Gauss, el príncipe de los matemáticos. Parte - UAM-I

G auss, el pr¶³ncipe de los matem¶aticos. Parte (1)¤
p o r E r ic Te m p le B e ll
Arqu¶³medes, Newton y Gauss, los tres, pertenecen
por s¶³ mismos a una clase dentro de los grandes matem¶
aticos, y no est¶a al alcance de los corrientes mortales ordenarlos seg¶
un su m¶erito. Los tres provocaron grandes marcas en las matem¶aticas puras y aplicadas: Arqu¶³medes apreci¶o m¶as las matem¶
aticas puras que sus aplicaciones, parece que Newton encontr¶
o
la justi¯caci¶
on principal en sus descubrimientos matem¶
aticos en los usos cient¶³¯cos a que los condujo,
mientras que Gauss declar¶o que para ¶el era lo mismo
trabajar en la parte pura o en la aplicada. Sin embargo, Gauss coron¶o la aritm¶etica superior, en su d¶³a
el menos pr¶
actico de los matem¶aticos, como la reina de todo.
Por el lado de su madre, Gauss fue verdaderamente afortunado. El padre de Dorothea Benz fue un
cantero que muri¶
o de tuberculosis a los treinta a~
nos
de edad, a consecuencia de las insalubres condiciones laborales de su o¯cio; dej¶
o dos hijos: Dorothea
y su hermano menor Friedrich.
Aqu¶³ se evidencia la ascendencia del genio de Gauss.
Condenado por necesidad econ¶
omica al o¯cio de tejedor, Friedrich fue un hombre genial, altamente inteligente, cuya mente aguda e inquieta se desarroll¶o
por s¶³ misma en campos muy alejados de sus medios subsistenciales. Friedrich se hizo una reputaci¶
on en su o¯cio como tejedor de los m¶
as ¯nos damascos, arte que lleg¶
o a dominar totalmente. Encontrando una mente af¶³n en la del hijo de su hermana, el inteligente t¶³o Friedrich agudiz¶
o su ingenio en el del joven genio e hizo lo que pudo para estimular la viva l¶
ogica del muchacho con sus propias
y burlonas observaciones y con su algo zumbona ¯losof¶³a de la vida.
El linaje de Gauss, Pr¶³ncipe de los Matem¶
aticos, lo
fue todo menos real. Hijo de padres pobres, naci¶
o en una miserable caba~
na de Brunsvie (Braunschweig), Alemania, el 30 de abril de 1777. Su abuelo paterno era un pobre campesino. En 1740 su
abuelo se instal¶o en Brunsvic donde se gan¶
o una
mezquina existencia como jardinero. El segundo de
sus tres hijos, Gerhard Diederich, nacido en 1744,
fue el padre de Gauss. Aparte de este u
¶nico honor, la vida de duro trabajo de Gerhard como jardinero, barquero de canal y alba~
nil no tuvo distinci¶
on de ning¶
un tipo. La imagen que tenemos del padre de Gauss es la de un hombre justo, escrupulosamente honesto y tosco, cuya rudeza para con
sus hijos rayaba a veces en la brutalidad. Su habla era ¶
aspera y su mano pesada. Se gan¶
o gradualmente con honestidad y perseverancia algo de confort, pero su vida no fue nunca f¶acil. No es sorprendente que un hombre as¶³ hiciera todo lo que estaba en su poder para frustrar a su hijo y privarle de adquirir una educaci¶on adecuada a sus facultades. De haber ganado el padre, el muchacho tan dotado habr¶³a seguido una de las ocupaciones familiares, y fue solamente por una serie de felices accidentes que Gauss se salv¶o de convertirse en jardinero o alba~
nil. Era un ni~
no respetuoso y obediente, y aunque m¶as tarde nunca critic¶o a su pobre padre, dej¶
o en claro que nunca hab¶³a sentido un afecto real para con ¶el. Gerhard muri¶o en 1806. Por entonces el hijo a quien hab¶³a hecho todo lo posible para desanimar hab¶³a realizado ya una obra inmortal.
Friedrich sab¶³a lo que se hac¶³a; Gauss en esta ¶epoca
probablemente no. Pero Gauss ten¶³a una memoria fotogr¶
a¯ca que retuvo sin empa~
nar las impresiones de su infancia y adolescencia hasta los d¶³as de su
muerte. Cuando el hombre ya crecido mirando hacia atr¶
as vio lo que Friedrich hab¶³a hecho por ¶el y record¶
o su mente prol¶³¯ca, que una muerte prematura hab¶³a privado de sus posibilidades de fructi¯caci¶
on, lament¶
o que \se hubiera perdido en ¶el un genio nato".
Dorothea se traslad¶
o a Brunsvie en 1768. A los treinta y cuatro a~
nos se cas¶
o con el padre de Gauss. Al
a~
no siguiente naci¶
o su hijo. Su nombre bautismal
completo fue Johann Friedrich Carl Gauss. M¶as tarde ¯rm¶
o sus obras maestras simplemente con Carl
Friedrich Gauss. Aunque en Friedrich Benz, se perdiese un genio, su nombre pervive en el de su agradecido sobrino.
La madre de Gauss fue una honrada mujer de fuerte car¶
acter, aguda inteligencia y una festiva sensatez. Su hijo fue su orgullo desde el d¶³a de su nacimiento hasta su propia muerte a los noventa y siete a~
nos. De sus dos hijos, el \ni~
no prodigio", impresionaba con su asombrosa inteligencia, a todos los
que segu¶³an su fenomenal desarrollo como algo que
¤ A d ap tad o d e en ciclop ed ia S igm a V ol. I. E l m u n d o d e las
m atem ¶
aticas. E d itor ial Gr ijalb o.
39
40
ContactoS 33, 39{47 (1999)
no era de esta tierra. Y cuando mantuvo e incluso super¶
o las promesas de su infancia al llegar a su juventud, Dorothea Gauss se puso de parte del hijo y derrot¶
o la obstinada lucha de su marido por mantener a su hijo tan ignorante como ¶el mismo.
