PDF (Capítulo III: Soluciones singulares, ecuaciones de primer

83
C A P Í
T I L O
III
SOLUCIONES SINGULAÍÍES, ECUACIONES DE PRIl-IER OIÍDEN Y G.?ADO SUPERIOR"^AL SRIMERO.
ECUACIÓN DE CLAIRAUT.ECUACIÓN DE LAGRANQE.
3.1.
SOLUCIONES SINGULARES
Ilustraremos lo que es una solución singular por medio del siguiente ejemplo
Ej.3.1.1.- Consideremos la familia de circunferencias representadas por la ecuación
_ ^ ^ C ) ^ + y^ = 25
Estas circunferencias tienen sus centros
sobre la recta y = O siendo las rectas
y=5 y y=-5
tangentes a todas ellas
Claramente el núaero de tales circunferencias que pasan por un punto dado es
2
a) ceso si y es mayor que Z3
2
b) una si y es igual a Z3
2
c) dos si y es menor que 25
Cuando y = O solamente dos circunferencias tienen una tangente vertical única.
Busquemos la E.D. tal que la familia de circunferencias dadas sea la
solución general,para ello procedemos de la siguiente forma.
2(x - C) + 2yy' = O
de donde obtenemos
yy' = -(x - C)
así que reemplazando en la Ecuación dada tenemos
y de aquí logramos y^(y')^ + y^ = 25
(y')^ = {Z3 - y^)y~^
Es fácil ver que esta ecuación no define valores reales de y' ?=:X se
cumple que y es mayor que 25,define un solo valor real de y' si y 2
2
es igual a 25 y dos valores de y' si y es menor que 25.
Hagamos y' = p entonces el lugar .de los puntos para el cual
^2 _ (25 - y2)
P 2
y
define un solo valor de p se compone de las rectas y = O,y = 5 y
y = -5.
Entonces,cabe preguntarse si estas rectas son soluciones de la E.D.
Qbtenida.Observgujios que las tres rectas anteriores tienen la forma :vy=
una constante y por tanto
sustituyendo en
tenemos
O = 0/25
y'= p = O
2 _ 25 - y2
P
2
si y = 5
y = -5
pero no se satisface
84
para y = 0.
2
2
Es claro que
(x - C) + y = Z3
es la solución general de -, _-:
2
p2 _ zp - y
P
2
y
y que cualquier solución particular de esta E.D. es una circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y de radio 5;sin embargo,las rectas y = 5, y = -5 no son expresables como tales a pesar de ser solución de la E.D, obtenida,
Def,3,1,1,- Cualquier solución de una E.D. que no esté incluida en la solución
general es llamada solución singular.
La curva correspondiente (en el ejemplo anterior las rectas y = 5»
y = -5 )es llamada envolvente de la familia.
Ahora,se presenta el siguiente problema:Dada una E,D, como hallamos la solución
general y la singular (si existe)? Tratemos de contestar esta preg-unta mediante
un ejemplo del cual sacaremos conclusiones importantes,
Ej,3,l,2,- Hallar la solución general y singular (si existe) de la E,D.
2
xp - 2yp + 9x = O
donde p = y'.
