CÁLCULO DE LA ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE UN

CÁLCULO D E L A ESPERANZA D E V I D A A C T I V A
DE U N TRABAJADOR: N O T A METODOLÓGICA*
J U A N CARLOS
LERDA""
Centro Latinoamericano
de
Demografía
I . INTRODUCCIÓN
1
1. E n una tabla de vida activa ( T V A ) , se definen corrientemente
dos funciones relacionadas con la d u r a c i ó n media de los a ñ o s que u n
individuo pasa en actividad:
a)
la esperanza de vida "potencialmente" activa a la edad x:
b)
la esperanza de vida activa de un trabajador a la edad x:
(ea)
x
ea
x
2. E n la primera, se distribuye el tiempo vivido en actividad —desde x hasta el final de la vida— por los integrantes de una cohorte hipot é t i c a entre el total de los sobrevivientes a dicha edad, sin distinguir
su c o n d i c i ó n de activo o inactivo. De manera similar, en la segunda, se
distribuye el mismo tiempo vivido entre los que llegan con vida a x
en calidad de activos. E n consecuencia, cabe esperar se verifique:
(ea) <ea
x
(1)
x
3. Si se simboliza c o n :
l = sobrevivientes a la edad exacta x, de una cohorte inicial
de l personas, y
a = p r o p o r c i ó n de personas activas a la edad exacta x,
x
0
x
entonces:
f = l •a
x
x
(2)
x
representa el n ú m e r o de "sobrevivientes activos" a la edad exacta x.
w
Así:
T: = ¡f dx
x
(3)
* Preparado para las I I I Jornadas de Matemática Aplicada a la Economía,
organizadas por el Instituto de Matemática y Estadística de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. Se reproduce
con la autorización de CELADE y de la universidad citada.
** Agradezco a los profesores J . C. Elizaga, A. N. Ortega, J . Somoza y A. M.
Conning de CELADE sus comentarios y sugerencias al presente trabajo. Sin embargo,
cualquier error debe acreditarse a la responsabilidad del autor.
E n este artículo se hará referencia exclusiva a una TVA para hombres.
1
304
LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA
305
Indica el tiempo vivido en actividad por los sobrevivientes a l a edad
exacta x hasta el final de la vida (x — w ) .
4. Con los elementos anteriores quedan definidas las esperanzas de
vida mencionadas :
(ea)
x
(5)
(4) ;
5. A l parecer, la relación (5) es de una validez tan general como la
(4), o como la m á s conocida:
T
o
K
= — .^
1
-
(6)
esperanza de vida a la edad x, definida en una tabla de m o r t a l i d a d
convencional.
6. Sin embargo, el hecho de que la f u n c i ó n : a presente u n m á x i m o
en x = m, introduce un elemento e x t r a ñ o en el planteo general e n que
se apoyan las expresiones (4) y ( 6 ) , el que quizá p o d r í a sintetizarse
por la idea: relacionar mediante cociente dos funciones m o n ó t o n a s
decrecientes.
7. E n efecto, en el caso de la esperanza de vida activa de u n trabajador, la idea anterior sólo tiene vigencia en u n determinado tramo
x
de edades activas, puesto que la f u n c i ó n : t
extremo en las proximidades de x — m.
x>
t a m b i é n presenta u n valor
Ti
8. Así puede decirse que la r e l a c i ó n
, sólo es adecuada para
el cálculo de la vida media activa de u n trabajador con edad x ^ ra.
9. Por el contrario, el uso de la expresión (5) conduce invariablemente a una sobrestimación
del verdadero nivel de l a : ea , si la edad
a que se refiere e s t á comprendida entre el límite izquierdo del p e r í o d o
de vida activa (x = A) y aquella en que la función-actividad a , alcanza
su m á x i m o absoluto (x = m).
10. E l objeto de este a r t í c u l o es precisamente:
x
x
a) Explicar el origen del sesgo, e ilustrarlo con un ejemplo sencillo.
b) presentar una deducción de la f ó r m u l a corregida para calcular:
ea , cuando : A< x <m.
c) intentar un estudio analítico que permita identificar la relación
existente entre la f ó r m u l a sesgada y la corregida, a f i n de descomponer el error de manera conveniente para el análisis.
w
11. Finalmente, cabe destacar que el problema central a q u í considerado no es nuevo en el campo demográfico o actuarial. Tal vez por
ello, ha pasado a formar parte de una corte de temas que pueden ser
tratados sin dificultad, cuando se dispone de una dosis razonable de
DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V :3, 1971
306
i n t u i c i ó n y experiencia. Esta nota ha sido escrita en el sincero convencimiento de que no es éste el caso m á s habitual, cuando el interesado
es alguien que tiene su p r i m e r contacto con la TVA O similares. A ellos
e s t á destinada.
