CURSO ESTADISTICA RESUELTO N

GRADO
1.
COD:
FECHA
ESTADISTICA.
Es una ciencia de la matemática que permite a un investigador o
a un estadístico deducir, evaluar, inferir y decidir conclusiones
acerca de una población a partir de una información
suministrada por una muestra.
La estadística trata de teoremas, herramientas, métodos y
técnicas que se pueden usar en:
a. Recolección, selección y clasificación de datos.
b. Interpretación y análisis de datos.
c. Deducción y evaluación de conclusiones y de su
confiabilidad con base a datos muéstrales.
POBLACION. (N).
Es El conjunto de todos los datos de una comunidad, que son
características medidas o discretas de ciertos objetos o
elementos.
Los datos de la población pueden ser:
Cuantitativas: Medibles.
Cualitativas: No medibles.
Ej. No1. Ingreso familiar, diarios, semanal, mensual o anual
medio de una comunidad de 5.000 familias.
N=5.000 familias
Salarios ={2.000.000, 500.000, 1.550.000, 785.000, …………}
Ej. No2. La nota promedio de la nota de Estadística I semestre,
de los 458 estudiantes de ingeniería de la universidad.
N= 458 Notas
Notas = {3.8, 4, 3.5, 2, 1.5, 1.0, 5, 4.2, 4.3, 3.9, 4,1, ……..}
Ej. No3. La edad media de los 1.200 estudiantes del CECEP,
matriculados al día de hoy.
N= 1.200 Edad Estudiantes.
Edades = {19, 20, 28, 31, 19, 20, 25, 19, 18, 33, ………}
MUESTRA. (n).
Son datos tomados de una población para tomar una decisión
después de un estudio o análisis.
ANALISIS DE DATOS.
Es el estudio o análisis para tomar la decisión.
Ej. No1. Se desea hacer el estudio de las notas de los 40
estudiantes de Estadística Inferencial, del semestre pasado.
1.0
3.5
4.0
1.5
2.5
2.9
3.0
4.1
3.5
3.2
0.7
4.4
3.8
2.8
1.6
3.0
4.0
1.4
4.2
2.6
1.7
0.8
3.7
2.5
0.5
5.0
3.9
2.7
3.6
4.1
1.8
3.5
3.2
1.5
2.1
3.1
4.3
3.5
2.0
2.9
Población N = 40
Mayor nota = 5.0
Menor nota = 0.5
Rango de datos = 5.0 – 0.5 = 4.5
Datos ordenados.
0.5
1.5
2.0
2.7
3.0
3.5
3.8
4.1
0.7
1.5
2.1
2.8
3.1
3.5
3.9
4.2
0.8
1.6
2.5
2.9
3.2
3.5
4.0
4.3
1.0
1.7
2.5
2.9
3.2
3.6
4.0
4.4
1.4
1.8
2.6
3.0
3.5
3.7
4.1
5.0
̃).
LA MODA. (𝒙
Es el dato que más se repite de la población o la muestra.
𝑥̃ = 3.5
̂).
LA MEDIANA. (𝒙
Es el término que ocupa la posición de la mitad.
𝑋20 + 𝑋21 3.0 + 3.0
𝑥̂ =
=
= 3.0
2
2
̅).
LA MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO. (𝒙
Es la suma de todos los datos, dividido por el número de datos.
∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 0.5 + 0.7 + 0.8 + ⋯ + 4.4 + 5.0 114.1
𝑥̅ =
=
=
= 2.85
𝑁
40
40
El promedio de la nota del grado fue 2.85, pero eso no quiere
decir que todos los estudiantes perdieron.
Perdieron.
𝑁𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
19
𝑃=
𝑥100% =
𝑥100% = 47.5%
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
40
Ganaron.
𝑁𝑜 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛
21
𝐺=
𝑥100% =
𝑥100% = 52.5%
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
40
DATOS AGRUPADOS.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIA.
No de Clases.
Existe la Reglas de Sturges.
𝑁𝑜 = 1 + 3.3𝐿𝑜𝑔𝑁
𝑁𝑜 = 1 + 3.3𝐿𝑜𝑔40
𝑁𝑜 = 6.28
Esto nos indica que se deben tomar 6 clases, pero por facilidad y
comodidad de la escala de valoración, se toman 5 clases.
TABLA DE FRECUENCIAS.
CLASE
MARC
F.A.
F.A.A.
F.R.
F.R.A.
A
[O; 1)
0.5
3
3
0.075
0.075
[1; 2)
1.5
7
10
0.175
0.250
[2; 3)
2.5
9
19
0.225
0.475
[3; 4)
3.5
13
32
0.325
0.800
[4; 5)
4.5
8
40
0.200
1.000
HISTOGRAMA.
Grafico que representa la Frecuencia Absoluta contra el número
de datos. F.A/N.
También llamado diagrama de barras.
FRECUENCIA ABSOLUTA/DATOS.
NUMERO DE DATOS
FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
PERIODO ACADEMICO: II-2012
PROBABILIDAD
NOMBRE:
14
12
10
8
6
4
2
0
[O; 1)
[1; 2)
[2; 3)
[3; 4)
[4; 5)
ESCALA DE VALORACION
LA MEDIA ARITMETICA.
∑ 𝑌𝑖 𝐹𝐴𝑖 0.5(3) + 1.5(7) + 2.5(9) + 3.5(13) + 4.5(8)
𝑥̅ =
=
= 2.90
𝑁
40
PARAMETROS DE POBLACION.
1. El total: (A) Suma de los datos.
2. Proporción: (π). Fracción de la población que cumple una
determinada propiedad.
Ej. No1. De la cantidad de 40 estudiantes, el numero de
ellos que aprobaron la materia.
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛 21
𝜋=
=
= 0.525
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
40
Ej. No2. De una población de 500 artículos, 40 son
defectuosos.
𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠
40
𝜋=
=
= 0.08
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
500
3. Las medidas de tendencia central.
Media, moda y mediana.
4. Medidas de dispersión. Miden la disparidad de los distintos
datos de una población.
Desviación Media. (D.M.)
Es la medida de los valores absolutos de las diferencias
entre los datos y la media aritmética.
𝑁
|𝑋𝑖 − 𝑋̅| |0.5 − 2.85| + |0.7 − 2.85|+. . +|5.0 − 2.85|
𝐷𝑀 = ∑
=
𝑁
40
𝑖=1
37.6
= 0.94
40
La nota de cada uno de los estudiantes difiere de la media
aritmética, en promedio 0.94.
𝑋𝑖
𝑋̅
𝑋𝑖
0.94
0.94
Desviación Estándar. (S)
Mide la desviación promedio de cada uno de los datos
respecto a la media aritmética.
𝑁
𝑆 = √∑
𝑖=0
(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
=
𝑁
(0.5 − 2.85)2 + (0.7 − 2.85)2 +. . +(5 − 2.85)2
51.18
√
=√
= 1.13
40
40
El promedio de cada nota de estadística, difiere del
promedio del grupo en 1.1311.
Para datos agrupados.
𝑆 = √∑
√∑
𝐹𝐴(𝑌𝑖 − 𝑋̅)2
=
𝑁
3(0.5 − 2.9)2 + 7(1.5 − 2.9)2 +. . +8(4.5 − 2.9)2
=
40
2.
17.28 + 13.72 + 1.44 + 4.68 + 20.48
57.6
√
=√
= 1.20
40
40
Pero con la ayuda del Excel este tipo de cálculos se hacen
más fáciles.
𝑋𝑖
𝑋𝑖 − 𝑋̅
(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
N0
DATOS
DIFEREN
CUADRADO
a. 𝑋̅ ± 𝑆
b. 𝑋̅ ± 2𝑆
c. 𝑋̅ ± 3𝑆
TECNICAS DE CONTAR.
FACTORIAL.
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n
al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … … … 3𝑥2𝑥1
Por definiciones de factorial se da:
1. El factorial de 1: 1! = 1
2. El factorial de 0: 0! = 1
Es para facilitar las operaciones con factorial y de proceso lógico.
Ejemplo 1:
2! = 2𝑥1 = 2
3! = 3𝑥2𝑥1 = 6
4! = 4𝑥3𝑥2𝑥1 = 24
5! = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 120
6! = 6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 720
7! = 7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 5040
(𝑛 − 1)! = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … … 3𝑥2𝑥1 =
𝑘! = 𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)(𝑘 − 3) … … . .3𝑥2𝑥1 =
Ejemplo 2: Simplificar y hallar los resultados.
1
2
3
4
1,00
3,50
4,00
0,50
-1,85
0,65
1,15
-2,35
3,4225
0,4225
1,3225
5,5225
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3,20
3,50
3,20
1,40
5,00
1,50
4,00
0,70
4,20
3,90
2,10
1,50
0,35
0,65
0,35
-1,45
2,15
-1,35
1,15
-2,15
1,35
1,05
-0,75
-1,35
0,1225
0,4225
0,1225
2,1025
4,6225
1,8225
1,3225
4,6225
1,8225
1,1025
0,5625
1,8225
17
4,40
1,55
2,4025
18
2,60
-0,25
0,0625
19
2,70
-0,15
0,0225
20
3,10
0,25
0,0625
21
2,50
-0,35
0,1225
22
3,80
0,95
0,9025
23
1,70
-1,15
1,3225
24
3,60
0,75
0,5625
25
4,30
1,45
2,1025
7.
26
2,90
0,05
0,0025
8.
27
2,80
-0,05
0,0025
28
0,80
-2,05
4,2025
29
4,10
1,25
1,5625
30
3,50
0,65
0,4225
31
3,00
0,15
0,0225
32
1,60
-1,25
1,5625
33
3,70
0,85
0,7225
34
1,80
-1,05
1,1025
35
2,00
-0,85
0,7225
36
4,10
1,25
1,5625
37
3,00
0,15
0,0225
38
2,50
-0,35
0,1225
39
3,50
0,65
0,4225
40
2,90
0,05
0,0025
114,10
0,00
51,1800
S
1,2795
1,1311
𝑋̅
2,85
EJERCICIO No1.
Hallar todos los parámetros para los datos desagrupados y
agrupados. Hacer las correspondientes graficas.
1. Peso promedio de 30 estudiantes de una clase. En Kg
100
60
75
90
84
70
86
58
65
76
56
64
69
63
95
80
66
82
85
75
103
76
83
70
76
80
70
69
72
87
2. Edad de 32 personas de una empresa dedicada a las ventas.
20
25
24
21
22
28
22
32
26
23
26
31
25
35
28
25
23
36
30
21
30
27
24
40
26
20
33
29
29
38
21
22
31
31
27
25
3. Determínese el porcentaje de datos para cada ejercicio, que
caen en cada uno de los intervalos dado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5!
3!
6!
8!
=
=
10!
8!
=
5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
120
=
3𝑥2𝑥1
6
6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
= 20
10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
2.
1
=
10𝑥9(8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1)
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
=
10𝑥9𝑥8!
10𝑥9
= 1 = 90
8!
10!𝑥6!
10!𝑥6!
6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
60
= 12𝑥11𝑥10! =
= 11
12!
12𝑥11
15!𝑥20!
15𝑥14!20!
15
5
= 14!21𝑥20! = 21 = 7
14!𝑥21!
135!𝑥120!
135𝑥134!𝑥120!
135
= 134!𝑥121𝑥120! = 121
134!𝑥121!
19!𝑥23!
19!𝑥23𝑥22!
23
23
=
=
=
22!𝑥21!
22!𝑥21𝑥20𝑥19!
21𝑥20
420
(𝑛+2)(𝑛+1)!𝑛(𝑛−1)!
(𝑛+2)𝑛
(𝑛+2)!𝑛!
=
= 1
(𝑛−1)!(𝑛+1)!
(𝑛−1)!(𝑛+1)
= (𝑛 + 2)𝑛
EJERCICIOS No2.
1.
720
= 40320 = 56
10!.15!
9!12!
40!.25!
42!23!
3.
4.
7!.15!
9!16!
10!.15!5!
11!16!
PERMUTACIONES.
La Rotación de todos los elementos de un evento o un conjunto.
𝑃(𝑛) = 𝑛!
Ej. No1. Cuantas palabras de 4 letras pueden formarse con las
letras A, B, C, D.
𝑃(𝑛) = 𝑛! = (4)! = 4𝑥3𝑥2𝑥1 = 24
Ej. No2. Una junta de 3 personas, donde se debe elegir,
Presidente, Vicepresidente y Tesorero. De cuantas formas
diferentes se pueden organizar.
𝑃(𝑛) = 𝑛! = (3)! = 3𝑥2𝑥1 = 6
VARIACIONES.
Es el número de organizaciones diferentes que se pueden
obtener de n objetos tomados en grupos de r elementos.
𝑛!
𝑉(𝑛,𝑟) =
(𝑛 − 𝑟)!
En estos grupos organizados existe el orden. La ubicación de
cada elemento interesa.
Ej. No3. Cuantos números de 4 cifras se pueden formar con las
cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ninguna cifra se puede repetir.
n= 6
r = 4. Son Variaciones de 6 en 4.
𝑛!
6!
6! 6𝑥54𝑥3𝑥2𝑥1
𝑉(6,4) =
=
= =
= 360
(𝑛 − 𝑟)! (6 − 4)! 2!
2𝑥1
Segundo método.
Se organizan casillas de acuerdo al número de elementos de
grupo a formar.
4 casillas
6
5
4
3
360
Ej. No4. Cuántos de estos números son pares.
5
4
3
3
180
Para que un numero sea par debe terminar en cifra par, y en el
conjunto hay 3 números pares. Van en la última casilla, los
demás se ubican en las 3 casillas iníciales.
Segundo método.
5!
5!
5𝑥4𝑥3𝑥2!
𝑉(5,3) 𝑥3𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 =
𝑥3 = 𝑥3 =
𝑥3 = 180
(5 − 3)!
2!
2!
Ej. No5. Cuantos son mayores que 400?
3
5
4
3
180
En la primera casilla solo pueden ir 4, 5,6, ósea 3 números.
En la segunda se pueden utilizar 5, pq el usado en la primera
casilla no se puede.
Y así sucesivamente en las demás.
Segundo método.
5!
5!
3𝑥𝑉(5,3) = 3𝑥
= 3𝑥 = 180
(5 − 3)!
2!
Ej. No6. Cuantos números se pueden formar si se puede repetir
cifras.
Se organizan casillas de acuerdo al número de elementos de
grupo a formar.
4 casillas
6
6
6
6
1.296
Ej. No7. Cuantos de los números anteriores son pares?
6
6
6
ESPACIO MUESTRAL: (S)
Regularmente se representa con una letra mayúscula S, pero de
igual manera usted puede utilizar otra diferente.
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento o un fenómeno.
S = {C, S}
S=2
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = 6
S = {B, M}
S=2
S = {CS, SC, CC, SS}
S=4
Se lanza simultáneamente dos dados. S = 36
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
Se lanzan 3 monedas simultáneamente. S = 8
C
C
S
C
C
S
3
S
648
Ej. No8. Cuantos de los números son mayores que 400?
3
6
6
6
648
Ej. No8. Cuantos de los números son mayores que 500?
2
6
6
6
S
S
C
S
S
432
COMBINACIONES.
El numero de combinaciones posibles de r elementos tomados
de n posibles. El orden de ocupación no interesa, ni la posición
que ocupan.
𝑛!
𝐶(𝑛,𝑟) =
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!
Ej. No1. Si un grupo de 3 personas: Carlos, Fernando y Juan para
entregar un trabajo, sería lo mismo que: Carlos, Juan y Fernando
y así sucesivamente.
Ej. No2. Se tiene un grupo de 5 personas para formar juntas
directivas de 3 personas.
n = 5 r = 3. Combinaciones de 5 en 3, pq no importa el orden.
𝑛!
5!
5!
5𝑥4𝑥3!
𝐶(5,3) =
=
=
=
= 10
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (5 − 3)! 3! 2! 3! 2𝑥1𝑥3!
Ej. No3. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos
de baloncesto, de un total de 8 jugadores.
𝑛!
8!
8!
8𝑥7𝑥6𝑥5!
𝐶(8,5) =
=
=
=
= 560
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (8 − 5)! 5! 3! 5! 3𝑥2𝑥1𝑥5!
Ej. No 4. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos
de baloncesto, de un total de 9 jugadores.
𝑛!
9!
9!
9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5!
𝐶(9,5) =
=
=
=
= 126
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (9 − 5)! 5! 4! 5! 4𝑥3𝑥2𝑥1𝑥5!
Ej. No 5. Se necesita organizar grupos de trabajo de 3 personas
de un total de 8. Cuantos grupos diferentes pueden salir?
𝑛!
8!
8!
8𝑥7𝑥6𝑥5!
𝐶(8,3) =
=
=
=
= 560
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (8 − 3)! 3! 5! 3! 3𝑥2𝑥1𝑥5!
𝐶(8,5) = 𝐶(8,5)
Ej. No 6. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos
de trabajo de 4 personas, de un total de 9 jugadores.
𝑛!
9!
9!
9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5!
𝐶(9,4) =
=
=
=
= 126
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (9 − 4)! 4! 5! 4! 5! 𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
𝐶(9,4) = 𝐶(9,5)
3. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.
Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre
determinación o de libre ocurrencia.
Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio
de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para
un determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.
La probabilidad de un evento A se define:
P(A) =
C
C
#𝐴
#𝑆
EXPERIMENTO:
Es la experiencia o fenómeno realizado para su estudio.
Lanzar una moneda. Cara, Sello.
Lanzar un dado. Posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Seleccionar un fusible. Defectuoso, Bueno.
Lanzar dos monedas. CS, CC, SS, SC.
S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}
Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el
dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio
muestral será:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
EVENTO (E):
Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno a
analizar.
Es un subconjunto del espacio muestral.
Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par,
entonces los posibles resultados en que puede caer el dado
serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será:
A = { 2, 4, 6 }
La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos
eventos:
1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos.
2. A ∩ B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.
3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.
Ej. No 1. Lanzar un dado y observar que salga un número primo.
𝐸1 = {2, 3, 5} = 3
Ej. No 2. Lanzar 3 monedas simultáneamente y que salgan dos
caras.
𝐸2 = {𝐶𝐶𝑆, 𝐶𝑆𝐶, 𝑆𝐶𝐶} = 3
Ej. No3. Lanzar dos dados simultáneamente y que su suma sea 7.
𝐸3 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6
Ej. No 4. Lanzar dos dados simultáneamente y que la suma de los
dos sea 11.
𝐸3 = {(5,6), (6,5)} = 2
La probabilidad de cada uno de los eventos anteriores es:
𝐸1 3 1
𝑃(𝐸1) =
= = = 0.5 ≡ 50%
𝑆
6 2
𝐸2 3
𝑃(𝐸2) =
= = 0.375 ≡ 37.50%
𝑆
8
𝐸3
6
1
𝑃(𝐸3) =
=
= = 0.1666 ≡ 16.66%
𝑆
36 6
𝐸4
2
1
𝑃(𝐸4) =
=
=
= 0.0555 ≡ 5.55%
𝑆
36 18
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:
Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, ósea que la
intersección de los conjuntos sea vacía. A ∩ B = φ ( No pueden
suceder simultáneamente).
Ejemplo No 1: Se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral, de las
posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos
A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número
impar. C = {2, 3, 5}
A ∩ B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto
los eventos son mutuamente exclusivos.
Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.
#𝐴
P(A) =
#𝐵
P(B) =
P(C) =
=
#𝑆
#𝐶
P(A) =
P(S) =
=
#𝑆
=
#𝑆
#𝑆
#𝐶
3
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
3
= 1 o equivalente a un 100%
3
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos
anteriores A, B y C:
A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}
A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }
B ∩ C = { 3, 5 }
CC = { 1, 4, 6 }
Las probabilidades de los nuevos eventos serán:
#(𝐴𝑈𝐵)
P(AUB) =
#(𝐴𝑈𝐶)
#𝑆
P(B∩C) =
P(Cc) =
#𝐶
#Cc
#𝑆
=
6
5
6
= 1 o equivalente a un 100%
= 0.83 o equivalente a un 83%
= 0.33 o equivalente a un 33%
6
3
6
=
2
=
#𝑆
6
=
#𝑆
P(AUC) =
= 0.5 o equivalente a un 50%
AXIOMAS DE PROBABILIDAD.
Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas
funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad
del evento A. P(Cc) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los
siguientes axiomas:
P1 Para todo evento A, se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1
P2 P(S) = 1
P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple
que
P(AUB) = P(A) + P(B) .
Para el ejemplo No 1, observamos que:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. Observamos que el valor de cada una de las
probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.
2. P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio
muestral S es 1.
P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5
P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0
TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.
Estos teoremas se deducen de los axiomas:
T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P(𝜙) = 0
T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(Ac) = 1 - P(A)
T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B)
T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B)
Ej. No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los
resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B =
{1, 2, 3, 4, 5}.
La grafica del conjunto será:
U
A
B
0
1
3
6
2
4
5
8
9
7
Calculado:
A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }
A ∩ B = { 1, 2, 4 }
Ac = { 3, 5, 7, 9 }
Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }
A – B = { 0, 6, 8 }
B – A = { 3, 5 }
Los cardinales de cada uno de los conjuntos:
#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(A∩B) = 3, #(Ac) = 4, #(Bc) = 5
#(A-B) = 3 #(B-A) = 2.
Calculando las probabilidades.
P(A) =
P(B) =
#𝐴
#𝑆
#𝐵
=
=
6
10
5
#𝑆
10
#(𝐴𝑈𝐵)
P(AUB) =
P(A∩B) =
P(A-B) =
3
=
=
=
5
1
2
8
= 0.6 equivalente en porcentaje 60%
= 0.5 equivalente en porcentaje 50%
=
#𝑆
10
#(𝐴∩𝐵)
3
#𝑆
#(𝐴−𝐵)
#𝑆
#(𝐵−𝐴)
P(B-A) =
#(𝐴𝑐 )
P(AC) =
=
=
10
3
10
4
5
= 0.8 equivalente en porcentaje 80%
= 0.30 equivalente en porcentaje 30%
= 0.30 equivalente en porcentaje 30%
P(𝐵𝑐 ) =
#(𝐵𝑐 )
#𝑆
= 0.40 equivalente en porcentaje 40%
10
=
= 0.20 equivalente en porcentaje 20%
10
4
=
#𝑆
2
=
#𝑆
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
6
=
#𝑆
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
6
=
#𝑆
3
5
10
= 0.50 equivalente en porcentaje 50%
Si aplicamos los teoremas obtenemos:
T2. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40
T2. P(BC) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50
T4. P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 0.60 - 0.30 = 0.30
T5. P(B-A) = P(B) - P(B∩A) = 0.50 - 0.30 = 0.20
T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80
T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(A∩B)= 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.80
4. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.
Sea un espacio muestral finito tal que S = {a1, a2, a3, ……. an}la
probabilidad del espacio muestral será la suma de las probabilidades
parciales e igual a 1.
P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1
EJEMPLO No 1. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos
los números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.
El espacio muestral sería así:
1. Que no salga ningún sello. 0S
CCCC
2. Que salga un sello y tres caras. 1S
SCCC, CSCC, CCSC, CCCS.
3. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.
SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.
4. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3S
