unidad 6: polinomios - Facultad de Ciencias Veterinarias

Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias Veterinarias
Nivelación de Matemáticas (2012)
UNIDAD 2: POLINOMIOS.FACTORIZACION .PRODUCTOS
NOTABLES.
MONOMIO: Expresión en que aparecen variables y números todos involucrados en un producto o cociente.
El número se llama coeficiente:
Ejemplos: 3xy2: coeficiente 3;
(coeficiente
POLINOMIO: Suma algebraica de varios monomios de una variable. Ejemplo: 3x2 – 0,2 x + 6
LEY DE SUMA DE POLINOMIOS: Se suman los coeficientes de cada una de las variables (Términos
semejantes).
Ejemplo: (2x3 – x2 + 7x +3) + ( x3+ 6x2 +5x –5) = (2+1)x3 + (-1+6)x2 +(7+5)x + (3-5)
= 3x3 + 5x2 + 12x – 2
LEY DE MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Para multiplicar dos polinomios , se multiplica cada término del primer polinomio por cada uno de los
términos del segundo (usan la propiedad Distributiva), luego se reducen términos semejantes.
Ejemplo:
(2x - 1) ( x – 1) = 2x ( x – 1) + -1 ( x – 1) = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x2 - 3x + 1
LEY DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS:
Al Dividir una suma por un polinomio , se divide cada término por él .
Ejemplo 3x2 + 8x + 5 : x + 2 = 3x2 + 2 ( dividiendo 3x2 : x = 3x y multiplicando (x + 2 ) 3x = 3x2 + 6x ,
restando queda 2x + 5.Dividiendo 2x : x = 2 , multiplicando ( x + 2 ) 2 = 2x + 4 ,restando queda 1.
Resultando : 3x2 + 8x + 5 : x + 2 = 3x + 2 + 1 / x+2.
PRODUCTOS NOTABLES
Son multiplicaciones de expresiones algebraicas.
Producto notable
Expresión
Cuadrado de binomio
(x + y)2
Suma por diferencia
Cubo de binomio
Producto dos binomios
Cuadrado de un trinomio
Desarrollo
x2 + 2xy + y2
( x +y ) (x – y)
x2 – y2
( x + y)3
x3+ 3x2y + 3xy2 + y3
( x + a ) (x + b )
x2 + (a + b)x + ab
( a + b + c )2
a2 + b2 + c2 + 2ab +2ac + 2bc
FACTORIZACION
La factorización de una expresión algebraica consiste en convertirla en producto de 2 o más factores.
Por factor común: Cuando un factor se encuentra en todos los términos de una expresión , se
expresa como el producto de ese factor común por el polinomio.
Ejemplo :
x a – a + x b – b= a ( x – 1 ) + b ( x – 1 ) = ( x – 1 ) ( a + b )
Por productos notables :Si la expresión corresponde al desarrollo de un producto notable ,se factoriza
aplicando la fórmula correspondiente
Por productos de binomios : La forma de la expresión es : x2 + (a + b)x +ab
Es necesario encontrar dos números que sumados den el coeficiente de x , y multiplicados den el término
libre.
Ejemplo :
x2 - 9x + 20 = (x - 4 ) ( x - 5 )
Otros productos: (a+ b ) ( a 2 – ab + b2 ) = a3 + b3
(a - b ) ( a2 + ab + b2 ) = a3 - b3
ANALISÍS DE FÓRMULAS DE PERÍMETROS .AREAS Y VOLUMENES.
El perímetro, áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos se pueden determinar empleando
fórmulas algebraicas .
Letras usadas : A: área total , V: volumen
p: perímetro de la base , h: altura , a: arista
B : área basal
b
a
Fórmulas de un prisma:
h
A = 2(b  h+ b  a + ah)
V = B h
h
h
h
a
b
a
En el caso del cubo
:
A = 6a2
V = a3
a
a
a
El cilindro
A=2 rh
V =  r2 h
a
La Esfera
A = 4  r2
La pirámide
A= B+2 bc
h
V= (Bh)/3
b
V=
4 3
r
3
b
EJERCICIO RESUELTO
1.-En la figura , ABCD es un cuadrado de lado 1. Si DH = CF = y
y EB = GC = x , entonces el área del rectángulo de lados AE y AH puede ser expresada, en función de x e
y como :
a) x ( 1 – y )
D
G C
b) y ( 1 – x )
c) (1 – x ) ( 1 – y)
y
d) xy – x
e) y/ (1-x)
H
F
A
E
B
Solución:
El área del cuadrilátero que se nos pide es el producto de la base AE por la altura AH. Ambas medidas hay
que expresarlas en función de x o y.
Como AB = 1 y EB = x , entonces la base AE = 1 – x
Como AD = 1 y HD = y, entonces la altura AH = 1 – y
El producto de la base por la altura es : ( 1- x) ( 1 – y ) , alternativa c)
GUÍA DE EJERCICIOS
1.- Desarrollar el producto de (2m – 3n + 1) (2n - 3m )
2.- Si a² - b² = 1
y
a - b = -1 , entonces a + b es :
3.- Si x = 0,1 ; entonces
x² + x + 1 =
4.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es un cuadrado perfecto?
a)
b)
c)
d)
e)
9 x² - 12 x +16
9x² – 24 x –16
9x2 - 24 x + 16
6x2 -12x
-2a
Comentario [p1]:
5.- Reducir la expresión ( u - v ) ² – (u + v ) . ( u – v ) =
6.- Dividir 2x² + x –3
por x – 1
7.- Restar la suma de x2 - 5x + 6 , -5x² - 4x - 4 , 3x² + 7x de x² - 4x
x² +x -2
y dividir esta diferencia entre
8.- Factorizar o descomponer en dos factores
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) 27a³ + 27 a²b +9ab² + b³
j) 16a4 – 81b4
k) x² + 6 x + 9
l) y² + 13 y + 42
m) 2x² + 7x + 3
ñ) 20a² + 7a - 6
o)
m² - x² -2xy - y²
6x + 10
3x³ – 15x² + 9x
25x³- 16x²
8 x³ +125
x³ – 1
x4 – 16
25m² – 9 b ²
x²- 6x + 9
9.- Encontrar la expresión equivalente a : (2x -5 + a )²
10.-Uno de los factores de ( 3x³ – 8x² + 7x –6) es (x – 2 ). ¿Cuál es el otro término?.
11.- A= 9 x² - .... + 16 y². Si A es un cuadrado perfecto , ¿ Cuál es el término que falta?
12.- La superficie de un cuadrado es 4x² – 12x + 9 . Si el lado del cuadrado aumenta en 2 unidades .¿Cuánto
aumenta la superficie del cuadrado?.
13.- La superficie de un rectángulo es ( x² – 21 x – 104 ). Si su largo es
14.- x ² - 17x + 42 = ( 8x equivalentes?.
( x – 8 ). ¿Cuál es su ancho?.
) ( x - ). ¿ Qué pareja de números colocaría para que las dos expresiones sean
15.- La superficie de un rectángulo es x² – 11 x + 18 . Si uno de de sus lados es (x – 2 ).¿Cuánto vale el
otro?.
16.- Descomponer en tres factores :
3x³ - 18x²y + 27 xy²
17.-Simplificar a su más simple expresión (a² + b² – ab ) ( a² + ab + b² ) =
(a² + b² )² - a²b²
18 .-Reducir la expresión:
- 4b + a² + ( a + b )² – (a - b)²
a² – b ²
:
1
2ª
19.- Calcular el área de un cubo de lados 2x + 4.
20.- ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su radio es igual a 3xy
y su altura es igual a 6x+ 4 ?