3.1 Definición de la función logaritmo a través de la integral

Unidad 3 Función Logaritmo y Exponencial 3.1 Logaritmo a través de la integral y propiedades
Función Logaritmo
Denición 1. Denimos la función Logaritmo Natural ln
Z
x
1
dt,
t
ln x =
1
x : (0, +∞) → R
x>0
Observaciones:
(a) ln 1 = 0
Demostración. Tenemos que
Z
ln 1 =
1
1
1
dt = 0
t
(b) ln x < 0 si 0 < x < 1;
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Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
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Demostración. Tenemos que
Z
1
ln x =
x
1
dt = −
t
x
Z
1
dt = − ln x < 0
t
1
(c) ln x es continua y estrictamente creciente en (0, +∞)
Demostración. Tenemos que
x
Z
1
dt es continua
t
F (x) =
1
Ahora bien para 0 < x < 1 ln x es continua pues
x
Z
F (x) continua ⇒ − F (x) es continua ⇒ − ln(x) = −
1
1
dt =
t
Z
1
dt =
t
Z
1
x
1
dt es contiua
t
si x > 1 entonces log(x) > 0 y si x1 < x2 entonces
x2
Z
ln(x2 ) − ln(x1 ) =
1
1
dt −
t
x1
Z
1
Z
1
dt =
t
1
x2
1
dt +
t
Z
1
x1
x2
x1
1
dt > 0
t
por lo tanto
ln(x2 ) − ln(x1 ) > 0 ⇒ ln(x2 ) > log(x1 )
y la función es monotona
Si 0 < x1 < x2 < 1 entonces
Z
1
F (x1 ) =
x1
1
dt <
t
Z
1
x2
1
dt = F (x2 )
t
por tanto F es monotona en (0, 1)
(d) ln x es diferenciable en (0, +∞) y
d (ln x)
d
=
dx
dx
Z
1
x
1
1
dt =
t
x
Demostración. Para Calcular F' vamos a proceder por áreas
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h
Por tanto
h
1
1
≤ F (x + h) − F (x) ≤ h
x+h
x
1
1
≤ Log(x + h) − Log(x) ≤ h
x+h
x
Dividiendo entre h y tomando limite
lı́m
h→0
Log(x + h) − Log(x)
1
1
≤ lı́m
≤ lı́m
h→0
h→0
x+h
h
x
tenemos
1
Log(x + h) − Log(x)
1
≤ lı́m
≤
x h→0
h
x
nalmmente
Log(x + h) − Log(x)
1
=
h→0
h
x
El cual es mayor a cero si x > 0 por tanto la función es derivable y por tanto continua al ser monotona
(Log(x))0 = lı́m
existe entonces su inversa.
Teorema 1. Leyes de los Logaritmos ∀ x, y ∈ (0, +∞), y ∀ n ∈ N
a) ln(xy)
= ln(x) + ln(y)
x
= ln(x) − ln(y)
y
n
c) ln (x
)= n ln(x)
1
d) ln
= − ln(x)
x
e) ln (xr ) = r ln(x) ∀ x ∈ Q
√ 1
f) ln n x = ln(x)
n
b) ln
Demostración. Para el inciso (a) se tiene x, y > 0
d (ln xy)
d
=
dx
dx
por otro lado
xy
Z
1
1
1 d (xy)
1
1
dt =
=
(y) =
t
xy dx
xy
x
d
d (ln x)
=
dx
dx
Z
x
1
1
1
dt =
t
x
por lo que ln x y ln xy tienen la misma derivada de manera que
∀ x, y > 0, ln xy = ln x + c
Sea x = 1 entonces
x = 1 ⇒ ln y = ln 1 + c ⇒ ln y = c ⇒ ln xy = ln x + ln y
Para el inciso (b) se tiene x, y > 0
d
ln
x
y
dx
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d
=
dx
Z
1
x
y
!