Dorothea deseaba y esperaba grandes cosas de su hijo. Sus preguntas dubitativas a los que estaban en situaci¶
on de juzgar las capacidades de su hijo muestran que a veces dud¶o de si sus sue~
nos se iban a
realizar. Cuando Gauss ten¶³a diecinueve a~
nos pregunt¶
o a su amigo, el matem¶atico Wolfgang Bolyai,
si Gauss llegar¶³a a ser algo. Cuando Bolyai exclam¶
o:
\El m¶
as grande matem¶atico de Europa", rompi¶
oa
llorar.
Pas¶
o los u
¶ltimos veinte a~
nos de su vida en la casa de
su hijo y en los cuatro u
¶ltimos se volvi¶o totalmente
ciega. Gauss se preocup¶o poco, por no decir nada de
su fama; sus triunfos fueron la vida de su madre1 .
Hubo siempre entre ellos una completa comprensi¶
on
y Gauss recompens¶o la valerosa protecci¶on de sus
primero a~
nos, d¶andole una serena vejez. Cuando se
volvi¶
o ciega no permiti¶o a nadie fuera de ¶el mismo
que la cuidara, y la atendi¶o en su larga y u
¶ltima
enfermedad. Muri¶o el 19 de abril de 1839.
El mismo Gauss recuerda de su primera ni~
nez uno
de los muchos accidentes que pod¶³an haber privado a Arqu¶³medes y Newton de su par matem¶
atico.
Una riada de primavera hab¶³a llenado el canal que
corr¶³a al lado de la casa familiar hasta que se sali¶o de madre. Gauss, que jugaba cerca del agua, fue
arrebatado por las aguas y estuvo a punto de ahogarse. Si no fuera por la feliz casualidad de hallarse
en las proximidades un trabajador, su vida habr¶³a ¯nalizado en aquel momento.
En toda la historia de las Matem¶aticas nada hay
que se acerque a la precocidad de Gauss cuando era
ni~
no. No sabemos cu¶ando se evidenci¶o por primera vez e genio de Arqu¶³medes. Las primeras manifestaciones del superior talento matem¶atico de Newton han pasado muy bien inadvertidas. Pero aunque parezca incre¶³ble Gauss mostr¶o su calibre antes de los tres a~
nos de edad.
1 La
ley en d a d e las r elacion es d e Gau ss con su s p ad r es est¶
a
a¶
u n p or com p r ob ar . S in em b ar go, com o v er em os m ¶
as tar d e, la madr e se p u so d el lad o d e su h ijo, y el padr e se le op u so; y com o er a d e r igor en t on ces (n or m alm en te tam b i¶
en ahor a) en u n a fam ilia alem an a, el p ad r e ten ¶³a la u ¶ltim a p alab r a.
A lu d o m ¶
as tar d e a ley en d as p r ov en ien tes d e p er son as en v id a q u e h ab ¶³an con ocid o a m iem b r os d e la fam ilia d e Gau ss,
p ar ticu lar m en te en r elaci¶
on con el tr ato d e Gau ss p ar a con
su s h ijos. E stas alu sion es se r e¯ er en a ev id en cias d e p r im er a m an o; sin em b ar go, n o las gar an tizo, y a q u e er ¶
an p er son as m u y v iejas.
Un s¶
abado Gerhard Gauss estaba haciendo la n¶
omina semanal para los trabajadores
que ten¶³a a su cargo, sin darse cuenta de que su hijo estaba siguiendo su proceder con una atenci¶
on cr¶³tica.
Al llegar al ¯nal de sus largos c¶
alculos, Gerhard se sobresalto al o¶³r gritar al muchachito, \Padre, el c¶
alculo esta equivocado, tendr¶³a que ser . . . " Una comprobaci¶
on de la cuenta mostr¶
o que la cantidad indicada por Gauss era correcta.
Antes de esto el muchacho hab¶³a apurado la pronunciaci¶
on de las letras de alfabeto de sus padres y
amigos y hab¶³a aprendido por s¶³ mismo a leer. Nadie le hab¶³a ense~
nado nada sobre aritm¶etica, aunque suponemos que hab¶³a comprendido el signi¯cado de los d¶³gitos 1, 2, . . . al mismo tiempo que su alfabeto. M¶
as tarde le gustaba bromear diciendo que
sab¶³a calcular antes de poder hablar. Durante toda su vida le acompa~
n¶
o un poder prodigioso para el
c¶
alculo mental intrincado.
Poco despu¶es de su s¶eptimo cumplea~
nos ingres¶o
Gauss en su primera escuela una escu¶
alida reliquia
de la Edad Media regentada por un bruto, un tal
BÄ
uttner, cuyas ideas sobre c¶
omo ense~
nar al centenar de muchachos a su cargo, consist¶³a en sacudirlos hasta ponerlos en un estado tal de aterrorizada estupidez, que olvidaban sus propios nombres. Otro ejemplo m¶
as de los viejos buenos tiempos por los que suspiran los reaccionarios sentimentales. Fue en este agujero del in¯erno donde Gauss
encontr¶
o su fortuna.
No sucedi¶
o nada extraordinario durante los primeros
dos a~
nos. Pero, cuando ten¶³a diez a~
nos, Gauss fue
admitido en la clase de aritm¶etica. Como era la primera clase, ning¶
un muchacho hab¶³a o¶³do nunca nada sobre una progresi¶
on aritm¶etica. Fue f¶
acil, pues,
para el heroico BÄ
uttner a~
nadir a la explicaci¶
on un
largo problema cuya soluci¶
on pod¶³a encontrar mediante una f¶
ormula en pocos segundos. El problema era del tipo siguiente: 81.297 + 81.495 + 81.693
+ . . . + 100.899, donde el paso de un n¶
umero al siguiente es siempre el mismo (198), y se ha de sumar un n¶
umero dado de t¶erminos (100).