Si tratamos de despejar p observamos que aparecen radicales por tanto
despejamos y obteniendo
y _ 2x
y ~ 2p
-
+ X£
- 2
Derivando esta expresión con respecto a x obtenemos
p = |( ^ ~ l ^ ' ) + ^(xp' + p)
P
por tanto
2p = 9( ^ "2^^') + xp' + p
P
° ^^^
9p - 9xp' + xp^p' - p3 = 0
(xp' - p)p^ - 9(xp' - p) = O
(xp' - p)(p^ - 9) = O
de donde concluímos que
lü»
De
obtenemos
pero
por lo que
integrando
y
:xp
xp'= p
d£ _ dx
P
X
p = Cx
P = y'
dy = Cxdx
y = Cx^ + A
2
= p
85
observe que de una E.D, de primer orden hemos obtenido una solución
que posee dos constantes arbitrarias lo cual no es posible.Entonces
si reemplazamos la expresión obtenida encontramos A en términos de
^ ^^^'- _2 2
x^
xC^x - 2(C I + A)Cx + 9x = -2ACx + 9x = O
x(9 - 2AC) = O
luego
A = 9/2C
por lo que
„ _ r 2. + 2_ '
y "
2
2C
También podemos eliminar p de las expresiones
2
xp - 2yp + 9x = O
p - Cx = O
además,podemos considerar las ecuaciones anteriores como ecuaciones
paramétricas de la solución.Si procedemos a eliminar p de las dos
ecuaciones anteriores tenemos
x3c^ - 2yCx + 9x = O
2 3
por tanto
_ C x
9x
y " 2Cx
2xC
= c¿+ ^
2
2C
que es el mismo resultado obtenido anteriormente.
Pero p = 9 implica que p = 3
y
P = -3
entonces ^
si sea
esta ecuación la sustituímos
o
y = - 3x en
+ B
2
xp - 2yp + 9x = O
tenemos
= - 3
^^ _ ^^^_^^ ^ ^^ ^ +3^ + gx = í 6B = O
luego
B = O
y por tanto
y = - 3x
estas expresiones satisfacen la E.D» dada pero no están incluidas en
la solución general y por consiguiente son soluciones singulares.
Nota,3.1.1.- Del Algebra y Cálculo sabemos que toda ecuación polinómica F(p) =0
de grado n tiene n raíces y que toda raíz múltiple de multiplicidad mayor que uno es también raíz de F'(p) = 0.
Recíprocamente,toda raíz de F(p) = O y F'(p) = O que sea común es
raíz múltiple de F(p) = O.
Ap3J-Cando la nota anterior a nuestro problema tenemos
f(x,y,p) = O = xp^ - 2yp + 9x
f'(x,y,p) = |^|£(x,y,p)] = O = 2px - 2y
De este sistema de ecuaciones eliminamos p obteniendo
P = ^
^
así que reemplazando en
X
86
2
xp - 2yp + 9x = O
obtenemos
^
2-1
9x - y X
=0
lo que implica
_ + :z-«.
y — — yx
que son las soluciones singulares de la E.D, dada.
De lo anterior se deduce que las condiciones para que una E.D. tenga soluciones singulares son:
a) Que la E.D. tenga raíces múltiples
en p.
b) Que la primitiva tenga raíces múltiples»
Nota,3.1,2.- Observe que
1 ) Una E.D. de primer orden y primer grado no tiene soluciones singulares.
2) Una E.D» de grado superior a uno no tiene soluciones
singulares si f(x,y,p) puede expresarse como factores que sesin lianeales en p y racionales en x,y.
87
EJERCICIOS
3.1.
Encontrar las soluciones singulares de las siguientes E.D.
2
y = 2px - yp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2
2y = p + 4px + 2x
2
y = P ,/
/ 6
7^,2
4yx
= px
+ 4p
(p^ + l)(2y - x) = 2(x + py)y /
y = 2px + 3p
/
(1 + P^)y^ - 4yp - 4x = O ^
5
2
p-^ - ifxyp + 8y = 0
2
5
(xp + y) + 3x'^(xp - 2y) = O
y(y - 2xp)^ = 2p
12
8p3 - I2p^ = 27(y - x)
2/x
p = y -^ + a
Para que valores de a esta ecuaciób tiene solución singular?
13
Diga si y = O
es solución singular o particular de la E.D.
p^(12x) - I2yp + 4y = O
2
14) La ecuación ( l - x ) p + x y - 1 0 = 0
se satisface para
ta ecuación es solución singular o particular.
y = lOx.Diga si es-
EJERCICIOS
1]1
3.1.
y-rc
yȒv
z)1
y-fy'rp
3)1
y--i?
