Soluciones y Problema Resuelto Listado 6 C>lculo (525104/525117

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Soluciones y Problema Resuelto Listado 6
Cálculo (525104/525117)
Listado 6
17. Se necesita construir un tanque abierto rectangular de base cuadrada y de volumen
125m3 . El costo por metro cuadrado para la base es de $24 y para los lados es de $12.
Obtenga las dimensiones del tanque para que el costo del material sea mínimo.
Solución:
Debemos minimizar el costo de construcción del tanque. Sea x la longitud del lado de
la base e y la altura del tanque.
En este caso, el área del tanque está constituida por el área de la base, más el área de
las caras laterales.
Luego, el área de la base es x x = x2 y el área de una cara lateral es x y = xy , por
tanto el de las 4 caras laterales es 4xy.
Por lo tanto, el costo de construir la base e·
s: 24x2 , y el costo de construir las caras
laterales es 12(4xy).
Finalmente, el costo total es CT = 24x2 + 12(4xy) = 24x2 + 48xy.
Además, sabemos que el volumen del tanque es 125m3 . Si quisieramos expresar el volumen en función de las variables x e y se tiene que:
V = x x y = x2 y, luego
x2 y = 125
125
) y= 2
x
Así, el costo total puede ser expresado únicamente en función de x :
125
6000
CT = 24x2 + 48x 2 = 24x2 +
x
x
Para minimizar esta cantidad debemos encontrar los x que satifacen la relación
CT 0 (x) = 0
,
d
dx
24x2 +
6000
x
6000
=0
x2
) x3 = 125
) 48x
=0
) x=5
Luego, debemos evaluar este punto en la segunda derivada de CT (x) (criterio de la
segunda derivada):
CT 00 (x) =
d
dx
48x
6000
x2
= 48 + 2
6000
12000
= 48 +
3
x
x3
de donde se ve claramente que CT 00 (5) > 0, luego x = 5 es un mínimo local, y por ser
único, es un mínimo absoluto.
125
Finalmente, las dimensiones del tanque deben ser: largo= 5, ancho= 5, alto= 2 = 5,
5
y el costo total de construcción es 24 52 + 48 5 5 = $1800
DUR/dur.
03-06-2012