I I . O R I G E N DEL SESGO
12. Aceptando que a es una función continua y derivable hasta de
segundo orden por lo menos en el d o m i n i o : D(A, L) existe suficiente
evidencia e m p í r i c a como para suponer que se verifican las siguientes
relaciones:• 2
x
a
dx
dx
da„
dx
:
'
> 0 P
x
a
r
a
^ < x <
ra
(7)
x =
ra
(8)
a' — 0 para
x
• a' < 0 para ra < x < L
(9)
donde A y L representan las edades límite izquierda y derecha del per í o d o de la vida en que generalmente se da la p a r t i c i p a c i ó n en la fuerza
de trabajo.
3
13. Por otra parte, mientras la función l puede considerarse u n
modelo de variación conjunta de mortalidad y actividad s e g ú n edad,
la función a constituye u n modelo descriptivo de la v a r i a c i ó n en los
niveles de p a r t i c i p a c i ó n e c o n ó m i c a exclusivamente. De esta manera,
las relaciones ( 7 ) y (9) indican la existencia de ingresos a la actividad
y retiros profesionales, respectivamente.
14. Es precisamente el hecho de que la p a r t i c i p a c i ó n no alcanza su
m á x i m o nivel en A, sino que varía gradualmente — i n c r e m e n t á n d o s e —
desde a = 0 hasta que en ra llega a su valor extremo {a ), lo que,
unido al procedimiento de cálculo, hace que los resultados obtenidos a
p a r t i r de (5) resultan sobrestimados, cuando: A < x < ra.
x
x>
A
m
15. Como se ha visto antes, la función T resulta de acumular el
tiempo vivido en actividad por los sobrevivientes de la cohorte inicial,
desde la edad x hasta el final de la vida (supuesto que L = w ) . Ocurre
entonces que para una edad cualquiera A < x < ra, al hacer el cociente:
x
(5)
2
E n el Censo General de Población argentino, en 1960, el valor investigado de
A fue de 14 años; m resultó de aproximadamente 35 años y L no se definió. E n el
año de 1970, la PEA fue definida a partir de A = 10, no habiéndose dado instrucción
respecto a L. No se dispone aún de información para estimar m.
Fuerza de trabajo, población económicamente activa (PEA) y mano de obra,
se usan aquí como sinónimos.
3
LERDA : ESPERANZA DE VIDA ACTIVA
307
encontramos en el numerador no sólo el tiempo vivido desde x en adelante p o r quienes ya son activos a tal edad, sino t a m b i é n los a ñ o s - h o m bre pasados en la PEA por aquellos que se incorporan a la fuerza de
trabajo en edades comprendidas entre x y m.
16. L o s e ñ a l a d o en la ú l t i m a parte del p á r r a f o anterior, constituye
justamente la clave de la e x p l i c a c i ó n : en la o p e r a c i ó n (5) se e s t á distribuyendo u n tiempo vivido en actividad, superior al que constituye
la experiencia real de los supervivientes activos en x. La consecuencia
inmediata es la anticipada sobr'estimación
del verdadero n i v e l de la
o
ea .
x
17. A l parecer, la manera m á s simple de ilustrar las consideraciones que anteceden consiste en colocarse en el supuesto de ausencia de
mortalidad, para el estudio de la experiencia de p a r t i c i p a c i ó n en la actividad de un individuo en D(A,L).
E n tal caso:
L
o
ea =
T
x
x
—
x
l
L
l a
x
dx
x
x
=
a dx
x
(10)
=
¿x
v
Q-x
&x
lo que conviene descomponer en dos sumandos:
m
L
C
j a dx
f
^ j a dx
x
x
y al aplicar el teorema del valor medio en el cálculo integral :
L
a
n
i
m
(m-x)+
a dx
x
(12)
donde: * < v < r a .
18. E l examen de la relación ( 1 1 ) nos indica que estamos frente a
una suma de dos esperanzas de vida activa: una, temporaria e inmediata p o r (¡m — x) a ñ o s y la otra, diferida por igual p e r í o d o , en ambos
casos, a p a r t i r de x.
19. A l transformar la relación anterior en la ( 1 2 ) , surge claramente
que la esperanza temporaria, tal como se expresa, representa una
sobr estimación
del n ú m e r o m á x i m o de a ñ o s que u n individuo puede
v i v i r en el intervalo (x,m).
E n efecto, al usar el teorema del valor
medio en circunstancias en que a es creciente, se verifica:
x
> 1
(13)
20. Sin embargo, mientras el componente temporario refleja a simple vista el sesgo mencionado, no es tan evidente lo que ocurre con el
DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971
308
componente diferido.
medio, resulta:
Reiterando la aplicación del teorema del valor
L - (
- x )
m
+
— (L-m)
(14)
donde: m < 5 < L.