Era costumbre de la escuela que el muchacho que obtuviera primero la respuesta dejara su pizarra encima de la mesa; el siguiente encima del primero,
etc¶etera. BÄ
uttner hab¶³a acabado simplemente de
enunciar el problema cuando Gauss tir¶
o su pizarra
encima de la mesa: \Aqu¶³ est¶
a", dijo; Ligget se, en su
sabroso dialecto. Despu¶es, durante la hora siguiente, mientras los otros muchachos se afanaban, permaneci¶
o sentado con sus manos cruzadas agraciado
de vez en cuando por una mirada sarc¶
astica de BÄ
uttner que imaginaba que el alumno m¶
as joven de su
Gauss, el pr¶³ncipe de los matem¶aticos. Parte (1). por Eric Temple Bell
clase no era m¶as que otro zopenco. Al acabar la hora BÄ
uttner mir¶o las pizarras. En la de Gauss aparec¶³a solamente un u
¶nico n¶
umero. Gauss le gustaba contar al ¯nal de sus d¶³as, c¶omo el n¶
umero que
hab¶³a escrito era el correcto y todos los otros estaban equivocados. Nadie hab¶³a ense~
nado a Gauss
el truco para resolver estos problemas r¶apidamente.
Es muy vulgar una vez conocido, pero para un muchacho de diez a~
nos encontrarlo por s¶³ mismo instant¶
aneamente no es tan vulgar.
Esto abri¶
o la puerta por la cual pas¶o Gauss a la inmortalidad. BÄ
uttner qued¶o tan asombrado de lo
que hab¶³a hecho sin instrucci¶on el muchacho de diez
a~
nos que se redimi¶o r¶apidamente y al menos para uno de sus disc¶³pulos se convirti¶o en un maestro humano. Pag¶o de su bolsillo el mejor texto asequible de matem¶aticas y lo regal¶o a Gauss, El muchacho ley¶
o r¶apidamente todo el libro. \Est¶
a fuera
de mi alcance |dijo BÄ
uttner|, no puedo ense~
narle nada m¶
as."
Por s¶³ solo BÄ
uttner no hubiera podido hacer mucho
probablemente para el joven genio. Pero por una feliz casualidad el maestro de escuela ten¶³a un ayudante, Johann Martin Bartels (1769-1836), un joven
apasionado por las matem¶aticas cuya obligaci¶
on consist¶³a en ayudar a escribir a los principiantes y en cortarles sus p¶endolas. Entre el ayudante de diecisiete a~
nos y el alumno de diez surgi¶o una c¶alida amistad
que dur¶
o toda la vida de Bartels. Estudiaron juntos, ayud¶
andose en las di¯cultades y ampliando las
demostraciones en su texto com¶
un de ¶algebra y rudimentos de an¶alisis.
A partir de sus primeros trabajos se desarroll¶
o
uno de los intereses preponderantes en la carrera de Gauss. R¶apidamente domin¶o el teorema del
binomio
n
n(n ¡ 1) 2
(1 + x) = 1 + x +
x +
1
1£2
n
n(n ¡ 1)(n ¡ 2) 3
x + :::;
1£2£3
donde n no es necesariamente un entero positivo,
sino que puede ser cualquier n¶
umero. Si n no es un
entero positivo, la serie de la derecha es in¯nita (no
tiene l¶³mite) y para comprobar cu¶ando esta serie es
realmente igual a (1+x)n , es necesario investigar qu¶e
restricciones se han de imponer a la x y la n para
que la serie in¯nita converja hacia un l¶³mite ¯nito,
de¯nido. Por ejemplo, si x = ¡2, y n = ¡1, nos sale
el absurdo que (1 ¡ 2) ¡ 1, que es (¡1)¡1 = 1= ¡ 1,
o en de¯nitiva ¡1, es igual a 1 + 2 + 22 + 23 + : : :
hasta el in¯nito; es decir, que ¡1 es igual al \n¶
umero
in¯nito" 1 + 2 + 4 + 8 + : : :, lo que es un absurdo.
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Antes de que Gauss se preguntara si las series in¯nitas convergen y nos permiten realmente calcular las
expresiones matem¶
aticas (funciones) que suelen representar, los antiguos analistas no se preocuparon
seriamente de explicar los misterios (y absurdos) que
aparecen al hacer un uso indiscriminado de procesos
in¯nitos. El primer encuentro de Gauss con el teorema del binomio le inspir¶
o algunas de sus m¶as grandes obras, convirti¶endose en el primero de los \rigoristas". Aun hoy en d¶³a una demostraci¶
on del teorema bin¶
omico cuando n no es un entero mayor que cero est¶
a fuera del alcance de un texto elemental. Insatisfecho con lo que ¶el y Bartels encontraron en su
libro, Gauss hizo una demostraci¶
on. Esto le inici¶
o en el an¶
alisis matem¶
atico. La verdadera esencia del an¶
alisis es el uso correcto de procesos in¯nitos. La obra empezada de este modo iba a cambiar
todo el aspecto de las matem¶
aticas. Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Laplace |todos los grandes
analistas de su tiempo| no ten¶³an pr¶
acticamente
una concepci¶
on de lo que hoy se acepta como demostraci¶
on que implique procesos in¯nitos. El primero en ver claramente que una "demostraci¶on"que
conduce a absurdos como que \menos 1 es igual a in¯nito"no es ninguna prueba fue Gauss. Incluso aunque en algunos casos una f¶
ormula d¶e resultados consistentes, no se le admite en las Matem¶
aticas hasta que no se hayan determinado las condiciones precisas bajo las cuales continuar¶
a siendo consistente.
El rigor que Gauss impuso al an¶
alisis oscureci¶o gradualmente todas las matem¶
aticas tanto en sus propios h¶
abitos como en el de sus contempor¶aneos
(Abel, Cauchy) y de sus sucesores (Weierstrass, Dedekind), y despu¶es de Gauss las matem¶
aticas se
convirtieron en algo totalmente distinto de las matem¶
aticas de Newton, Euler y Lagrange.
