Deduccion natural - Dpto. Ciencias de la Computación e

Lógica informática
Curso 2004–05
Tema 2: Deducción natural
proposicional
José A. Alonso Jiménez
Andrés Cordón Franco
Grupo de Lógica Computacional
Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
Universidad de Sevilla
LI 2004–05
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.1
DN: Reglas de la conjunción
•
Reglas de la conjunción:
• Regla
de introducción de la conjunción:
• Reglas
de eliminación de la conjunción:
• Ejemplo:
F G
∧i
F ∧G
F ∧G
∧e1
F
F ∧G
∧e2
G
p ∧ q, r ` q ∧ r:
1 : p¦q , r
2: q
3 : q¦r
• Adecuación
premisas
¦e 1.1
¦i 2,1.2
de las reglas de la conjunción:
* ∧i : {F, G} |= F ∧ G
* ∧e1 : F ∧ G |= F
* ∧e2 : F ∧ G |= G
LI 2004–05
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.2
DN: Reglas de la doble negación
•
Reglas de la doble negación
• Regla
de eliminación de la doble negación:
• Regla
de introducción de la doble negación:
• Ejemplo:
1
2
3
4
5
:
:
:
:
:
¬¬F
¬¬e
F
F
¬¬i
¬¬F
p, ¬¬(q ∧ r) ` ¬¬p ∧ r:
p , ÂÂ(q¦r)
q¦r
r
ÂÂp
ÂÂp¦r
• Adecuación
premisas
ÂÂe 1.2
¦e 2
ÂÂi 1.1
¦i 4,3
de las reglas de la doble negación:
* ¬¬e : {¬¬F } |= F
* ¬¬i : {F } |= ¬¬F
LI 2004–05
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.3
DN: Regla de eliminación del condicional
•
Regla de eliminación del condicional:
• Regla
de eliminación del condicional:
• Ejemplo:
1
2
3
4
:
:
:
:
premisas
çe 1.2,1.1
p, p → q, p → (q → r) ` r:
p , pçq , pç(qçr)
qçr
q
r
• Adecuación
LI 2004–05
F →G
→e
G
¬p ∧ q, ¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p:
1 : Âp¦q , Âp¦qçrëÂp
2 : rëÂp
• Ejemplo:
F
premisas
çe 1.3,1.1
çe 1.2,1.1
çe 2,3
de la regla de eliminación del condicional: {F, F → G} |= G
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.4
DN: Regla derivada de modus tollens (MT)
•
Regla derivada de modus tollens (MT)
• Regla
derivada de modus tollens (MT):
• Ejemplo:
p → (q → r), p, ¬r ` ¬q:
1 : pç(qçr) , p , Âr
2 : qçr
3 : Âq
• Ejemplo:
LI 2004–05
premisas
çe 1.1,1.2
MT 1.3,2
¬p → q, ¬q ` p:
1 : Âpçq , Âq
2 : ÂÂp
3: p
• Ejemplo:
F → G ¬G
MT
¬F
premisas
MT 1.2,1.1
ÂÂe 2
p → ¬q, q ` ¬p:
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.5
DN: Regla de introducción del condicional
•
Regla de introducción del condicional
• Regla
de introducción del condicional:
F
...
G
→i
F →G
• Ejemplo:
p → q ` ¬q → ¬p:
1 : pçq
2:
3:
Âq
Âp
premisa
supuesto
MT 2,1
4 : ÂqçÂp
çi 2-3
• Adecuación de la regla de introducción del condicional:
Si F |= G, entonces |= F → G.