21. Puede notarse que a es invariante respecto a i , y depende exclusivamente de la forma analítica de la función-actividad en el intervalo (m, L). Además, a p a r t i r de lo indicado en ( 9 ) , se deduce que:
s
a
m
>a >a
8
L
= 0
(15)
22. Atendiendo a lo s e ñ a l a d o en el p á r r a f o 12, siempre es posible
identificar en un punto x = r, comprendido entre A y ra para el que se
verifica:
a =a
r
(16)
s
y a p a r t i r del cual surgen tres casos en que conviene analizar la
relación ( 1 4 ) :
i)
A < x < r implica:
>i;—— >i
de lo cual se infiere que ambos componentes resulten
sobrestimados
puesto que al colocarnos en el supuesto de ausencia de mortalidad
— b i o l ó g i c a m e n t e — lo m á x i m o que se puede esperar que viva una
persona es (ra — x) y (L — ra), respectivamente. En este caso y en los
que resta considerar, debe tenerse presente que para la función a e s t á n
vigentes las c a r a c t e r í s t i c a s enunciadas en el p á r r a f o 12, es decir, que
el tiempo vivido en actividad es inferior al tiempo vivido en cualquier
c o n d i c i ó n : activo o inactivo. Una excepción a esto ú l t i m o se daría
en el caso de que a p a r t i r de una cierta edad, la función-actividad
fuera constante e igual a la unidad.
x
ii)
x — r implica:
— > 1 ; — —
= 1
de donde t a m b i é n se deduce que los dos componentes se encuentran
sobrestimados.
Puesto que entre x y ra, el n ú m e r o m á x i m o de años
que se puede v i v i r en (m —x), el hecho de encontrarse amplificado
por u n coeficiente superior a la unidad muestra claramente la existencia de un sesgo. Respecto al segundo t é r m i n o de la relación (14),
admite una reflexión semejante, aunque no del todo evidente, por el
LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA
309
hecho de que el coeficiente aja
es igual a la unidad. Sin embargo,
surge la evidencia del sesgo al recordar que en el intervalo (m,L),
se
verifica a' < 0, l o cual equivale a decir que la p a r t i c i p a c i ó n n o es del
100 % y, en consecuencia, el tiempo vivido en actividad es inferior a l
tiempo total vivido.
x
x
iii)
r < x < ra i m p l i c a :
> i;
<i
puesto que el coeficiente del intervalo correspondiente a la vida media
activa temporaria es, una vez m á s , superior a la unidad, no queda lugar
a dudas acerca de la existencia de sobr estimación
pero a simple vista
no p o d r í a decirse que ocurre lo mismo con el componente diferido,
dado que para é s t e figura u n factor menor que la unidad. Para estudiar
este caso, conviene tener presente la relación que liga la esperanza de
vida a la edad x, temporaria por n a ñ o s , la probabilidad de supervivencia entre x y x+n con la esperanza a la edad x-{-n, en una tabla
de m o r t a l i d a d convencional:
.o
o
^x — nPx
ni
'
^X + 11
y extenderla al campo de la TVA :
x
/ea
= m-xPx
x
• eom
(
1 7
)
lo que es lícito hacer en vista de que el tramo de edades considerado
es aquel en que a! < 0. E n r a z ó n de que el examen precedente se
apoya en el supuesto de que - p
= 1 para cualquier valor de x en
D(A,L),
se deduce que:
m x
x
L
io
-Jea
m
x
m x Ó*
a
o
-
ea
x
-
a
s ,
r
x
= — (L — ni)
De lo anterior se desprende que el nivel correcto del componente
diferido se alcanza sólo cuando en el planteo de la relación ( 1 4 ) la
variable edad toma su límite ra.
23. A f i n de ilustrar n u m é r i c a m e n t e las condiciones anteriores se
presenta un ejemplo cuyos supuestos de trabajo s e r á n discutidos una
vez expuestos. Ellos son:
a) m o r t a l i d a d y retiros profesionales nulos, en D(A, L).
x —A
b) función-actividad a = a
; en D(A, ra).
m —A
x
m
24. A l interpretar la f u n c i ó n : l
x
de una TVA como un modelo des-
DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971
310
criptivo del nivel y estructura de la p a r t i c i p a c i ó n en la actividad
económica, según edad, se está indicando i m p l í c i t a m e n t e la existencia
de tres factores "determinantes": nivel y d i s t r i b u c i ó n por edad de la
mortalidad, ingreso a la actividad y retiros profesionales.