1
dt
t
=
1d
x
y
x
y
dx
y
=
x
1
1
=
y
x
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por otro lado
por lo que ln
d (ln x)
d
=
dx
dx
x
y
Z
x
1
1
1
dt =
t
x
y ln x tienen la misma derivada de manera que
x
= ln x + c
y
∀ x, y > 0, ln
x
y
Sea x = y entonces
x=
xy
x
xy
x
x
⇒ ln
= ln
+ c ⇒ ln
= ln
+ ln y + c ⇒ 0 = ln y + c ⇒ − ln y = c
y
y
y
y
y
por lo tanto
∀ x, y > 0, ln
x
x
= ln x + c ⇒ ∀ x, y > 0, ln
= ln x − ln y
y
y
Para el inciso (c) se tiene x > 0 y ∀ n ∈ N
d (ln xn )
d
=
dx
dx
por otro lado
xn
Z
1
!
1 d (xn )
1
n
1
dt = n
= n (nxn−1 ) =
t
x
dx
x
x
d (n ln x)
d
=
dx
dx
x
Z
n
1
1
1
n
dt = n =
t
x
x
por lo que ln x y n ln x tienen la misma derivada de manera que
n
∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln xn = n ln x + c
Sea x = 1 entonces
x = 1 ⇒ ln 1n = n ln 1 + c ⇒ 0 = c
por lo tanto
∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln xn = n ln x
Para el inciso (d) se tiene x > 0
d ln
dx
1
x
por otro lado
por lo que ln
d
=
dx
Z
1
x
1
!
1
1 d x1
x −1
1
=−
dt = 1
=
2
t
dx
1
x
x
x
d
d (ln x)
=
dx
dx
1
x
Z
1
x
1
1
dt =
t
x
y ln x tienen la misma derivada de signo contrario de manera que
∀ x > 0,
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− ln
1
= ln x + c
x
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x=1 ⇒ c=0
por lo tanto
∀ x > 0, ln
1
= − ln x
x
Se probara solo e). Sea r jo en Q por la regla de la cadena
r
Z
xr
log(x ) =
1
Z
1
0
dt ⇒ (log(xr )) =
t
por otro lado
xr
1
0
(r log(x)) =
!0
1
r
1
dt = r rxr−1 =
t
x
x
r
x
por lo tanto log(xr ) y log(xr ) ambas funciones tienen la misma derivada y en consecuencia ambas funciones
dieren en una constante, esto es: log(xr ) = r log(x) + C si tomamos x = 1 se tiene log(1) = r log(1) + C
por tanto C = 0 es decir
log(xr ) = r log(x)
Para el inciso (f) se tiene x > 0 y ∀ n ∈ N


Z x n1
1
1
1
d 
1 d (x n )
1
1
d (ln x )
1 
=
dt = 1
= 1
(x n −1 ) =
dx
dx
t
dx
n
nx
n
n
x
x
1
1
n
por otro lado
1
n
Z
ln x
d 1 x1
11
1
=
dt =
=
dx
dx n 1 t
nx
nx
d
por lo que ln x n y
1
1
n
ln x tienen la misma derivada de manera que
1
∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln x n =
Sea x = 1 entonces
1
x = 1 ⇒ ln 1 n =
1
ln x + c
n
1
ln 1 + c ⇒ 0 = c
n
por lo tanto
1
∀ x > 0, ∀ n ∈ N ln x n =
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1
ln x
n
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Teorema 2. Dado b > 0 existe un único a > 0 tal que ln(a) = b
Demostración. Sabemos por la propiedad arquimediana que ∃ n ∈ N tal que
n ln 2 > b ⇒ n ln 2 > b ⇒ ln 2n > b
consideramos ahora el intervalo [1, 2n ] y tenemos que
ln 1 = 0 < b
y
ln 2n > b por lo que ln 0 < b < ln 2n
y como ln x es continua entonces por el teorema del valor intermedio existe a > 0 tal que
ln a = b
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