LI 2004–05
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.6
DN: Regla de introducción del condicional
• Ejemplo:
¬q → ¬p ` p → ¬¬q:
1 : ÂqçÂp
2:
3:
4:
p
ÂÂp
ÂÂq
5 : pçÂÂq
• Ejemplo
1:
supuesto
ÂÂi 2
MT 3,1
çi 2-4
(de teorema): ` p → p:
p
2 : pçp
LI 2004–05
premisa
supuesto
çi 1-1
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.7
DN: Regla de introducción del condicional
• Ejemplo:
1:
` (q → r) → ((¬q → ¬p) → (p → r)):
qçr
supuesto
2:
ÂqçÂp
supuesto
3
4
5
6
7
p
ÂÂp
ÂÂq
q
r
supuesto
ÂÂi 3
MT 4,2
ÂÂe 5
çe 1,6
:
:
:
:
:
8:
9:
pçr
çi 3-7
(ÂqçÂp)ç(pçr)
10 : (qçr)ç((ÂqçÂp)ç(pçr))
LI 2004–05
Cc Ia
çi 2-8
çi 1-9
Deducción natural proposicional
2.8
DN: Regla de introducción del condicional
• Ejemplo:
1 : p¦qçr
premisa
p
supuesto
2:
LI 2004–05
p ∧ q → r ` p → (q → r):
3:
4:
5:
q
p¦q
r
supuesto
¦i 2,3
çe 1,4
6:
qçr
çi 3-5
7 : pç(qçr)
çi 2-6
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.9
DN: Regla de introducción del condicional
• Ejemplo:
p → (q → r) ` (p ∧ q) → r:
1 : pç(qçr)
premisa
p¦q
p
q
qçr
r
supuesto
¦e1 2
¦e2 2
çe 1,3
çe 5,4
2
3
4
5
6
:
:
:
:
:
7 : (p¦q)çr
LI 2004–05
çi 2-6
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.10
DN: Regla de introducción del condicional
• Ejemplo:
p → q ` p ∧ r → q ∧ r:
1 : pçq
p¦r
p
r
q
q¦r
supuesto
¦e1 2
¦e2 2
çe 1,3
¦i 5,4
7 : p¦rçq¦r
çi 2-6
2
3
4
5
6
LI 2004–05
premisa
:
:
:
:
:
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.11
DN: Reglas de la disyunción
•
Reglas de la disyunción:
• Reglas
• Regla
de introducción de la disyunción:
F
∨i
F ∨G 1
de eliminación de la disyunción:
F ∨G
F
...
H
H
• Ejemplo:
G
...
H
∨e
p ∨ q ` q ∨ p:
1 : pëq
premisa
2:
3:
p
qëp
supuesto
ëi2 2
4:
5:
q
qëp
supuesto
ëi1 4
6 : qëp
LI 2004–05
G
∨i
F ∨G 2
ëe 1,2-3,4-5
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.12
DN: Reglas de la disyunción
• Ejemplo:
q → r ` p ∨ q → p ∨ r:
1 : qçr
2:
pëq
supuesto
3:
4:
p
për
supuesto
ëi1 3
5:
6:
7:
q
r
për
supuesto
çe 1,5
ëi2 6
8:
për
9 : pëqçpër
LI 2004–05
premisa
ëe 2,3-4,5-7
çi 2-8
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.13
DN: Reglas de la disyunción
• Ejemplo:
(p ∨ q) ∨ r ` p ∨ (q ∨ r):
1 : (pëq)ër
2:
pëq
supuesto
3:
4:
p
pë(qër)
supuesto
ëi1 3
5:
6:
7:
q
qër
pë(qër)
supuesto
ëi1 5
ë intro 6
8:
pë(qër)
ëe 2,3-4,5-7
9:
10 :
11 :
r
qër
pë(qër)
supuesto
ëi2 9
ë intro 10
12 : pë(qër)
LI 2004–05
premisa
ëe 1,2-8,9-11
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.14
DN: Reglas de la disyunción
• Ejemplo
(distributiva): p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r):
1 : p¦(qër)
2: p
3 : qër
4:
5:
6:
q
p¦q
(p¦q)ë(p¦r)
supuesto
¦i 2,4
ë intro 5
7:
8:
9:
r
p¦r
(p¦q)ë(p¦r)
supuesto
¦i 2,7
ë intro 8
10 : (p¦q)ë(p¦r)
LI 2004–05
premisa
¦e1 1
¦e2 1
ëe 3,4-6,7-9
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.15
DN: Regla de copia
• Ejemplo
1:
LI 2004–05
(usando la regla hyp): ` p → (q → p):
p
supuesto
2:
3:
q
p
supuesto
hyp 1
4:
qçp
çi 2-3
5 : pç(qçp)
çi 1-4
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.16
DN: Reglas de la negación
•
•
Extensiones de la lógica para usar falso:
• Extensión
de la sintaxis: ⊥ es una fórmula proposicional.