25. Según el esquema anterior, dada una composición p o r edades
de la p a r t i c i p a c i ó n , su nivel se ve disminuido por efectos del p r i m e r
y tercer factor, mientras que el segundo tiende a incrementarlo, al
menos, en un cierto tramo de edades
(A,m).
26. Puesto que de acuerdo con lo s e ñ a l a d o en el p á r r a f o 15, la
s o b r e s t i m a c i ó n se origina en la inclusión en el numerador de ( 5 ) del
tiempo vivido en actividad por quienes se incorporan a la PEA con
posterioridad a la edad x a que se refiere la e s t i m a c i ó n y antes de
cumplir ra años, la consideración de que la mortalidad y los retiros
son nulos no afecta la corrección del razonamiento sino en el sentido
de exagerar la importancia del sesgo.
27. E n relación a la hipótesis b), puede decirse que si bien no
corresponde perfectamente a la experiencia corriente, tampoco modifica el sentido de la p r o p o s i c i ó n a verificar.
28. E n caso de que se quisiera tener una mejor a p r o x i m a c i ó n , si
no a la forma real del f e n ó m e n o , cuando menos a la que "se suele
suponer que tiene", p o d r í a hacerse una de las siguientes h i p ó t e s i s
alternativas:
i) a' > 0;
a" < 0
x
i cC
ii) a' > 0;
\
> o
a" < 0
para A < x < m
para A < x < b
para b < x < m
donde: x = b representa el punto en el que a cambia de curvatura.
29. Si lo real fuera i ) , con el supuesto aquí adoptado, se estaría
subestimando la verdadera importancia del sesgo. E n el caso de que
ii) represente la situación correcta, no es fácil adelantar el resultado.
Sin embargo, existe alguna evidencia e m p í r i c a en el sentido de que
la edad a la que se produce el punto de inflexión conserva con m una
relación del t i p o :
x
ra +
h <
A
—r~
en cuyo caso —aunque a n a l í t i c a m e n t e no constituye condición suficiente— p o d r í a esperarse que el efecto promedio, en D(A,m),
sería
del tipo indicado en i).
30. De lo anterior se desprende que la i n t r o d u c c i ó n de los supuestos mencionados no representa ninguna r e s t r i c c i ó n y, por el contrario,
su extrema sencillez contribuye a facilitar el tratamiento así como a
destacar la dirección del sesgo.
31. Si se identifican los p a r á m e t r o s del supuesto b) — p á r r a f o 23—
L E R D A : ESPERANZA D E VIDA
311
ACTIVA
con valores corrientes, se puede dar forma n u m é r i c a al modelo propuesto, o b t e n i é n d o s e el cuadro 1.
Cuadro 1
ESTIMACIÓN DE LA ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE U N TRABAJADOR
MEDIANTE LA RELACIÓN (5)
X
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
4
a
x
ix
*x
L
5 x
!
0.00
0.00
5.0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.25
0.50
0.25
0.50
0.75
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
0.75
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
1
1.00
1.00
1.00
45
40
35
30
25
20
42.500
45
40
35
30
25
20
45.000
44.375
42.500
39.375
35.000
30.000
25.000
20.000
15
15.000
10,000
5.000
3.125
50
5.000
5.000
39.375
35.000
30.000
25.000
20.000
10
5
5.000
-
-
E n dicho p á r r a f o : A = 15; ra = 35 ; L
=
w = 70;
50
•a
x
55
55
4.375
5.000
5.000
5.000
5.000
(•a)x
45.000
44.375
0.625
1.875
-
•x
_
177.5
85.0
52.5
35.0
30.0
25.0
20.0
15
15.000
15.0
10
10.000
5
5.000
10.0
5.0
-
LOO.
32. Un examen r á p i d o de los valores tabulados —en p a r t i c u l a r los
de la ú l t i m a columna— permite concluir que la hipótesis que se viene
dicutiendo queda ampliamente verificada. Así, al usar T^/ll para edaedades inferiores a los 35 años, se encuentran niveles de la e s t i m a c i ó n
que son, incluso, superiores a las correspondientes esperanzas de vida
biológicas. Tal es el caso de ea , para x = 20, 25, 30, sin contar x = 15,
en que un análisis continuo d e t e r m i n a r í a u n límite infinito positivo.
33. La o b s e r v a c i ó n del cuadro mencionado permite comprobar, en
el contexto de los supuestos elegidos, que la relación (5) es correcta
cuando x ra. La verificación de este hecho es independiente de las
h i p ó t e s i s del presente ejemplo y tiene s u s t e n t a c i ó n teórica en lo señalado en el p á r r a f o 6.
