Soluciones Ejercicios 7: Principio de Resolución

Soluciones Ejercicios 7: Principio de Resolución
TAII(I)-Lógica
22 de mayo de 2006
1.
Ejercicio 7.1
Comprobar mediante el principio de resolución que el siguiente conjunto de
cláusulas en insatisfacible:
β = {P, ¬P ∨ Q, ¬Q ∨ R, ¬R}
Solución
La secuencia de deducción es la siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
P
¬P ∨ Q
¬Q ∨ R
¬R
Q
¬P ∨ R
¬Q
R
R
¬P
¬P
φ
P.R.
P.R.
P.R.
P.R.
P.R.
P.R.
P.R.
P.R.
β
β
β
β
1,2
2,3
3,4
3,5
1,6
4,6
2,7
5,7
Como puede verse en la secuencia anterior se han realizado todas las combinaciones posibles entre aquellas cláusulas que contienen un literal (L) y su
complementario (¬L).
2.
Ejercicio 7.2
Demostrar por resolución que la siguiente deducción, expresada en Cálculo
Proposicional, es correcta:
{p, p ∧ q → r, s ∨ t → q, t} ⇒ r
Solución
1
1. Obtención de la forma clausular:
F : p ∧ (p ∧ q → r) ∧ (s ∨ t → q) ∧ t ∧ ¬r
F : p ∧ (¬(p ∧ q) ∨ r) ∧ (¬(s ∨ t) ∨ q) ∧ t ∧ ¬r
F : p ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ((¬s ∧ ¬t) ∨ q) ∧ t ∧ ¬r
F : p ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ((¬s ∨ q) ∧ (¬t ∨ q)) ∧ t ∧ ¬r
2. Conjunto β de cláusulas:
β = {p, ¬p ∨ ¬q ∨ r, ¬s ∨ q, ¬t ∨ q, t, ¬r}
3. Proceso iterativo de resolución:
Primera Iteración:
Cp : ¬p ∨ ¬q ∨ r
Cm : ¬r
Ch : ¬p ∨ ¬q
Segunda Iteración:
Cp : ¬p ∨ ¬q
Cm : p
Ch : ¬q
Tercera Iteración:
Cp : ¬q
Cm : ¬t ∨ q
Ch : ¬t
Cuarta Iteración:
Cp : ¬t
2
Cm : t
Ch : φ
La secuencia anterior de deducción puede expresarse de la siguiente forma:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
12.
3.
p
¬p ∨ ¬q ∨ r
¬s ∨ q
¬t ∨ q
t
¬r
¬p ∨ ¬q
¬q
¬t
φ
P.R.
P.R.
P.R.
P.R.
β
β
β
β
β
β
2,6
1,7
4,8
5,9
Ejercicio 7.3
Demostrar por resolución que la siguiente deducción, expresada en Cálculo
Proposicional, es correcta:
p → ¬q
¬q → (¬r ∧ ¬s)
(r ∨ s) → t
t→q
p → (¬r ∧ ¬s)
Solución
1. Obtención de la forma clausular:
F : (p → ¬q)∧(¬q → (¬r ∧¬s))∧((r ∨s) → t)∧(t → q)∧¬(p → (¬r ∧¬s))
F : (¬p∨¬q)∧(¬¬q ∨(¬r ∧¬s))∧(¬(r ∨s)∨t)∧(¬t∨q)∧¬(¬p∨(¬r ∧¬s))
F : (¬p∨¬q)∧(q ∨(¬r ∧¬s))∧((¬r ∧¬s)∨t)∧(¬t∨q)∧(¬¬p∧¬(¬r ∧¬s))
F : (¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ (¬r ∧ ¬s)) ∧ ((¬r ∧ ¬s) ∨ t) ∧ (¬t ∨ q) ∧ (p ∧ (¬¬r ∨ ¬¬s))
F : (¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ (¬r ∧ ¬s)) ∧ ((¬r ∧ ¬s) ∨ t) ∧ (¬t ∨ q) ∧ (p ∧ (r ∨ s))
F : (¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬s) ∧ (¬r ∨ t) ∧ (¬s ∨ t) ∧ (¬t ∨ q) ∧ p ∧ (r ∨ s)
3
2. Conjunto β de cláusulas:
β = {¬p ∨ ¬q, q ∨ ¬r, q ∨ ¬s, ¬r ∨ t, ¬s ∨ t, ¬t ∨ q, p, r ∨ s}
3. Proceso iterativo de resolución:
Primera Iteración:
Cp : r ∨ s
Cm : q ∨ ¬r
Ch : s ∨ q
Segunda Iteración:
Cp : s ∨ q
Cm : q ∨ ¬s
Ch : q
Tercera Iteración:
Cp : q
Cm : ¬p ∨ ¬q
Ch : ¬p
Cuarta Iteración:
Cp : ¬p
Cm : p
Ch : φ
4.