Gauss fue un revolucionario en sentido constructivo. Antes de que dejara la escuela, el mismo esp¶³ritu
cr¶³tico que le hab¶³a dejado insatisfecho con el teorema del binomio le hizo examinar las demostraciones de la geometr¶³a elemental. A los doce a~
nos miraba ya con recelo los fundamentos de la geometr¶³a
eucl¶³dea; a los diecis¶eis hab¶³a logrado un primer atisbo de una geometr¶³a distinta de la de Euclides. Un
a~
no m¶
as tarde hab¶³a empezado una cr¶³tica investigativa de las demostraciones de la teor¶³a de los n¶
umeros
que hab¶³a satisfecho a sus predecesores y se hab¶³a
propuesto la tarea extraordinariamente dif¶³cil de llenar las lagunas y completar lo que estaba a medio hacer. La Aritm¶etica, el campo de sus primeros triunfos, se convirti¶
o en el escenario de su obra maestra.
Gauss a~
nadi¶
o a su seguro instinto de lo que constituye una demostraci¶
on, una prol¶³¯ca inventiva matem¶
atica que nunca ha sido superada. La combinaci¶
on era imbatible.
42
Bartels hizo m¶
as por Gauss que introducirle en los
misterios del ¶
algebra. El joven maestro conoc¶³a algunos de los hombres in°uyentes de Brunsvie. Entonces se lanz¶
o a la empresa de interesarles en su
hallazgo. Ellos, por su, parte, impresionados favorablemente por el genio evidente de Gauss, lo llevaron a presencia de Carl Wilhelm Ferdinand, Duque de Brunsvie.
El Duque recibi¶o a Gauss por primera vez en 1791.
Gauss ten¶³a entonces catorce a~
nos. La modestia del
muchacho y su desma~
nada timidez se ganaron el coraz¶
on del generoso Duque. Gauss march¶o con la seguridad que su educaci¶on ser¶³a proseguida. Al a~
no siguiente (febrero de 1792) Gauss se matricul¶o en el
Collegium Carolinum de Brunsvie. El Duque pag¶
o
las cuentas v continu¶o pag¶andolas hasta que ¯naliz¶
o la educaci¶
on de Gauss.
Antes de entrar en el Colegio Carolino a los quince
a~
nos, Gauss hab¶³a hecho un gran progreso en las lenguas cl¶
asicas mediante su estudio particular y con la
ayuda de amigos mayores, precipitando de esta manera una crisis en su carrera. Para el craso practicismo de su padre el estudio de las lenguas antiguas era
el colmo de la locura. Dorothea Gauss plante¶o la lucha por su hijo, venci¶o, y el Duque dio el subsidio para un curso de dos a~
nos en el Gymnasium. All¶³ la brillante maestr¶³a de Gauss con los c¶alculos asombr¶
o
por igual a profesores y estudiantes.
El mismo Gauss sent¶³a una fuerte atracci¶on por los
estudios ¯lol¶
ogicos, pero por fortuna para la ciencia hab¶³a de encontrar en breve en las matem¶
aticas
una atracci¶
on m¶as apremiante. Al ingresar en el colegio, Gauss dominaba ya el °exible lat¶³n con que
est¶
an escritas muchas de sus mayores obras. Es
una calamidad que tendremos que lamentar siempre el hecho de que incluso el ejemplo de Gauss fuera impotente contra la ola de fan¶atico nacionalismo que se abati¶
o sobre Europa despu¶es de la Revoluci¶
on francesa y la ca¶³da de Napole¶on. En vez del
f¶acil lat¶³n que hasta para Euler y Gauss y que cualquier estudiante puede dominar en pocas semanas,
los trabajadores cient¶³¯cos han de adquirir el conocimiento escrito de dos o tres lenguas adem¶as de la
suya propia. Gauss resisti¶o tanto como pudo, pero incluso ¶el tuvo que someterse cuando sus amigos astr¶
onomos de Alemania le instaron a que escribiera algunas de sus obras astron¶omicas en alem¶
an.
Gauss estudi¶
o en el Colegio Carolino tres a~
nos, durante los cuales domin¶o las obras m¶as importantes de
Euler, Lagrange y, sobre todo, los Principia de Newton. La mayor alabanza que puede recibir un gran
hombre es de otro de su propia clase. Gauss nunca rebaj¶
o la estimaci¶on que cuando ten¶³a diecisiete a~
nos tribut¶
o a Newton. Otros |Euler, Lapla-
ContactoS 33, 39{47 (1999)
ce, Lagrange, Legendre| aparecen en el °uido lat¶³n
de Gauss con el complementario clarissimus; Newton es summus.
Estando a¶
un en el colegio Gauss hab¶³a empezado las
investigaciones en las matem¶
aticas superiores que
hab¶³an de hacerle inmortal. Sus prodigiosos poderes de c¶
alculo entraron entonces en juego. Fue directamente a los mismos n¶
umeros con que experimentaba, descubriendo por inducci¶
on rec¶
onditos teoremas generales cuya demostraci¶
on le hab¶³an de costar incluso a ¶el un esfuerzo. De esta manera redescubri¶
o \la joya de la aritm¶etica", teorema aureum, al cual hab¶³a llegado tambi¶en Euler inductivamente, y que es conocido como la ley de la reciprocidad cuadr¶
atica y que ¶el hab¶³a de ser el primero en demostrar (el intento de demostraci¶
on de Legendre omite un quid).
Toda la investigaci¶
on se origin¶
o en una simple pregunta que se formulan muchos de los principiantes
en aritm¶etica: >Cu¶
antos d¶³gitos hay en el per¶³odo
de un decimal que se repite? Para esclarecer un poco el problema Gauss calcul¶
o las representaciones decimales de todas las fracciones 1=n para n = 1 hasta 1,000. No encontr¶
o el tesoro que estaba buscando, sino algo in¯nitamente mayor, la ley de la reciprocidad cuadr¶
atica. Vamos a describirla aqu¶³ tal como se enuncia de una manera totalmente sencilla, introduciendo al mismo tiempo una de las revolucionarias nociones que adopt¶
o Gauss en la nomenclatura aritm¶etica y en la notaci¶
on, la de congruencia. En lo que sigue todos los n¶
umeros son enteros (n¶
umeros totalmente comunes).