34. Puede agregarse a los anteriores comentarios que la función
x
L ha sido tabulada bajo el supuesto de una variación lineal de la
función-actividad. E n v i r t u d de los supuestos del modelo la f ó r m u l a
de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a utilizada:
ñ
x
L
5
X
= 2.5 (l +
x
t +§)
x
arroja los mismos resultados que los que se pueden obtener con una
expresión ligeramente m á s refinada:
L
5
X
= 0.5 ( L
5
X
+ L
5
X
• a + 2.5)
x
35. Finalmente, cabe reiterar que la i n t r o d u c c i ó n en el análisis de
valores positivos de mortalidad y retiros se t r a d u c i r í a en una disminución de la importancia del sesgo; sin embargo, el sentido de éste se
m a n t e n d r í a invariable, por las razones adelantadas en el p á r r a f o 14.
312
D E M O G R A F I A Y E C O N O M I A V : 3 , 1971
36. Una vez explicado e ilustrado el origen y dirección d e l sesgo, se
d e d i c a r á la sección siguiente a presentar una d e d u c c i ó n de la f ó r m u l a
corregida.
I I I . FÓRMULA CORREGIDA
37. Como se indicó en la i n t r o d u c c i ó n , el reconocimiento de la necesidad de introducir una c o r r e c c i ó n en la relación (5) para A < x < m
no es nueva. Diversos autores recogen esta idea en sus trabajos, aunque, t a l vez por aquello de que se trata de u n problema obvio, no presentan al usuario una d e d u c c i ó n que la justifique.
38. Siguiendo las ideas presentadas en la relación (11) y p o r analogía con la definición de e de una tabla de mortalidad convencional,
en la que se verifica:
4
Xf
0
,
0
In^x
=
o
+ Jtx
(18)
donde:
x-\-n
$
,
0
I n^x
X
/ /ir
l
W,
X
T
/V
X
"
=
X
— T
X + fl
, * n\
(
>
1
=
1
7
*•&
9
'-x
(esperanza de vida a la edad x, temporaria
por n a ñ o s )
w
f
J
n/^x
1 /ir
=
T
=
(20)
^x
^x
(esperanza de vida a la edad x, diferida
por n a ñ o s )
es posible escribir:
<M* = Im-x^x
+ m-xIeO-x
(
2
1
)
en que, de manera similar:
m
a
§ 1 /i
/ -*ea
m
x
=
T
a
a
T
=
lx
(22)
^X
(esperanza de vida activa de u n trabajador a la edad x,
temporaria por (ra — x) a ñ o s )
L
dx«
11 CP.
—/ea,
%
=
TZ
=
(23 )
(esperanza de vida activa de u n trabajador a la edad x,
diferida por (ra — x) a ñ o s )
4 E n este sentido puede consultarse, entre otros, a S. L . Wolfbein, "The Length
of Working Life", Poputation Studies, diciembre de 1949, p. 291, y Naciones Unidas,
ST/SOA/Serie A/43, Cap. I , p. 24.
LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA
313
39. La expresión (21) resulta conveniente con fines de a n á l i s i s y fa­
cilita la derivación de la f ó r m u l a corregida.
40. Respecto al p r i m e r sumando (/ -. ea ):
en razón de que uno de
los supuestos básicos que corrientemente se hacen para la c o n s t r u c c i ó n
de una TVA es el de que no existe mortalidad diferencial por edad entre
activos e inactivos, resulta compatible con ello decir que la esperanza
de vida activa temporaria —en u n tramo de edades en el que la ú n i c a
fuente de eliminación la constituye la mortalidad biológica— debe ser
igual a la esperanza de vida temporaria, en el mismo intervalo, de un
elemento genérico de la población. Es decir, que debe verificarse:
m
1 m—x&Q-x —
x
x
/ m — x^x
(24)
41. Respecto al segundo sumando { - /ea ):
puesto que este indi­
cador se encuentra referido a u n intervalo de edades para el que se
supone que no existen ingresos y en el que sólo se producen salidas
de la actividad ( p o r muerte o retiro profesional), no existe r e s t r i c c i ó n
a que el mismo sea tratado como una esperanza de vida diferida, co­
rrespondiente a una tabla de mortalidad convencional. De lo anterior
y por analogía con la relación (17), se puede escribir:
m x
m—x/^x
—
x
m—xPx
'
a
&m
(25)
42. Reuniendo los elementos anteriores, puede escribirse la relación
(21) como:
-
Im-xK
+
m-xPx
'
<^m
(26)
o t a m b i é n , en su forma operacional:
T
^
=
—
—T
l
—
a
1
+
" 1 7
T
'
~T
(
2
7
)
43. Es de observar que en la deducción anterior no se ha hecho
intervenir e x p l í c i t a m e n t e n i n g ú n elemento que vincule los ingresos a
la actividad con la solución del problema. E n lo que resta de esta
sección se procura ligar ambos aspectos.