• Extensión
de la semántica: v(⊥) = 0 en cualquier valoración.
Reglas de la negación:
⊥
⊥e
F
• Regla
de eliminación de lo falso:
• Regla
de eliminación de la negación:
• Adecuación
F
¬F
¬e
⊥
de las reglas de la negación:
* ⊥ |= F
* {F, ¬F } |= ⊥
LI 2004–05
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.17
DN: Reglas de la negación
• Ejemplo
¬p ∨ q ` p → q:
1 : Âpëq
2:
p
supuesto
3:
4:
5:
Âp
Ù
q
supuesto
Âe 2,3
Ùe 4
6:
q
supuesto
7:
q
8 : pçq
LI 2004–05
premisa
ëe 1,3-5,6-6
çi 2-7
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.18
DN: Reglas de la negación
• Regla
de introducción de la negación:
F
...
⊥
¬i
¬F
• Adecuación:
• Ejemplo:
Si F |= ⊥, entonces |= ¬F .
p → q, p → ¬q ` ¬p:
1 : pçq , pçÂq
2
3
4
5
:
:
:
:
p
Âq
q
Ù
6 : Âp
LI 2004–05
premisas
supuesto
çe 1.2,2
çe 1.1,2
Âe 4,3
Âi 2-5
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.19
DN: Reglas de la negación
• Ejemplo:
p → ¬p ` ¬p:
1 : pçÂp
2:
3:
4:
p
Âp
Ù
5 : Âp
LI 2004–05
premisa
supuesto
çe 1,2
Âe 2,3
Âi 2-4
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.20
DN: Reglas de la negación
• Ejemplo
p ∧ ¬q → r, ¬r, p ` q:
1 : p¦Âqçr , Âr , p
2
3
4
5
:
:
:
:
Âq
p¦Âq
r
Ù
6 : ÂÂq
7: q
• Ejemplo:
supuesto
¦i 1.3,2
çe 1.1,3
Âe 4,1.2
Âi 2-5
ÂÂe 6
p → (q → r), p, ¬r ` ¬q:
1 : pç(qçr) , p , Âr
2 : qçr
3 : Âq
LI 2004–05
premisas
premisas
çe 1.1,1.2
MT 1.3,2
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.21
DN: Reglas del bicondicional
• Regla
de introducción del bicondicional:
• Ejemplo:
supuesto
¦e1 1
¦e2 1
¦i 3,2
5 : p¦qçq¦p
çi 1-4
q¦p
q
p
p¦q
supuesto
¦e1 6
¦e2 6
¦i 8,7
10 : q¦pçp¦q
11 : p¦qêq¦p
çi 6-9
êi 5,10
6
7
8
9
LI 2004–05
p ∧ q ↔ q ∧ p:
p¦q
p
q
q¦p
1
2
3
4
:
:
:
:
:
:
:
:
F →G G→F
↔i
F ↔G
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.22
DN: Reglas del bicondicional
• Reglas
de eliminación del bicondicional:
• Ejemplo:
F ↔G
↔ e2
G→F
p ↔ q, p ∨ q ` p ∧ q:
1 : pêq , pëq
premisas
2
3
4
5
:
:
:
:
p
pçq
q
p¦q
supuesto
êe 1.1
çe 3,2
¦i 2,4
6
7
8
9
:
:
:
:
q
qçp
p
p¦q
supuesto
êe 1.1
çe 7,6
¦i 8,6
10 : p¦q
LI 2004–05
F ↔G
↔ e1
F →G
ëe 1.2,2-5,6-9
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.23
DN: Reglas derivadas: modus tollens
• Regla
derivada de modus tollens (MT):
F → G ¬G
MT
¬F
• Derivación:
1 : FçG , ÂG
2:
3:
4:
F
G
Ù
5 : ÂF
LI 2004–05
premisas
supuesto
çe 1.1,2
Âe 3,1.2
Âi 2-4
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.24
DN: Reglas derivadas: introducción de doble negación
• Regla
de introducción de la doble negación:
F
¬¬i
¬¬F
• Derivación:
1: F
ÂF
Ù
supuesto
Âe 1,2
4 : ÂÂF
Âi 2-3
2:
3:
LI 2004–05
premisa
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.25
DN: Reglas derivadas: reducción al absurdo (RAA)
• Regla
de reducción al absurdo (RAA):
¬F
...