Si la diferencia (a ¡ b o b ¡ a) de dos n¶
umeros a,
b es exactamente divisible por el n¶
umero m, decimos que a, b son congruentes en relaci¶
on al m¶
odulo
m, o simplemente congruentes m¶
odulo m y lo simbolizamos escribiendo a ´ b (mod. m). As¶³, pues,
100 ´ 2 (mod. 7), 35 ´ 2 (mod. 11).
Las ventajas de este sistema es que recuerda la
manera como escribimos las ecuaciones algebraicas, encierra la noci¶
on algo enga~
nosa de divisibilidad aritm¶etica en una notaci¶
on compacta, y sugiere trasladar a la aritm¶etica (que es mucho m¶as
dif¶³cil que el ¶
algebra) algunas de las manipulaciones
que en el ¶
algebra conducen a resultados interesantes. Por ejemplo podemos \sumar"ecuaciones, y encontramos que las congruencias tambi¶en pueden \sumarse", a condici¶
on de que el m¶
odulo sea el mismo en todas, para dar otras congruencias.
Sea x un n¶
umero desconocido, r y m n¶
umeros dados,
de los cuales r no es divisible por m. >Existe un
n¶
umero x tal que x2 ´ r (mod. m)? Si existe, se
llama a r residuo cuadr¶
atico de m, si no existe, noresiduo cuadratico de m.
Gauss, el pr¶³ncipe de los matem¶aticos. Parte (1). por Eric Temple Bell
Si r es un residuo cuadr¶atico de m, ha de ser posible entonces encontrar al menos un x cuyo cuadrado al dividirlo por m tiene por resto r; si r es un
no-residuo cuadr¶atico de m, no existe un x cuyo cuadrado al dividirlo por m tenga el resto r. Estas consecuencias resultan inmediatamente de las de¯niciones precedentes.
Pregunt¶emonos como ejemplo: >es 13 un residuo
cuadr¶
atico de 17? Si lo es, ser¶a, posible resolver
la congruencia x2 ´ 13 (mod. 17). Ensayando con
1; 2; 3; : : :, encontramos que x = 8; 25; 42; 59; : : : son
soluciones, (82 = 64 = 3 - 17 + 13; 252 = 625 = 36 17 + 13; etc.), luego 13 es un residuo cuadr¶
atico de
17. Pero no hay soluci¶on de x2 ´ 5 (mod 17), luego 5 es un no-residuo cuadr¶atico de 17.
Es natural ahora que nos preguntemos qu¶e son los
residuos y no-residuos cuadr¶aticos de un m dado. Es
decir, dado m en x2 ´ r (mod. m), >qu¶e n¶
umeros r
pueden aparecer y qu¶e n¶
umeros r no pueden aparecer
al ir pasando x por todos los n¶
umeros 1, 2, 3, . . . ?
Sin mucha di¯cultad puede demostrarse que es su¯ciente contestar la pregunta imponiendo la condici¶
on de que r y m sean primos. Con lo cual replanteamos el problema: Si p es un n¶
umero primo dado, >qu¶e primos q har¶an resoluble la congruencia
x2 ´ q (mod. p)? Esto es ya preguntar demasiado en el estado actual de la aritm¶etica. Sin embargo, la situaci¶on no es totalmente desesperada.
Hay una bella\reciprocidad" entre el par de congruencias x2 ´ q (mod. p), x2 ´ p (mod. q), en
las que p, q son primos los dos: las dos congruencias son resolubles, o 1as dos son. irresolubles, a
no ser que p, q tengan los dos por resto 3 al dividirlos por 4, y en este caso una de las congruencias es resoluble y la otra no. esta es la ley de la reciprocidad cuadr¶atica.
No era f¶
acil demostrarlo, De hecho hizo fracasar a
Euler y Legendre. Gauss dio la primera demostraci¶
on a los diecinueve a~
nos de edad. Como esta reciprocidad es de fundamental importancia en
la aritm¶etica superior y en muchas partes avanzadas del ¶
algebra, Gauss la revolvi¶o una y otra vez
en su mente durante muchos a~
nos, tratando de hallar su ra¶³z; dio en total seis demostraciones distintas, una de las cuales se apoya en la construcci¶
on
con regla y comp¶as de los pol¶³gonos regulares.
Una ilustraci¶on num¶erica aclarar¶a la formulaci¶
on de
la ley. Tomemos primero p = 5, q = 13. Como 5, 1 3
tienen los dos al dividirlos por 4 el resto 1, o las dos
ecuaciones x2 ´ 13 (mod. 5), x2 ´ 5 (mod. 13) han
de ser resolubles, o no lo ha de ser ninguna de las dos.
Este u
¶ltimo es el caso del par dado. Para p = 13,
q = 17, que tienen los dos por resto 1 al dividirlos por
43
4, obtenemos x2 ´ 17 (mod. 13), x2 ´ 13 (mod. 17),
y tambi¶en o las dos o ninguna han de ser resolubles.
Aqu¶³ se da el primer caso: la primera congruencia
tiene las soluciones x = 2; 15; 28; : : :; la segunda tiene
las soluciones x = 8; 25; 42; : : : Falta solamente por
comprobar el caso en que p; q tengan los dos por
residuo 3 al dividirlos por 4. Tomemos p = 11; q =
19. Entonces, seg¶
un la ley, una precisamente de las
x2 ´ 19 (mod. 11), x2 ´ 11 (mod. 19) ha de ser
resoluble. La primera congruencia no tiene soluci¶on;
la segunda tiene las soluciones 7, 26, 45, . . .
El simple descubrimiento de esta ley ya fue un logro notable. El hecho que la demostrara por primera
vez un muchacho de diecinueve a~
nos sugerir¶a a cualquiera que trate de demostrarla que Gauss era alguien m¶
as que una persona simplemente competente en matem¶
aticas.