44. Anteriormente — p á r r a f o s 14 y 15— se ha destacado el hecho de
que la relación ( 5 ) constituye una s o b r e s t i m a c i ó n del verdadero nivel
de la ea , cuando A<x<m,
en razón de que con tal o p e r a c i ó n se dis­
tribuye u n tiempo vivido en actividad, superior a la experiencia real
de p a r t i c i p a c i ó n , por parte de quienes son sobrevivientes activos a la
edad x. Dicho de manera muy general: no existe correspondencia
x
entre numerador ( 7 ^ ) y denominador (f ).
45. La eliminación del sesgo v e n d r á entonces —siguiendo este ca­
mino— a p a r t i r de alguna t r a n s f o r m a c i ó n que haga compatible la
relación entre ambos elementos.
46. U n procedimiento general de resolución consistiría en calcular
x
314
DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971
el tiempo vivido en actividad a lo largo del intervalo (x, m), supo­
niendo la vigencia de una tasa constante, a, que por la naturaleza del
problema debe cumplir con: 0 < a ^ 1.
47. De acuerdo con lo anterior, el tiempo vivido en actividad que
ahora resulta s e r á :
m
Tx
—
m—x^x
Tm
—
L
x &
' ^x &X
+
l
x
d.X
(28)
el que corresponde d i s t r i b u i r entre los sobrevivientes activos "espe­
rados" en x:
f x ^ C L ' l x
(29)
48. Haciendo el cociente entre las relaciones (28) y (29) se obtiene
la forma general:
rj-> O
la. = —
rji
m
=
r;
*
rj-i
1
T®
+ - ^ L . __üí_ . JLÜL
a
h
l
m
(30)
f
m
49. A l comparar la expresión anterior con la relación (17), se puede
observar que sólo coincide en caso de que se haya elegido: a = a ; en
caso contrario, se e s t a r í a introduciendo u n sesgo en el componente d i ­
ferido — y por extensión en la e s t i m a c i ó n de ea — que sería p o r defec­
to o p o r exceso, según fuesen los valores particulares de a y a .
50. De l o anterior se deduce que la tasa constante a elegir no puede
ser arbitraria como se supone al principio, sino que debe ser la corres­
pondiente al punto para el que la función-actividad presenta su m á ­
ximo.
51. E n cuanto a la idea de incorporar una tasa de actividad cons­
tante, puede interpretarse en el sentido de que en cada edad A < ^ < m ,
ya se encuentran incorporados a la actividad todos aquellos que alguna
vez lo h a r á n y llegan con vida a ra. Su f u n d a m e n t a c i ó n proviene de la
mencionada necesidad de compatibilizar numerador y denominador,
p u d i é n d o s e formalizar a p a r t i r de la relación (24) la que puede es­
cribirse como:
m
x
m
m
m
S l • a dx
x
f l dx
x
w
- =
X
(24 b i s )
^X ' &x
^x
y usando el teorema del valor medio en el cálculo integral se llega a
a
-—
m
m
x
$l dx
a
= Sl d*
9
(31)
donde a fue definido anteriormente.
52. De lo visto se desprende que la verificación de la r e l a c i ó n (24)
—supuesto b á s i c o en la c o n s t r u c c i ó n de la TVA mientras no se conozca
vt
315
LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA
realmente el p a t r ó n de mortalidad de los activos— e s t á sujeto a l a condición :
a
v
— =1
(32)
y, en consecuencia, a que la función-actividad se comporte como una
constante en el intervalo de edades (A,m), independientemente de la
forma analítica d e l : l .
53. ¿ Q u é ocurre si - q = 0? E n tal caso, la relación (27) se reduce a:
x
m
x
x
rl
°ea
— ( r a - x) H
x
—
(33)
t
lo que permite ver su mecanismo lógico: los (ra — x) a ñ o s del p r i m e r
sumando resultan del supuesto adoptado y en v i r t u d del mismo, u n
sobreviviente activo a la edad x se hace "acreedor" al 100 % de l o que
corresponde a los trabajadores que llegan con vida a ra. Como puede
observarse, bajo condiciones reales de mortalidad, t a l " c r é d i t o " , varía
en p r o p o r c i ó n directa a la probabilidad de sobrevivencia en el p e r í o d o .
54. Finalmente, vinculando la f ó r m u l a corregida —relación (27)—
con el ejemplo presentado en la primera sección, es claro que en virt u d de los supuestos elegidos aquélla se reduce a:
ea = 70-x
(34)
x
p u d i é n d o s e ahora comparar los resultados de la e s t i m a c i ó n sesgada y
la corregida. (Véase el cuadro 2.)
