Análisis Diferencial de la Curva Involuta de un C´ırculo.

Análisis Diferencial de la Curva Involuta de un
Cı́rculo.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica.
Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.
CP 36730, Salamanca, Gto., México
Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.
E-mail: [email protected]
1
Objetivo.
Este trabajo tiene como objetivo presentar en forma conjunta dos resultados
acerca de las propiedades diferenciales de la curva involuta, de un cı́rculo, que
son de interés para el estudio de engranes cilı́ndricos. El autor es de la opinión
que los resultados presentados aquı́ remedı́an algunas fallas pedagógicas en la
introducción al estudio de los engranes presentados en los libros de Mabie y
Ocvirck, [2], y Mabie y Rheinholtz, [3]. No se reclama originalidad; sin embargo, se ha tratado de presentar el material de manera que sea accesible a
los estudiantes que posean fundamentos en cálculo diferencial y onocimientos
básicos de cinemática de la partı́cula. Una derivación semejante a la mostrada
aquı́, empleando cálculo vectorial, puede encontrarse en Angeles [1].
2
Introducción.
Partiremos de la siguiente definición de la involuta de un cı́rculo:1
La curva involuta de un cı́rculo es el lugar geométrico de la punta de una
cuerda que se desenrolla, manteniéndola tensa, a partir del cı́rculo correspondiente, este cı́rculo se conoce como cı́rculo base.
La figura 1 presenta la curva involuta generada a partir de un cı́rculo de
radio Rb . El eje X se ha orientado convenientemente para que el punto de inicio
de la involuta, A, yazca sobre el eje X. El ángulo θ se denomina el ángulo de
rodado de la involuta. De la definición de la curva involuta, se tiene que
AB = BP
1 Los
(1)
términos involuta y evoluta se refieren a la relación existente entre dos curvas, la
evoluta es el lugar geométrico del centro de curvatura de la involuta. De manera que existen
un sı́n número de curvas involutas y evolutas.
1
Figure 1: Curva Involuta de un Cı́rculo.
Por lo tanto, se tienen las siguientes relaciones.
tan φ =
BP
Rb θ
=θ
=
Rb
OB
o
φ = tan−1 θ
(2)
donde, θ debe estar expresado en radianes. Además
Rb θ
θ
BP
√
=
= √
r
Rb 1 + θ2
1 + θ2
Sen φ =
(3)
Finalmente, el ángulo ψ está dado por
ψ = θ − φ = tan φ − φ.
(4)
Puesto que este ángulo ψ juega un papel primordial en el desarrollo de la
curva involuta, se le denomina inv φ; por lo tanto
ψ ≡ inv φ = tan φ − φ.
(5)
Puede probarse que la función involuta es, entre 90◦ ≥ φ ≥ 0◦ monotónica
ascendente y, por lo tanto, invertible. Estos resultados permiten escribir las
ecuaciones paramétricas de la curva involuta.
x(ψ) = r Cos ψ
donde
r = Rb
1 + θ2
y(ψ) = r Sin ψ
(6)
θ = tan φ φ = inv −1 ψ
(7)
2
Debe notarse que aún cuando la evaluación de las componentes x y y, como funciones de ψ requiere de los pasos indicados por la ecuación (7); las componentes
x y y son efectivamente funciones del ángulo ψ.
3
Determinación de las Propiedades de la Tangente y la Normal a la Curva Involuta.