Cuando Gauss dej¶
o el Colegio Carolino, en octubre de 1795, a la edad de dieciocho a~
nos para entrar en la Universidad de GÄ
ottingen, a¶
un no hab¶³a
decidido si dedicar¶³a la labor de su vida a las matem¶
aticas o a la ¯lolog¶³a. Hab¶³a ya inventado (a los
dieciocho a~
nos) el m¶etodo de \m¶³nimos cuadrados",
que es hoy indispensable en los trabajos geod¶esicos,
en la reducci¶
on de observaciones y en todo trabajo donde ha de extraerse de un gran n¶
umero de medidas el valor \m¶
as probable" de algo que se ha medido. (El valor m¶
as probable se obtiene haciendo
un m¶³nimo de la suma de los cuadrados de los \residuos" |grosso modo, divergencias de una supuesta exactitud|.) Gauss comparte este honor con Legendre, que public¶
o el m¶etodo independientemente
en 1806. Este trabajo marc¶
o el inicio del interesamiento de Gauss en la teor¶³a de los errores de observaci¶
on. La ley de Gauss de la distribuci¶on normal de errores y su correspondiente curva en forma de campana es hoy familiar a todos los que manejan las estad¶³sticas, desde ensayistas de la calidad intelectual hasta manipuladores de mercado sin
escr¶
upulos.
El 30 de marzo de 1796 marca el punto crucial de
la carrera de Gauss. En este d¶³a, exactamente un
mes antes de cumplir diecinueve a~
nos, Gauss se decidi¶
o de¯nitivamente en favor de las matem¶aticas.
El estudio de los lenguajes hab¶³a de continuar siendo una a¯ci¶
on para toda su vida, pero la ¯lolog¶³a
perdi¶
o a Gauss en este memorable d¶³a de marzo para siempre.
El pol¶³gono regular de diecisiete lados fue la suerte echada cuya feliz consecuci¶
on indujo a Gauss a
cruzar su Rubic¶
on2 .El mismo d¶³a empez¶
o a escribir
2 \A n tes d e d ejar los hhn u ¶ m er os d e Fer m at 2n + 1ii ech em os u n a m ir ad a a la u ¶ ltim a d ¶
ecad a d el siglo x v iii, en la q u e estos n u ¶m er os m ister iosos fu er on p ar cialm en te r esp on sab les d e
44
su diario cient¶³¯co (Notizen{journal). Es uno de los
m¶
as preciosos documentos en la historia de las matem¶
aticas. La primera anotaci¶on registra su gran
descubrimiento.
El diario entr¶
o en circulaci¶on cient¶³¯ca solamente
en 1898, cuarenta y tres a~
nos despu¶es de la muerte de Gauss, al pedirlo la Real Sociedad de GÄ
ottingen a un nieto de Gauss para su estudio cr¶³tico. Consiste en diecinueve peque~
nas p¶aginas en octavo y
contiene 146 noti¯caciones extraordinariamente breves de descubrimientos o resultados de c¶alculos, la
u
¶ltima de las cuales est¶a fechada el 9 de julio de
1814. Se public¶o una reproducci¶on facs¶³mil en 1917
en el d¶ecimo volumen (parte 1) de las obras completas de Gauss, junto con un an¶alisis exhaustivo
de su contenido por varios expertos redactores. No
est¶
an anotados por supuesto todos los descubrimientos del prol¶³¯co per¶³odo de 1796 a 1814. Pero muchos de los que est¶an apuntados bastan para establecer la prioridad de Gauss en campos |las funciones
u n o d e los d os o tr es acon tecim ien tos m ¶
as im p or tan tes d e tod a la lar ga h istor ia d e las m atem ¶
aticas. Du r an te cier to tiem p o, u n jov en d e d iecioch o a~
n os h ab ¶³a estad o d u d an d o |seg¶
u n
la tr ad ici¶
on | en tr e d ed icar su m agn ¶³¯ co talen to a las m atem ¶
aticas o a la ¯ lolog¶³a. E stab a igu alm en te d otad o p ar a las
d os. Lo q u e le d ecid i¶
o fu e u n b ello d escu b r im ien to en con ex i¶
on con u n sim p le p r ob lem a d e geom etr ¶³a elem en tal fam iliar a tod o escolar .
\U n p ol¶³gon o r egular d e n lad os tien e tod os su s n lad os
igu ales y tod os su s n ¶
an gu los igu ales. Los an tigu os gr iegos d escu b r ier on en segu id a c¶
om o con str u ir p ol¶³gon os r egu lar es d e 3, 4, 5, 6, 8, 10 y 15 lad os u san d o solam en te r egla y com p ¶
as, y es cosa f¶
acil, con los m ism os m ed ios, con str u ir a p ar tir d e u n p ol¶³gon o r egu lar con u n n u ¶m er o d ad o
d e lad os otr o p ol¶³gon o r egu lar con el d ob le n u ¶m er o d e lad os. E l p aso sigu ien te ten d r ¶³a q u e ser en ton ces b u scar con str u ccion es con r egla y com p ¶
as d e p ol¶³gon os r egu lar es d e 7,
9, 11, 13. . . lad os. Mu ch os lo in ten tar on , p er o n o con sigu ier on en con tr ar lo, p or q u e tales con str u ccion es son im p osib les,
s¶
olo q u e n o lo sab ¶³an . Desp u ¶
es d e u n in ter v alo d e m ¶
as d e
2,200, a~
n os, el jov en q u e d u d ab a en tr e las m atem ¶
aticas y la ¯ lolog¶³a d io el p aso sigu ien te |u n lar go p aso| h acia ad elan te.