SSSC, CSSS, SCSS, SSCS.
5. Que salgan cuatro sellos y o caras. 4S
SSSS.
El conjunto S = {0, 1, 2, 3, 4} de los posibles resultados de caer las
monedas.
Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.
Si calculamos las siguientes probabilidades.
1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.
P(0) =
2.
= 0.25
6
16
=
3
= 0.375
8
Probabilidad de que salgan 3 sellos.
P(3) =
5.
4
16
La probabilidad de que salgan dos sellos.
P(2) =
4.
= 0.0625
La probabilidad de que salga un sello.
P(1) =
3.
1
16
4
16
1
= = 0.25
4
Probabilidad de que salgan 4 sellos.
1
P(4) = = 0.0625
16
P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0)
=
6.
1
16
+
1
4
+
3
8
1
+
+
4
1
=1
16
La probabilidad de que por lo menos salga un sello.
Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }
P(C) = P(1S) + P(2S) + P(3S) + P(4S)
=
7.
1
4
+
3
8
+
1
4
1
+
=
16
15
16
Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.
Los resultados de D = { 4S, 4C }
P(D) = P(4C) + P(4S) =
1
16
+
1
16
=
2
16
=
1
8
EJEMPLO No 2. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera.
Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de
probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar
que Q. Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno
de los caballos.
Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.
Q =p
S = 2Q = 2p
P = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4p
A = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8p
Como el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe
ser uno, entonces.
P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1
8p + 4p + 2p + p = 1
15p = 1
P =
1
15
Los valores de la probabilidad de ganar cada caballo es de:
P(A) = 8p = 8 x
P(P) = 4p = 4 x
P(S) = 2p = 2 x
P(Q) = 1p = 1 x
1
15
1
15
1
15
1
15
=
=
=
8
15
4
15
2
15
=
1
15
Cuál es la probabilidad de que A o P ganen la carrera.
El evento es F = { A, P }
P(F) = P(A) + P(P) =
8
15
+
4
15
=
12
15
=
4
5
= 0.80
4
La probabilidad de que A o P ganen es de o de 0.80, o también
5
equivale a decir que tienen el 80% de probabilidades de ganar, que es
equivalente a decir que tienen el 20% de probabilidades de perder.
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.
Es un espacio muestral S finito de probabilidad, donde cada punto
muestral tiene la misma probabilidad.
𝑎
P(A) =
𝑠
EJ. No1. Se lanzan 2 dados al mismo instante, pero sin identificarlos y
se observan cada uno de los resultados.
El espacio muestral de los posibles resultados seria:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 5) (5, 6)
(6, 6)
El total de posibilidades de caer los dados son S = 21
1. Cuál es la probabilidad de que la suma sea 6.
A = {La suma sea 6 } = { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }
P(A) =
2.
7
2
21
6
21
=
2
7
La probabilidad D = { La suma sea impar }
D ={(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 3),(2, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}
P(D) =
5.
1
La probabilidad C = {Salgan pares} Los números sea iguales.
C = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }
P(C) =
4.
=
La probabilidad de B = { La suma sea 5 } = { (1, 4), (2, 3) }
P(B) =
3.
3
21
9
21
=
3
3 2 1
+ −
6 6 6
Ej. No 3. Un cliente entra a un supermercado. La probabilidad de que
compre pan es 0.60; que compre leche es 0.50 y la de que compre
pan y leche es 0.30. Cuál es la probabilidad de que compre pan, leche
o ambos?
𝑃(𝑃) = 0.60;
𝑃(𝐿) = 0.50;
𝑃(𝑃∩𝐿) = 0.30
𝑃(𝑃∪𝐿) = 𝑃(𝑃) + 𝑃(𝐿) − 𝑃(𝑃∩𝐿)
𝑃(𝑃∪𝐿) = 0.60 + 0.50 − 0.30 = 0.80
Ej. No 4. Determinar la probabilidad de extraer una carta de una
baraja que sea As o Rey.
Los eventos:
A = Sacar Rey.
= {RP, RT, RC, RD}
=4
B = Sacar As.
= {AP, AT, AC, AD}
=4
AUB = { RP, RT, RC, RD, AP, AT, AC, AD}
=8
S = 52 Cartas
𝐸𝐴
4
𝐸𝐵
4
𝐸𝐴𝑈𝐵
8
𝑃(𝐴) =
=
;
𝑃(𝐵) =
=
;
𝑃(𝐴𝑈𝐵) =
=
𝑆
52
𝑆
52
𝑆
52
4
4
8
𝑃(𝐴𝑈𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =
+
=
52 52 52
PROBABILIDAD CONDICIONAL.
Ej. No 1. Una caja contiene bolitas blancas y negras, además, cada
una tiene grabada una letra que puede sea A o Z. Si la composición de
la caja es:
NEGRA(N)
BLANCA(B)
TOTAL
A
5
3
8
Z
1
2
3
TOTAL
6
5
11
Si se selecciona al azar una bolita de la caja. Hallar la probabilidad de:
1. 𝑃(𝑁) = Probabilidad de obtener una bolita negra.
𝐸(𝑁) = 6
S = 11
𝐸𝑁
6
𝑃(𝑁) =
=
𝑆
11
2. 𝑃(𝑁/𝐴) = Probabilidad de obtener una bolita negra suponiendo
que tenga grabada una letra A.
S = Bolita con letra A = 8
A = Bolitas negras con letra A = 5
𝑃(𝑃𝑈𝐷) = 𝑃(𝑃) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝑃∩𝐷) =
7
𝑃(𝑁/𝐴) =
La probabilidad de E = { La suma sea 7 } = { (1, 6), (2, 5), (3, 4) }
P(E) =
3
21
=
1
7
6. La probabilidad de F = { La suma sea par }
7. La probabilidad de G = { Los dos dados sean números impares }
8. La probabilidad de H = {Uno de los dados sea un número impar }
REGLA DE LA ADICION.
Consideremos un juego en el cual debe elegirse una carta de una
baraja de póker de 52 cartas. Ganan si la carta elegida es negra o un
rey. Cuál es la probabilidad de ganar?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1
0 1 2 3
P A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
T A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
C A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
D A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
S = Total De cartas = 52 Cartas.
E = Evento = Sea negra o rey. = 28.
𝐸 28
𝑃(𝐸) = =
= 0.5384
𝑆 52
𝐸𝑁 26
𝑃(𝑁) =
=
𝑆
52
𝐸𝑅
4
𝑃(𝑅) =
=
𝑆
52
𝐸𝑁∩𝑅
2
𝑃(𝑁∩𝑅) =
=
𝑆
52
26 4
2
28
𝑃(𝑁) + 𝑃(𝑅) − 𝑃(𝑁∩𝑅) =
+
−
=
= 0.5384
52 52 52 52
Ej. No2. Se lanza un dado normal. Ud. gana 5 dólares, si el resultado
es par o divisible por 3. Cuál es la probabilidad de ganar.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P = {2, 4, 6}
D = {3, 6}
P∩D = {6}
𝐸𝑃 3 1
𝐸𝐷 2 1
1
𝑃(𝑃) =
= = ;
𝑃(𝐷) =
= = ;
𝑃(𝑃∩𝐷) =
𝑆
6 2
𝑆
6 3
6
E = P U D = {2, 4, 6, 3}
𝐸 4 2
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝑃𝑈𝐷) = = = = 0.6666
𝑆 6 3
5
8
𝑃(𝑁/𝐴) =
𝑃(𝑁∩𝐴)
𝑃(𝐴)
=
5
11
8
11
5
=8
𝑃(𝐴) = Probabilidad de obtener una bolita con la letra A.
𝐴 = Bolitas con letra A = 8
𝑆 = Total de bolitas = 11
𝐸𝐴
8
𝑃(𝐴) =
=
𝑆
11
4. 𝑃(𝐴∩𝑁) = Probabilidad de obtener una bolita con la letra A y sea
negra.
𝐴 = Bolitas negras con letra A = 5
𝑆 = Total de bolitas = 11
𝐸𝐴
5
𝑃(𝐴) =
=
𝑆
11
5. 𝑃(𝐵/𝐴) = Probabilidad de B dado A.
Probabilidad de obtener una bolita blanca suponiendo que tenga
grabada la letra A.
A = Bolita con letra A = 8
B = Bolitas blancas con la con letra A = 3
3
𝑃(𝐵/𝐴) =
8
3
𝑃(𝐴∩𝐵) 11 3
𝐸𝐴
8
3
𝑃(𝐴) =
=
;
𝑃(𝐴∩𝐵) = , 𝑃(𝐵/𝐴) =
=
=
8
𝑆
11
11
𝑃(𝐴)
8
11
Ej. No 2. Se lanza un dado cargado. Dado que el resultado es un
número par. Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Total de resultados del dado. = 6
A = {2, 4, 6} = Resultados pares = 3
B = {4, 5, 6} = Resultados mayores que 3 = 3
A∩B = {4, 6} = Pares mayores que 3 = 2
𝑃(𝐵/𝐴) = Probabilidad de obtener un número mayor que 3, dado que
sea par.
2
𝑃(𝐴∩𝐵) 6 2
3
3
2
𝑃(𝐴) = ; 𝑃(𝐵) = ; 𝑃(𝐴∩𝐵) = , 𝑃(𝐵/𝐴) =
= =
3 3
6
6
6
𝑃(𝐴)
6
Analizándolo de otro modo. S = {2, 4, 6}
S = 3 números pares;
E = {4, 6} =Mayores que 3 = 2
3.
𝑃(𝐴) =
𝐸 2
=
𝑆 3
REGLA DE LA MULTIPLICACION.
Ej. No1. Se sacan dos cartas simultáneamente de una baraja de 52
cartas. Cuál es la probabilidad de que ambos sean ases?
A = Primera carta As.
B = Segunda carta As.
𝐸
4
𝐸
3
𝑃(𝐴) = =
;
𝑃(𝐵) = =
𝑆 52
𝑆 51
4 3
12
1
𝑃(𝐴;𝐴) = 𝑃(𝐴) . 𝑃(𝐵) =
.
=
=
52 51 2.652 221
Otro método.
𝐶(52,2) = Combinaciones de grupos de dos cartas diferentes.
𝑛!
52!
52𝑥51𝑥50!
𝑆 = 𝐶(52,2) =
=
=
= 1.326
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (52 − 2)! 2!
50! 𝑥2!
𝐶(4,2) = Combinaciones de grupos de dos, de 4 ases posibles.
𝑛!
4!
4𝑥3𝑥2!
𝐸 = 𝐶(4,2) =
=
=
=6
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (4 − 2)! 2!
2! 𝑥2!
𝐸
6
1
𝑃(𝐴;𝐴) = =
=
𝑆 1.326 221
Ej. No2. Una urna contiene 6 bolitas Blancas y 4 bolitas Negras. Se
extraen dos bolitas sucesivamente y sin sustitución. Hallar.
a. Probabilidad de que ambas bolitas sean blancas. Como son 10
bolitas en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4
6 5
30 1
𝑃(2𝐵) = 𝑃(𝐵1) 𝑃(𝐵2) = ( ) ( ) =
=
10 9
90 3
Otro método.
El espacio muestral. Combinaciones de 10 en 2.
𝑛!
10!
10𝑥9𝑥8!
𝑆 = 𝐶(10,2) =
=
=
= 45
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (10 − 2)! 2!
8! 𝑥2!
El evento. Grupos de 2 bolitas blancas de las 6 posibles.
𝑛!
6!
6𝑥5𝑥4!
𝐸 = 𝐶(6,2) =
=
=
= 15
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (6 − 2)! 2! 4! 𝑥2𝑥1
𝐸 15 1
𝑃(𝐵𝐵) = =
=
𝑆 45 3
b. Probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra.
6 4
24
4
𝑃(1𝐵,2𝑁) = 𝑃(𝐵1) 𝑃(𝐵2) = ( ) ( ) =
=
10 9
90 15
Otro método.
El espacio muestral. Variaciones de 10 en 2.
𝑛!
10!
10𝑥9𝑥8!
𝑆 = 𝑉(10,2) =
=
=
= 90
(𝑛 − 𝑟)! (10 − 2)!
8!
El evento. Grupos de 1 bolitas de 6 blancas y 1 de 4 Negras.
𝑛!
6!
6𝑥5!
𝑃(1𝐵) = 𝐶(6,1) =
=
=
=6
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (6 − 1)! 1! 5! 𝑥1
𝑛!
4!
4𝑥3!
𝑃(2𝑁) = 𝐶(4,1) =
=
=
=4
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (4 − 1)! 1! 3! 𝑥1
𝐸 24
4
𝑃(𝐵𝐵) = =
=
𝑆 90 15
c. Probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca.
4 6
24
4
𝑃(1𝑁,2𝐵) = 𝑃(1𝑁) 𝑃(𝐵2) = ( ) ( ) =
=
10 9
90 15
Otro método.
El espacio muestral. Variaciones de 10 en 2.
𝑛!
10!
10𝑥9𝑥8!
𝑆 = 𝑉(10,2) =
=
=
= 90
(𝑛 − 𝑟)! (10 − 2)!
8!
El evento. Grupos de 1 bolitas de 4 blancas y 1 de 6 negras.
𝑛!
4!
4𝑥3!
𝑃(1𝑁) = 𝐶(4,1) =
=
=
=4
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (4 − 1)! 1! 3! 𝑥1
𝑛!
6!
6𝑥5!
𝑃(2𝐵) = 𝐶(6,1) =
=
=
=6
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (6 − 1)! 1! 5! 𝑥1
𝐸 24
4
𝑃(𝐵𝐵) = =
=
𝑆 90 15
d. Probabilidad de que ambas bolitas sean negras. Como son 10
bolitas en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4
4 3
12
2
𝑃(2𝑁) = 𝑃(𝑁1) 𝑃(𝑁2) = ( ) ( ) =
=
10 9
90 15
Otro método.
El espacio muestral. Combinaciones de 10 en 2.
𝑛!
10!
10𝑥9𝑥8!
𝑆 = 𝐶(10,2) =
=
=
= 45
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (10 − 2)! 2!
8! 𝑥2!
El evento. Grupos de 2 bolitas blancas de las 6 posibles.
𝑛!
4!
4𝑥3𝑥2!
𝐸 = 𝐶(4,2) =
=
=
=6
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (4 − 2)! 2! 2! 𝑥2𝑥1
𝐸
6
2
𝑃(𝑁𝑁) = =
=
𝑆 45 15
Ej. No 3. Se extraen 3 cartas de una baraja de póker en forma
sucesiva y sin restitución. Hallar la:
a. Probabilidad de que no haya ningún as entre las 3 cartas?
𝑃(~𝐴) = 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠.
Como son 52 cartas en total, de las cuales 4 son as. Quedan 48
cartas.
48 47 46 103.776 4.324
𝑃(~𝐴) =
𝑥 𝑥
=
=
52 51 50 132.600 5.525
b. Las dos primeras sean As y la última Rey.
4 3 4
48
2
𝑃(2𝐴,1𝑅) =
𝑥 𝑥
=
=
52 51 50 132.600 5.525
𝑛!
52!
52𝑥51𝑥50𝑥49!
𝑆 = 𝑉(52,3) =
=
=
= 132600
(𝑛 − 𝑟)! (52 − 3)!
49!
𝑛!
4!
4𝑥3𝑥2!
𝐸1 = 𝐶(4,2) =
=
=
=6
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (4 − 2)! 2! 2! 𝑥2𝑥1
𝑛!
4!
4𝑥3!
𝐸2 = 𝐶(4,1) =
=
=
=4
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟! (4 − 1)! 1! 3! 𝑥1
𝐸𝑇 = 2𝐶(4,2) 𝐶(4,1) = 2𝑥6𝑥4 = 48
𝐸𝑇
48
2
𝑃(2𝐴.1𝑅) =
=
=
𝑆
132600 5.525
c. Probabilidad que solo las 2 primeras sean Ases..
4 3 48
576
24
𝑃(2𝐴,1𝐶) =
𝑥 𝑥
=
=
52 51 50 132.600 5.525
d. Probabilidad de un As en la última salida.
48 47 4
9.024
376
𝑃(2𝐴,1𝐶) =
𝑥 𝑥
=
=
52 51 50 132.600 5.525
Ej. No3. De 100 personas que solicitaron empleo de programación de
computadores en una Universidad durante el año pasado, 40 tenían
experiencia anterior (W). 30 tenían certificación profesional ©. Sin
embargo 20 de los solicitantes tenían experiencia anterior y un
certificado y se los incluye en ambos conteo.
a. Diagrama de Venn.
U
W
C
20
20
10
50
b.
c.
d.
Probabilidad de que un solicitante escogido aleatoriamente
tenga experiencia o certificación.
20 + 20 + 10
50
1
𝑃(𝑊∪𝐶) =
=
= = 0.5 ≡ 50%5
100
100 2
Probabilidad de que un solicitante escogido aleatoriamente
tenga experiencia o certificación pero no ambas..
20 + 10
30
3
𝑃(𝑊∪𝐶−𝑊∩𝐶) =
=
=
= 0.3 ≡ 30%
100
100 10
Probabilidad condicional de que un solicitante escogido
aleatoriamente tenga un certificado, dado que tiene experiencia
anterior.
𝑃(𝐶/𝑊) =
𝑃(𝐶∩𝑊)
𝑃(𝑊)
=
20
100
40
100
20
1
= 40 = 2 = 0.5 ≡ 50%
Ej. No 4. De 12 CxC de un archivo financiero de una empresa de
zapatos, se examino que 4 contienen un error de procedimiento al
contabilizar los saldos.
1. Si un auditor selecciona aleatoriamente dos de estas CXC (Sin
reemplazo). Cuál es la probabilidad que ninguna CXC contenga
un error de procedimiento de digitación?
N = 12
Con error E = 4
Sin error SE = 8
8
7
56
14
𝑃(2𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) = ( ) ( ) =
=
= 0.4242 ≡ 42.42%
12 11
132 33
2. Si el auditor muestrea 3 CXC. Cuál es la probabilidad de que
ninguna de las CXC tenga un error de procedimiento?
8
7
6
336
14
𝑃(3𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) = ( ) ( ) ( ) =
=
= 0.2545 ≡ 25.45%
12 11 10
1320 55
3. Si el auditor muestrea una sola CXC. Cuál es la probabilidad de
que esta tenga error?
4
1
𝑃(1𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) =
= = 0.3333 ≡ 33.33%
12 3
4. Probabilidad de que por lo menos una tenga error de 2CXC
auditadas:
𝑃(1𝐸) = 𝑃(2𝐸) + 𝑃(1𝐸,2𝑁) + 𝑃(1𝑁,2𝐸)
4 3
4 8
8 4
12
32
32
𝑃(1𝐸) =
𝑥
+ 𝑥
+ 𝑥
=
+
+
12 11 12 11 12 11 132 132 132
76
19
𝑃(1𝐸) =
=
= 0.5757 ≡ 57.57%
132 33
5. Auditadas 3CXC. Cuál es la probabilidad de que por lo menos una
tenga error.
𝑃(1𝐸) = 𝑃(3𝐸) + 3𝑃(2𝐸,1𝑁) + 3𝑃(1𝐸,2𝑁)
4 3 2
4 3 8
4 8 7
𝑃(1𝐸) =
+ 3(
) + 3(
)=
12 11 10
12 11 10
12 11 10
24
288
672
984
41
+
+
=
=
= 0.7454 ≡ 74.54%
1320 1320 1320 1320 55
𝑃(1𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) = 1 − 𝑃(𝑆𝐸)
8 7 6
336
984
41
1− 𝑥 𝑥
=1−
=
=
12 11 10
1320 1320 55
EJERCICIOS:
1. De los estudiantes de una Institución, el 40% son varones y el 4%
son varones que estudian arte. Si se elige uno al azar y este
resulta ser un varón. Cuál es la probabilidad de que estudie arte?
V
36% A
𝑃
4%
60%
𝐴 𝑃(𝐴∩𝐵) 4% 1
( )=
=
= =0.10
𝑉
𝑃(𝐵) 40% 10
2.
Una urna contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas.
a. Si se sacan dos bolitas sin restitución. Cuál es la
probabilidad de que las 2 bolas sean blancas?
𝑁 =4+3 = 7
𝐵=4
𝑅=3
4 3 12 2
𝑃(2𝐵) = 𝑋 =
= = 0.2857 ≡ 28.57%
7 6 42 7
Otro Método.
𝐸
6
2
𝑆 = 𝐶(7,2) = 21,
𝐸 = 𝐶(4,2) = 6
𝑃(2𝐵) = =
=
𝑆 21 7
b. Probabilidad de que las dos bolitas sean rojas?
3 2
6
1
𝑃(2𝑅) = 𝑋 =
= = 0.1428 ≡ 14.28%
7 6 42 7
c. La probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda
roja?
4 3 12 2
𝑃(𝐵, 𝑅) = 𝑋 =
= = 0.2857 ≡ 28.57%
7 6 42 7
d. Se sacan dos bolitas con restitución. Cuál es la probabilidad
de que las dos sean blancas?
4 4 16
𝑃(2𝐵) = 𝑋 =
= 0.3265 ≡ 32.65%
7 7 49
e. Se sacan dos bolitas con restitución. Cuál es la probabilidad
de que las dos sean Rojas?
3 3
9
𝑃(2𝑅) = 𝑋 =
= 0.1836 ≡ 18.36%
7 7 49
f. Se sacan dos bolitas con restitución. Cuál es la primera sea
blanca y la segunda roja?
4 3 12
𝑃(𝐵, 𝑅) = 𝑋 =
= 0.2448 ≡ 24.48%
7 7 49
3. Tenemos dos urnas. La primera Urna 𝑈1 , contiene 8 bolitas
blancas y 2 negras y la urna 𝑈2 , contiene 3 bolitas blancas y 7
negras. Se elige una urna al azar y se saca una bolita de la urna
elegida. Si obtenemos un premio de $100.000 cuando la bolita
es blanca. Cuál es la probabilidad de ganar en este juego?
𝑃(𝐵 / 𝑈1)
B=8
1
2
𝑈1
N=2
𝑃(𝐵 / 𝑈2)
Urnas
1
2
B=3
𝑈2
N=7
Existen dos maneras de ganar el juego.
1. Si elige la 𝑈1 y saca la bolita Blanca.
1 8
8
2
𝑃(𝐵𝑈1) = 𝑋
=
= = 0.4 ≡ 40%
2 10 20 5
2. Si elige la 𝑈2 y saca la bolita Blanca.
1 3
3
𝑃(𝐵𝑈2) = 𝑋
=
= 0.15 ≡ 15%
2 10 20
El resultado de ganar con cualquiera de las urnas se suma.
8
3
11
𝑃(𝐺𝐵) = 𝑃(𝐵𝑈1) + 𝑃(𝐵𝑈2) =
+
=
= 0.55 ≡ 55%
20 20 20
3. La tabla nos indica la descripción de 200 personas que
entraron a un almacén de equipos de sonido, de acuerdo al
sexo y edad:
Hombre
Mujer
Total
< 30
60
50
110
> 30
80
10
90
Total
140
60
200
Determínese la:
1. Probabilidad de que una persona escogida
aleatoriamente del grupo sea un hombre menor de 30
años?
𝑃(𝐻 < 30) =
𝐸
60
3
=
=
= 0.3 ≡ 30%
𝑆 200 10
2.
Probabilidad de que al escoger una persona
aleatoriamente sea un hombre?
𝐸 140
7
𝑃(𝐻) = =
=
= 0.7 ≡ 70%
𝑆 200 10
3. Probabilidad de que una persona escogida
aleatoriamente sea menor de 30 años dado que es un
hombre?
𝐸
6
3
𝑃(< 30/𝐻) = =
= = 0.4285 ≡ 42.85%
𝑆 140 7
4. Probabilidad de que una persona escogida
aleatoriamente del grupo sea una mujer menor de 30
años?
𝐸
50
1
𝑃(𝑀 < 30) = =
= = 0.25 ≡ 25%
𝑆 200 4
5. Probabilidad de escoger aleatoriamente una persona y
sea mujer?
𝐸
60
3
𝑃(𝑀) = =
=
= 0.3 ≡ 30%
𝑆 200 10
6. Probabilidad de escoger aleatoriamente una persona y
sea menor de 30 años, dado que es una mujer?
𝐸 50 5
𝑃(< 30/𝑀) = =
= = 0.8333 ≡ 83.33%
𝑆 60 6
7. Probabilidad de escoger una persona mayor de 30
años?
𝐸
90
9
𝑃(> 30) = =
=
= 0.45 ≡ 45%
𝑆 200 20
ESPERANZA MATEMATICA.
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria
discreta, es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso
por el valor de dicho suceso.
𝑛
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑋𝑖 𝑃𝑖 = 𝑋1 𝑃1 + 𝑋2 𝑃2 +. . . . +𝑋𝑛 𝑃𝑛
𝑖=1
Ej. No1. Consideremos en una tabla 3el número de caras posibles que
pueden aparecer cuando se lanzan 3 monedas.
No
RESUL
CARAS
PROB
1
CCC
3
1/8
2
CCS
2
1/8
3
CSC
2
1/8
4
SCC
2
1/8
5
SSC
1
1/8
6
SCS
1
1/8
7
CSS
1
1/8
8
SSS
0
1/8
TOTAL
8/8
Organizando la tabla de frecuencias de repitencia del numero de
caras.
Frecue
Probabi
No
X Cara
XP(x)
1
2
3
4
Total
0
1
2
3
ncia
lidad
1
3
3
1
8
1/8
3/8
3/8
1/8
8/8
0*1/8
1*3/8
2*3/8
3*1/8
0
3/8
6/8
3/8
12/8
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑃(𝑥) = 1.5
El número de caras que aparecen en cada ensayo es 0, 1, 2, 3,
esperamos obtener un promedio de 1.5 caras por lanzamiento de las
3 monedas. Este es el llamado Esperanza Matemática.
El nombre de esperanza matemática y valor esperado tienen su
origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia
promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de
apuestas.
Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es
decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.
Ej. No2. Una caja contiene 3 bolitas negras y 7 blancas. Se saca una
bolita de la caja al azar; si esta es negra gana $500, pero si es blanca
pierde $300. Cuál es la esperanza matemática de este juego?
No
X Cantidad
P(x)
X.P(x)
1
500
3/10
1500/10
2
-300
7/10
-2100/10
-600/10
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑃(𝑥) = −60
La esperanza matemática de este juego para el jugador, es una
perdida promedio de $60.
Ej. No 3. Una caja contiene 4 bolitas rojas, 6 negras y 8 verdes. Si se
saca una bolita al azar de dicha caja:
a. Si esta es Roja, gana $3.000.
b. Si es Negra, gana $2.000.
c. Cuanto debería pagar Ud., si saca una bolita verde para
asegurar que el juego es equilibrado.
N = 4+6+8=18
N
Bolita
X Gana/Pierde
P(x)
XP(x)
1
Roja
3.000
4/18
12000/18
2
Negra
2.000
6/18
12000/18
3
Verde
X
8/18
8X/18
Total
18/18
La esperanza matemática para un juego equitativo es cero:
12000 12000 8𝑋
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑃(𝑥) =
+
+
=0
18
18
18
24000 8𝑋
+
=0
18
18
24000 + 8𝑋 = 0
8𝑋 = −24000
−24.000
𝑋=
= −3.000
8
Quiere decir que si ud. paga $3.000 cuando la bolita extraída es
verde, la esperanza matemática del juego es cero, por lo tanto Ni
pierde, ni gana.
Ej. No 4. Un fabricante de TV, utiliza un cierto tipo de componentes
electrónicas en el montaje de TV a color. Cada TV requiere de 6 tipos
distintos de componentes. Un componente defectuoso no puede ser
detectado hasta que el TV haya sido totalmente montado. El costo de
detección, reparación y reposición de un componente defectuoso es
de $ 15. El fabricante ha estado comprando estos componentes en
lotes de 100 a dos diferentes proveedores. El costo de compra por
lote al proveedor A es de $ 100 en tanto que el costo de compra por
lote al proveedor B es de $ 120. Basados en experiencias anteriores,
las calidades comparadas de los lotes comprados a los dos
proveedores son las siguientes:
PROVEEDOR A
No
P(X)
Paga
Xp(X)
Componentes
Defectuoso
Defectuosas
1
0.30
115
34.5
2
0.25
130
32.5
3
0.20
145
29
4
0.15
160
24
5
0.10
175
17.5
137.5
PROVEEDOR B
No
P(X)
Paga
XP(x)
Componentes
Defectuoso
Defectuosas
1
0.60
135
81
2
0.30
150
45
3
0.10
165
16.5
142.5
A que proveedor deben comprársele los componentes electrónicos
para minimizar el costo de estos?
El costo en cada lote A nos da:
100 + 1(15) = 115
100 + 2(15) = 100 + 30 = 130
100 + 3(15) = 100 + 45 = 145
100 + 4(15) = 100 + 60 = 160
100 + 5(15) = 100 + 75 = 175
El costo en cada lote B nos da:
120 + 1(15) = 120 + 15 = 135
120 + 2(15) = 120 + 30 = 150
120 + 3(15) = 120 + 45 = 165
Ej. No 5. Un comerciante estima las ventas diarias de un cierto tipo de
pan especial en la siguiente forma:
Venta
P(x)
X=4
X=5
X=6
xP(x)
0.50
100
85
70
50
42.5
35
4
0.40
100
125
110
40
50
44
5
0.10
100
125
150
10
12.5
15
6
1.00
100
105
94
total
El costo por unidad de hogaza de pan es $25 y el precio de venta $50.
El pan debe ser ordenado con un día de anticipación y cada unidad no
vendida se entrega a una Institución de Beneficencia al precio de $10
por unidad. Cuantas unidades debe ordenar el comerciante para
maximizar su utilidad esperada diariamente?
Se deben realizar 5 órdenes para que la utilidad sea maximizada y
corresponde a $105.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.
Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los valores
posibles de una variable aleatoria, sea por inclusión en una lista o por
función matemática.
Ej. No1. La tabla nos enseña el número de camionetas que fueron
solicitadas en una agencia de alquiler durante un periodo de 50 días.
No
X
Demand
1
2
3
4
5
6
DIAS
3
3
4
7
5
12
6
14
7
10
8
4
TOTAL
50
La media aritmética se
Matemática.
PROBABILIDA
D p(X)
XP(X)
X2
X2P(x)
3/50 = 0.06
0.18
9
0.54
7/50 = 0.14
0.56
49
2.24
12/50 = 0.24
1.20
25
6.00
14/50 = 0.28
1.68
36 10.08
10/50 = 0.20
1.40
49
9.80
4/50 = 0.08
0.64
64
5.12
1.00
5.66
33.78
llama, valor esperado o Esperanza
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑋𝑃(𝑋) = 5.66
La varianza de una variable aleatoria 𝑉(𝑋) , se calcula con respecto a
𝐸(𝑋) como la media de la distribución de probabilidad:
𝑉(𝑋) = ∑ 𝑋 2 𝑃(𝑋) − (𝐸(𝑋) )2
𝑉(𝑋) = 33.78 − (5.66)2 = 33.78 − 32.0356 = 1.7444
𝑆 = √𝑉(𝑋) = √1.7444 = 1.3207
La desviación estándar de la muestra.
DISTRIBUCION BINOMIAL.
Se emplea para determinar la probabilidad de obtener un número
designado de éxitos en un proceso.
Necesita conocer:
a. x = Numero de éxitos
b. n = Numero de ensayos y observaciones.
c. P = Probabilidad de éxitos en cada ensayo.
Se calcula por medio de la expresión:
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑛,𝑥) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
𝑛!
𝑃(𝑥) =
𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
Ej. No1. La probabilidad de que un presunto cliente escogido
aleatoriamente haga una compra es de 0.20. Si un vendedor visita 6
presuntos clientes, la probabilidad de que haga exactamente 4 ventas
será?
X=4
n=6
p = 0.20
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑛,𝑥) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
𝑃(𝑥=4) = 𝐶(6,4) (0.20)4 (1 − 0.20)6−4
𝑃(𝑥=4) = 15(0.20)4 (0.80)2
𝑃(𝑥=4) = 15(0.0016)(0.64) = 0.0153
La probabilidad de que el vendedor haga exactamente 4 ventas es de
0.0153. El porcentaje de hacer 4 ventas, de 6 visitas es de 1.53%.
Ej. No 2. La probabilidad de que el vendedor haga cuatro o más
ventas?
X=4
n=6
p = 0.20
𝑃(𝑋≥4) = 𝑃(𝑋=4) + 𝑃(𝑋=5) + 𝑃(𝑋=6)
𝑃(𝑋≥4) = 𝐶(6,4) (0.20)4 (1 − 0.20)6−4 + 𝐶(6,5) (0.20)5 (1 − 0.20)6−5
+ 𝐶(6,6) (0.20)6 (1 − 0.20)6−6
𝐶(6,4) (0.20)4 (0.80)2 + 𝐶(6,5) (0.20)5 (0.80)1 + 𝐶(6,6) (0.20)6 (0.80)0
𝑃(𝑋≥4) = 0.0153 + 0.001536 + 0.000064 = 0.01696
La probabilidad de que el vendedor haga 4 ventas o más es de
0.01696. El porcentaje de hacer mas de 4 ventas, de 6 visitas es de
1.69%.
Ej. No 3. Si la probabilidad de que un presunto cliente escogido
aleatoriamente haga una compra es 0.20, la probabilidad de que un
vendedor que visita a 15 presuntos clientes, haga menos de tres
ventas es?
p = 0.20
n = 15
X=2
𝑃(𝑋<3) = 𝑃(𝑋≤2) = 𝑃(𝑋=2) + 𝑃(𝑋=1) + 𝑃(𝑋=0)
𝑃(𝑋<3)
𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑛,𝑥) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
= 𝐶(15,2) 0.22 (1 − 0.2)15−2 + 𝐶(15,1) 0.21 (1 − 0.2)15−1
+ 𝐶(15,0) 0.20 (1 − 0.2)15−0
𝑃(𝑋<3) = 𝐶(15,2) (0.20)2 (0.80)13 + 𝐶(6,5) (0.20)1 (0.80)14
+ 𝐶(6,6) (0.20)0 (0.80)15
𝑃(𝑋<3) = 0.23089 + 0.13194 + 0.03518 = 0.39801
El valor esperado o la media aritmética es:
𝐸(𝑋) = 𝑛. 𝑝
La varianza:
𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
La desviación estándar.
750
𝑆 = √𝑉(𝑋) = √𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Ej. No 4. El numero de ventas esperadas (como un promedio a largo
plazo) y la varianza asociada con las visitas a 15 presuntos clientes.
P = 0.20
n = 15
𝐸(𝑋) = 𝑛. 𝑝 = 15(0.20) = 3 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠
𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 15(0.20)(1 − 0.20) = 2.4
𝑆 = √𝑉(𝑋) = √𝑛𝑝(1 − 𝑝) = √2.4 = 1.5491
DISTRIBUCION NORMAL.
Llamada distribución Gaussiana o de Gauss.
Es una distribución de probabilidad de variable continua de un
fenómeno real, que puede ser de:
Características de variables corporales o morfológicas. Estatura, peso.
Características sociales. Aceptación, Índice de confianza.
Características sociológicas. Consumo. Etc.
Función de densidad
donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la
varianza)
Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que:
1. sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1.
2. Variables asociadas a fenómenos naturales que sigue un modelo
normal de características:
i. Morfológicos. Talla, peso, diámetro, perímetros.
ii. Fisiológicas. Cantidades suministradas de droga, fármacos.
iii. Sociológicas. Evaluaciones, notas, consumos.
iv. Psicológicas. Grado de aceptación, satisfacción.
v. Contables. Promedios, ventas, préstamos, cantidades.
Es una probabilidad continua que es simétrica como mesocurtica.
𝑓(𝑋) =
1
√2𝜋𝜎
𝑒
−|
(𝑥−𝜇)2
|
2𝜎 2
Donde los valores de las constantes y las variables:
𝜋 = 3.1416
𝑒 = 2.7183
𝜇 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎
𝜎 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟
1
𝜎
𝑧
𝑥̅ − 𝜇
1(𝑥̅ − 𝜇)
𝑧=
, 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠
𝜎
Ej. No 1. Un industrial que recibe una remesa grande de bombillos
eléctricos de 100 Watios. Suponiendo que la vida útil promedio de
cada bombillo es de 900 horas, con una desviación estándar de 50
horas.
𝑋̅ = 900 ℎ𝑟𝑠,
𝑆 = 50 ℎ𝑟𝑠
-3s
-2s
-1s
0
1s
2s
3s
900
950
1000
1050
-2s
800
-1s
850
0
900
1s
950
2s
1000
3s
1050
𝑃(𝑋 ≤ 940) = 𝑃(𝑍 ≤ 0.80) = 0.7881 ≡ 78.81%
CONCLUSION: El 78.81% de las bombillas tienen una vida útil
promedio inferior a 940 hrs.
El numero de bombillas que cumplen la condición de tener menos de
940 hrs promedio de duración son:
NB = NP = (25.000)(0.7881) = 19.702.5
En el pedido se podrán encontrar 19.703 bombillas con una vida útil
inferior a 940 hrs.
2. Qué porcentaje de bombillas tiene duración mayor o igual a 820
hrs?
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋𝑖 = 820 𝐻𝑟𝑠. Para
encontrar el área correspondiente a este valor en la campana de
Gauss.
𝑋𝑖 − 𝑋̅ 820 − 900
80
𝑍=
=
=−
= −1.60
𝑆
50
50
A=0.9452
-3s
750
Grafica de la campana de Gauss
Importancia para la inferencia estadística:
1. Las medidas producidas en muchos procesos aleatorios siguen
esta distribución.
2. Las probabilidades normales pueden utilizarse generalmente
para aproximar otras distribuciones.
3. Las distribuciones de estadística tales como la media de la
muestra y la proporción de la muestra siguen la distribución
normal, sin tener en cuenta la distribución de la población.
850
A=0.7881
-3s
750
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución
normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de
densidad está dada por:
800
Según la distribución de la grafica habrá bombillas que duraran 950 o
1.000 horas y otras que duraran 1.050 o algunas otras menos, tales
como 850, 800 horas, etc.
1. Qué porcentaje de bombillas tienen una duración de menos de
940 horas? Supóngase que son 25.000 bombillas.
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋𝑖 = 940 𝐻𝑟𝑠. Para
encontrar el área correspondiente a este valor en la campana de
Gauss.
𝑋𝑖 − 𝑋̅ 940 − 900 40
𝑍=
=
=
= 0.80
𝑆
50
50
-2s
800
-1s
850
0
900
1s
950
2s
1000
3s
1050
𝑃(𝑋 ≥ 820) = 𝑃(𝑍 ≥ −1.60) = 1 − 0.0548 ≡ 0.9452 = 94.52%
CONCLUSION: El 94.52% de las bombillas tienen una vida útil
promedio superior a 820 hrs.
El numero de bombillas que cumplen la condición de tener más de
820 hrs promedio de duración son:
NB = NP = (25.000)(0.9452) = 23.630
En el pedido se podrán encontrar 23.630 bombillas con una vida útil
superior o igual a 820 hrs.
3. Qué porcentaje de bombillas tienen una duración de menos de
865 horas?
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋𝑖 = 865 𝐻𝑟𝑠. Para
encontrar el área correspondiente a este valor en la campana de
Gauss.
𝑋𝑖 − 𝑋̅ 864.5 − 900
35.5
𝑍=
=
=−
= −0.71
𝑆
50
50
A=0.23885
-3s
750
-2s
800
-1s
850
0
900
1s
950
2s
1000
3s
1050
𝑃(𝑋 < 865) = 𝑃(𝑍 < −0.71) = 0.23885 ≡ 23.88%
CONCLUSION: El 23.88% de las bombillas tienen una vida útil
promedio inferior a 865 hrs.
El numero de bombillas que cumplen la condición de tener menos de
865 hrs promedio de duración son:
NB = NP = (25.000)(0.23885) = 5.971.25 = 5.971
En el pedido se podrán encontrar 5.971 bombillas con una vida útil
inferior a 865 hrs.
4. Qué porcentaje y el numero de bombillas tiene duración mayor
a 990 hrs?
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋𝑖 = 990 𝐻𝑟𝑠. Para
encontrar el área correspondiente a este valor en la campana de
Gauss.
𝑋𝑖 − 𝑋̅ 990.5 − 900 90.5
𝑍=
=
=
= 1.81
𝑆
50
50
A=0.03515
-3s
750
-2s
800
-1s
850
0
900
1s
950
2s
1000
3s
1050
𝑃(𝑋 > 990) = 𝑃(𝑍 > 1.81) = 1 − 0.96485 ≡ 0.03515 = 3.51%
CONCLUSION: El 3.51% de las bombillas tienen una vida útil
promedio superior a 990 hrs.
El numero de bombillas que cumplen la condición de tener más de
990 hrs promedio de duración son:
NB = NP = (25.000)(0.03515) = 878.75 = 879
En el pedido se podrán encontrar 879 bombillas con una vida útil
superior o igual a 990 hrs.
5. Qué probabilidad, porcentaje y numero de bombillas tiene
duración mayor o igual a 870 hrs y menor igual a 985 hrs?
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋1 = 870 𝐻𝑟𝑠 y
para 𝑋2 = 985 𝐻𝑟𝑠. Para encontrar el área correspondiente a
este valor en la campana de Gauss.
𝑋1 − 𝑋̅ 870 − 900
30
𝑍1 =
=
=−
= −0.60
𝑆
50
50
̅
𝑋2 − 𝑋 985 − 900 85
𝑍2 =
=
=
= 1.70
𝑆
50
50
-2s
800
-1s
850
0
900
1s
950
2s
1000
A=0.15866
-2s
40
-3s
35
3.
3s
1050
𝑃(870 ≤ 𝑋 ≤ 985) = 𝑃(−0.6 ≤ 𝑍 ≤ 1.7) =
𝐴 = 0.95543 − 0.27425 = 0.68118 = 68.11
CONCLUSION:
La probabilidad de que una bombilla escogida aleatoriamente tenga
una duración, comprendidas en el intervalo de vida útil de [870; 985]
hrs es de 0.68118.
El 68.11% de las bombillas tienen una vida útil promedio
comprendida entre 870 y 985 hrs.
El numero de bombillas que cumplen la condición de tener vida útil
[870; 985] hrs promedio de duración son:
NB = NP = (25.000)(0.68118) = 17.029.60 =17.030
En el pedido se podrán encontrar 17.030 bombillas con una vida útil
comprendida en el intervalo [870; 985] hrs.
El intervalo de bombillas con promedio de duración entre el intervalo
[870; 985] hrs es de:
𝐿1 = 𝑁𝑝1 = (25.000)(0.27425) = 6.856.25
𝐿2 = 𝑁𝑝2 = (25.000)(0.95543) = 23.635.75
[6.856.25; 23.635.75]
Ej. No2. La distribución normal de las edades de los trabajadores de
una industria, con media de 50 años y una desviación estándar de la
población de 5 años.
1. Cuál es el porcentaje de trabajadores cuyas edades están entre
50 y 52.5 años?
𝑃(45 ≤ 𝑋 ≤ 52.5)
𝑋̅ = 50 𝑎ñ𝑜𝑠,
𝑆 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋1 = 45 𝑎ñ𝑜𝑠 y para
𝑋2 = 52.5 𝑎ñ𝑜𝑠. Para encontrar el área correspondiente a este
valor en la campana de Gauss.
𝑋1 − 𝑋̅ 45 − 50
5
𝑍1 =
=
= − = −1.0
𝑆
5
5
𝑋2 − 𝑋̅ 52.5 − 50 2.5
𝑍2 =
=
=
= 0.5
𝑆
5
5
-3s
35
A=0.27425
A=0.95543
A=0.27425
-3s
750
𝑃(45 ≤ 𝑋 ≤ 52.5) = 𝑃(−1.0 ≤ 𝑍 ≤ 0.5) =
𝐴 = 0.69146 − 0.15866 = 0.5328 = 53.28%
CONCLUSION.
El 53.28% de los trabajadores de la empresa están en una edad
promedio comprendida en el intervalo: [45; 52.5] años.
2. Cuál es la probabilidad de que un trabajador cualquiera no sea
mayor a 47 años?
𝑃(𝑋 ≤ 47)
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋1 = 47 𝑎ñ𝑜𝑠. Para
encontrar el área correspondiente a este valor en la campana de
Gauss.
𝑋𝑖 − 𝑋̅ 47 − 50
3
𝑍1 =
=
= − = −0.6
𝑆
5
5
𝑃(𝑋 ≤ 47) = 𝑃(𝑍 ≤ −0.6) = 0.27425 = 27.42%
CONCLUSION:
El 27.42% de los trabajadores de la empresa tienen una edad menor o
igual a 47 años.
Hay una probabilidad de 0.27425 de que un trabajador cualquiera
tenga una edad inferior o igual a 47 años.
A=0.69146
-1s
45
0
50
1s
55
2s
60
3s
65
-2s
40
-1s
45
0
50
1s
55
2s
60
Cuál es la probabilidad de que un trabajador tenga edad
comprendida entre 41 y 58 años?
𝑃(41 ≤ 𝑋 ≤ 58)
Hallamos las unidades estandarizadas, para 𝑋1 = 41 𝑎ñ𝑜𝑠 y para
𝑋2 = 58 𝑎ñ𝑜𝑠. Para encontrar el área correspondiente a este
valor en la campana de Gauss.
𝑋1 − 𝑋̅ 870 − 900
30
𝑍1 =
=
=−
= −0.60
𝑆
50
50
̅
𝑋2 − 𝑋 985 − 900 85
𝑍2 =
=
=
= 1.70
𝑆
50
50
A=0.27425
-3s
35
4.
3s
65
-2s
40
A=0.95543
-1s
45
0
50
1s
55
2s
60
3s
65
𝑃(870 ≤ 𝑋 ≤ 985) = 𝑃(−0.6 ≤ 𝑍 ≤ 1.7) =
𝐴 = 0.95543 − 0.27425 = 0.68118 = 68.11
Cuál es el intervalo de edad para una población distribuida
simétricamente con relación a la media aritmética, del 80%.
A=0.10000
A=0.90000
80%
-3s
-2s
-1s
43.6
0
1s
56.4
2s
3s
Este porcentaje equivale a una probabilidad de 0.8, según el área
en la campana de Gauss.
En los extremos quedan 2 áreas iguales de 10%, equivalente al
0.1 de probabilidad.
Según la tabla para:
A1 = 0.1 Entonces el valor de Z1 = -1.28.
A2 = 0.9. Entonces el valor de Z2 = 1.28. Para estos valores
hallamos los límites de los extremos Xi.
Como 𝑋̅ = 50,
𝑆=5 y Z
𝑋1 − 𝑋̅
𝑍=
𝑆
Despejamos y obtenemos que: 𝑋𝑖 = 𝑋̅ + 𝑆𝑍
Si Z1 = -1.28.
𝑋1 = 50 + (5)(−1.28)
𝑋1 = 50 − 6.4 = 43.6
Si Z2 = +1.28.
𝑋1 = 50 + (5)(+1.28)
𝑋1 = 50 + 6.4 = 56.4
El intervalo de las edades para el 80% de la población
simétricamente distribuida es:
43.6 ≤ 𝑋𝑖 ≤ 56.4
5.
O escrito de manera equivalente:
[43.6; 56.4] 𝑎ñ𝑜𝑠
Si el 20% de los trabajadores están bajo una cierta edad. Cual es
esta edad?
Para la tabla tomamos una Área de la campana de A = 0.8500 y las
unidades tipificadas correspondientes son Z = 1.03.
𝑋𝑖 = 𝑋̅ + 𝑆𝑍 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑋̅
𝑋̅ = 𝑋𝑖 − 𝑆𝑍
𝑋̅ = 112 − (4.25)(1.03)
𝑋̅ = 107.62𝑔𝑟
A=0.20000
2.
-3s
35
-2s
40
-1s
45
0
50
1s
55
2s
60
3s
65
El 20% de los empleados corresponden a una probabilidad de
0.20 y en la campana de Gauss, representa una área de 0.20.
A = 0.20, según la tabla el Z correspondiente es Z = -0.85.
Hallamos el valor de la edad.
𝑋1 = 𝑋̅ + 𝑆𝑍
𝑋1 = 50 + (5)(−0.85)
𝑋1 = 50 − 4.25
𝑋1 = 45.75 𝑎ñ𝑜𝑠
CONCLUSION:
Alrededor del 20% de los trabajadores tienen menos de 45.75
años.
Ej.: Si el 20% lo tomamos al final de la campana?
El área de la grafica según la tabla corresponde al 0.80 y el valor
correspondiente Z = 0.85
El 20% de los trabajadores está por encima de cierta edad.
A=0.27425
-3s
35
-2s
40
-1s
45
0
50
1s
55
2s
60
𝑋1 = 𝑋̅ + 𝑆𝑍
𝑋1 = 50 + (5)(0.85)
𝑋1 = 50 + 4.25
𝑋1 = 54.25 𝑎ñ𝑜𝑠
3s
65
CONCLUSION:
Alrededor del 20% de los trabajadores tienen una edad superior
a 54.25 años.
Ej. No3. En un regimiento de soldados la estatura media es de 170
cm, si el 10% de estos soldados miden más de 175 cm. Suponiendo
que las estaturas de los soldados de este regimiento están
distribuidas normalmente. Cuál es la desviación estándar?
𝑋̅ = 170 𝑐𝑚
El 20% de los trabajadores está por encima de cierta edad.
A=0.90000
-3s
-2s
-1s
0
170
1s
2s
A=0.8500
-3s
-2s
-1s
0
170
1s
2s
Ej. No 5. Los pesos de 30 estudiantes de una Universidad están
especificados en la siguiente tabla; con edad promedio de 25 años y
una estatura de 172 cm. Se desea realizar un estudio antropométrico
de cada uno de ellos y buenas condiciones de salud para implementar
programas de atención a los Universitarios.
Hallar: Media aritmética y desviación estándar.
̅
̅ )𝟐
No
PESO
𝑿𝒊 − 𝑿
(𝑿𝒊 − 𝑿
1
52
-23,17
536,69
2
60
-15,17
230,03
3
75
-0,17
0,03
4
100
24,83
616,69
5
93
17,83
318,03
6
98
22,83
521,36
7
59
-16,17
261,36
8
72
-3,17
10,03
9
65
-10,17
103,36
10
64
-11,17
124,69
11
73
-2,17
4,69
12
79
3,83
14,69
13
76
0,83
0,69
14
75
-0,17
0,03
15
64
-11,17
124,69
16
63
-12,17
148,03
17
62
-13,17
173,36
18
60
-15,17
230,03
19
53
-22,17
491,36
20
55
-20,17
406,69
21
56
-19,17
367,36
22
89
13,83
191,36
23
86
10,83
117,36
24
88
12,83
164,69
25
92
16,83
283,36
26
90
14,83
220,03
27
91
15,83
250,69
28
98
22,83
521,36
29
103
27,83
774,69
30
64
-11,17
124,69
𝑋̅
3s
𝑃(𝑋 ≥ 175) = 0.10
Para la tabla tomamos una Área de la campana de A = 0.9000 y las
unidades tipificadas correspondientes son Z = 1.28.
𝑋 − 𝑋̅
𝑍=
, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑆
𝑆
̅
𝑋 − 𝑋 175 − 170
𝑆=
=
= 3.9062
𝑍
1.28
Ej. No4. En una empresa de empaques de sal de cocina, se envasan en
recipientes cuyo peso neto tiene distribución normal de 4.25 gr. Si el
15% de los frascos tiene un peso mayor a 112 gr.
1. Cuál es el peso medio de ellos?
𝑋̅ =?
𝑆 = 4.25𝑔𝑟
𝑋1 = 112𝑔𝑟
El 20% de los trabajadores está por encima de cierta edad.
3s
Los del 15% menos a que peso equivalen?
𝑋𝑖 = 𝑋̅ + 𝑆𝑍
𝑋𝑖 = 107.62 − (1.03)(4.25)
𝑋𝑖 = 103.24 𝑔𝑟
2.255
75,17
0,00
S
1.
7.332,17
244,41
15,63
La probabilidad y cantidad de estudiantes con peso inferior a 60
Kgr., para establecer un programa por intermedio de la EPS, en
convenio con la Institución de P y P.
2. La probabilidad de que un estudiante tenga peso superior a 87.
3. Si el peso ideal para los estudiantes, según rangos de la Sociedad
Internacional de Salud (SIS) está en el intervalo 58 ≤ 𝑥 ≤ 90
Kgr.: Cual es la probabilidad de escoger aleatoriamente un
estudiante en este peso, para su estudio?
4. Si los obesos o llamados con riesgos de salud es el 15% de los
estudiantes. Cual sería este peso?
5. La población distribuida simétricamente con relación a la media
aritmética, equivalente al 90% a que intervalo corresponde?
EJERCICIOS:
1. El Gerente de producción de una fabrica piensa que la vida útil
de una maquina K está distribuida normalmente, con una media
de 3000 hrs. Si además, el gerente piensa que hay una
probabilidad 0.50 de que la maquina dure menos de 2632 o más
de 3.368 hrs? Cuál será su desviación estándar?
El 50% también es de que la maquina K dure entre [2632; 3368]
A = 0.2500, entonces Z = -0.67,
𝑋̅ = 3000
Si X = 2632 evaluamos en:
El 20% de los trabajadores está por encima de cierta edad.
A=0.27425
0
2632
2.
3368
𝑋1 = 𝑋̅ + 𝑆𝑍
2632 = 3000 + (−0.64)(𝑆)
2632 = 3000 − 0.64𝑆
0.64𝑆 = 3000 − 2632
0.64𝑆 = 368
368
𝑆=
= 549.25
0.64
En la ciudad de Pereira se ha realizado un estudio del
comportamiento de la temperatura promedio ambiente, y se
estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una
distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°.
Calcular:
Recuerde que los datos del problema son:
𝑥̅ = 23º 𝑠 = 5
1. El número de días del mes en los que se espera alcanzar
temperaturas de más de 21°. 𝑃(𝑋 > 21º)
Hallamos las unidades estandarizadas.
𝑧=
𝑥𝑖 −𝑥̅
𝑠
=
21−23
-3
8
-2
13
5
= −0.4 . 𝑃(𝑍 > −0.4)
0.3446
-4
3
-1 -0.4 0
18
23
1
28
2
33
3
38
4
43
El área solicitada es la rayada con rojo, o sea 1 − P(Z > −0.4) =
1 − 0.3446 = 0.6554 .
Como el mes tiene 30 días comercialmente, se da que:
30x0.6554 = 19.66 días = 20 días aproximados.
CONCLUSION: Durante 20 días del mes de Junio tendremos la
posibilidad de tener una temperatura promedio superior a 21º.
Durante el 65.54% de días del mes de Junio tendremos temperatura
promedio superior a 21º