A fin de determinar la pendiente de la tangente a la curva involuta, en un punto
arbitrario P , es necesario determinar las siguientes derivadas
dx
dr
=
Cosψ − r Senψ
dψ
dψ
(8)
dy
dr
=
Senψ + r Cosψ
dψ
dψ
(9)
dr dθ dφ
dr
=
dψ
dθ dφ dψ
(10)
dr
1
1
Rb θ
= Rb (1 + θ2 )− 2 (2 θ) = √
dθ
2
1 + θ2
(11)
dθ
= Sec2 φ
dφ
(12)
dψ
Sin2 φ
1
= Sec2 φ − 1 =
−1=
= tan2 φ
2
dφ
Cos φ
Cos2 φ
(13)
donde
De la ecuación (7),
Por lo tanto
dr
dψ
=
=
dr dθ
dθ dφ
dψ
dφ
=
Rb θ
r
√Rb θ Sec2 φ
1+θ 2
tan2 φ
=
Rb θ
√
1 + θ2
Sen2 φ
r
Rb θ
r2
r2
√
=
=
=
√
2
2
θ
r
θ
θ Rb 1 + θ
1 + θ2
Por lo tanto, las ecuaciones (8, 9) se transforman en
dx
r
Cos ψ
= Cosψ − r Senψ = r
− Sen ψ
dψ
θ
θ
r
Sen ψ
dy
= Senψ + r Cosψ = r
+ Cos ψ
dψ
θ
θ
(14)
(15)
(16)
De aquı́ que, la pendiente de la recta tangente a la curva involuta es
dy
mT =
=
dx
dy
dψ
dx
dψ
=
r
r
Sen ψ
θ
Cos ψ
θ
+ Cos ψ
− Sen ψ
3
=
Sen ψ + θCos ψ
Cos ψ − θ Sen ψ
(17)
Sustituyendo la ecuación (2), la ecuación (17) se transforma en
mT =
tan ψ + tan φ
Sen ψ + tan φ Cos ψ
=
= tan(ψ + φ) = tan θ
Cos ψ − tan φ Sen ψ
1 − tan φ tan ψ
(18)
Denominando α el ángulo que forma la recta tangente con el eje X, se tiene
que, de la figura 1,
α = tan−1 mT = tan−1 (tanθ) = θ
(19)
Si la recta tangente forma un ángulo θ con el eje X. Evidentemente, las rectas
normal y tangente son perpendiculares. Por lo tanto, la pendiente de la recta
normal a la involuta en el punto P está dada por
mN = −
1
1
=−
mT
tan θ
(20)
Mas aún, la ecuación de la recta normal en el punto P , está dada por
yn − yP = mN (xn − xP ) o yn − r Senψ = −
Cos θ
[xn − r Cos ψ]
Sen θ
(21)
A continuación, se probará que el punto B pertenece a la recta normal a la
involuta en el punto P . Puesto que las coordenadas del punto B son
(Rb Cosθ, Rb Sen θ) = (r Cos φ Cos θ, r Cos φ Senθ)
se tiene que
r Cos φ Sen θ − r Senψ
=
Cosφ Sen2 θ − Sen θ Sen ψ
Cosφ Sen2 θ + Cos φ Cos2 θ
=
=
Cos θ
[r Cos φ Cos θ − r Cos ψ]
Sen θ
−Cos φ Cos2 θ + Cos θ Cos ψ
Cos θ Cos ψ + Sen θ Sen ψ
Cosφ (Sen2 θ + Cos2 θ)
=
Cos (θ − ψ)
−
o finalmente
Cos φ = Cos φ.
Por lo tanto, se ha probado la siguiente proposición, la cual desde el punto de
vista de la geometrı́a sintética es evidente.
Proposición 1. En cualquier punto la normal a la curva involuta es tangente al cı́rculo base.
4
Determinación del Radio de Curvatura de la
Curva Involuta.
En esta sección se determinará el radio de curvatura de la curva involuta, este
resultado es importante en la cinemática del engranamiento y para determinar los esfuerzos de contacto entre un par de engranes. Como primer pase se
4
determinarán las segundas derivadas de las coordenadas de la curva involuta
d2 x
d ψ2
=
=
Cos ψ
d
− Sen ψ
r
dψ
θ
Cos ψ d θ
Sen ψ
d r Cosψ
− Sen ψ − r
+ Cos ψ +
dψ
θ
θ
θ2 d ψ
(22)
Debe notarse que, de las ecuaciones (12, 13), se tiene que
dθ
dθ dφ
Sec2 φ
1
=
=
=
dψ
dφ dψ
tan2 φ
Sen2 φ
(23)
Sustituyendo las ecuaciones (14, 23, 3) en la ecuación (22), se tiene que
d2 x
d ψ2
=
=
Cos ψ
Sen ψ
r Cosψ
− Sen ψ − r
+ Cos ψ + 2
θ
θ
θ
θ Sen2 φ
1
2 Sen ψ
−r
+ Cos ψ 1 + 4
θ
θ
(24)
Similarmente, la segunda derivada de y está dada por
d2 y
d ψ2
=
=
=
=
Sen ψ
d
+ Cos ψ
r
dψ
θ
Sen ψ d θ
d r Senψ
Cos ψ
+ Cos ψ + r
− Sen ψ −
dψ
θ
θ
θ2 d ψ
Sen ψ
Cos ψ
r Senψ
+ Cos ψ + r
− Sen ψ − 2
θ
θ
θ
θ Sen2 φ
2 Cos ψ
1
− Sen ψ 1 + 4
r
θ
θ
(25)
De la figura 1, el vector unitario normal, a la curva involuta, en el punto P ,
está dado por
(26)
ên = −Sen θî + Cos θĵ.