\C om o h em os in d icad o, es su ¯ cien te con sid er ar solam en te p ol¶³gon os con u n n u ¶ m er o impar d e lad os. E l jov en d em ostr ¶
o
q u e la con str u cci¶
on con r egla y com p ¶
as d e u n p ol¶³gon o r egu lar q u e ten ga u n n u ¶ m er o im p ar d e lad os es p osib le cu an d o y
solam en te cu an d o este n u ¶ m er o es o u n n u ¶m er o d e Fer mat pr imo (es d ecir , u n p r im o d e la for m a 2n + l), o se ob tien e m u ltip lican d o en tr e s¶³ p r im os d e Fer m at difer en t es. P or lo tan to,
la con str u cci¶
on es p osib le p ar a 3, 5 o 15 lad os, com o y a sab ¶³an
los gr iegos, p er o n o p ar a 7, 9, 11 o 13 lad os, y es tam b i¶
en p osib le p ar a 17 o 257 o 65,537 o p ar a sea cu al fu er e el sigu ien te p r im o en la ser ie d e Fer m at 3, 5, 17, 257, 65,537. . . , si h ay algu n o |n ad ie lo sab e a¶
u n (1936)|, y la con str u cci¶
on es p osib le tam b i¶
en p ar a 3 £ 17 o 5 £ 257 £ 65; 537 lad os, etc. Fu e este d escu b r im ien to, an u n ciad o el 1 d e ju n io d e 1796, p er o h ech o el 30 d e m ar zo, lo q u e in d u jo al jov en a escoger com o lab or d e su v id a las m atem ¶
aticas en v ez d e la ¯ lolog¶³a. S u n om b r e er a Gau ss."
[Del cap ¶³tu lo sob r e Fer m at en la ob r a d e B ell Men o Math em atics.]
ContactoS 33, 39{47 (1999)
el¶³pticas, por ejemplo| donde algunos de sus contempor¶
aneos se negaron a creer que les hubiera precedido. (Recordaremos que Gauss naci¶
o en 1777.)
Durante a~
nos o d¶ecadas quedaron enterradas en este diario cosas que habr¶³an hecho media docena
de grandes reputaciones si se hubieran publicado
r¶
apidamente. Algunas no se hicieron p¶
ublicas en toda la vida de Gauss y ¶el nunca pretendi¶
o en nada de
lo que hizo imprimir haber anticipado a otros cuando se las hab¶³an con ¶el. Pero los documentos est¶an
presentes. Anticip¶
o a alguno que dudaba de la palabra de sus amigos. Estas anticipaciones no fueron meras trivialidades. Algunas de ellas se convirtieron en campos mayores de las matem¶
aticas del siglo xix.
Algunas de las anotaciones indican que el diario era
un asunto estrictamente privado de su autor. As¶³
para el 10 de julio de 1796 hay la anotaci¶
on
E¡P HKA! num = ¢ + ¢ + ¢:
Traducida, nos repite el exultante \Eureka!" de Arqu¶³medes y enuncia que todo entero positivo es suma
de tres n¶
umeros triangulares; uno de tales n¶
umeros
es de la sucesi¶
on 0, 1, 3, 6, 10, 15, . . . donde cada uno (despu¶es del 0) es de la forma n(n + 1)=2,
siendo n cualquier entero positivo. Otra manera
de decir lo mismo es que todo n¶
umero de la forma 8n + 3 es suma de los tres cuadrados impares:
3 = 12 + 12 + 12 ; 11 = 12 + 12 + 32 ; 19 = 12 + 32 + 32 ,
etc. No es f¶
acil demostrarlo a partir del borrador.
Menos inteligible es la cr¶³ptica anotaci¶
on del 11 de
octubre de 1796 \Vicimus GEGAN". >Qu¶e drag¶on
hab¶³a conquistado esta vez Gauss? >O qu¶e gigante hab¶³a vencido el 8 de abril de 1799 cuando encajona en un neto rect¶
angulo REV. GALEN? Aunque el signi¯cado de ¶estas se ha perdido para siempre las 144 restantes son su¯cientemente claras. Una
en particular es de la mayor importancia: la anotaci¶
on del 19 de marzo de 1797 que muestra que Gauss
hab¶³a descubierto ya la doble periodicidad de ciertas funciones el¶³pticas. A¶
un no ten¶³a entonces veinte a~
nos. Una anotaci¶
on posterior muestra tambi¶en
que Gauss hab¶³a reconocido la doble periodicidad
en el caso general. El descubrimiento de esto solo, si lo hubiese publicado, le hubiera hecho famoso. Pero ¶el nunca lo public¶
o.
>Por qu¶e Gauss reten¶³a las grandes cosas que descubr¶³a? Es m¶
as f¶
acil de explicar que su genio, si
aceptamos sus propias y simples a¯rmaciones, que
presentaremos inmediatamente. Una versi¶
on m¶as
rom¶
antica es la historia narrada por W. W. R. Ball
en su conocida historia de las matem¶
aticas. Seg¶
un
¶esta, Gauss present¶
o su primera obra maestra, las
Gauss, el pr¶³ncipe de los matem¶aticos. Parte (1). por Eric Temple Bell
Disquisitiones Arithmeticae, a la Academia francesa de Ciencias, para recibir solamente una repulsa
burlona. La inmerecida humillaci¶on afect¶
o tan profundamente a Gauss que a partir de entonces decidi¶
o publicar solamente lo que todo el mundo admitir¶³a que estaba por encima de cr¶³tica tanto en la forma como en la materia. No hay nada cierto en esta leyenda difamatoria. Fue refutada de una vez para siempre en 1935 al asegurar los funcionarios de la
Academia francesa, mediante una b¶
usqueda exhaustiva en los registros permanentes, que nunca las Disquisitiones fueron presentadas a la Academia y mucho menos rechazadas.