2. El número de días del mes en los que se espera alcanzar
menos de 27°. 𝑃(𝑋 > 27º)
Hallamos las unidades estandarizadas.
𝑧=
𝑥𝑖 −𝑥̅
𝑠
=
27−23
5
= 0.8 . 𝑃(𝑍 > 0.8)
El área solicitada es la rayada con rojo, o sea P(Z > 0.8) =
0.7881 .
Como el mes tiene 30 días comercialmente, se da que:
30x0.7881 = 23.64 días = 24 días aproximados.
0.7881
-4
3
-3
8
-2
13
-1
18
0
23
0.8 1
28
2
33
3
38
4
43
CONCLUSION: Durante 20 días del mes de Junio tendremos la
posibilidad de tener una temperatura promedio superior a 21º.
Durante el 65.54% de días del mes de Junio tendremos temperatura
promedio superior a 21º.
3. El número de días del mes de Junio en los que se espera
alcanzar máximas 21° y 27°. 𝑃(21º < 𝑋 < 27º)
Hallamos las unidades estandarizadas.
𝑧1 =
𝑧2 =
𝑥𝑖 −𝑥̅
𝑠
𝑥𝑖 −𝑥̅
𝑠
=
=
21−23
5
27−23
5
= −0.4 . Representa una área 0.3446
= 0.8
Representa una área 0.7881
0.3446
0.7881
-4
3
-3
8
-2
13
-1 -0.4 0
18
23
0.8 1
28
2
33
3
38
4
43
El área solicitada es la rayada con rojo, o sea la comprendida
entre los dos valores de z P(−0.4 < Z < 0.8) = 0.7881 −
0.3446 = 0.4435. El equivalente de 44.35%
Como el mes tiene 30 días comercialmente, se da que:
30x0.4435 = 13.30 días = 13 días aproximados.
CONCLUSION: Durante 13 días del mes de Junio tendremos la
posibilidad de tener una temperatura promedio entre 21º y 28º.
Durante el 44.35% de días del mes de Junio tendremos temperatura
promedio entre 21º y 28º.
4. El número de días del mes de Junio en los que se espera
alcanzar máximas entre 18.5° y 31.6°. 𝑃(18.5º < 𝑋 <
31.6º)
Hallamos las unidades estandarizadas.
𝑧1 =
𝑧2 =
𝑥𝑖 −𝑥̅
𝑠
𝑥𝑖 −𝑥̅
𝑠
=
=
18.6−23
5
31.6−23
5
= −0.88 . Representa una área 0.1894
= 1.72
Representa una área 0.9573
0.1894
0.9573
-4
3
-3
8
-2
13
-1-0.88 0
18
23
1 1.72 2
28
33
3
38
4
43
El área solicitada es la rayada con rojo, o sea la comprendida
entre los dos valores de z P(−0.88 < 𝑍 < 1.72) = 0.9573 −
0.1894 = 0.7679. El equivalente de 76.79%
Como el mes tiene 30 días comercialmente, se da que:
30x0.7679 = 23.03 días = 23 días aproximados.
CONCLUSION: Durante 23 días del mes de Junio tendremos la
posibilidad de tener una temperatura promedio entre 18.6º y 31.6º.
Durante el 76.79% de días del mes de Junio tendremos temperatura
promedio entre 18.5º y 31.6º.
5. El número de días del mes en los que se espera alcanzar
una temperatura de más de 40°.
6. El número de días del mes en los que se espera alcanzar
una temperatura de menos de 30°.
7. El número de días del mes en los que se espera alcanzar
una temperatura máxima entre 10.2° y 28.7°.
El número de días del mes en los que se espera alcanzar una
temperatura de menos de 30°, pero mayor que 15.3°.
3. Un congresista de nuestro país decide en su proceder de apoyar
o no un proyecto sobre educación pública, con los resultados de
una encuesta hecha a unos ciudadanos de una población de 200
de los posibles votantes. El congresista apoyara el proyecto solo
si por lo menos 100 de los votantes están a favor de él.
a. Cuál es la probabilidad de que el congresista apoye el
proyecto si solo el 45% de todos los votantes están a favor
de él?
n = 200
p = 0.45 Distribución binomial.
Es una aproximación de la distribución normal
La media aritmética es:
𝑋̅ = 𝜇 = 𝑛𝑝 = 200(0.45) = 90 𝑉𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
La desviación estándar.
𝑆 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝) = √200(0.45)(1 − 0.45) = 7.03
CONCLUSION: El congresista apoyara el proyecto solo cuando
100 o más (100, 101, 102, 103, …….., 2000) votantes estén a
favor de él.
Hallamos las unidades estandarizadas para 𝑋1 = 100 votantes,
que es el mínimo de votantes que debe haber votado por él.
A=0.92220
-3s
-2s
-1s
0
90
1s
2s
3s
𝑋𝑖 − 𝑋̅ 100 − 90
=
= 1.42
𝑆
7.03
Z = 1.42, entonces el área es A = 0.92220
𝑃(𝑋𝑖 ≥ 100) = 𝑃(𝑍 ≥ 1.42) = 1 − 0.92220 = 0.0778
CONCLUSION: La probabilidad de que el congresista apoye el
proyecto es 0.0778.
Existe el 7.78% de posibilidades que el congresista apoye el proyecto.
b. Cuál es la probabilidad de que el congresista no apoye el
proyecto, si el 52% de todos los votantes están a favor de
él?
𝑍=
n = 200
p = 0.52
Distribución Binomial.
La media aritmética.
𝑋̅ = 𝜇 = 𝑛𝑝 = 200(0.52) = 104 𝑉𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
La desviación estándar.
𝑆 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝) = √200(0.52)(1 − 0.52) = 7.06
CONCLUSION: El congresista no apoyara el proyecto solo cuando
el numero de congresistas que apoyan el proyecto es menos de
100 o más (99, 98, 97, 96, …….., 1) votantes.
Hallamos las unidades estandarizadas para 𝑋1 = 99.5 votantes,
que es el mínimo de votantes que debe haber votado por él.
A=0.26435
-3s
-2s
-1s
0
104
1s
2s
3s
𝑋𝑖 − 𝑋̅ 99.5 − 90
=
= −0.63
𝑆
7.06
Z = -0.63, entonces el área es A = 0.26435
𝑃(𝑋𝑖 < 100) = 𝑃(𝑍 < −0.63) = 0.26435
CONCLUSION: La probabilidad de que el congresista no apoye el
proyecto de educción es 0.26435.
Existe el 26.43% de posibilidades que el congresista no apoye el
proyecto.
4. La probabilidad de que un riflero de en el blanco con un tiro es
0.4.
a. Cuál es la probabilidad de que falle en 4 tiros consecutivos?
p = 0.4
n=4
q = 1 – p = 1 – 0.4 = 0.6
𝑃(𝑥 = 4) = 𝑃(4) + 𝑃(3) + 𝑃(2) + 𝑃(1)
𝑃(4) = 𝑞𝑛 = (0.6)4 = 0.1296
Otra forma de resolverlo
𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶(4,4) 0.64 (1 − 0.6)0
b. Cuál es la probabilidad de que el deportista de en el blanco
al menos una vez en 4 tiros consecutivos.
𝑃(1𝐵) = 𝑃(1B) + P(2B) + P(3B) + P(4B)
𝑛=4
𝑋=1
𝑝 = 0.4
𝑃 = 𝐶(𝑛,𝑋) 𝑝 𝑋 (1 − 𝑝)𝑛−𝑋
𝑃(1𝐵) = 𝐶(4,1) 0.41 (1 − 0.4)4−1 + 𝐶(4,2) 0.42 (1 − 0.4)4−2 +
𝐶(4,3) 0.43 (1 − 0.4)4−3 + 𝐶(4,4) 0.44 (1 − 0.4)4−4
𝑍=
𝑃(1𝐵) = 4(0.4)1 (0.6)3 + 6(0.4)2 (0.6)2 + 4(0.4)3 (0.6)1
+ 1(0.4)4 (0.6)0
𝑃(1𝐵) = 0.3456 + 0.3456 + 0.1536 + 0.0256 = 0.8704
c. Cuantos tiros debe disparar para tener una seguridad
aproximada de 0.9517 de dar en el blanco por lo menos 1
vez.
La probabilidad de que las falle todas es 1 – 0.95.
𝑃(𝑋) = (1 − 𝑝)𝑛 = 0.05
(1 − 0.4)𝑛 = 0.05
(0.6)𝑛 = 0.05
log 0.6𝑛 = log 0.05
𝑛 log 0.6 = log 0.05
log 0.05 −1.3010
𝑛=
=
= 5.86
log 0.6
−0.2218
EJERCICIO No 1.
Qué pasaría si los dados están identificados posiblemente con un
color, en el cual uno es verde y el otro es rojo.
1. Cuál sería el espacio muestral.
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ………(6,6)} = 36
2. Probabilidad de que la suma sea 6.
E={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5
𝐸
5
𝑃(𝐴) = =
= 0.1388 ≡ 13.88%
𝑆 36
3. Probabilidad de que la suma de los dados sea 5.
E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4
𝐸
4
𝑃(𝐴) = =
= 0.1111 ≡ 11.11%
𝑆 36
4. Probabilidad de que ambos sean iguales (pares o cenas).
E = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} = 6
𝐸
6
𝑃(𝐴) = =
= 0.1666 ≡ 16.66%
𝑆 36
5. Probabilidad de que la suma sea 7.
E= {(1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6
𝐸
6
𝑃(𝐴) = =
= 0.1666 ≡ 16.66%
𝑆 36
6. La probabilidad de que la suma de los dados sea par.
E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5),
(4,2), (4,3), (4,5), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} = 18
𝐸 18
𝑃(𝐴) = =
= 0.5000 ≡ 50%
𝑆 36
7. La probabilidad de que los dos dados sean números
impares.
E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3),
(5,5)} = 10
𝐸 10
𝑃(𝐸) = =
= 0.2777 ≡ 27.77%
𝑆 36
8. La probabilidad de que uno de los dados sea un número
impar.
E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,1),
(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)} = 27
𝐸 27
𝑃(𝐸) = =
= 0.7500 ≡ 75%
𝑆 36
9. Compare los resultados y que concluye.
Diferentes resultados.
EJEMPLO No 6. Selecciónese una carta al azar de una baraja Española
corriente de 52 cartas. Determínese la probabilidad de:
1. Que al sacar una carta sea una espada. Evento A
2. Que sea una figura, J, Q, K. Evento B
3. Hallar la P(A) - P(B) - P(AUB) - P(A∩B)
El evento A = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }. Tenemos que son
13 cartas diferentes de espadas, de un total de 52 cartas de la baraja.
P(A) =
13
52
=
1
4
= 0.25 = 25%
El evento B = {Que sea una figura}. Las figuras que se encuentran en
la baraja son:
ESPADAS: J Q K
COPAS: J Q K
OROS: J Q K
BASTOS: J Q K
El total de cartas son 12 posibles, de un total de 52 cartas.
P(B) =
12
52
=
3
13
= 0.2307 = 23.07%
A∩B = {Que la carta sea una Espada y Figura}. Son un total de 3 cartas
de 52 posibles.
P(A∩B) =
3
52
= 0.0576 = 5.76%
AUB = {Sea Espada o Figura}.
ESPADA: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
OROS: J, Q, K
ESPADAS: J, Q, K
BASTOS: J, Q, K
Hay un total de 22 posibilidades de un total de 52 cartas.
P(AUB) =
22
52
=
11
26
= 0.4230 = 42.30%
EJERCICIOS:
1. Sean 2 Boliches escogidos al azar de un grupo de 12, de los
cuales 4 de estos son o están en mal estado y sea:
A={Dos boliches en mal estado} = 2
B={Dos boliches en buen estado} = 2
1. El espacio muestral serán los posibles grupos de 2 boliches
que se pueden formar de los 12 posibles.
12!
12!
12𝑥11𝑥10! 12𝑥11
𝐶(12,2) =
=
=
=
(12 − 2)! 2! 10! 2!
10! 𝑥2𝑥1
2𝑥1
= 66
2. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos
de 2 boliches.
4!
4!
4𝑥3𝑥2! 4𝑥3
𝐶(4,2) =
=
=
=
=6
(4 − 2)! 2! 2! 2! 2! 𝑥2𝑥1 2𝑥1
3. La probabilidad de A será: P(A) =
𝐸
6
1
𝑃(𝐴) = =
=
= 0.0909 ≡ 9.09%
𝑆 66 11
4. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos
de 2 boliches.
8!
8!
8𝑥7𝑥6! 8𝑥7
𝐶(8,2) =
=
=
=
= 28
(8 − 2)! 2! 6! 2! 6! 𝑥2𝑥1 2𝑥1
5. La probabilidad de B será: P(B) =
𝐸 28 14
𝑃(𝐴) = =
=
= 0.4242 ≡ 42.42%
𝑆 66 33
6. Probabilidad de que por lo menos un boliche este en mal
estado.
Halla uno malo o halla dos malos.
𝐶(4,1) 𝐶(12,1) + 𝐶(4,2) = 4𝑥12 + 6 = 48 + 6 = 54
4!
4!
4𝑥3!
4
𝐶(4,1) =
=
=
= =4
(4 − 1)! 1! 3! 𝑥1! 3! 𝑥1! 1
12!
12!
12𝑥11! 12
𝐶(12,1) =
=
=
=
= 12
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1! 11! 𝑥1!
1
𝐸 54
9
𝑃(𝐴) = =
=
= 0.8181 ≡ 81.81%
𝑆 66 11
EJERCICIOS:
1. Una moneda está cargada (aumentada de peso) de modo que la
posibilidad de salir cara (C), sea el doble que la de salir el sello
(S). Hallar la probabilidad P(C) y P(S).
La probabilidad de salir cara es el doble de la de salir sello.
𝑃(𝐶) = 2𝑃(𝑆)
Por el teorema fundamental de la probabilidad, tenemos que:
𝑃(𝐶) + 𝑃(𝑆) = 1
2𝑃(𝑆) + 𝑃(𝑆) = 1
3𝑃(𝑆) = 1
Despejando la 𝑃(𝑆) , tenemos que:
1
𝑃(𝑆) =
3
Como la probabilidad de
1
2
𝑃(𝐶) = 2𝑃(𝑆) = 2 ( ) =
3
3
2. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un numero
cuando es lanzado el dado es proporcional a dicho numero (Por
ejemplo la probabilidad de salir 3 es la mitad de salir 6). Sea
A={Un numero par}
B={Numero primo}
C={Número impar}
D={Numero par y primo}
E={Número impar y primo}.
La probabilidad de salir cada número es:
S = 13x4 = 52
El evento:
Hay 4 cuatros en la baraja de póker.
E=4
𝑃(4) =
5.
𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) + 𝑃(6) = 1
𝑝 + 2𝑝 + 3𝑝 + 4𝑝 + 5𝑝 + 6𝑝 = 1
21𝑝 = 1
1
𝑝=
21
Que resulte una figura al sacar una carta de una baraja de
Póker.
S = 52
E = 3x4 = 12
𝑃(𝐹𝐼𝐺𝑈𝑅𝐴) =
6.
7.
𝐶(48,2) =
1
1
1
𝑃(𝐴) = 𝑃(2) + 𝑃(4) + 𝑃(6) = 2 ( ) + 4 ( ) + 6( )
21
21
21
2
4
6
2 + 4 + 6 12
+
+
=
=
21 21 21
21
21
12!
12!
12𝑥11𝑥10!
=
=
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
12𝑥11
=
= 66
2𝑥1
𝐸
66
𝑃(2𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠) = =
= 0.0585 ≡ 5.85%
𝑆 1.128
𝐶(12,2) =
1
1
𝑃(𝐵) = 𝑃(3) + 𝑃(5) = 3 ( ) + 5 ( )
21
21
3
5
3+5
8
+
=
=
21 21
21
21
El evento numero C={1,3,5}
𝑃(𝐶)
d.) El evento D={2}
𝑃(𝐷) = 𝑃(2) = 2 (
3.
Otro método.
12 11
132
66
𝑃(2𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠) = ( ) ( ) =
=
= 0.0585
48 47
2.256 1.128
≡ 5.85%
2.
1
2
)=
21
21
4!
4!
= 12
=
(4 − 2)! 𝑥2!
2! 𝑥2!
4𝑥3𝑥2𝑥1
12
= 12𝑥6 = 72
2𝑥1𝑥2𝑥1
𝐸
72
𝑃(2𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) = =
= 0.0638 ≡ 6.38%
𝑆 1.128
𝑆 = {1,2,3,4,5,6} = 6
El evento es {2,4,6} = 3
La probabilidad es:
2.
3.
𝐸 3
= = = 0.5 ≡ 50%
𝑆 6
3.
Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas
normales.
S = {CCC, CCS, SSC, SSS} = 4
E = {CCS, SSC, SSS} = 3
𝐸 3
= = 0.75 ≡ 75%
𝑆 4
Sacar un 4 en una baraja de póker.
Espacio muestral.
4 pintas: Trébol, pica, corazones y diamantes.
As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K., Son 13 cartas por pinta.
4
3
144
72
𝑃(𝑁𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) = 12 ( ) ( ) =
=
= 0.0638
48 47
2.256 1.128
≡ 6.38%
Las dos cartas sean figuras.
E = 3 Figuras x 4 pintas = 3x4 = 12. Formar grupos de 2
cartas.
12!
12!
12𝑥11𝑥10!
=
=
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
12𝑥11
=
= 66
2𝑥1
𝐸
66
𝑃(2𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠) = =
= 0.0585 = 5.85%
𝑆 1.128
𝐶(12,2) =
𝐸
4
=
= 0.0833 = 8.33%
𝑆 48
𝑃(𝑈𝑁𝑆) =
4.
Otro método.
Que resulte un Rey al sacar una carta de una baraja
Española.
El espacio muestral es la baraja española, que tiene en cada
pinta:
As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sota, caballo y rey.
Son cuatro pintas: Oros, copas, espadas y bastos.
S = 48
El evento es: Hay 4 reyes, uno por cada pinta.
E=4
𝑃(𝑅𝑒𝑦) =
Las dos cartas escogidas al azar sean el mismo número.
S = 1.128
E = Grupos de 4(As)+Grupos de 4(2)+
+Grupos de
4(Reyes)=
12𝐶(4,2) = 12
Determínese la probabilidad p de cada uno de los siguientes
eventos finitos equiprobables.
1. Que salga un número par al lanzar un dado normal.
Hallamos el espacio muestral:
𝑃(𝑝𝑎𝑟)
48!
48!
48𝑥47𝑥46!
=
=
28
(48 − 2)! 2! 46! 2!
46! 𝑥2!
48𝑥47
=
= 1.1
2𝑥1
E = Grupos formados de a dos cartas de las 12 espadas.
b.) El evento B={3,5}
1
1
1
= 𝑃(1) + 𝑃(3) + 𝑃(5) = ( ) + 3 ( ) + 5( )
21
21
21
1
3
5
9
3
+
+
=
=
21 21 21 21 7
𝐸
4
=
= 0.0833 ≡ 8.33%
𝑆 48
Se sacan dos cartas al azar de una barja Española. Hallar la
probabilidad p de que:
1. Las dos cartas escogidas sean Espadas.
S = Grupos de a dos, formados de las 48 cartas.
a.) El evento A={2,4,6}
c.)
𝐸
4
=
= 0.3333 ≡ 33.33%
𝑆 12
Sacar un As de una baraja Española, en un solo intento en
una carta.
S = Todas las cartas = 4pintas x 12 cartas = 48
E = Las pintas x As = 4x1 = 4
𝑃(𝐴𝑆) =
4.
𝐸 12
=
= 0.2307 ≡ 23.07%
𝑆 52
Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una
urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules.
S = Todas las bolas = 4+3+5 = 12
E = Las bolas blancas = 4
𝑃(𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎) =
𝑃(1) = 𝑝, 𝑃(2) = 2𝑝, 𝑃(3) = 3𝑝, 𝑃(4) = 4𝑝, 𝑃(5) = 5𝑝, 𝑃(6)
= 6𝑝
Por teorema fundamental de probabilidad, tenemos que:
𝐸
4
=
= 0.0769 ≡ 7.69%
𝑆 52
Otro método.
4.
12 11
132
66
𝑃(2𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠) = ( ) ( ) =
=
= 0.0585
48 47
2.256 1.128
≡ 5.85%
La una sea Espada y la otra Bastos.
E = De cada pinta se escoge de una.
𝐶(12,1) =
12!
12!
12𝑥11! 12
=
=
=
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1!
11! 𝑥1!
1
= 12
= 12x12 = 144
𝑃(𝐸𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑦𝑏𝑎𝑠𝑡𝑜) =
𝐸
144
=
= 0.1276 = 12.76%
𝑆 1.128
Otro método.
𝑃(1𝐸,1𝐵)
5.
Otro método.
12 12
2𝑥144
144
= 2( )( ) =
=
= 0.1276
48 47
2.256 1.128
≡ 12.76%
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = 1 − 𝑃(𝑁𝑂𝐶𝑂𝑃𝐴) =
Las dos sean Ases.
E = Grupos de a dos ases.
4!
4!
4𝑥3𝑥2! 4𝑥3
=
=
=
=6
(4 − 2)! 2! 2! 𝑥2!
2! 𝑥2!
2𝑥1
𝐸
6
𝑃(2𝑎𝑠𝑒𝑠) = =
= 0.0053 = 0.53%
𝑆 1.128
𝐶(4,2) =
Otro método.
𝑃(2𝐴) = (
6.
4
3
12
6
)( ) =
=
= 0.0053
48 47
2.256 1.128
≡ 0.53%
Las dos sean Oros o Figuras.
E= Los grupos de a dos Oros + Grupos de 2 figuras.
10!
10!
10𝑥9𝑥8! 10𝑥9
𝐶(10,2) =
=
=
=
(10 − 2)! 2! 8! 𝑥2!
8! 𝑥2!
2𝑥1
= 45
12!
12!
12𝑥11𝑥10!
𝐶(12,2) =
=
=
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2𝑥1
132
=
= 66
2
E = 45+66 = 111
𝑃(2𝑂,2𝐹) =
Otro método.
5.
3.
𝑃(𝐶𝑂𝑃𝐴,𝐸𝑆𝑃𝐴𝐷𝐴) =
6.
𝐸
111
=
= 0.0984 = 9.84%
𝑆 1.128
1.
P(M o ~F) =
7.
Las dos Sean copas.
El evento. Son grupos de r=2, de n=12 posibles.
12!
12!
12𝑥11𝑥10!
=
=
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
12𝑥11
=
= 66
2𝑥1
𝐸
66
𝑃(2𝐶) = =
= 0.0585 = 5.85%
𝑆 1.128
Otro método.
12 11
132
66
𝑃(2𝐶) = ( ) ( ) =
=
= 0.0585
48 47
2.256 1.128
≡ 5.85%
𝑃(OC/CC) =
2.
𝐶(36,1)
3.
Otro método.
𝐸
498
=
= 0.4414 = 44.14%
𝑆 1.128
12 11
12 36
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = ( ) ( ) + 2 ( ) ( )
48 47
48 47
132
864
=
+
2.256 2.256
996
498
=
= 0.4414 ≡ 44.14%
2.256 1.128
Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no
tenga cabellos castaños?
8.
𝐸 10
=
= 0.400 = 40%
𝑆 25
¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos
castaños?
𝑃(~CC,~OC) =
𝐸
50
=
= 0.500 = 50%
𝑆 100
Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas
diferentes, salgan:
El espacio muestral de lanzar las dos monedas.
S = {CC, SS, CS, SC} = 4
1. Dos caras.
E = {CC} = 1
𝐸 1
= = 0.250 = 25%
𝑆 4
𝑃(2C) =
E = 66+12x36 = 66+432 = 498
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) =
𝐸 15
=
= 0.375 = 37.5%
𝑆 40
𝑃(~CC/OC) =
𝐶(12,2) =
𝐶(12,1)
E
5
=
= 0.25 = 25%
S 20
En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el
25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños.
Se escoge una persona al azar:
Se hace el llenado de la tabla para determinar el espacio
muestral y el evento.
C No
C.C
T
C
OC
15
10
25
O No
25
50
75
C
T
40
60
100
1. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de
que tenga también ojos castaños?
Al menos una sea copas.
E=Grupos de r=2 cartas en orden, de n=12 posibles.
E= Las dos sean copas + Una copa y otra cualquiera.
12!
12!
12𝑥11𝑥10!
=
=
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
12𝑥11
=
= 66
2𝑥1
12!
12!
12𝑥11! 12
=
=
=
=
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1!
11! 𝑥1!
1
= 12
36!
36!
36𝑥35! 36
=
=
=
=
(36 − 1)! 1! 35! 𝑥1!
35! 𝑥1!
1
= 36
E 15
=
= 0.75 = 75%
S 20
2. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
E = 5 chicas que no estudian francés.
𝐶(12,2) =
2.
Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las
chicas y la mitad de los chicos Han elegido francés como
asignatura optativa.
Organizamos un diagrama de Venn que nos muestre la situación
de los estudiantes
P(H o F) =
De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de
ellas. Calcular la probabilidad de que:
Hallamos el espacio muestral. Grupos de r=2 cartas de n=48
posibles.
48!
48!
48𝑥47𝑥46!
=
=
(48 − 2)! 2! 46! 2!
46! 𝑥2!
48𝑥47
=
= 1.128
2𝑥1
𝐸
144
=
= 0.0124 = 1.24%
𝑆 1.128
El espacio muestral del problema.
E = Chicos + Chicas = 10 + 10 = 20
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar
sea chico o estudio francés?
El evento es: Chico o Estudie francés.
E = 10 + 5 Chicas que estudian francés = 15
10 9
12 11
90
132
𝑃(2𝑂,2𝐹) = ( ) ( ) + ( ) ( ) =
+
48 47
48 47
2.256 2.256
222
=
2.256
111
= 0.0984 ≡ 9.84%
1.128
𝑆 = 𝐶(48,2) =
36 35
1260
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = 1 − ( ) ( ) = 1 −
48 47
2.256
2.256 − 1.260
=
2.256
996
498
=
= 0.4414 ≡ 44.14%
2.256 1.128
Una sea copa y la otra espada.
E = (Copa, Espada).
Se cumple para cada una de las pintas.
12!
12!
12𝑥11! 12
𝐶(12,1) =
=
=
=
= 12
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1!
11! 𝑥1!
1
E= 12x12 = 144 = 288
2.
Dos sellos.
E = {SS} = 1
𝑃(2S) =
𝐸 1
= = 0.250 = 25%
𝑆 4
3.
Una cara y un sello.
E = {CS, SC} = 2
𝑃(2C) =
𝐸 2
= = 0.50 = 50%
𝑆 4
9.
10.
11.
12.
13.
Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó
se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea
múltiplo de 4.
Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de
obtener las distintas caras son proporcionales a los números de
estas. Hallar:
1. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2. La probabilidad de conseguir un número impar en un
lanzamiento.
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos
obtenidos. Se pide:
1. La probabilidad de que salga el 7.
2. La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3. La probabilidad de que el número sea múltiplo de tres.
Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
1. Salga 6 en todos.
2. Los puntos obtenidos sumen 7.
Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
El espacio muestral es:
S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
1. Un número par.
E = {2, 4, 6} entonces 3.
𝑃(𝑃𝐴𝑅) =
2.
Un múltiplo de tres.
E = {3, 6} entonces 2.
𝑃(𝑃𝐴𝑅)
3.
𝐸 3
= = 0.5 = 50%
𝑆 6
𝐸 2
= = = 0.6666 = 66.66%
𝑆 6
Mayor que cuatro.
E = {5, 6} entonces 2.
𝑃(𝑀𝐴𝑌𝑂𝑅 𝐴 4)
4.
Menor que 4.
E = {1, 2, 3} entonces 3.
𝑃(𝑀𝐸𝑁𝑂𝑅) =
5.
𝐸 3
= = 0.5 = 50%
𝑆 6
Múltiplo de tres, en pares.
E = {6} entonces 1.
𝐸 1
= = = 0.1666 = 16.66%
𝑆 6
𝑃(𝑀𝑈𝐿𝑇 3 𝐸𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐸𝑆)
14. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola
blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio
muestral cuando:
1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la
segunda.
El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que
existen de combinar dos bolas.
S= {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV,
NN} = 16
a. Probabilidad que las sacadas sean iguales.
El evento.
E = {BB, RR, VV, NN} = 4
2.
𝐸 12
=
= 0.750 = 75%
𝑆 16
La primera bola no se devuelve.
El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que
existen de combinar dos bolas.
S= {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12
a. Probabilidad que las sacadas sean iguales.
El evento.
E={}=0
𝑃(iguales) =
𝐸
0
=
= 0.000 = 0%
𝑆 16
b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.
El evento.
E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12
𝑃(iguales) =
2.
𝐸 12
=
= 1.00 = 100%
𝑆 12
15. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Se extrae una
al azar, Cual es la probabilidad de que:
Espacio muestral es la suma de todas las bolas.
S = 8+5+7 = 20
1. Sea roja.
Sea verde.
E=7
𝑃(VERDE) =
3.
Sea amarilla.
E=5
𝑃(ROJA) =
4.
5.
𝐸
8
=
= 0.40 = 40%
𝑆 20
𝐸
7
=
= 0.350 = 35%
𝑆 20
𝐸
5
=
= 0.25 = 25%
𝑆 20
No sea roja.
E = Son amarillas o verdes = 5 + 7 = 12
𝑃(~ROJA) =
𝐸 12
=
= 0.60 = 60%
𝑆 20
No sea amarilla.
E = Que sea verde o roja = 8 + 7 = 15
𝑃(ROJA) =
𝐸 15
=
= 0.750 = 75%
𝑆 20
16. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extraen dos bolas
al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:
S = {RR, RB, BB, BR},
1. Extraer las dos bolas Rojas con reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝑅) = (
2.
3
3
9
)( ) =
= 0.09
10 10
100
Extraer las dos bolas Blancas con reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝑅) = (
7
7
49
)( ) =
= 0.49
10 10
100
Extraer una bola Roja y otra Blanca con reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝐵) = (
4.
5.
3
7
21
)( ) =
= 0.21
10 10
100
Extraer una bola Blanca y otra Roja con reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝑅) = (
7
3
21
)( ) =
= 0.21
10 10
100
Extraer las dos bolas Rojas sin reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝑅) = (
6.
3 2
6
)( ) =
= 0.066
10 9
90
Extraer las dos bolas Blancas sin reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝑅) = (
7.
7 6
42
)( ) =
= 0.466
10 9
90
Extraer una bola Roja y otra Blanca sin reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝐵) = (
8.
3 7
21
)( ) =
= 0.233
10 9
90
Extraer una bola Blanca y otra Roja sin reemplazamiento.
𝑃(𝑅𝑅) = (
7 3
21
)( ) =
= 0.233
10 9
90
17. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la
probabilidad de extraer:
El espacio muestral serán todos los grupos de r=5 cartas de n=52
posibles.
52!
52!
=
(52 − 5)! 𝑥5! 47! 𝑥5!
52𝑥51𝑥50𝑥49𝑥48𝑥47!
=
47! 𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
311.875.200
=
= 2.598.960
120
𝑆 = 𝐶(52,5) =
𝐸
4
=
= 0.250 = 25%
𝑆 16
b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.
El evento.
E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12
𝑃(iguales) =
𝑃(ROJA) =
3.
𝐸 2
= = = 0.6666 = 66.66%
𝑆 6
𝑃(iguales) =
E=8
1.
4 ases.
E = 𝐶(4,4) 𝑥𝐶(48,1) = 1𝑥48 = 48
4!
4!
𝐶(4,4) =
=
=1
(4 − 4)! 𝑥4! 0! 𝑥4!
48!
48!
48𝑥47!
𝐶(48,1) =
=
=
= 48
(48 − 1)! 𝑥1! 47! 𝑥1! 47! 𝑥1!
𝐸
48
1
𝑃(4A) = =
=
= 0.000018
𝑆 2.598.960 54.146
2. 4 ases y un rey.
E = 𝐶(4,4) 𝑥𝐶(4,1) = 1𝑥4 = 4
4!
4!
𝐶(4,4) =
=
=1
(4 − 4)! 𝑥4! 0! 𝑥4!
4!
4!
4𝑥3!
𝐶(4,1) =
=
=
=4
(4 − 1)! 𝑥1! 3! 𝑥1! 3! 𝑥1!
𝐸
4
1
𝑃(4A) = =
=
= 0.0000015
𝑆 2.598.960 649.740
3. 3 cincos y 2 sotas.
E = 𝐶(4,3) 𝑥𝐶(4,2) = 4𝑥6 = 24
4!
4!
4𝑥3!
𝐶(4,3) =
=
=
=4
(4 − 3)! 𝑥3! 1! 𝑥3! 1! 𝑥3!
4!
4!
4𝑥3𝑥2!
𝐶(4,2) =
=
=
=6
(4 − 2)! 𝑥2! 2! 𝑥2!
2! 𝑥2!
𝑃(4A) =
𝐸
24
1
=
=
= 0.0000092
𝑆 2.598.960 108.290
4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
𝐸 = 𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) = 4𝑥4𝑥4𝑥4𝑥4 = 1024
4!
4!
4𝑥3!
=
=
=4
(4 − 1)! 𝑥1! 3! 𝑥1! 3! 𝑥1
𝐸
1024
1
= =
=
= 0.000394
𝑆 2.598.960 162.435
𝐶(4,1) =
𝑃(4A)
5.
3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
Hay 4 formas de elegir el primer palo y 3 de elegir el segundo
palo.
𝐸 = 4𝐶(13,3) 𝑥3𝑥𝐶(13,2) = 4𝑥286𝑥3𝑥78 = 267.696
13!
13!
13𝑥12𝑥11𝑥10!
=
=
(13 − 3)! 𝑥3! 10! 𝑥3!
10! 𝑥3𝑥2
= 286
13!
13!
13𝑥12𝑥11!
𝐶(13,2) =
=
=
= 78
(13 − 2)! 𝑥2! 11! 𝑥2!
11! 𝑥2!
𝐸
267.696
429
𝑃(4A) = =
=
= 0.103
𝑆 2.598.960 4.165
𝐶(13,3) =
6.
Al menos un as.
Sera igual a 1 – los que no tienen ningún as.
E = 2.598.960 − 𝐶(48,5) = 2.598.960 − 1.712.304 = 886.656
48!
48!
48𝑥47𝑥46𝑥45𝑥44𝑥43!
𝐶(48,5) =
=
=
=
(48 − 5)! 𝑥5! 43! 𝑥5!
43! 𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2
1.712.304
𝑃(4A) =
D. Con cuál de los llaveros tiene mayor probabilidad de ganar.
20. En una urna hay 3 monedas, con las siguientes características. La
primera es una moneda normal, la segunda es una moneda que
tiene dos caras y la tercera es una moneda cargada, en la cual la
1
probabilidad de salir cara es de la probabilidad de salir sello.
3
Si se saca una moneda al azar, cuál será la probabilidad de que al
lanzarla salga:
A. Cara.
B. Sello.
21. En una competencia ciclística, donde solo hay cuatro corredores,
que tienen la opción de ganar. Si Metelón tiene el cuádruplo de
probabilidad de ganar que Sobarrón, y Sobarrón tiene el doble
de probabilidad de ganar que Pedalero y Pedalero el doble de
Cipriano.
A. Determinar la probabilidad de ganar cada uno.
Se plantean las probabilidades de cada uno de los ciclistas en
función de los demás y se halla la probabilidad de cada uno de
ellos.
𝑃(𝑀) = 4𝑃(𝑆) ,
𝑃(𝑆) = 2𝑃(𝑃) ,
𝑃(𝑃) = 2𝑃(𝐶)
𝑃(𝑀) = 4𝑃(𝑆) = 4(4𝑃(𝐶) ) = 16𝑃(𝐶)
𝑃(𝑆) = 2(2𝑃(𝐶) ) = 4𝑃(𝐶)
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝐸
886.656
18.472
=
=
= 0.3411
𝑆 2.598.960 54.145
18. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 12
bombillas, de las cuales hay cinco fundidas; en la segunda hay
ocho bombillas, estando tres de ellas fundida, y la tercera caja
hay cinco bombillas fundidas de un total de quince. ¿Cuál es la
probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una
cualquiera de las cajas?
B.
𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑆) + 𝑃(𝑃) + 𝑃(𝐶) = 1
16𝑃(𝐶) + 4𝑃(𝐶) + 2𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐶) = 1
23𝑃(𝐶) = 1
1
𝑃(𝐶) =
23
1
16
𝑃(𝑀) = 16𝑃(𝐶) = 16𝑋
=
23 23
1
4
𝑃(𝑆) = 4𝑃(𝐶) = 4𝑥
=
23 23
1
2
𝑃(𝑃) = 2𝑃(𝐶) = 2𝑥
=
23 23
Quien ganara la carrera, según el estudio de la
probabilidad?
16
Gana La carrera el de mayor probabilidad que es Metelón con .
23
1.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al
azar de la primera caja, esté fundida?
𝑃(𝐶1𝐹) =
2.
3.
4.
1 5
5
( )=
3 12
36
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al
azar de la segunda caja, esté buena?
1 5
5
𝑃(𝐶2𝐵) = ( ) =
3 8
24
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al
azar de la segunda caja, esté fundida?
1 3
3
1
𝑃(𝐶2𝐹) = ( ) =
=
3 8
24 8
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al
azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
1 5
1 3
1 5
5
3
5
3
𝑃(𝐶𝐹) = ( ) + ( ) + ( ) =
+
+
=
3 12
3 8
3 15
36 24 45 8
5.
Eléctrico Mecánico
Chapas
Total
Mañana
3
8
3
14
Tarde
2
3
1
6
Total
5
11
4
20
A. Cuál es la probabilidad de que atiendan un carro y sea de la
jornada de la tarde:
𝑃(TARDE) =
B.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al
azar de una cualquiera de las cajas, esté buena?
1 7
1 5
1 10
7
5 10 5
𝑃(𝐶𝐵) = ( ) + ( ) + ( ) =
+
+
=
3 12
3 8
3 15
36 24 45 8
6.
22. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como
lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el
90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de
los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés
son chicos el 40%. Al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que sea chica?
23. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana
tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas
mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con
problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con
problemas de chapa.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al
azar de una cualquiera de las cajas, esté buena o esté
fundida?
3 5 8
𝑃(𝐶𝐹𝑂𝐶𝐵) = + = = 1
8 8 8
19. En una casa matriz de venta de carros se realiza un sorteo de un
vehículo entre sus clientes y se selecciona por sorteo a uno de
ellos y se le introducen tres llaveros A, B y C, para poder abrir la
puerta del vehículo y así ser el ganador: El primero llavero con
cinco llaves y dos abren el auto, el segundo con siete y tres
abren el auto y el tercero con ocho y 6 bloquean el auto. Se
escoge al azar un llavero. Cuál es la probabilidad de que:
A. Sea el ganador con el primer llavero.
B. Abra el carro con cualquiera de los llaveros.
C. No abra con el tercer llavero.
𝐸
6
=
= 0.30 = 30%
𝑆 20
Cuál es el porcentaje de los carros que acuden por
problemas mecánicos. Recuerde que hallar el porcentaje y
la probabilidad son operaciones equivalentes.
𝑃(MECANICOS) =
C.
Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con
problemas eléctricos acuda por la mañana:
𝑃(M/E) =
D.
𝐸 11
=
= 0.55 = 55%
𝑆 20
𝐸 3
= = 0.60 = 60%
𝑆 5
Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con
problemas mecánicos acuda por la tarde:
𝑃(T/M) =
𝐸
3
=
= 0.2727 = 27.27%
𝑆 11
24. En un aula de clases hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son
hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si
seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.
Gafas
Sin Gafas
Total
Hombres
15
25
40
Mujeres
15
45
60
Total
30
70
100
A.
¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
𝑃(MY~G)
B.
¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y use gafas?
𝑃(MYG) =
C.
𝐸
30
=
= 0.30 = 30%
𝑆 100
La probabilidad de que un estudiante con gafas sea mujer.
𝑃(M/G) =
E.
𝐸 25
=
= 0.25 = 25%
𝑆 70
Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué
probabilidad hay de que sea hombre?
𝑃(H/~G) =
G.
𝐸 15
=
= 0.50 = 50%
𝑆 30
Probabilidad de que un estudiante sin gafas sea hombre.
𝑃(M/G) =
F.
𝐸
15
=
= 0.15 = 15%
𝑆 100
Hallar el porcentaje de los estudiantes que usan gafas
𝑃(G) =
D.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
𝐸
45
= =
= 0.45 = 45%
𝑆 100
𝐸 25
5
=
=
= 0.3571 = 35.71%
𝑆 70 14
Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué
probabilidad hay de que sea mujer?
𝑃(H/~G)
𝐸 45
9
= =
=
= 0.6428 = 64.28%
𝑆 70 14
25. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de
los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica
ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol,
¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de
la clase:
F
B
0.30 0.10
0.20
0.40
A.
B.
C.
D.
E.
F.
Juegue ni futbol, ni baloncesto.
Juegue sólo al fútbol:
Juegue sólo al baloncesto.
Practique uno solo de los deportes:
Que practique baloncesto:
Si en total en la escuela ha. y 80 estudiantes practicando
Deportes. Cuál es el número de estudiantes que practica
Futbol?
G. De total de estudiantes de la escuela Deportes. Cuál es el
número de estudiantes que practica Baloncesto?
H. Si del total estudiantes practicando Deportes se quiere
hallar el número de estudiantes que practica solo Futbol?
I. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol y
Baloncesto?
J. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol o
Baloncesto?
26. Los estudiantes de la Universidad de Miami hacen un bazar con
el propósito de recoger fondos para el paseo final de la
fundación del estado.
Uno de los juegos de azar que se pueden encontrar en el bazar
es:
Un disco tiene tres regiones iguales y cada una de ellas
iluminadas por un color diferente, Rojo, Verde, Azul. El jugador
escoge un color. El disco da vueltas y se detiene en el color que
el jugador selecciono, y gana. Marvin decide jugar dos veces y
selecciona el color Rojo en ambas ocasiones.
Pierde o gana con dos ensayos, ya que decidió jugar dos veces.
Cuál es la probabilidad de que Marvin:
1. Gane en ambas ocasiones.
Espacio muestral S = 9
Evento 1 = 1
𝑃(𝐺2) =
2. Gane una sola vez.
Evento 2 = 4
𝐸1 1
=
𝑆
9
𝑃(𝐺1) =
𝐸2 4
=
𝑆
9
𝑃(𝐺0) =
𝐸3 4
=
𝑆
9
3. No gane.
Evento 3 = 1
J1
R
R
R
V
V
V
A
A
A
J2
R
V
A
V
R
A
A
R
V
RESULTA
Gana 2
Gana 1
Gana 1
Pierde
Gana 1
Pierde
Pierde
Gana 1
Pierde
R
RUETA
V
A
OTRO METODO.
Terminos de ganar y perder.
2 Gana Gana. 𝐶(2,2) = 1
1 Gana Pierde y Pierde Gana. 𝐶(2,1) = 2
0 Pierde Pierde. 𝐶(2,0) = 1
1
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟
3
𝐶𝑜𝑙𝑜𝑟
La probabilidad de ganar: 𝑝 = 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟) = =
2
La probabilidad de perder: 𝑞 = 1 − 𝑝 =
3
Probabilidad de ganar en ambas ocasiones:
1 1 1
𝑃(𝐺 = 2) = 1. 𝑝𝑝 = 1𝑥 𝑥 =
3 3 9
Probabilidad de ganar una sola vez:
1 2 4
𝑃(𝐺 = 1) = 2. 𝑝𝑔 = 2𝑥 𝑥 =
3 3 9
Probabilidad de no ganar en ambas ocasiones: Perder
2 2 4
𝑃(𝐺 = 0) = 1. 𝑞𝑞 = 1𝑥 𝑥 =
3 3 9
Supongase que Marvin decide jugar 4 veces. Encuentrese la
probabilida de ganar:
1. 4 Veces. GGGG.
𝐶(4,4) = 1
2. 3 Veces. GGGP, GGPG, GPGG, PGGG.
𝐶(4,3) = 4
3. 2 Veces. GGPP, GPPG, PPGG, PGPG, GPGP, PGGP. 𝐶(4,2) = 6
4. 1 Vez. GPPP, PGPP, PPGP, PPPG.
𝐶(4,1) = 4
5. O Veces. PPPP.
𝐶(4,0) = 1
𝑝 = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑟 =
1
3
2
𝑞 = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑒𝑟 =
3
1 1 1 1
1
𝑃(𝐺 = 4) = 1. 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 1𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 =
3 3 3 3 81
1 1 1 2
8
𝑃(𝐺 = 3) = 4. 𝑝𝑝𝑝𝑞 = 4𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 =
3 3 3 3 81
1 1 2 2 24
8
𝑃(𝐺 = 2) = 6. 𝑝𝑝𝑞𝑞 = 6𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 =
=
3 3 3 3 81 27
2 2 2 2 16
𝑃(𝐺 = 0) = 1. 𝑞𝑞𝑞𝑞 = 1𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 =
3 3 3 3 81
ESTADISTICA INFERENCIAL.
1. La inferencia estadística o estadística Inferencial es una parte de
la Estadística que comprende y da los métodos y procedimientos
para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a
partir de una pequeña parte de la misma (muestra).
2. Es un proceso de análisis que consiste en inferir las propiedades
de una población con base en la caracterización de la muestra.
Se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia
experimental basándose en información incompleta.
Genera modelos probabilísticos a partir de un conjunto de
observaciones.
Del conjunto de observaciones que van a ser analizadas, se eligen
aleatoriamente sólo unas cuantas, que es la muestra, y a partir de
dicha muestra se estiman:
1. Los parámetros del modelo.
2. Se contrastan las hipótesis establecidas, con el objeto de
determinar si el modelo probabilístico es el adecuado al
problema real que se ha planteado.
La utilidad de la inferencia estadística, consiste en que si el modelo se
considera adecuado, puede usarse para la toma de decisiones o para
la realización de las previsiones convenientes.
La inferencia estadística parte de un conjunto de observaciones de
una variable, y a partir de estos datos “infiere” o genera un modelo
probabilístico; por tanto es la consecuencia de la investigación
empírica, cuando se está llevando a cabo, y como consecuencia de la
ciencia teórica, cuando se están generando estimadores, o métodos,
con tal o cual característica para casos particulares.
La inferencia estadística es, en consecuencia, un planteamiento
inductivo.
TECNICAS DE MUESTREO.
Para realizar un análisis estadístico, se puede efectuar:
1. Toda la población.
2. Una parte de la población.
Si estudiamos toda la población, podemos conocer e identificar
exactamente la distribución que presenta la variable o las variables
estudiadas en dicha población. Por ejemplo, en la mayoría de los
casos, los censos son inviables o como mínimo innecesarios. Los
censos son lentos y caros (hay que examinar una gran cantidad de
individuos, lo cual requiere tiempo y dinero) y poco flexibles (debido
a su complejidad, es muy difícil modificarlos cuando se han puesto en
marcha).
Tratar una gran cantidad de individuos, para ser estudiados requiere
disponer de personal entrenado, instalaciones (laboratorios, centros
de tratamientos de datos, recopilación...), recursos, en estos casos,
un censo puede ser irrealizable, o bien puede realizarse sin los
recursos necesarios, de modo que, los datos obtenidos pueden
contener errores y por tanto, no necesariamente van a proporcionar
una buena información.
Una alternativa a los censos será la medición de estas variables en
una parte de la población, es decir, en una muestra. Trabajar con una
muestra de la población tiene la ventaja de que:
1. Es más rápido.
2. Más barato.
3. Los resultados obtenidos pueden ser más precisos,
De modo que, si la muestra se elige correctamente, la información
que obtenemos permite una estimación razonable de la situación de
la población.
Cuando nos planteamos tomar una muestra, surgen dos preguntas:
1. ¿Qué individuos o datos debo incluir en la muestra?
2. ¿Cuántos individuos o datos debo tomar?
Para un ejemplo en particular,
1. Cuando el objetivo es conocer la cantidad de enfermedad o
cuando queremos realizar un estudio epidemiológico cuyos
resultados debemos extrapolar a la población general, un
requisito indispensable es que la muestra sea representativa de
la población general, por tanto la muestra debe tomarse al azar.
2. Cuando el objetivo es conocer si una enfermedad existe o no en
una población, también podemos tomar una muestra aleatoria,
pero en la mayoría de los casos, lo más apropiado será tomar
una muestra sesgada, de modo que analizaremos aquellos
individuos que tienen mayor posibilidad de estar enfermos.
La mejor opción para obtener una muestra representativa es:
1. Elegir los individuos al azar mediante un muestreo aleatorio, es
decir, seleccionando los individuos de manera que todos ellos
tenga la misma probabilidad de formar parte de la muestra.
2. Cuando estos no es posible la alternativa será elegir a los
individuos según un muestreo de conveniencia.
El método para elegir la muestra recibe el nombre de muestreo.
MUESTREO.
Es una herramienta de la investigación científica. Su función básica es
que parte de una realidad en estudio (población o universo) debe
examinarse con la finalidad de hacer inferencia sobre dicha
población.
El error que se comete debido a hecho de que se obtienen
conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observación de solo
una parte de ella y se denomina error de muestreo.
Obtener una muestra adecuada significa lograr una versión
simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus
rasgos básicos.
Nos da las herramientas, técnicas y métodos, para realizar una
investigación científica, de procesos estadísticos para la selección de
una muestra.
1. FUNCIONES:
A. DETERMINACION DE LOS DATOS.
1. Cuáles.
2. Cuantos. Para el estudio y la inferencia.
B. AHORRO.
1. Tiempo.
2. Dinero.
3. Personal.
4. Espacio.
C. PROPIEDADES.
1. Cuantitativa: Representativa. Cantidad.
2. Cualitativa: Características de la población.
Propiedades.
2. TIPOS DE MUESTREO.
A.
PROBABILISTICO O ALEATORIO.
Propiedades de los elementos de la población cumple:
1. Misma probabilidad de escogencia.
2. Probabilidad de escogencia conocida.
3. Probabilidad con reemplazo o sin él.
4. El error se da en forma de probabilidad.
A.1. ALEATORIO SIMPLE.
Sus elementos:
1. Se ordenan en tablas:

Asignar números a los elementos de la población.

Se escogen con balotas o tablas especiales.
2. Escogencia al azar.
VENTAJAS.

Sencillo.

Fácil comprensión.

Calculo fácil y rápido.
Varianza.
Media.
Desviación estándar.

Basada en la teoría estadística.
Uso de software.
Análisis de datos.
DESVENTAJAS.

Listados de la población.
Poblaciones pequeñas. Fácil.
Poblaciones grandes. Extenso y complicado.

Muestras pequeñas no es representativo.
A.2. SISTEMATICO.
Sus elementos se escogen para muestras grandes:
1. Primer elemento al azar:
2. Los demás condicionados por el primer elemento.
PROCEDIMIENTO.

Listado de elementos de la población.

Determinar tamaño de la muestra.

Definir constante de elevación o k de salto.
𝑁 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑘= =
𝑛
𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Elegir numero de arranque (1, K).

Seleccionar elementos.
VENTAJAS.

Fácil aplicación.

No siempre es necesario listado de elementos.

Población ordenada asegura cobertura.
DESVENTAJAS.

Estimaciones sesgadas.
A.3. ESTRATIFICADO.
Sus elementos o población se divide en:
1. Clase.
2. Grupos de estudio, que sean:
3. Todos aportan a la muestra.

Homogéneos.

Iguales condiciones.

De las mismas características de variables. Ejemplos de
Variables.
1. Sexo.
2. Peso.
3.
4.
Edad.
Ciudad, etc.
PROCEDIMIENTO.

Proporcional.
Grupos.
Porcentaje.

Optima.
Escogen de grupos más variables.
VENTAJAS.

La muestra representa la población por la variabilidad.

Estimaciones más precisas.
DESVENTAJAS.

Distribución de las variables en la población.

Análisis más complicados por la diversidad de grupos.

Más cantidad de variables a analizar.
A.4. CONGLOMERADO.
Sus elementos de la población se divide en:
1. N Grupos.
2. Todos los grupos deben ser:

Variados.

Completos.

Representativos.
3. La variación en cada grupo es menor que la variación entre
los grupos.
1. Sexo.
2. Peso.
3. Edad.
4. Ciudad, etc.
B.
PROCEDIMIENTO.

Proporcional.
Grupos.
Porcentaje.

Optima.
Escogen de grupos más variables.
VENTAJAS.

Es más eficientes para poblaciones:
Grandes.
Dispersas.

Reduce costos.

Listados cortos, no necesario el completo de la población.
DESVENTAJAS.

El error estándar es mayor, que en los otros procesos.

Calculo de error estándar es más complejo
NO PROBABILISTICO O NO ALEATORIO.
Propiedades de los elementos de la población cumple:
1. Diferente probabilidad de escogencia.
2. Probabilidad de escogencia desconocida.
3. No es representativa la muestra.
4. El error no se da en forma de probabilidad.
5. Muestra es costosa.
6. El investigador debe conocer el tema. Especialista.
Consiste en la elección por métodos no aleatorios de una
muestra cuyas características y condiciones sean similares a las
de la población objetivo. En este tipo de muestreos la
“representatividad” la determina el investigador de modo
subjetivo, siendo este el mayor inconveniente del método ya
que no podemos cuantificar la representatividad de la muestra.
Presenta casi siempre sesgos y por tanto debe aplicarse
únicamente cuando no existe alternativa.
B.1. POR CUOTA.
Llamado también accidental.
Sus elementos de la población se divide en:

Estratos.
1. Se toma proporción de cada uno de los estratos. es
decir, la parte proporcional de población que
representan.
2. Se dividen por variables comunes. Sexo, talla, edad,
profesión, estado civil, etc.

Se diferencia del muestreo estratificado en que una vez
determinada la cuota, el investigador es libre de elegir a los
sujetos de la muestra dentro de cada estrato.

Se necesita conocer muy bien la población y tenerla bien
definida.
Por ejemplo, la Consejería de Sanidad desea estudiar la incidencia de
las drogas en la adolescencia. Lo que deberíamos hacer sería:
A. Conocer por los informes de la Consejería de Educación
cuales son los centros más afectados por el problema.
B. Fijar un número de sujetos a entrevistar proporcional a
cada uno de los estratos (cuotas).
C. Dejar en manos de los responsables del trabajo de campo a
que sujetos concretos se deberá entrevistar.
B.2. OPINATICO INTENCIONAL.
Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado
de obtener muestras "representativas" mediante la inclusión en
la muestra de grupos supuestamente típicos. Es muy frecuente
su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en
anteriores votaciones han marcado tendencias de voto.
Desventaja que se puede sesgar la muestra.
B.3. CASUAL O INCIDENTAL.
Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona
directa e intencionadamente los individuos de la población.
El caso más frecuente de este procedimiento el utilizar como
muestra:
A. Los individuos a los que se tiene fácil acceso (los profesores
de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios
alumnos).
B. Un caso particular es el de los voluntarios.
C. Personas conocidas o amigos.
B.4. BOLA DE NIEVE.
Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y
estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este
tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios
con
poblaciones
"marginales",
delincuentes,
sectas,
determinados tipos de enfermos, etc.
LA MUESTRA.
Las dos preguntas importantes de cada una de las muestras.
1. Que individuos de la población debo escoger para la
conformación de la muestra?