Por lo tanto, la aceleración normal está dada por
an
d2 x
d2 y
d2 x
d2 y
Cosθ
î +
ĵ · ên = − 2 Senθ +
2
2
dψ
dψ
dψ
d ψ2
2 Sen ψ
2 Cos ψ
1
1
= r
+ Cos ψ 1 + 4
− Sen ψ 1 + 4
Senθ + r
θ
θ
θ
θ
=
Recordando las identidades trogonométricas
Sen φ =
Cos φ =
Sen(θ − ψ) = Sen θ Cos ψ − Cos θ Sen ψ
Cos(θ − ψ) = Cos θ Cos ψ + Sen θ Sen ψ
5
Cosθ
se tiene que
1
2
(Sen θ Sen ψ + Cos θ Cos ψ) 1 + 4 (Sen θ Cos ψ − Cos θ Sen ψ)
θ
θ
2
2
1
1
+ 1 + 4 tanφ
= r Cos φ + 1 + 4 Sen φ = rCos φ
(27)
θ
θ
θ
θ
1
2
2 1 + θ4
+ 1 + 4 θ = rCos φ
+
= rCos φ
θ =
θ
θ
θ
θ4
(1 + θ2 )2
(28)
= rCos φ
θ3
Por otro lado, el cuadrado de la magnitud de la velocidad de una partı́cula
que se desplaza a lo largo de la curva involuta está dada por
an
= r
2
2
dx 2
dy 2
Cos ψ
Sen ψ
− Sen ψ + r2
+ Cos ψ
+
= r2
dψ
dψ
θ
θ
r 2
2
2
2
=
Cos ψ − 2 θ Cos ψ Sen ψ + θ Sen ψ + Sen2 ψ + 2 θ Sen ψ Cos ψ + θ2 Cos2 ψ
θ
r2 (1 + θ2 )
=
(29)
θ2
Finalmente, el radio de curvatura de la curva involuta en un punto arbitrario,
está dado por
r 2 (1+θ 2 )
rθ
v2
θ2
(30)
=
=
ρ=
(1+θ 2 )2
an
Cos
φ(1
+ θ2 )
rCos φ
3
v2
=
θ
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (30), se tiene que
ρ=
r tan φ
r tan φ
r tan φ
=
=
= r Sen φ = BP .
Cos φ(1 + tan2 φ)
Cos φ Sec2 φ
Sec φ
(31)
Donde el último paso requiere de la ayuda de la figura 1. Asi pues, se ha probado
la siguiente proposición
Proposición 2. El centro de curvatura de la curva involuta, en un punto
arbitrario, siempre yace sobre el cı́rculo base de la propia involuta.
Otra interpretación de este resultado es que, verdaderamente, la evoluta de
la involuta de un cı́rculo es el propio cı́rculo.
References
[1] Ángeles, A. J. (1978), Análisis y Sı́ntesis Cinemáticas de Sistemas
Mecńicos, Limusa Wiley: Ciudad de México.
[2] Mabie, H.H. y Ovcirk, F.W. (1988), Mecanismos y Dinámica de
Maquinaria, Limusa: Ciudad de México.
[3] Mabie, H.H. y Reinholtz C.F. (1987), Mechanisms and Dynamics of Machinery, John Wiley and Sons: New York.
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