«:
1
jf«o
ÍHi-hK^^-O
5:1
?Y+ ^
6:1
3yfx'-o
L/
7:> y^ = 4x + 4
4
3
8:
> y = 0
y - 27 ^
9:1 4y + x3 = 0
10:)
hxy
= -1
n:)
y
12;1
a = 0
13:)
singular
14:)
Particular.
¿-1-
— -^^ ~
pr?
y = 0
88
3.2.
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR AL PRII-íERO.
Estudiaremos algunos tipos de E.D. de primer orden y grado maiyor que uno,
CASO I, La E.D. puede ser resuelta en términos de y'.
Sabemos que la E.D. de primer orden tiene la forma
F(x,y,y') = O
Es posible que de esta ecuación podamos despejar y' como
y '= fj_(x,y)
i = 1,2,
,n
donde n representa el grado de la E.D.
Integrando cada una de estas ecuaciones obtenemos las soluciones de la
E.D. inicial(la solución general es el conjunto de las n soluciones obtenidas) .En otras palabras,si tenemos
aQ(x,y)(y')''+a^(x,y)(y')^-U
+a^_^ (x,y)y'+a^(x,y) = O
entonces es posible expresarla en la siguiente forma
[y'- fT(x,y)][y'- f^(^,y)\
[y'- fi,(x,y)] = o
y por tanto
y'= fj_(x,y)
i = 1,2,
,n
así que obtenemos n soluciones que son las que determinan la solución
general.
Lo anterior es cierto si encontramos n soluciones reales para y' pero
si al resolver la E.D. dada con respecto a y' encontramos k soluciones
reales, k vj^ n ,las k soluciones qñe se obtienen conforman una solución
de la E.D. dada.
Ej.3.2.1.- Resolver
2(y')^ - (x + 2)y' + x = O
La E.D. la podemos escribir como
(y')^ (y')^
- (
( I I-^ i^y' + 1 = 0
que podemos factorizarla así
iy' - i)(y' - |) = 0
y por tanto^j ^ , ^ .j
b) y' = I
de a) obtenemos y = x + C
2
de b) y = X + A
y
4
Es fácil comprobar que cualquiera de estas expresiones satisfacen la
E.D. dada,por tanto el conjunto formado por las expresiones
y, = x + C
'
2
y p = x + A
4
r e p r e s e n t a l a i n t e g r a l general de l a E.D. dada.
Nótese que la
y
dónde 3 = A +
2( I
89
suma de y y y no es solución de la E.D. dada pues
2
= yi+yp = x
+ X + B
4
C,reemplazando en la E.D, tenemos
+ 1)^ - (x + 2)(| + 1) + X = (| + 1)(x + 2 - X - 2) + X
= X j^ O
salvo cuando x = 0,pero si x =- O entonces y = B que no satsiface la
E,D, original.
Ej,3,2.£,- Resolver
(y')^ -(x + y)y'+ xy = O
Esta E.D, la podemos escribir como
(y' - x)(y' - y) = O
obteniendo , ,
a) y = X
b) y' = y
De a) concluímos que y = ~
+ A
De b) y = Be^
Entonces el conjunto formado por las expresiones
2
,
T3 X
y. = x_ + -^
Yp = Be
' 2
representa la solución general de la E,D, dada,
CASO II. La E.D, es de la forma F(y') = ©
Como trabajamos con E,D, de primer orden que tienen grado mayor que uno
entonces F(y') = O puede expresarse como un polinomio en y' lo qu« implica que existe una raíz k tal que y'= k (k puede ser constante real
o compleja).De y' = k obtenemos y = kx + C de doiide concluimos que
k = ^--n— por tanto
F(y') = F(k) = F( i^-^) = O
X
así que
es l a solución buscada.
F( 2 - ^ ^ ) = O
E j . 3 . 2 , 3 . - Resolver
p^ - 169p + P + 13 = O
donde p = y ' .
Esta E.D. l a podemos e s c r i b i r a s í
P'^(P^ -169) + (p +13) = (p+13) \ y i v - 13) + 13 = O
o sea que
P = -13
satisface la E.D.