Cuadro 2
ESPERANZA DE VIDA ACTIVA DE U N TRABAJADOR, PARA: 15 < x ^ 35, ESTIMACIÓN
SESGADA Y CORREGIDA, ERRORES ABSOLUTOS Y RELATIVOS
Edad
20
25
30
25 ,
E s t i m a c i ó n sesgada
r e l a c i ó n (5)
E s t i m a c i ó n c o r r e ;j i d a
r e l a c i ó n (27) 6 I[34)
177.5
50.0
45.0
40.0
35.0
85.0
52.5
, 35-o
Absoluto
127.5
40.0
12.5
Error
Relativo(%)
155.00
88.90
31.25
55. Observando el cuadro 2, pueden hacerse por lo menos dos breves comentarios de i n t e r é s . E n p r i m e r lugar, que la relación (27) describe correctamente las c a r a c t e r í s t i c a s del modelo examinado. E n segundo lugar, cabe hacer resaltar que la s o b r e s t i m a c i ó n provocada por
el uso de la relación (5) es s i s t e m á t i c a para toda edad inferior a los
35 a ñ o s , pero que decrece con la edad —al parecer— de acuerdo con
una ley hiperbólica.
DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V : 3 , 1971
316
I V . R E L A C I Ó N ENTRE LA FÓRMULA
CIÓN DEL ERROR
SESGADA
Y LA CORREGIDA.
DESCOMPOSI-
56. A f i n de generalizar las ideas que condujeron a la r e l a c i ó n (14),
es posible escribir:
S Cdx
ÍCdx
=
=
^x
l x
íltdx
+
(35)
L%
y aplicando el teorema del valor medio en el cálculo integral a la vez
que se hacen algunas transformaciones, se arriba a una forma general
de la f ó r m u l a sesgada:
Tai
f
x
Q>v
Ta*
T
CL
m
m
-j
a
l
x
a
x
x
l
T
m
. —.
l
m
.
m
_
f
(36)
m
donde a ha sido definido antes.
57. Comparando la e x p r e s i ó n anterior con la relación (27), queda
claro que aquélla contiene a é s t a como u n caso particular. Tal circunstancia se verifica cuando:
v
CL
X
—
d
¡££y
m
lo que puede interpretarse en el sentido, ya adelantado, de que la participación m á x i m a se presenta desde el inicio del p e r í o d o de la vida
activa. Este artificio algebraico, necesario para resolver el sesgo y que
fuera aceptado al comentar la relación (30), implica suponer que l a
i n c o r p o r a c i ó n a la actividad no es u n proceso m á s o menos gradual entre A y m sino u n f e n ó m e n o que se da s i m u l t á n e a y totalmente en A.
58. Llamando "factores de d i s t o r s i ó n " a:
f
f(x) =
;
g(x) =
se verifica:
lím f(x) = + OC ;
x-> A
l í m f(x) = 1
x -> m
lím g(x) = + OO ; l í m g(x) = 1
x-> A
x -> m
de donde se concluye que, efectivamente, el sesgo v a r í a hiperbólicamente en el intervalo (A, m), según se anticipara en los comentarios a l
cuadro 2.
59. Puesto que en realidad: a <a <a
se verifica que f(x) <g(x),
de donde se infiere que la d i s t o r s i ó n total puede ser descompuesta en
dos partes, cuya importancia absoluta y relativa difieren.
x
v
mt
LERDA : ESPERANZA DE VIDA ACTIVA
317
60. E n relación con el error vinculado al componente temporario,
puede decirse que es de menor peso relativo que el asociado con el
exponente diferido. E n cuanto al valor absoluto, cabe esperar u n a relación del mismo t i p o que la mencionada, si los límites de l a vida
activa se fijan en 15 y 70 años, respectivamente, variando ra alrededor
de los 35 a ñ o s .
61. Con los elementos de análisis presentados, es posible intentar
u n sencillo ejemplo n u m é r i c o , con el objeto de medir la importancia
de f(x) y g(x). Para tal f i n , se ha considerado la información provista
por el cuadro 1.
62. Atendiendo en p r i m e r lugar al error asociado con la esperanza
de vida activa temporaria de u n trabajador, se obtienen las cifras del
cuadro 3.
