Tema XII: CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES XII.1

Tema XII: CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES XII.1. Derivadas según un vector. Derivadas parciales. Derivadas de ord
Tema XII: CÁLCULO DIFERENCIAL EN
VARIAS VARIABLES
XII.1. Derivadas según un vector. Derivadas
parciales. Derivadas de orden superior
Tema XII: CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES XII.1. Derivadas según un vector. Derivadas parciales. Derivadas de ord
1. Derivadas según un vector
DEF. Sea f : A ⊂ Rn → R, ~a un punto interior del dominio y
~v ∈ Rn no nulo de norma 1.
f (~a + t ~v ) − f (~a)
,
t→0
t
Si existe el límite: lim
se dice que f es derivable en ~a en la dirección del vector ~v .
Al límite se le llama derivada direccional de f en a en la
dirección del vector ~v .
Se denota por D~v f (~a)
Observación: Si k~v k =
6 0, para cada vector en la misma
dirección, la derivada toma valores distintos dependiendo de la
norma del vector: Dλ~v f (~a) = λD~v f (~a), ∀λ 6= 0
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2. Derivadas parciales
DEF. Sea f : A ⊂ Rn → R, ~a un punto interior del dominio y
e~1 , e~2 , · · · , e~n la base canónica de Rn
La i-ésima derivada parcial de f en ~a es la derivada en la
dirección el vector ~ei , (i = 1, 2, · · · , n):
D~ei f (~a) = Di f (~a) =
Caso n = 2:
f (~a + t ~ei ) − f (~a)
∂f
(~a) = lim
∂xi
t→0
t

f (a1 + t, a2 ) − f (a1 , a2 )
∂f


D f (~a) =
(~a) = lim

 1
∂x
t→0
t



 D2 f (~a) = ∂f (~a) = lim f (a1 , a2 + t) − f (a1 , a2 )
∂y
t→0
t
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3. Derivadas de orden superior
DEF. Sea f : A ⊂ Rn → R y A abierto,
∂f
en A, entonces se puede
Si existe la derivada parcial
∂xi
definir la función
∂f
: A⊂R →
∂xi
x
7→
R
∂f
(x)
∂xi
Si esta función admite derivada parcial j-ésima en ~a ∈ A, se
define la derivada parcial segunda o de segundo orden:
∂
∂f
∂2f
(~a) =
(~a)
∂xj ∂xi
∂xj xi
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4. Funciones de clase r
DEF. Se dice que f : A ⊂ Rn → R (A abierto) es de clase 1 en
A (f ∈ C 1 (A)) cuando f tiene derivadas parciales de primer
orden continuas en A.
Se dice que f es de clase 2 en A (f ∈ C 2 (A)) cuando f admite
derivadas parciales de segundo orden continuas en A.
De forma análoga se define para r = 3, 4, · · ·
Si f admite derivadas parciales continuas de todos los órdenes
en A, se dice que f es de clase infinito en A (f ∈ C ∞ (A))
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5. Permutación del orden de derivación
Teorema de Schwartz
Si f : A ⊂ Rn → R (A abierto) es de clase r ∈ N en A entonces
las derivadas parciales de f hasta el orden r no varían al
permutar el orden de derivación.