Luego la solución general es
( 5 L ^ )9 . T69( J L ^ )7 ^ ^ J L ^ ) + 13 = O
90
CASO III, La B.D. es de la forma y = F(x,y')
En este caso,podemos derivarla con respecto a x obteniendo
'
d^ = $£ + ^
dx
h*
d^'
' ^ ' dx
^F . vE. dp
,
P = •^— + - ^ -T*-
P = Y
^
P
>y
7)P dx
Oí
entonces observamos que p puede escribirse como
p = g((x,p,p')
que es una E.D. de primer orden y primer grado por tanto,si resolvemos esta ecuación obtenemos una función
g(x,p,C) = O
Luego,para obtener la solución de la E.D, dada eliminamos p entre las
ecuaciones
y = F(x,g)
g(x,p,C) = O
Si lo anterior no es posible entonces expresamos x e y separadamente
como funciones del parámetro p.
A este método muy a menudo se le conoce con el nombre de "solución de
una E.D» por derivación".
Ej.3.2,4.- Hallar las soluciones (general y singular) de
2
2
y = 5px + 5x + p
P = y'
Derivando la S.D. con respecto a x obtenemos
y' = p = (5p + lOx) + (5X + 2p)p'
luego
pt(5x + 2p) + 2(5x + 2p) = O
(p' + Z)i3x + 2p) = O
2x + p = C
2
2
Sol Gral.Como
p'
=-2
p = - 2x + C y de las ecuaciones
5px + 5xc + entonces
p
P = y
2
2
eliminamos p.Esto es,sustituyendo
p = -Zx + C en
5px + 5x + p = y
y = 5(C - 2x)x + 5x + (C - Zx)
obtenemos
= 5Cx - lOx^ + 5x^ + C^ - ¿fCx + hx^
2
2
= Cx - X + C
Sol Singular,Como 5x + 2p = O entonces p = -(5/2)x
en la S.D, original encontramos
y = 5(- |i:)x + 5x^ + (- 2 ""^^
- - ¿x2
- 4""
y reemplazando
91
CASO IV. La E.D. es de la forma x = G(y,y')
En este caso podemos derivarla con respecto a y obteniendo
dx _ iO
^ d^^'
dy ~
1
¿y
•*" *7«dy
= ^G + dO dE
o sea
,
dp
dy =
— _p
-V J
>y
^
dP
esta ecuación puede resolverse por los métodos conocidos obteniéndose
comomsolución
,,,
„, -.
i-í(y»p»c) = O
Entonces si elininamos p entre esta ecuación y la original obtenemos _
la solución general.
Si lo anterior no es posible,entonces expresamos a x e y separadamente
como funciones del parámetro p.
Ej,3.2.5.- Resolver
x = y + Ln(p)
P = y'
Derivando la E.D. con respecto a y obtenemos
dx _ i _ . ^. 1 d£
dy
por tanto
entonces
de donde
p ~
p dy
,
i j
P
P dy
p ^
,
Obtenemos
i
dy
y + Ln(p - 1) ± LnC
o sea
p ' 1 _ e~y
C
- ^
p = Ce"y + 1
eliminando p entre esta úitima ecuación y la original encontramos la
solución general que es
X = y + Ln(Ce~y + l)
CASO V. La E»D. es de la forma F(y,y') = O
Si de la expresión anterior se puede despejar y' se obtiene una ecuación
de variables separables.
Por consiguiente,son de inter&s los demás casos,
a) Si de la expresión F(y,y') = O se puede despejar y obtenemos una expresión de la forma
_ f( *)
y por tanto podemos aplicar el CASO III así que derivando la expresión
y = f(p) con respecto
obtenemos
dz, _ a xdf
dp
dx ~ P ~ dp dx
luego
92
A
1
df dp
,
dx = —
P ir"
dp -^
, , -^
= /i
—
o sea
,
y' p dp dp
Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p por tanto
son ecuaciones paraiaétricas.