Ejercicio 7.4
Comprobar mediante el principio de resolución que el siguiente conjunto de
cláusulas en insatisfacible:
4
β = {¬q ∨ ¬u ∨ p, ¬p, q ∨ r, u ∨ t, ¬r, ¬t}
Solución
Proceso iterativo de resolución:
Primera Iteración:
Cp : ¬r
Cm : q ∨ r
Ch : q
Segunda Iteración:
Cp : q
Cm : ¬q ∨ ¬u ∨ p
Ch : ¬u ∨ p
Tercera Iteración:
Cp : ¬u ∨ p
Cm : u ∨ t
Ch : p ∨ t
Cuarta Iteración:
Cp : p ∨ t
Cm : ¬p
Ch : t
Quinta Iteración:
Cp : t
5
Cm : ¬t
Ch : φ
5.
Ejercicio 7.5
Comprobar si es unificable el conjunto de átomos:
T = {P (x, f (y)), P (a, b), P (x, z)}
Solución
1. Inicialización del conjunto de discordancias y de la sustitución:
D(T ) = {(x, a), (f (y), b, z)}
σ = {φ}
2. Proceso de Unificación:
Ciclo 1: D no tiene discordancias de un elemento
(v1 = x, t1 = a) ⇒ σ = {< x/a >}
Tσ = {P (a, f (y)), P (a, b), P (a, z)})
D(T )σ = {(a, a), (f (y), b, z)} = {(a), (f (y), b, z)}
Ciclo 2: D no tiene discordancias de un elemento
(v2 = z, t2 = b) ⇒ σ = {< x/a >, < z/b >}
Tσ = {P (a, f (y)), P (a, b), P (a, b)})
D(T )σ = {(a), f (y), b, b)} = {(a), (f (y), b)}
Ciclo 3: D no tiene discordancias de un elemento
No puede encontrarse en el conjunto de discordancias D(T) una variable v3 , por lo tanto T NO es unificable.
6.
Ejercicio 7.6
Comprobar si es unificable el conjunto de átomos:
T = {P (x, g(x, y), a), P (y, u, a), P (f (z), u, w)}
Solución
6
1. Inicialización del conjunto de discordancias y de la sustitución:
D(T ) = {(x, y, f (z)), (g(x, y), u, u), (a, a, w)}={ (x,y,f(z)), (g(x,y),u), (a,w)
}
σ = {φ}
2. Proceso de Unificación:
Ciclo 1: D no tiene discordancias de un elemento
(v1 = x, t1 = y) ⇒ σ = {< x/y >}
Tσ = {P (y, g(y, y), a), P (y, u, a), P (f (z), u, w)})
D(T )σ = {(y, y, f (z)), (g(y, y), u), (a, w)} = {(y, f (z)), (g(y, y), u), (a, w)}
Ciclo 2: D no tiene discordancias de un elemento
(v2 = y, t2 = f (z)) ⇒ σ = {< x/y >, < y/f (z) >}
Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), u, a), P (f (z), u, w)})
D(T )σ = {(f (z), f (z)), (g(f (z), f (z)), u), (a, w)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z)), u), (a, w)}
Ciclo 3: D no tiene discordancias de un elemento
(v3 = u, t3 = g(f (z), f (z))) ⇒ σ = {< x/y >, < y/f (z) >, <
u/g(f (z), f (z)) >}
Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), w)})
D(T )σ = {(f (z)), (g(f (z), f (z)), g(f (z), f (z))), (a, w)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a, w)}
Ciclo 4: D no tiene discordancias de un elemento
(v4 = w, t4 = a) ⇒ σ = {< x/y >, < y/f (z) >, < u/g(f (z), f (z)) >
, < w/a >}
Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a)})
D(T )σ = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a, a)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a)}
Ciclo 5: D sólo contiene discordancias de un elemento, T ha sido
unificado.
El conjunto unificado es:
Tσ = {P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a), P (f (z), g(f (z), f (z)), a)})
E Unificador serı́a:
D(T )σ = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a, a)} = {(f (z)), (g(f (z), f (z))), (a)}
7
7.
Ejercicio 7.7
Demostrar por resolución que el siguiente conjunto de cláusulas es insatisfacible:
F : {B(x, y)∨B(y, x), ¬B(y, x)∨C(x), ¬A(x)∨¬A(y)∨¬B(x, y)∨D(y), ¬D(a), A(b), ¬C(b), A(a)}
Solución
Proceso iterativo de resolución:
Primera Iteración:
Cp : ¬A(x) ∨ ¬A(y) ∨ ¬B(x, y) ∨ D(y)
Cm : A(a) ..... (σ =< y/a >)
Ch : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a) ∨ D(a)
Segunda Iteración:
Cp : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a) ∨ D(a)
Cm : ¬D(a)
Ch : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a)
Tercera Iteración:
Cp : ¬A(x) ∨ ¬B(x, a)
Cm : B(x, y) ∨ B(y, x)..... (σ =< x/b >)
Ch : ¬A(x) ∨ B(a, x)
Cuarta Iteración:
Cp : ¬A(x) ∨ B(a, x)
Cm : A(b)..... (σ =< x/b >)
Ch : B(a, b)
8
Quinta Iteración:
Cp : B(a, b)
Cm : ¬B(y, x) ∨ C(x)..... (σ =< y/a >, < x/b >)
Ch : C(b)
Sexta Iteración:
Cp : C(b)
Cm : ¬C(b)
Ch : φ
9