Cuadro 3
ANÁLISIS NUMÉRICO DEL ERROR PROVENIENTE DE F ( X ) , SEGÚN EDAD
x,m
v
20,35
25,35
30,35
35 = m
27.5
30.0
32.5
35.0
^
x
v
0.625
0.750
0.875
1.000
f(x)
0.25
0.50
0,75
1.00
v
2.500
1.500
1.167
1.000
1
1
1
1
68
Estimación /m-x *
'
1
1
f
(corregida)
(en años)
20,35
27.5
15
25.35
30.0
10
30,35
32.5
5
15
10
5
„
, ,
E r r o r respecto a l v a l o r corregígo
1
m
"¡
U)
50
45
40
35
Absoluto
(en años)
Relativo
( f ( x ) - 1 ) • 100
22,500
150.0
5.000
50.0
0.835
16.7
(sesgada)
(en años)
37.500
)
15.000
i
5.835
63. De manera similar es posible construir el cuadro 4.
Cuadro 4
ANÁLISIS NUMÉRICO DEL ERROR PROVENIENTE DE G(X)
a
X
0.25
0.50
0.75
1 .00
20,35
25.35
30,35
35 = m
g(x)
p
m-x x
4.000
2.000
1.333
1 .000
1
1
1
1
Estimación m-x/ea*
P
20,35
25.35
30,35
e a
0
P
a
m
1
1
1
1
ea
35
35
35
35
e a
x
g(x) m-x x .
(corregida)
(en años)
(sesg
(en años)
35
35
35
140.000
70,000
6.655
x
Absoluto
(en años)
105.000
35.000
11.655
a
m
= T /
m '
a
lm
35
35
35
35
E r r o r respecto a l v a l o r
0
ro-x x .
l
corregido
Relativo
(g(x) - 1) . 1 0 0
300.0
100.0
33.0
64. A l examinar las cifras de los cuadros 3 y 4 es posible reconocer que:
DEMOGRAFÍA Y ECONOMÍA V:3, 1971
318
i) al usar T*/ Zapara el cálculo de la &a cuando A < x < ra, se
llega invariablemente a una s o b r e s t i m a c i ó n de su verdadero
nivel que afecta a sus dos componentes de manera distinta.
ti) la importancia del error que se comete en tales circunstancias
—tanto en t é r m i n o s absolutos como relativos— es mayor en el
componente diferido que en el temporario.
iii) la evaluación del sesgo es decreciente con la edad, s e g ú n una
ley hiperbólica, para ambos componentes.
xi
65. Cabe observar, como control, que la suma de los valores co­
rrespondientes a los errores absolutos, en los cuadros 3 y 4, coincide
con las cifras relacionadas a la e s t i m a c i ó n sesgada que figura en los
cuadros 1 y 2.
66. Finalmente, una ú l t i m a o b s e r v a c i ó n en relación con los errores
relativos por edad originados en los "factores de d i s t o r s i ó n " f(x) y
g(x).
S i s t e m á t i c a m e n t e se encuentra que este ú l t i m o es el doble del
primero. Ello es consecuencia del supuesto combinado de linealidad
en la variación de la función-actividad y de constancia en l l o que
p e r m i t i ó usar en forma exacta:
xt
a = 0.5 (a + a )
v
w
m
y que reemplazando oportunamente, verifica:
g(x) - 1
_
a -a
a
a
_
V. R E S U M E N
Y
.
1. E n una tabla de vida activa (TVA), se tabulan corrientemente los
valores correspondientes a la función b i o e c o n ó m i c a "esperanza de vida
activa de u n trabajador".
2. Definiendo los límites de edad dentro de los cuales se da la
p a r t i c i p a c i ó n en la p o b l a c i ó n e c o n ó m i c a m e n t e activa (PEA), como A
y L , existe un punto ra para el cual las tasas de actividad por edad
presentan un m á x i m o .
3. La existencia de u n valor extremo como el indicado puede in­
terpretarse en el sentido de que antes de tal edad no se ha comple­
tado a ú n el proceso de i n c o r p o r a c i ó n a la fuerza de trabajo por parte
de los integrantes de la generación h i p o t é t i c a que se representan en la
TVA. Por tal motivo, al estimar el nivel de: ea , para: A < ; c < r a , me­
diante la r e l a c i ó n :
x
en el numerador se encuentra, por una parte, el tiempo vivido en
actividad desde x en adelante, por quienes son sobrevivientes activos
LERDA: ESPERANZA DE VIDA ACTIVA
319
a t a l edad y, a d e m á s el correspondiente a todo individuo que se in­
corpora a la PEA entre x y m.
4. E n v i r t u d de que este ú l t i m o nada tiene que ver con l a expe­
riencia de p a r t i c i p a c i ó n en la fuerza de trabajo de quienes f o r m a n el
conjunto f , se presenta una falta de correspondencia entre numera­
dor y denominador cuyo resultado es provocar una s o b r e s t i m a c i ó n
del verdadero nivel del indicador.
5. E n consecuencia, para tabular la función esperanza de vida activa
de u n trabajador, d e b e r á n utilizarse dos f ó r m u l a s distintas s e g ú n el
tramo de edades que se considere:
x
Si A<ix<jn\
ea
Si
ea —
ra<[*<L:
x
x
+