'^2»3»¿»S.- Resolver
y = (y')3 - (y')^ - i
= P^ - P^ - 1
Como -^ = p entinces dx = — dy
dx
-^
p
Luego
,^2
_^
dx = ^P - ^P dp
por lo que
P
= fi3v - 2)dp
3 2
= ^ p - 2p + C
b) Si de la expresión F(y,y') = O no pueden despejarse ni y ni y' pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante
algún parámetro t,digamos
y = h(t)
p = j(t)
entonces
dy = pdx = j(t)dx
y de otro lado dy = h'(t)dt
de modo que
j(t)dx = h'(t)dt
P = y'
dx = . f\.\' dt
3(t)
o sea
^-Ct)
dt
t)
Por consiguiente,obtenemos 1 a solución general de la E.D, dada
en forma paramétrica,
Ej,3.2,7.- Resolver
(y^^^) + (y')^'^3 ^ ^
de donde logramos
^=jjr^
Si hacemos y = cos'^t
, y' = p = sen t
la E.D. se satisface entonces
dx ^ dx ^ -3cos^t sen t^^^
•^
cosft ^^ ^
3±.
2.
sen t
sen t
P
2^ ^^
de donde
X = 3t + 3ctg t + C
y la solución general es
y = cos3t
X = 3t + 3ctg t + C
CASO VI. La E.D. es de la forma G(x,y') = O
Si de la expresión anterior se puede despejajr y'obtenemos una E.D, de
variables separables.
Entonces pueden ocurrir los siguientes casos
a) Si de la expresión G(x,y') = O se puede despejar x obtenemos una
93
, ,,
X = g(y )
y por tanto podemos aplicar el caso IV así que derivando con respecto
a y obtenemos
1_ _ d£ dp
p ~ dp dy
luego
dy = p d£^ ^
dp ^
o sea
^
expresión de la forma
Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p y por tanto
son ecuaciones paramétricas,
Ej.3.2.8.- Resolver
x = p - p-1
Como dy = pdx entonces
p = y'
2
dy = p(3p - 1)dp
por tanto
y = jp(3p - l)dp
Las ecuaciones
3
x = p - p -1
y=¿p^-ip2+C
determinan en forma paramétrica la familia de curvas buscadas
b) Si de la expresión G(x,y') = O no puede despejarse ni x ni y' pero
estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún
parámetro t,se procede en forma similar a la parte b) del caso V.
94
EJERCICIOS
3<Z,
Resolver l a s s i g u i e n t e s
(./.1
y = (y')^ey'
V2
y'= e y ' y " ' <
"3
X = Ln(y') + sen(y')
%
X = ( y ' ) ^ - 2y' + 2
5
y = y'Ln(y')
y = s e n " ' ' ( y ' )) + Ln( 1 + ( y ' ) ^ )
7
y = ( y ' - Dey"
8
x( 1 + ( y ' ) 2 ) = 1
9
X(
1 + (y')^)^'^^ = a
a cte
10
y2/5 , ( ^ , ) 2 / 5 ^ ^2/5
11
y^ - ( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ = o
la
X = y ' + s e n ( y ' ) •>
13
y = y'(
14
( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ - x ^ y ' + x^y = o ¿
15
1 + y'co3(y'))
/ ""^
'
( y ' ) ^ + (x + 2)ey = O
16
x ( y ' ) ^ - 2 y y ' + x = O L-
Í7
( y ' ) ^ - 2yy' = y ^ ( e ' ' - 1) ^'
13
( y ' ) ^ - (2x + y ) y ' + (x^ + xy) = O ''-
19)
y = 2y'x + y ^ ( y ' ) 3
EJERCICIOS
3.2.