Observar las características de la población, para la
muestra.

Propiedades de cada uno de los elementos de la muestra.

Determinar las condiciones de los elementos.

Que es lo que se va a estudiar?
2. Cuantos elementos de la población debo tomar para formar la
muestra?

Tamaño.

Representatividad.

Ahorro.
a. Tiempo.
b. Dinero.
c. Personal.

Efectividad.
3. Determinar las conclusiones, la inferencia y minimizar los
errores.
TAMAÑO DE LA MUESTRA.
Regularmente cada estudio dentro de sus especificidades tiene:
Es una parte de la población.
1.
Que individuos se deben escoger.
A. Características de cada uno de los elementos.
B. Propiedades que deben tener.
C. Condiciones que se deben cumplir.
D. Que se va estudiar.
2. Cuantos se deben escoger.
A. Tamaño de la muestra. Numero.
B. Representativa.
C. Ahorro:
a. Tiempo.
b. Dinero.
c. Personal.
Esto se realiza para poder en estadística Inferencial de:
Concluir y decidir sobre toda una población, pero pensando en la
efectividad de la aplicación.
1. Tamaño de la muestra apropiado y debe cumplir con unas
propiedades.
a. Aceptable.
b. Idónea.
c. Conseguida con el mínimo esfuerzo.
Como se puede obtener el tamaño de la muestra.
a. Programas de computación.
b. Formulas específicas de la estadística.
c. Criterios específicos del investigador.
2. Elementos de conformación para la muestra.
Error estándar: Mide el intervalo de confianza.
Se calcula o se tiene como dato de ayuda:
1. Media aritmética.
2. Probabilidad o porcentaje.
3. Diferencia de medias.
3. La muestra debe ser:
A. Representativa.
B. Completa. Todas las características y variables.
C. Precisión estadística: Disminuye el error estándar.
TALLER EN CLASE.
Usted debe extractar cada uno de los conceptos y definiciones de las
técnicas del muestreo y resolver los siguientes ejercicios.
1. La secretaria de salud pública desea determinar por medio de un
estudio el índice de satisfacción de los hospitales oficiales en el
área de hospitalización y cirugía, para eso decide encuestar 300
pacientes de un total de 3.600, distribuidos entre todos.
1. Cuál sería el método más aconsejable para la escogencia de
la muestra. Y porque.
Sistemático
2. El número de Instituciones elegidas para a toma de dicha
muestra.
𝑁 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.600
𝑘= =
=
= 12
𝑛
𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
300
3. Cuantos pacientes de cada una de las instituciones
escogerían para la encuesta.
300/12 25.
4. Que decidiría Ud. en caso de que en una de las Instituciones
se encontrara un número de paciente inferior al número de
pacientes escogidos.
2. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio
Vila Fátima, viven 2.400 niños, 3.200 jóvenes, 6.000 adultos y
1.500 ancianos, y se desean unificar los criterios de gustos de
ocio. Si se decide elegir la muestra de la anterior población.
1. Cuál sería el método más adecuado que Ud. utilizaría.
Porque.
2. Determinar el tamaño muestral correspondiente a cada
estrato.
3. Si Ud. decide escoger una cuota fija por porcentaje para
cada uno de los grupos del barrio, Cual seria el más
adecuado y cuanto aportaría cada grupo a la muestra.
4. Que recomendaciones harían ustedes para la escogencia de
la muestra.
NOTA: Deben aparecer todas las operaciones para que el
ejercicio tenga validez.
3. Los investigadores de problemas de convivencia y drogadicción
en Cali desean determinar las edades de la población con mayor
índice de consumo. Han determinado tomar una muestra
representativa para que dicho estudio sea bien fundamentado.
1. Como clasificaría la población.
2. Como los conseguiría.
3. Que método de recolección de información y datos Ud.
tomaría.
Que método de muestreo utilizaría.
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIA.
CARACTERISTICAS DE LA MEDIA.
Cada muestra de tamaño n que se pueda extraer, proporciona una
muestra.
Cada media se puede considerar como una variable aleatoria, para
estudiar su distribución.
La distribución de la media sigue la distribución normal.
𝑁(𝜇,
𝜎
√𝑛
)
Si la distribución no sigue una distribución normal, pero 𝑛 > 30,
aplicamos el Teorema del Limite Central.
EJEMPLO DEDUCCION.
Para una población de 4 estudiantes en los cuales se les evaluó un
examen de estadística, con calificación del [1; 10] y resultados 𝑁 =
{1,3,5,7}, se desea determinar:
1. Media aritmética de la Población.
𝑋̅ =
2.
∑4𝑖=1 𝑋𝑖 1 + ⃛3 + 5 + 7 16
=
=
=4
4
4
4
Desviación estándar de la población.
𝑆=√
∑4𝑖=1(𝑋𝑖 −𝑋̅)2
𝑁
√
=√
(1−4)2 +(3−4)2 +(5−4)2 +(7−4)2
4
=
9+1+1+9
20
= √ = √5 = 2.2360
4
4
CON SUSTITUCION.
Hay sustitución del elemento que se saca.
1.
2.
No
MUESTRA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1
1
1
3
3
3
3
5
5
5
5
7
7
7
7
MEDIA
D.M
S
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
-3
-2
-1
0
-2
-1
0
1
-1
0
1
2
0
1
2
3
9
4
1
0
4
1
0
1
1
0
1
4
0
1
4
9
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
4
2,5
La media aritmética de cada una de las muestras es:
̅ 1 + 2 + 3 + ⋯ . +5 + 6 + 7 64
∑16
𝑖=1 𝑋𝑖
𝜇=
=
=
=4
16
16
16
Se observa que la media aritmética de la población y la muestra
son iguales.
𝑋̅ = 𝜇
La Desviación estándar de la muestra es:
𝜎𝑥̅ = √
2
̅
∑16
𝑖=1|𝑋𝑖 −𝜇|
16
=√
9+4+1+⋯+1+4+9
16
40
= √16 =
5 √5
√ =
2 √2
Podemos observar que la Desviación Estándar de la muestra es
igual a la Desviación Estándar de la población dividida por la raíz
de los elementos de la muestra.
𝜎𝑥̅ =
3.
𝑆
√𝑛
=
𝜎
√𝑛
Si realizamos una tabla de frecuencias de las medias aritméticas
de las muestras:
Medi frecu
No
a
e
Prob
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
3
6
6
2
7
7
1
16
1⁄
16
2⁄
16
3⁄
16
4⁄
16
3⁄
16
2⁄
16
1⁄
16
16⁄
16
FRECUECNIAS
HISTOGRAMA
5
4
3
2
1
0
frecue
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
3
2
1
No
Media
frecu
e
1
2
2
2
3
2
3
4
4
4
5
2
5
6
2
12
Prob
2⁄
12
2⁄
12
4⁄
12
2⁄
12
2⁄
12
12⁄
12
HISTOGRAMA
Si calculamos la esperanza matemática, equivaldría a la media
aritmética de la media muestral:
FRECUENCIA
4.
𝑛
𝜇 = 𝐸(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅𝑖 𝑃𝑖 =
𝑖=1
1
2
3
4
3
2
1
(1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7)
16
16
16
16
16
16
16
1
4
9 16 15 12 7
64
+
+
+
+
+
+
=
=4
16 16 16 16 16 16 16 16
5. Determine la varianza por medio de:
𝑛
Media
𝑛
̅2
𝑉(𝑋̅) = ∑ 𝑋 𝑃𝑖 − ∑ 𝐸(𝑋) =
2
𝑖=1
4.
3
5
7
1
5
7
1
3
7
1
3
5
2
3
4
2
4
5
3
4
6
4
5
6
-2
-1
0
-2
0
1
-1
0
2
0
1
2
MEDIA MUESTRAL
48
4
1.
2.
5
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
(2)
+ (3)
+ (4)
+ (5)
+ (6)
12
12
12
12
12
4
6 16 10 12 48
+
+
+
+
=
=4
12 12 12 12 12 12
5.
Determine la varianza por medio de:
𝑛
𝑛
𝑉(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅ 2 𝑃𝑖 − ∑ 𝐸(𝑋) 2 =
𝑖=1
𝑖=1
2
2
4
2
2
2 ( ) + 32 ( ) + 42 ( ) + 52 ( ) + 62 ( ) − (4)2
12
12
16
16
16
4 18 64 50 72
208
20
+
+
+
+
− 16 =
− 16 =
12 12 12 12 12
12
12
2
DE.
Si la Desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
4
1
0
4
0
1
1
0
4
0
1
4
𝜎𝑋̅ = √𝑉(𝑥̅ ) = √
20
5 √5
=√ =
12
3 √3
EJERCICIO: En una Universidad del estado se ha realizado una
investigación diagnostica sobre el área de Matemática Fundamental
1, del total de 400 estudiantes, para ello se tomo una muestra de 36
estudiantes de Ingeniería Mecánica, la cual arrojo los siguientes
resultados:
El promedio de la calificación de todos los estudiantes de la
Universidad fue de 6.8 y una desviación típica poblacional de 2.25.
Los datos del problema:
Media Población = 𝑋̅𝑝 = 6.8 Media de la Muestra 𝜇 = 6.8
Desviación Típica Poblacional 𝜎𝑝 = 2.25
Población N = 400 Muestra n = 36
E. Hallar los estudiantes con nota inferior a 6.0
𝑃(𝑋̅𝑖 < 6.0) = 𝑃(𝒁 < −2. 𝟏𝟑) = 0.0166 ≡ 1.66%
1. Hallamos la desviación típica de la muestra
1,291
La media aritmética de cada una de las muestras es:
̅ 2 + 3 + 4 + ⋯ + 4 + 5 + 6 48
∑12
𝑖=1 𝑋𝑖
𝜇=
=
=
=4
12
12
12
Que se observa entre la media aritmética de la población y la
media muestral?
𝑋̅ = 𝜇
La Desviación estándar de la muestra es:
𝜎𝑥̅ = √
4
𝑖=1
20
1,667
Desviación ESTANDAR
3
𝑛
40
5 √5
𝜎𝑋̅ = √𝑉(𝑥̅ ) = √ = √ =
16
2 √2
1
1
1
3
3
3
5
5
5
7
7
7
2
𝜇 = 𝐸(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅𝑖 𝑃𝑖 =
Si la Desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
Si calculamos la esperanza matemática, equivaldría a la media
aritmética de la media muestral:
𝑖=1
1
2
3
4
3
𝑉(𝑋̅) = 12 ( ) + 22 ( ) + 32 ( ) + 42 ( ) + 52 ( ) +
16
16
16
16
16
2
1
62 ( ) + 72 ( ) − (4)2
16
16
1
8 27 64 75 72 49
̅
𝑉(𝑋 ) =
+
+
+
+
+
+
− 16 =
16 16 16 16 16 16 16
262
40
𝑉(𝑋̅) =
− 16 =
16
16
SIN SUSTITUCION:
No se pueden sustituir los elementos de la muestra
MEDI
No
MUESTRA
D.M
A
5
4
3
2
1
0
2
̅
∑12
4+ 1 + 0+ ⋯+ 0 + 1+ 4
𝑖=1|𝑋𝑖 − 𝜇|
=√
12
12
𝜎𝑥̅ =
2.
4.
√𝑛
=
2.25
√36
=
2.25
= 0.375
6
Hallamos las unidades estandarizadas para 𝑋̅𝑖 = 6.0.
𝑍=
3.
𝜎𝑝
𝑋̅𝑖 − 𝜇 6.0 − 6.8 −0.8
=
=
= −2.13
𝜎𝑥̅
0.375
0.375
Hallamos el valor correspondiente de Z=-2.13 en la tabla, que es
una A=0.0166, equivalente a un 1.66%.
La grafica de la campana de Gauss
A=0.0166
20
5 √5
=√ =√ =
12
3 √3
Que se puede concluir?
𝑁−𝑛
2
̅
∑16
𝑖=1|𝑋𝑖 −𝜇|
𝜎𝑥̅ = √ 𝑁−1 √
3.
16
4−2
5
2
5
10
= √4−1 √2 = √3 √2 = √ 6
Si realizamos una tabla de frecuencias de las medias aritméticas
de las muestras:
-4
5.3
5.
-3
5.675
-2
-1
6.05 6.425
0
6.8
1
2
3
7.175 7.55 7.925
4 Unidades Z
8.3 Promedios
Determinamos el número de estudiantes que cumplen la
condición de estar con nota inferior a 6.0
Nº = NxP = (400)(0.0166) = 6.64 aproximamos a 7
CONCLUSIÓN.
1. La probabilidad de escoger una estudiante con nota inferior
a 6.8 es de 0.0166 o el equivalente al 1.66%.
Los estudiantes que tienen nota inferior a 6 solamente son 7 del total
de la población de la Universidad en la carrera de Ingeniería
Mecánica.
b. Hallar el número de estudiantes de Ingeniería mecánica, que
tienen nota superior a 8.5, en el área de Matemática.
𝑃(𝑋̅𝑖 > 8.0) = 𝑃(𝒁 < 3.2) = 1 − 0.99931 ≡ 0.00069
1. Hallamos las unidades estandarizadas para 𝑋̅𝑖 = 8.0.
6.
𝑍=
2.
3.
𝑋̅𝑖 − 𝜇 8.0 − 6.8
1.2
=
=
= 3.2
𝜎𝑥̅
0.375
0.375
Hallamos el valor correspondiente de Z=3.2 en la tabla, que es
una A=0.99931.
La grafica de la campana de Gauss
A=0.99931
A=0.00069
85
1.439
80
1.282
Para tamaños de muestra > 30, o 𝜎 conocida usar la distribución
Normal.
Se desea siempre tener un nivel de confianza alto y un error de
estimación pequeño. El nivel de confianza nos proporciona seguridad
en que nuestro método arroja respuestas correctas. Un error de
estimación pequeño nos dice que el valor del parámetro estimado se
parece mucho al obtenido.
𝛼 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜
1 − 𝛼 = 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎
Si el intervalo de confianza lo tomamos por 90%, entonces tenemos
que:
1 − 𝛼 = 90%, lo que indica que 𝛼 = 10%.
Utiliza un número único o valor para localizar una estimación del
parámetro.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA.
El cálculo de Z (Unidades estandarizadas) para la distribución
muestral de la media.
El valor de z estandarizada, es igual a la diferencia que existe entre la
media muestral 𝑋̅ y la media poblacional 𝜇, dividida por el error
estándar de la media 𝜎𝑥̅ .
𝑍=
-4
5.3
-3
5.675
-2
-1
6.05 6.425
0
6.8
1
2
3
7.175 7.55 7.925
4 Unidades Z
8.3 Promedios
Los valores por los cuales nos está preguntando el problema son
los del área derecha sombreada con fucsia y la tabla nos entrega
los del lado izquierdo. Por lo tanto al total le debemos restar el
área encontrada. 1-0.99931=0.00069
5. Nº = NxP = (400)(0.00069) = 0.276 aproximamos a 0
6. CONCLUSIÓN.
1. La probabilidad de escoger una estudiante con nota
superior a 8.0 es de 0.00069 o el equivalente al 0.069%.
2. Los estudiantes que tienen nota superior a 8.0 en el área de
matemática son 0.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA.
En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números
entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con
una determinada probabilidad de acierto.
Es el intervalo comprendido entre dos valores, en el cual podemos
decir que se encuentran nuestros datos o nuestras medias.
ESTIMACION PUNTUAL:
Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se
denominan ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto
estimado de la media y desviación estándar real de población o de los
PARAMETROS.
ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA:
Denota un rango dentro del cual se puede encontrar el parámetro y
el nivel de confianza que el intervalo contiene al parámetro.
LIMITES DECONFIANZA:
Son los límites del intervalo de confianza inferior, (Lado izquierdo de
la media poblacional) y superior (Lado derecho de la media
poblacional).
INTERPRETACIÓNDEL INTERVALO DE CONFIANZA:
Tener un 95% de confianza en que la media poblacional real y
desconocida se encuentra entre los valores Límite inferior de
confianza y Limite superior de confianza.
Recuerde que para hallar el intervalo de confianza se deben
encontrar los límites de este.
NIVELDE SIGNIFICANCIA = 1- INTERVALO DE CONFIANZA = ERROR
TIPO 1 = ALFA
¿Cómo obtenemos un intervalo de confianza?
Estimación puntual + error de estimación
¿De dónde viene el error de estimación o margen de error?
Z estandarizado x Desviación estándar
Ejemplo 1
Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el
intervalo de confianza al 95% donde se encuentra la media para una
distribución normal es: 100 ± 1.96(10) => (80.4, 119.6)
𝑍0.025 = ±1.96
El 95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de
oportunidad de obtener un punto fuera de ese intervalo.
Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z
veremos que para un área de 0.025, corresponde a una Z de1.960.
C. I.
Multiplicador Za/2
99
2.576
95
1.960
90
1.645
𝑋̅ − 𝜇 𝑋̅ − 𝜇
= 𝜎
𝜎𝑥̅
√𝑛
Despejando el valor de 𝑋̅, obtenemos:
𝑋̅ = 𝜇 + 𝑧
4.
𝜎
√𝑛
Pero como para el intervalo se debe encontrar un intervalo que
contenga la media poblacional, entonces reemplazamos a 𝜇 por 𝑋̅ y
cada uno de los limites estará dado por:
𝜎
𝑋̅ ± 𝑍
𝑋̅ − 𝑍
𝜎
√𝑛
√𝑛
≤ 𝜇 ≤ 𝑋̅ + 𝑍
Donde Z = valor correspondiente a una área acumulada 1 -
𝛼
de la
2
distribución normal estandarizada, esto es, una probabilidad de la
𝛼
cola superior d e
2
EJERCICIO No1.
Para los estudiantes de la Universidad, en ingeniería mecánica, se
desea hallar un intervalo de confianza del 90%.
1. Los datos: 𝛼 = 10%
2. Hallamos las colas del enunciado.
𝐶𝑜𝑙𝑎𝑠 =
3.
100% − 90% 10%
=
= 5%
2
2
Esto equivale a una área de A = 0.05, en cada extremo.
Realizamos la campana de Gauss.
A=0.99931
A=0.05
5%
A=0.05
90%
INTERVALO DE CONFIANZA
5%
Unidades Z
𝑍1
𝑍2
Promedios
𝑋̅1
𝑋̅2
4. Determinamos los valores de Z para cada extremo, así:
1.
𝑋̅𝑖 −𝜇
𝜎𝑥
̅
, entonces
𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑥̅
Como 𝑍1 esta para el lado izquierdo y el Área es 5% = 0.05,
lo hallamos en la tabla, el valor que le corresponde a 𝑍1 .
𝑍1 = −1.64 Entonces
𝑋̅1 = 𝜇 ± 𝑍1 𝜎𝑥̅
= 6.8 + (-1.64)(0.375)
= 6.8 – 0.615 = 6,185
3. Como Z2 esta para el lado derecho y el Área es 95% = 0.95,
lo hallamos en la tabla, el valor que le corresponde a Z2 .
Z2 = +1.64 Entonces
𝑋̅2 = 𝜇 ± 𝑍2 𝜎𝑥̅
= 6.8 + (+1.64)(0.375)
= 6.8 + 0.615 = 7,145
4. El intervalo de confianza que estamos hallando es:
6,185 < 𝜇 < 7,415
CONCLUSIÓN: Con un 90% de confianza podemos asegurar que
nuestro promedio de notas de 6.8 se encuentra en dicho
2.
5.
Como 𝑍𝑖 =
intervalo.
El intervalo de confianza del 90% de confianza podemos decir que
nuestros promedios de notas, del área de matemática fundamental,
se encuentran entre los valores de 6,185 y 7,145. [6,185 ; 7,145]
ELEMENTOS DE UNA MUESTRA.
Si consideramos que el error estándar con el cual vamos a trabajar es
𝑋̅𝑖−𝑠 = 𝑋̅ ± 𝑍𝑖−𝑠
Para 𝑍𝑖 =
tenemos que
𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ − 𝑍𝑖
𝜎
√𝑛
Para 𝑍𝑠 =
tenemos que
𝑋̅𝑠 = 𝑋̅ ± 𝑍𝑠
𝜎
√𝑛
