Producto de matrices triangulares por vectores

Producto de matrices triangulares por vectores
Objetivos. Mostrar cómo el producto de una matriz por un vector se simplifica en el
caso de matrices triangulares, convertir la fórmula en un algoritmo y calcular el número
de operaciones aritméticas.
Requisitos. Matrices triangulares, notación breve para las sumas, programación con
ciclos y matrices.
1. Una matriz A de tamaño n × n se llama triangular inferior, si para cada par de ı́ndices
j, k ∈ {1, . . . , n}, si j < k, entonces Aj,k = 0. Denotamos el conjunto de todas las matrices
reales triangulares inferiores por ltn (R):
ltn (R) := A ∈ Mn (R) : ∀j, k ∈ {1, . . . , n} (j < k) ⇒ (Aj,k = 0) .
2. Recordamos la fórmula para las entradas del producto Ab, donde A ∈ Mn (R) y
b ∈ Rn :
n
X
(Ab)j =
Aj,k bk .
k=1
3. Producto de una matriz triangular inferior por un vector, n = 4. Escribamos
de manera explı́cita el producto Ab, donde A ∈ lt4 (R) y b ∈ R4 :


 

A1,1 0
0
0
b1
A1,1 b1
 A2,1 A2,2 0

 

0 
A2,1 b1 + A2,2 b2

  b2  = 
.
 A3,1 A3,2 A3,3 0   b3  

A3,1 b1 + A3,2 b2 + A3,3 b3
A4,1 A4,2 A4,3 A4,4
b4
A4,1 b1 + A4,2 b2 + A4,3 b3 + A4,4 b4
Se ve que
(Ab)1 = A1,1 b1 =
1
X
A1,k bk ,
k=1
(Ab)2 = A2,1 b1 + A2,2 b2 =
2
X
A2,k bk ,
k=1
(Ab)3 = A3,1 b1 + A3,2 b2 + A3,3 b3 =
3
X
A3,k bk ,
k=1
(Ab)4 = A4,1 b1 + A4,2 b2 + A4,3 b3 + A4,4 b4 =
4
X
A4,k bk .
k=1
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4. Producto de una matriz triangular inferior por un vector. Calculamos la jésima componente del producto Ab, donde A ∈ ltn (R) y b ∈ Rn :
(Ab)j =
n
X
Aj,k bk =
k=1
j
X
n
X
Aj,k bk +
k=1
Aj,k bk .
k=j+1
Notamos que en la última suma k ≥ j + 1 > j y por lo tanto Aj,k = 0. Se queda la suma
con k de 1 a j:
j
X
(Ab)j =
Aj,k bk .
k=1
5. Algoritmo de multiplicación de una matriz triangular inferior por un vector.
Entrada: una matriz A, un vector b.
Se supone que A y b cumplen con los siguientes requisitos:
la matriz A es cuadrada y triangular inferior,
la longitud de b coincide con el orden de A.
n ← longitud(b);
c ← vector nulo de longitud n;
Para j ← 1, . . . , n:
Para k ← 1, . . . , j:
cj ← cj + Aj,k bk .
Salida: c.
6. Número de las operaciones de multiplicación en el algoritmo. Dentro del ciclo
interior (sobre k) tenemos una multiplicación, por eso en total el número de las operaciones
de multiplicación es
j
n X
n
X
X
n(n + 1)
.
1=
j=
2
j=1 k=1
j=1
7. Ejercicio. Calcule la suma
n X
n
X
1.
j=1 k=j
Respuesta:
n(n + 1)
.
2
8. Ejercicio. Haga razonamientos similares para el producto de una matriz triangular
superior por un vector.
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