X = e P ( p + 1) + C
2 p
y = p e^
y = O
j
^
X = Ln(Ln p) + -—^
^
Ln p
y = Ln p
+ C
X = Ln p + s e n p
y = C + p(l
X = p
2
+ s e n p) + c o s p
- 2p + 2
5
2
y = I p^ - p'' + C
x + C= ^' I ^^ P^^
y = pLn p
1
^ ^ (^
2,1/2
X + C = 2 t g - ^ - Ln( ^ ^ ^^ - P ^
)
y = sen~^p + Ln(l + p^)
X = eP + C
p
y = -1
y = (p -
y = O
l)e^
y + C = í
((X - x ^ ) ^ / ^ + sen ~ \ x ^ ^ ^ )
)
X = acos t
y = C - asen-^t
X = 5( ^ t g 3 t - t g t + t ) + C
5
y = a sen t
X = - | +
Ln( | - i - i
y = t^d
-
) - 2 t&~\
y = O
t^)-1
X = p + sen p
1 2
y + C = j p + psen p + cos p
X +
C = Ln
p
+ sen
p
+ÍCOS
p
2
y = p + p eos p
y = 2¿
2
+C
,
y = - ¿ + C ,
2
(X + Z ) ' ' ^ ^ = 4 e - ( y / 3 )
C 2
1
y = 2 ^ -^ 2 c
y = 1 ^
Ln Cy = X + 2 e ^ ^ / ^ ^
y = | - + C
X = ^
- ¿
,
y = O
y = C e ^ - x - 1
y^ + x3 = O
y=Ce^
p = yt
95
3.3.
LA ECUACIÓN DE CLAIRAUT
Def.3.3.1.- La ecuación
y ^ px + f(p)
es llamada ecuación de Clairaut donde p = y'.
Observando la ecuación vemos que si la derivamos con respecto a x
(CASO Ul) tenemos
dy= p = p +^ (^x +^
^
dx
^
^
= p + (X +
df(p)^
dp
, ^ ^ ' ) -r^
dp
dx
f'(p)) ^^
luego
( X + f'(p)) ^ =
o
entonces
b) X + f'(p) = O
De a) conclxiimos que p = C y sustituyendo en la ecuación de Clairaut tenemos
^ ^ ^^ ^ ^^^^
que es eviaentemente la solución general,
si se cumple b) o sea
_^_ f'(ri) - o
entonces de las ecuaciones
y = px + f(p)
O = X + f'(p)
podemos eliminar p obteniéndose así una relación entre x e y.Esta
relación es una solución de la 2,,D, de Clairaut pero ng__£Dntie&©
constantes arbitrarias y por tanto no es la solución general,De otro modo,esta
lución general
solución no se obtiene,en general,a partir de la soy = Cx + f(e)
dando valores a C.Pero según lo visto anteriormente,al eliminar p
de dichas ecuaciones y obtener así una relación entre x e y,esta
solución es una solución singular de la S.D, de Clairaut,
96
EJERCICIOS
3.3.
1) Pruebe que la ecuación Zf-,
,,
^ / . -,N , n
r.
^
p (3x - 1) - 3p(y + 2) + 9 = O
(ecuación de Clairaut) tiene como soluci|)n general a la expresión
2Cy + C^(y - 3x) - 4 = O
y como solución singular a la expresión
y^ + 4y - 12x = O
Demuestre que también y = 3x es solución y que esta solución no está contenida en la solución general aunque puede obtenerse deella cuando C crece indefinidamente , tal solución es llamada solución límite,
2) Resuelva las siguientes Ecxiaciones de Clairaut
2
2
1 / 2 — 1
a)y=px+2p-p
d)y=px+(l-p)'
- pcos p
b) y = px + a^p~^
e) y = px + (p - '[)~^^^
c) y = px + (1 + p^)^'^^
f) y = px + ap(l + v ^ ) ~ ^ ^ ^
3) Demostrar que la E.D. de Clairaut
y = px + ap + b
P = y'
no tiene soluciones singulares.
^ERCICIOS
3.3.