Los elementos de la muestras se encuentran despejando n y tenemos
𝑍𝜎
de aquí se deduce que
𝑒
𝑍𝜎 2
𝑛= (𝑒) .
EJERCICIO. Si trabajáramos con un error de ± 0.75 de las notas en el
área de matemática para los estudiantes de Ingeniería Mecánica,
sabiendo que la desviación estándar de todas las notas fue de 2.25 y
con un intervalo de confianza del 90%, Cual debe ser el tamaño de la
muestra a escoger?
1. Hallamos las colas, para poder determinar los valores de Z.
𝐶𝑜𝑙𝑎𝑠 =
2.
100% − 90% 10%
=
= 5%
2
2
A = 0.05 y en la tabla 𝑍 = ±1.64.
Como el error es de ± 0.75, 𝜎 = 2.25, el valor de n será:
𝑍𝜎 2
1.64𝑥2.25 2
𝑛= ( ) =(
) = 29.88 ≡ 30
𝑒
0.75
EJERCICIO No2.
Un fabricante de papel para computadora tiene un proceso de
producción que opera continuamente a lo largo del turno completo.
Se espera que el papel tenga una media de longitud de 11 pulgadas y
una desviación estándar de 0.02 pul. A intervalos periódicos, se
selecciona una muestra para determinar si la media de longitud de
papel es igual a 11 pul o para ver si algo ha salido mal durante el
proceso que haya cambiado la longitud del papel que se fabrica. Se
selecciona una muestra aleatoria de 100 hojas de papel y la media
muestral es de 10.998 pul. Construya una estimación del intervalo de
confianza del 95% para la media poblacional de la longitud del papel.
Datos del problema:
𝑋̅ = 10.998 pul
𝜇 = 11 pul
𝜎 = 0.02
n = 100
𝜎
0.02
El error estándar es 𝜎𝑋̅ =
=
= 0.002
√100
√𝑛
𝛼
100%−95%
Las colas:
= 2.5%. Equivalente al área A = 0.025 =
2
2
𝛼
A= = 0.025
El intervalo es:
Conclusión:
EJERCICIO No4.
Que sucede si el intervalo de confianza se cambia al 99%?
Las colas o nivel de significancia:
100%−99%
2
El área equivalente es: A =
Realice el grafico.
Halamos el valor de 𝑍𝑖 =
𝑋̅𝑖−𝑠 = 𝑋̅ ± 𝑍𝑖−𝑠
=
𝑍𝑠 =
𝜎
.
√𝑛
Si reemplazamos cada una de las variables, hallamos los límites del
intervalo:
𝜎
√𝑛
Para 𝑍𝑖 =
tenemos que
𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ − 𝑍𝑖
Para 𝑍𝑠 =
tenemos que
𝑋̅𝑠 = 𝑋̅ − 𝑍𝑠
INTERVALO DE CONFIANZA
2
10.994
√𝑛
Si reemplazamos cada una de las variables, hallamos los límites del
intervalo:
𝜎
𝑒 = 𝑍𝜎𝑥̅ = 𝑍 ( )
√𝑛
√𝑛 =
𝜎
𝑍1
-1.96
10.996
10.998
11
11.002
𝑍2
1.96
11.004
𝜎
√𝑛
11.006
Halamos el valor de Z = -1.96 Z = 1.96 por simetría.
𝑋̅ ± 𝑍
𝜎
√𝑛
Si reemplazamos cada una de las variables, hallamos los límites del
intervalo:
10.998 ± (1.96)
0.02
√100
= 10.998 ± (1.96)(0.002)
Para 𝑍1 = −1.96 𝑋̅1 = 10.998 − (1.96)(0.002)
= 10.998 – 0.00392
= 10.99408
Para 𝑍2 = +1.96 𝑋̅1 = 10.998 + (1.96)(0.002)
= 10.998 + 0.00392
= 11.00192
El intervalo 10.99408 ≤ 𝜇 ≤ 11.00192
Conclusión: Con el 95% de confianza la media poblacional está
incluida en el intervalo, por lo tanto el proceso funciona
correctamente.
EJERCICIO No3.
Que sucede si el intervalo de confianza se cambia al 90%?
Las colas o nivel de significancia:
El área equivalente es: A =
Realice el grafico.
El intervalo es:
Conclusión:
100%−90%
2
EJERCICIO No5.
Realice el ejercicio si se toma una muestra de 200 hojas y con
consideraciones de desviación estándar y media poblacional
idénticas? Considérese un intervalo de confianza del 95%.
El error estándar es 𝜎𝑋̅ =
Las colas:
100%−95%
2
𝜎
√𝑛
=
= 2.5%. Equivalente al área A = 0.025 =
𝛼
2
INTERVALO DE CONFIANZA
𝛼
A= = 0.025
2
=
𝑍1
𝑍2
11
Halamos el valor de 𝑍1 =
𝑍2 =
𝑋̅𝑖−𝑠 = 𝑋̅ ± 𝑍𝑖−𝑠
Halamos el valor de 𝑍𝑖 =
𝑍𝑠 =
.
𝜎
√𝑛
Si reemplazamos cada una de las variables, hallamos los límites del
intervalo:
Para 𝑍1 =
𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ − 𝑍1
Hallemos el límite inferior
Para 𝑍2 =
𝑋̅𝑠 = 𝑋̅ + 𝑍2
Hallemos el límite inferior
𝜎
√𝑛
𝜎
√𝑛
Halamos el valor de 𝑍1 =
𝑍2 =
𝑋̅𝑖−𝑠 = 𝑋̅ ± 𝑍𝑖−𝑠
𝜎
√𝑛
Si reemplazamos cada una de las variables, hallamos los límites del
intervalo:
Para 𝑍1 =
Hallemos el límite inferior
𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ − 𝑍1
𝜎
√𝑛
El intervalo: Escribirlo:
Para 𝑍2 =
Hallemos el límite inferior
𝑋̅𝑠 = 𝑋̅ + 𝑍2
Conclusión:.
𝜎
√𝑛
El intervalo: Escribirlo:
EJERCICIO No6.
1. Realice el ejercicio si se toma una muestra de 200 hojas y con
consideraciones de desviación estándar y media poblacional
idénticas? Considérese un intervalo de confianza del 95%.
El error estándar es 𝜎𝑋̅ =
Las colas:
100%−95%
2
𝛼
𝜎
√𝑛
Conclusión:.
=
=
. Equivalente al área A = 0.025 =
2
INTERVALO DE CONFIANZA
𝛼
A= =
DISTRIBUCION MUESTRAL DE UNA PROPORCION
Para una población de N elementos, en las cuales se puede
determinar que X son los posibles resultados positivos o aciertos del
fenómeno.
La proporción poblacional será:
2
𝑃=𝜋=
𝑋
.
𝑁
Para una muestra de n elementos, en las cuales se puede determinar
que x son los posibles resultados positivos o aciertos del fenómeno.
La proporción muestral será:
𝑥
𝑍1
𝑝=𝜋= .
𝑛
Se da la siguiente población de cuatro figuras geométricas, de tal
forma que los representamos así: Cuadrado = K, Triangulo = T, Circulo
= C, Pentágono = P.
𝑍2
11
Halamos el valor de 𝑍1 =
𝑍2 =
𝑋̅𝑖−𝑠 = 𝑋̅ ± 𝑍𝑖−𝑠
P={
𝜎
√𝑛
Si reemplazamos cada una de las variables, hallamos los límites del
intervalo:
Para 𝑍1 =
Hallemos el límite inferior
Para 𝑍2 =
Hallemos el límite inferior
𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ − 𝑍1
𝑋̅𝑠 = 𝑋̅ + 𝑍2
𝜎
√𝑛
𝜎
√𝑛
El intervalo: Escribirlo:
Conclusión:.
EJERCICIO No7.
2. Realice el ejercicio si se toma una muestra de 200 hojas y con
consideraciones de desviación estándar y media poblacional
idénticas? Considérese un intervalo de confianza del 99%.
El error estándar es 𝜎𝑋̅ =
Las colas:
=
100%−99%
𝛼
2
𝜎
√𝑛
=
=
. Equivalente al área A = 0.025
,
,
,
} = {K, T, C, P}.
P=La proporción es sacar un triangulo.
𝑥
P = , donde x = Evento = Sacar triangulo = 1
𝑛
n = Número total de elementos = 4. Hállela.
𝑥
1
P=𝑁=4=𝜇
Escoja todas las muestras de tamaño dos posibles que existan:
CON SUSTITUCION.
PROBABILIDD
MUESTRA
SACAR
No
DE CADA
DOS ELEMENTOS TRIANGULO
MUESTRA 𝑥̅𝐼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
K, K
K,T
K,C
K,P
T,K
T,T
T,C
T,P
C,K
C,T
C,C
C,P
P,K
P,T
P,C
P,P
0
1
0
0
1
2
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0/2
½
0/2
0/2
½
2/2
½
½
0/2
½
0/2
0/2
0/2
½
0/2
0/2
2
INTERVALO DE CONFIANZA
𝛼
A= = 0.005
2
𝑍1
𝑍2
11
MUESTRA DOS ELEMENTOS:
La combinación de los dos elementos, teniendo en cuenta que el que
sale puede volver a tomarse.
SACAR TRIANGULO: Contar las posibilidades de sacar triangulo, que
puede ser, 0, 1, 2.
PROBABILIDAD MUESTRA:
Recuerde que es la probabilidad en cada muestra, del total de dos
elementos.
Construya la tabla de frecuencias y probabilidades.
No
1
2
3
Fi
𝑥̅𝐼
MUESTRA FRECUENCIA
0
1/2
2/2
9
6
1
Pi
TOTAL
9/16
6/16
1/16
6
1 2 6
1 2
6
1
1
𝑉(𝑋̅) = (0)2 ( ) + ( ) ( ) − ( ) =
−
=
12
2
12
4
48 16 16
Si la Desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
1
1
𝜎𝑋̅ = √𝑉(𝑥̅ ) = √ =
16
4
Compruebe que la desviación estándar es la misma expresión que:
𝑁 − 𝑛 𝑝(1 − 𝑝)
𝑁 − 𝑛 𝜋(1 − 𝜋)
√
√
𝜎𝑥̅ = √
=√
𝑁−1
𝑛
𝑁−1
𝑛
Calcule la esperanza matemática:
𝑛
9
1 6
2 1
𝐸(𝑋̅ ) = ∑ 𝑋̅𝑃𝑖 = (0) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) =
16
2 16
2 16
𝑖=1
6
2
8
1
+
=
= =𝑝
32 32 32 4
Compárelo con la proporción de la población de sacar un triangulo.
Determine la varianza por medio de:
𝑛
𝑉(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅ 2 𝑃𝑖 − 𝐸(𝑋̅)2 =
𝑖=1
2
2
9
1
6
2
1
1
𝑉(𝑋̅ ) = (0)2 ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) − ( )2
16
2
16
2
16
4
6
1
1
6
3
𝑉(𝑋̅) = 0 +
+
−
=
=
64 16 16 64 32
Si la Desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
𝜎𝑋̅ = √𝑉(𝑥̅ ) = √
4−2 3
2 3
6
1
√ =√ √ =√ =
𝜎𝑥̅ = √
4 − 1 32
3 32
64 4
Nuevamente vemos que la desviación estándar se puede obtener de
los valores anteriores para muestras sin sustitución.
EJERCICIO No 3:
Si lanzamos una moneda normal 100 veces.
q = P(no cara) = P(sello) = P(s) =
a.
𝑥
1
=
𝑛 2
La desviación estándar, n = 100 para la muestra
𝜎𝑥̅ = √
Compruebe que la desviación estándar es la misma expresión que:
𝜎𝑥̅ = √
Observamos que la desviación estándar calculada por ambos
métodos es igual.
SIN SUSTITUCION:
PROBABILIDD
MUESTRA
SACAR
No
DE CADA
DOS ELEMENTOS TRIANGULO
MUESTRA 𝑥̅𝐼
K,T
K,C
K,P
T,K
T,C
T,P
C,K
C,T
C,P
P,K
P,T
P,C
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
½
0/2
0/2
½
½
½
0/2
½
0/2
0/2
½
0/2
c.
Probabilidad de obtener 55 caras o más? Ósea que x = 55
𝑝𝑖 =
1
2
Fi
𝑥̅𝐼
MUESTRA FRECUENCIA
0
1/2
6
6
12
Calcule la esperanza matemática:
Pi
TOTAL
6/12
6/12
12/12
𝑍=
𝑝 − 𝜋 0.55 − 0.5
=
= 1.0
𝜎𝑝
0.05
Según la tabla la z estandarizada, el área que corresponde, es 0.8413.
Pero como se trata de hallar los mayores a 0.55 o al equivalente 1,
esa área es hacia la derecha (Subrayada)
0.8413
-3
0.35
-2
0.40
-1
0.45
0
0.5
1
0.55
2
0.60
3
0.65
Conclusión: La probabilidad de obtener 55 caras o mas es 15.87%.
EJERCICIO No2.
Probabilidad de obtener 60 sellos o menos?
Obtener 60 sellos equivale a obtener en cara:
1
𝜋 = 𝑝 = 𝜇 = 𝑝(𝑐) =
2
1
𝑃(𝑆) =
2
Proporción de 40 caras debe ser mayor y es:
𝑝=
𝑥
40
4
2
=
=
= = 0.4
𝑛 100 10 5
𝜎𝑝̅ = 0.05
P(𝑃𝑖 ≥ 0.4) = P(𝑧𝑖 ≥ −2) = 1 − 0.0228 = 0.9772
Calcule las unidades estandarizadas.
𝑍=
𝑛
𝐸(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅𝑃𝑖 =
𝑥
55
=
= 0.55
𝑛 100
P(𝑃𝑖 ≥ 0.55 ) = P(𝑧𝑖 ≥ 1) = 1 – 0.8413 = 0.1587
Construya la tabla de frecuencias y probabilidades.
No
𝑝(1 − 𝑝)
𝜋(1 − 𝜋)
=√
=
𝑛
𝑛
1 1
1
1
1
√ 2 ( 2) √ 4
=
=√
=
= 0.05
100
100
400 20
𝑝(1 − 𝑝)
𝜋(1 − 𝜋)
=√
=
𝑛
𝑛
1
1
1 3
3
√4 (1 − 4) √4 (4) √ 16 √ 3
=
=
=
= 0.3061
2
2
2
32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
Cuál es la proporción.
`p = 𝜋 =
b.
3
= 0.3061
32
1
2
p = P(cara) = P(c)=
𝑝 − 𝜋 0.4 − 0.5 −0.1
=
=
= −2
𝜎𝑝
0.05
0.05
0.0228
𝑖=1
6
1 6
6
1
𝐸(𝑋̅) = (0) ( ) + ( ) ( ) =
= =𝑝=𝜇
12
2 12
24 4
Compárelo con la proporción de la población de sacar un triangulo.
Determine la varianza por medio de:
𝑛
𝑉(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅ 2 𝑃𝑖 − 𝐸(𝑋̅)2 =
𝑖=1
-3
0.35
-2
0.40
-1
0.45
0
0.5
1
0.55
2
0.60
3
0.65
Conclusión: la probabilidad de sacar 60 sellos o menos es la
probabilidad de obtener más de 40 caras es de 0.9772 o equivalente
al 97.72%.
𝑋2
72
=
= 0.6
𝑛
120
𝑃2 − 𝜋 0.6 − 0.5
1
𝑍2 =
=
=
= 2.19
𝜎𝑝
0.0456
0.0456
EJERCICIO No3.
Hallar la probabilidad de que en los 100 lanzamientos de la moneda el
número de caras este entre 40% y 70%.
n = 100
𝜎𝑝 = 0.05
𝜋 = 0.5.
Halle el z estandarizado para cada proporción:
𝑝2 =
0.0143
𝑃(40 < 𝑃𝑖 < 70) = 𝑃𝑖 (−2 < 𝑍 < 4) =
0.9857
= 0.9999 - 0.0228 = 0.9771
Proporción 1: 𝑝1 = 40% = 0.4.
𝑍=
𝑝 − 𝜋 0.4 − 0.5 −0.1
=
=
= −2
𝜎𝑝
0.05
0.05
Proporción 2: 𝑝2 = 70% = 0.7.
𝑍=
𝑝 − 𝜋 0.7 − 0.5
0.2
=
=
=4
𝜎𝑝
0.05
0.05
ÁREA
SOLUCION
0.0228
-3
0.35
-2
0.40
-1
0.45
-3
0.35
1
0.55
2
0.60
3
0.65
𝐶𝑜𝑙𝑎𝑠 =
4
0.7
CONCLUSION: La probabilidad de obtener caras en los 100
lanzamientos entre el 40% y 70% es de 0.9771, equivaliendo a un
porcentaje de 97.71%.
EJERCICIO No4.
Hallar la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda, el
número real de caras este comprendido entre 40% y 60%.
Probabilidad de caras = p(c) = p = 𝜋 = 0.5.
Probabilidad de sellos = p(s) = q = 1 – 𝜋 = 1 – 0.5 = 0.5
Hallar el porcentaje de caras de 120 lanzamientos.
8.
9.
60% de 120 =
40
100
60
100
0
0.5
1
0.55
(120) = 48 caras
100% − 95% 5%
=
= 2.5%
2
2
𝑃̅𝑖 −𝜇
𝑃̅𝑖 = 𝜋 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑝
6.
Como 𝑍1 esta para el lado izquierdo y el Área es 2.5% =
0.025, lo hallamos en la tabla, el valor que le corresponde a
𝑍1 .
𝑍1 = −1.96 Entonces
𝑃̅1 = 𝜋 ± 𝑍1 𝜎𝑝
= 60 + (-1.96)(5.47)
= 60 - 10.72
= 49.28
Como Z2 esta para el lado derecho y el Área es 95% = 0.95,
lo hallamos en la tabla, el valor que le corresponde a Z2 .
Z2 = +1.96 Entonces
𝑃̅2 = 𝜋 ± 𝑍1 𝜎𝑝
= 60 + (-1.96)(5.47)
= 60 + 10.72
= 70.72
El intervalo de confianza que estamos hallando es:
49.28 < 𝜋 < 70.72
8.
La desviación estándar, donde p es la probabilidad de éxitos y q la de
no aciertos, es:
𝜎𝑝
, entonces
0.0143
0.9857
𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = √120(0.5)(0.5) = √30 = 5.47
𝑋̅2 = 72
𝑍2 =
𝜎𝑝
=
√30
72−60
√30
=
−12
√30
+12
√30
= −2.19
= +2.19
0.9857
0.0143
-3
43.59
-2
49.06
-1
54.53
0
60
1
65.47
2
70.94
3
76.41
-3
43.59
4
81.88
Como son los valores comprendidos entre −2.19 < 𝑧 < +2.19
CONCLUSION: La probabilidad de que los resultados de los 120
lanzamientos de la moneda, los resultados de cara estén entre el 40%
y el 60% son de 0.9714 o el equivalente del 97.14%.
Si se calcula por la distribución de proporciones
1
1
𝜋=𝑝=
q=
2
2
La desviación estándar es:
𝜎𝑝 = √
𝑝(1 − 𝑝)
𝜋(1 − 𝜋)
0.5(1 − 0.5)
=√
=√
= 0.0456
𝑛
𝑛
120
Si hallamos cada una de las proporciones.
Proporción de 40% de caras.
𝑋1
48
=
= 0.4
𝑛
120
𝑃1 − 𝜋 0.4 − 0.5
−0.1
𝑍1 =
=
=
= −2.19
𝜎𝑝
0.0456
0.0456
𝑝1 =
Proporción de 60% de caras.
4
0.7
Como 𝑍𝑖 =
7.
La proporción muestral de proporciones se comporta como una
distribución binomial, tal que:
Halle la media 𝜇 = np = 120(0.5) = 60 caras
𝜎𝑝
𝑋̅2 −𝜋
3
0.65
5.
(120) = 72
Unidades estandarizadas para:
𝑋̅ −𝜋
48−60
𝑋̅1 = 48
𝑍1 = 1 =
=
2
0.60
Esto equivale a una área de A = 0.025, en cada extremo.
Realizamos la campana de Gauss.
Determinamos los valores de Z para cada extremo, así:
𝑃(40% < 𝑃(𝑐) < 60%) = 0.9857 − 0.0143 = 0.9714 =
97.14%
40% de 120 =
-1
0.45
Las graficas son exactamente iguales, solamente la diferencia está en
los valores de las escalas y por lo tanto la conclusión seria igual.
CONCLUSION: La probabilidad de que los resultados de los 120
lanzamientos de la moneda, los resultados de cara.
EJERCICIO No5.
Determínese un intervalo de confianza del 95%, para los 120
lanzamientos del ejercicio anterior.
6. Los datos: 𝛼 = 5%
7. Hallamos las colas del enunciado.
0.9999
0
0.5
-2
0.40
-2
49.06
-1
54.53
0
60
1
65.47
2
70.94
3
76.41
4
81.88
10. CONCLUSIÓN: Con un 95% de confianza podemos asegurar que
nuestro promedio de lanzamientos de caras de 60 de ellas se
encuentra en dicho intervalo.
El intervalo de confianza del 95% de confianza podemos decir que
nuestros resultados caras al lanzar la moneda están entre los valores
de 49.28 y 70.72. [49.28 ; 70.72].
EJERCICIO No6.
Si trabajáramos con un error de ± 0.0615 de los lanzamientos de
resultados cara, en los lanzamientos de una moneda, sabiendo que la
desviación estándar de todos las resultados es de 0.0314 y con un
intervalo de confianza del 90%, Cual debe ser el numero de
lanzamientos a realizar?
3. Hallamos las colas, para poder determinar los valores de Z.
𝐶𝑜𝑙𝑎𝑠 =
4.
100% − 90% 10%
=
= 5%
2
2
A = 0.0500 y en la tabla 𝑍 = ±1.96
Como el error es de ± 0.0615, 𝜎 = 0.375, el valor de n será:
𝑛=
𝑝(1 − 𝑝) 0.5(1 − 0.5)
=
≡ 253
𝑒
0.0615 2
( )2
(
)
𝑧
1.96
EJERCICIOS.
1. En una Clínica Infantil de la ciudad de Cali se sabe que del total
de niños nacidos hasta la fecha, se toma una muestra de los
1.
últimos 200 niños nacidos, de tal forma que 148 son niñas. Si la
proporción de niñas nacidas es de 0.75.
Determínese la proporción muestral p de niñas nacidas.
𝑝=
2.
Determínese el error estándar para la proporción de niñas
nacidas.
𝜎𝑝 = √
3.
𝜋(1 − 𝜋)
0.75(0.25)
=√
= √0.25 = 0.5
𝑛
0.75
Cuál es la probabilidad de que menos del 40% de los nacidos
sean niñas?
𝑍=
4.
𝑥 148
=
= 0.74
𝑛 200
𝑝−𝜋
√𝜎𝑝
=
0.40 − 0.74 −0.34
=
= −0.68
0.5
0.5
7.
Cuáles son los valores o cantidades de niñas comprendidas en el
90% de la muestra, distribuido simétricamente?
100% - 90% = 10%.
10%
2
= 5%
𝑍1 =
𝑝−𝜋
√𝜎𝑝
𝑍2 =
=
0.05 − 0.74 −0.69
=
= −1.38
0.5
0.5
0.95 − 0.74 0.21
=
= 0.42
0.5
0.5
Cuál es la probabilidad de que menos del 60% de los nacidos
sean niñas?
𝑍=
𝑝−𝜋
√𝜎𝑝
=
0.60 − 0.74 −0.14
=
= −0.28
0.5
0.5
Simeón Cedano Rojas
Profesor de la materia
PROBABILIDAD INTRODUCCION.CECEP
5.
Cuál es la probabilidad de que las niñas nacidas en una muestra
sean entre 35% y el 80%?
0.35 − 0.74 −0.39
=
= −0.78
0.5
0.5
√𝜎𝑝
𝑝 − 𝜋 0.80 − 0.74 0.06
𝑍2 =
=
=
= 0.12
0.5
0.5
√𝜎𝑝
𝑍1 =
6.
𝑝−𝜋
=
Cuál es la probabilidad de que más del 90% de los nacidos sean
niñas?
𝑍=
𝑝−𝜋
√𝜎𝑝
=
0.90 − 0.74 0.16
=
= 0.32
0.5
0.5