curva de nivel Q=cte. luego su
diferencial será nula.
Estamos en el punto (16,32). Nos piden la variación de y para un cambio unidad en la x.
dQ = Q x′ dx + Q ′y dy = 2 xydx + x 2 dy
dQ = 0 = 2·16·32·1 + 16 2 dy
dy = −
 x = 16

 y = 32
2·16·32·1
16 2
dx = 1
dy = ?
= −4
Deberá reducir en 4 el nº de trabajadores inexpertos
.