2 a) y = Cx + 2C -C
b) y = Cx + a^C"^
c) y = Cx + (1 + C ^ ) ^ / ^
d) y = Cx + (1 - C ^ ) ^ / ^ - Ccos"^C
e) y = Cx + (C -
1)"^/^
(x - 1)"^ + 8y = O y
y K z^a^x
^
y=(i -x^)'/^
y = sen x
y = X + 3 2~^''^3 x ^ / 3
97
3.4. LA ECUACIÓN DE LAGRANGE
Def,3,4.1,- Una E,D. de la forma ^ ^ ^^^^^ ^ ^^pj
p = y'
es llamada ecuación de Lagrange,
Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Clairaut pues
el coeficiente de x es una función cualquiera de y' en lugar de ser
y'.
Para encontrar su solución general la derivamos con respecto a x oübtenündo
p = f(p) + ( xf'(p) + g'(p) ) g
que la podemos escribir como
(p - f(p))f|- f'(p) X = g'(p)
dx _ f'iv)
^
f¡'{v)
dp
p - f(p)
p - f(p)
¿X ^ f'(p) X ^ g'(p)
dp
f(p) - p
p - f(p)
que es una E.D, Lineal de primer orden en la variable x.
Integrando ésta ecuación encontraremos
X = F(p)
y como p = y' entonces dy = pdx por tanto dy = pF*(p)dp
o sea
y = /SF'(p)dp
2
2 /
Ej,3.4.1.-Resolver
y = -p x + p + 1
Derivando con r e s p e c t o a x obtenemos
p = - p ^ + (-2px + Z v ) p '
simplificando
encontramos
1 + p = 2(1 -
x)^
dx
esta ecuación es lineal pero además es de variables separables luego
dp _ 1_ dx
1 + p ~ 2 1-X
C
cuya solución es p =
T-TT - 1
(1 - x)^/2
entonces reemplazando en la E,D, original tenemos
y = -( —
r/2 - D^x + (
2—r72 - D ^ - i
(1 - x ) ^ / ^
(1 - x ) ^ / ^
es la solución general.
EJERCICIOS 3.4.
1) Demuéstrese que la E,D, de Lagrange puede tener soluciones singulares de la
forma y = xf(C) + g(C) donde C es una raíz de la ecuación f(C) - C = O,
98
3.5.
LA E.D. DE ORDEH SUPERIOR QUE PERMITEN REDUCIR SU ORDElí
L a s E.D, de n-ésimo orden t i e n e n l a forma
(n)
„,
, ,,
(n-1),
y'
= f(x,y,y ,y' ,
,y^
)
o bien
„,
, ,
(n-1) (n),
^
F(x,y,y , y ' ,
,y^
Sy^ ') = O
La primera de dichas ecuaciones se presenta cuando es posible despejar de la
E^D, la derivada n-ésima y la segunda cuando es imposible,o muy difícil hacerlo.
En ciertos casos,el orden de la E,D, puede ser reducido lo que permite facilitar
su integración,Señalaremos tres clases de estas ecuaciones,
a) y^ "^ = f(x)
Vésase pag 17 de estas notas.
b) La E.D, no contiene la función buscada y sus derivadas hasta el orden k - 1
inclusive.
Esto quiere decir aue la E.B. es de la forma
„/
(k) (k+1)
(n), „
F(x,y^ ',y^
,
,y^ ') = O
bio este
de Variables,Este
es dada
y
= q y
por tanto
- q
En
caso,el orden cambio
de la E,D,
puede
reducirse
a y
n-6: mediante
un camariables,Es
(n) ^(n-k)
LÚ¡¡¡"
F(x,y^^\yí^^l\
,y^^^) = O
se reduce a
Q(x,q,q',
,q ~ ^) = O
De esta ecuación encontramos su solución general que contendrá n-k constantes arbitrarias y que será de la forma
Q(x,C^,C2,
,C^_^) = q
y hallamos la función buscada y aplicando el caso a),En otras palabras,como
y^^^= q
entonces
y^^^= Q(x, 0^,02»
»^n-k^
así que integrando k veces obtenemos la función buscada.