⊥
F
RAA
• Derivación:
1 : ÂFçÙ
2:
3:
ÂF
Ù
4 : ÂÂF
5: F
LI 2004–05
premisa
supuesto
çe 1,2
Âi 2-3
ÂÂe 4
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.26
DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM)
• Ley
del tercio excluido (LEM):
F ∨ ¬F
LEM
• Derivación:
1:
Â(FëÂF)
supuesto
2:
3:
4:
F
FëÂF
Ù
supuesto
ëi1 2
Âe 3,1
5:
6:
7:
ÂF
FëÂF
Ù
8 : ÂÂ(FëÂF)
9 : FëÂF
LI 2004–05
Âi 2-4
ë intro 5
Âe 6,1
Âi 1-7
ÂÂe 8
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.27
DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM)
• Ejemplo:
p → q ` ¬p ∨ q:
1 : pçq
2 : pëÂp
3:
4:
5:
p
q
Âpëq
supuesto
çe 1,3
ë intro 4
6:
7:
Âp
Âpëq
supuesto
ë intro 6
8 : Âpëq
LI 2004–05
premisa
LEM
ëe 2,3-5,6-7
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.28
DN: Reglas de deducción natural
•
Reglas de deducción natural:
Introducción
∧
∨
→
LI 2004–05
F G ∧i
F ∧G
F
F ∨ G ∨i1
G ∨i
F ∨G 2
F
..
G
F →G→i
Cc Ia
Eliminación
F ∧ G ∧e
1
F
F ∨G
F
F
..
H
H
F ∧ G ∧e
2
G
G
..
H
∨e
F →G→e
G
Deducción natural proposicional
2.29
DN: Reglas de deducción natural
•
Reglas de deducción natural:
Introducción
¬
Eliminación
F
..
⊥
¬F ¬i
F
⊥
⊥ ⊥e
F
¬¬
¬¬F ¬¬e
F
↔ F →G G→F ↔i
F ↔G
•
¬F ¬e
⊥
F ↔G↔e
1
F →G
F ↔G↔e
2
G→F
Adecuación y completitud del cálculo de deducción natural.
LI 2004–05
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.30
Bibliografı́a
• C.
Badesa, I. Jané y R. Jansana Elementos de lógica formal. (Ariel, 2000) Cap.
16: Cálculo deductivo.
• R.
Bornat Using ItL Jape with X (Department of Computer Science, QMW, 1998)
• J.A.
Dı́ez Iniciación a la Lógica, (Ariel, 2002) Cap. 4: Cálculo deductivo. Deducibilidad.
• M.
Huth y M. Ryan Logic in computer science: modelling and reasoning about
systems. (Cambridge University Press, 2000) Cap. 1: Propositional logic.
• M.
Fitting First-Order Logic and Automated Theorem Proving (2nd ed.)
(Springer, 1995) Cap. 4.2: Natural deduction.
• E.
Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martı́n Lógica computacional (Thomson, 2003)
Cap. 3.6: El método de la deducción natural.
LI 2004–05
Cc Ia
Deducción natural proposicional
2.31