En particular,si la E.D, es de segundo orden y ésta no contiene a y entonces
la sustitución y'= p nos conduce a una E.D, de primer orden,
Ej.3.5.1.- Resolver
d ^ _ 1 d/^ _ Q
dx^
^ dx^
Hagamos q = d%
entonces la E.D. se convierte en
dx^
t -i^-°
que es de variables separables asi que integrando obtenemos
q = Cx
luego
¿!f = Cx
dx"^
integrando cuatro veces logramos la solución general que es
y = (C/5!)x^ + (A/if!)x^ + (B/3!)x3 + (D/2!)x^
+ Ex + F
c) La E.D. no contiene a la variable independiente.O sea que es de la forma
F(y,y',y':,,.^,.^_,_,.^,^^,_y^^^jL = _Q_
99
Haciendo y'= p la E.D» dada se reduce en su orden en una unidad.
En este caso se considrra p como una función en términos de y por eso todas
las derivadas ( y (k) ) deben expresarse en términos de las derivadas de la
nueva función p con respecto a y así:
d2:_
dx
ix = P
,2
d_y.=
d£^d£d2:
^2.
dx
dy dx
^ d £
-^ dy
y asi sucesivamente las que siguen.
Particularmente,si la E.D. es de segundo orden y no contiene la variable independiente entonces la sustitución de la variable anteriormente señalada nos
conduce a una E.D. de primer orden
2
Ej.3.5.2.- Resolver
d y _ . dy .:Z_ _ ^
dx
dx^
dy
Sea p = •^
2
entonces d y _ d£ _ d£ d^ _ dg^
- 2 ~ dx ~ dy dx ~ Pdy
reemplazando en la E.D, tenemos
dp
py d^
2
- p
„
=0
P(y i^ - p) = o
entonces ,
^
-,
£
-, •
a) p = O lo que ímplxca que y
y-r^ - T) = O
o sea
-^
dy
P
p = C^
pero p = y' por
r.
n
^.
= C
C cte
= -*^
cuya solución es
y
lo que • ^ = Cdx que tiene
Cx
por solución a la expresión y = Ae
100
EJERCICIO^
^.5,
R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s E,D,
y " ' = xLn X
s i y(1 ) = y ' ( 1 ) = y " ( l ) = o
y ' " = : X + cos X , /
( y " ) ^ - 5y' + 6 = o
(1 + x ^ ) y " + ( y ' ) ^ + J = 0
( y " ) ^ - 2 y " y ' •*-3 = O
xy"=
y
. 8
9
y'Ln(|)
yr'C 1 + 2Ln y ' ) = 1
^
Cy")^ - y ' y ' " = ( J^ )^ X
y " ( y ' + 2)ey' = 1
10
y " = ( 1 + (y ' ) ^ ) ^ / ^
1 1
y"
.12
(1 - x 2 ) ^ / ^ y " + ( 1 - { y ' ) W ^ ^ = O
15
= y'Ln y '
s i y(o) = 0
y'(o) = 1
y " ' = 3y y ' s i y ( o ) = y ' ( o ) = 1 , y " ( o ) = Z/3
EJERCICIOS
1
2
3.3*
1
x^ + ^ ^ - ^ + 1 y = -^TT- Ln X 24
288
8
9
32
.4
X'
2
y = 2zJ' ~ ^®^ X + C x^ + C X + c'3
3
y + C2 = | ( x + C^) + ^ x
+ C^)3
4
y = (1 + C^)Ln(x + C^) - e^x + c
5
X + C^ = ¿ un
Ln zt + *—T¿-^
t = y"
4t
y ^ ^2
6
7
= 4 ^ -^
^
'1
y = (c^x - ef) e^^'/c^^ ^ 1
X + C2 = z (.2Ln z - 1 )
z
Z^
z Ln z
y + C,
8
y = C , ( x e ^ l ' ' - C, e^l"") + C,
'1
9
X + C2 = e ^ ( z + 1)
y + C^ ZZ z ^ e ^
10
y = c o s h ( x + 0^) + C
11
y = X
.12
13
y = C2- 1 ( 1 - C f ) l / V
y =
A
r2
(x - 2)'
= y-
y
+ ic^xd
- x2)l/2 ,
ic^sen-lX