Hablando para s¶³ dijo Gauss que emprendi¶
o sus
obras cient¶³¯cas en respuesta solamente a los m¶
as
profundos impulsos de su naturaleza y que el hecho que fueran publicadas alguna vez para instrucci¶
on de los otros era para ¶el una consideraci¶
on totalmente secundaria. Otra a¯rmaci¶on que Gauss hizo cierta vez a un amigo explica su diario y su lentitud en publicar. Dijo que antes de tener veinte a~
nos asaltaba su mente una horda tan abrumadora de nuevas ideas que apenas pod¶³a controlarla y que s¶
olo tuvo tiempo de ¯jar una peque~
na fracci¶
on. El diario contiene solamente la breve constataci¶
on ¯nal del resultado de elaboradas investigaciones, algunas de las cuales le ocuparon durante semanas. Al contemplar de joven la cadena cerrada e
irrompible de demostraciones sint¶eticas con que Arqu¶³medes y Newton hab¶³an domado su inspiraci¶
on,
Gauss se resolvi¶o a seguir su gran ejemplo y a dejar tras s¶³ s¶olo obras de arte consumadas, severamente perfectas, a las cuales no pudiera a~
nadirse nada y de las cuales no pudiera quitarse nada sin des¯gurar la totalidad. La obra en s¶³ ha de presentarse completa, simple y convincente, sin ning¶
un rastro de la labor con que ha sido creada. Una catedral
no es una catedral, a¯rma, hasta que no se ha desmontado y desaparecido el u
¶ltimo andamiaje. Trabajando con este ideal ante ¶el, Gauss pre¯ri¶
o pulir varias veces una obra maestra antes que publicar
los grandes rasgos de muchas otras como podr¶³a haber hecho f¶acilmente. Su sello, un ¶arbol con s¶
olo
unos pocos frutos, llevaba la divisa Pauca sed matura (pocos, pero maduros).
Los frutos de este esfuerzo hacia la perfecci¶
on fueron
realmente maduros, pero no siempre f¶acilmente digeribles. Borradas todas las huellas de los pasos mediante los cuales lleg¶o a la meta, no result¶o f¶
acil para los seguidores de Gauss volver a descubrir la ruta que hab¶³a seguido. Como consecuencia, algunas
de sus obras tuvieron que esperar int¶erpretes altamente dotados antes de que los matem¶aticos en general pudieran comprenderlas, ver su importancia
en problemas sin resolver y proseguir adelante. Sus
45
propios contempor¶
aneos le rogaron que mitigara su
r¶³gida perfecci¶
on de modo que las matem¶
aticas pudieran avanzar m¶
as r¶
apidamente, pero Gauss nunca cedi¶
o. Hasta mucho despu¶es de su muerte no se
supo cu¶
anto hab¶³a previsto y anticipado Gauss, antes del a~
no 1800, de las matem¶
aticas del siglo XIX.
Si hubiese divulgado todo lo que sab¶³a es muy posible que las matem¶
aticas estar¶³an adelantadas ahora medio siglo o m¶
as de lo que est¶
an. Abel y Jacobi podr¶³an haber empezado donde acab¶
o Gauss,
en vez de gastar gran parte de sus mejores esfuerzos redescubriendo cosas que Gauss sab¶³a ya antes que hubieran nacido, y los creadores de la geometr¶³a no-eucl¶³dea podr¶³an haber dedicado su genio a otras cosas.
Gauss dec¶³a de ¶el mismo que era un \matem¶atico total". Esto no le hace justicia a no ser que recordemos que \matem¶
atico"inclu¶³a tambi¶en en su tiempo
lo que ahora llamar¶³amos f¶³sico matem¶
atico. Su segunda divisa3
Thou, nature, art my goddess; lo thy laws
My services are bound...,4
resume verdaderamente su vida de dedicaci¶on ferviente a la ciencia matem¶
atica y f¶³sica de su tiempo. Su aspecto de \matem¶
atico total"ha de entenderse solamente en el sentido que no dispers¶o sus
magn¶³¯cas dotes esparci¶endolas por todos los campos de donde pod¶³a haber obtenido una abundante cosecha, como reproch¶
o a Leibniz haber hecho, sino que cultiv¶
o a la perfecci¶
on sus mayores dotes.
Los tres a~
nos (octubre de 1795 a septiembre de
1798) en la Universidad de G¶
ottingen fueron los m¶as
prol¶³¯cos de la vida de Gauss. Gracias a la generosidad del duque Fernando no tuvo que preocuparse de las ¯nanzas. Se entreg¶
o perdidamente a su trabajo, haciendo s¶
olo unos pocos amigos. Uno de ellos,
Wolfgang Bolyai, \el esp¶³ritu m¶
as extra~
no que nunca conoc¶³", como le describe Gauss, hab¶³a de convertirse en un amigo para toda la vida. El curso de esta amistad y su importancia en la historia de la geometr¶³a no{eucl¶³dea es demasiado largo para explicarlo aqu¶³; el hijo de Wolfgang, Johann, hab¶³a de recorrer pr¶
acticamente el mismo camino que hab¶³a seguido Gauss para la creaci¶
on de una geometr¶³a noeucl¶³dea, ignorando completamente que el viejo amigo de su padre se le hab¶³a anticipado. Las ideas que
asaltaban a Gauss desde sus diecisiete a~
nos hab¶³an
sido dominadas |parcialmente| y reducidas al orden. Desde 1795 hab¶³a estado meditando una gran
3 E l r ey L ear , d e S h ak esp ear e, acto I, escen a II, 1{2, con el
cam b io esen cial d e \ley es"p or \ley ".
4 T u ¶, n atu r aleza, er es m i d iosa; a tu s ley es / est¶
an som etid os m is ser v icio. . .
46
¶
obra sobre la teor¶³a de los n¶
umeros. Esta
tom¶
o entonces una forma de¯nitiva y en 1798 las Disquisitiones Arithmeticae (Disquisiciones aritm¶eticas) estaban pr¶
acticamente acabadas.
Para conocer lo ya hecho en aritm¶etica superior y
para asegurarse de que prestaba el cr¶edito debido
a sus predecesores, Gauss fue a la Universidad de
Heimstedt, donde hab¶³a una buena biblioteca matem¶
atica, en septiembre de 1798. All¶³ se encontr¶
o
con que su fama le hab¶³a precedido. Fue recibido cordialmente por el bibliotecario y el profesor de
matem¶
aticas Johann Friedrich Pfa® (1765{1825), en
cuya casa se aloj¶o. Gauss y Pfa® se hicieron fervientes amigos, aunque la familia de Pfa® vio poca cosa en su hu¶esped. Pfa® pens¶o evidentemente que era su deber procurar que su joven y tan trabajador amigo hiciera algo de ejercicio, porque ¶el
y Gauss paseaban juntos por la tarde, conversando sobre matem¶
aticas. Como Gauss era no s¶olo modesto sino tambi¶en reticente sobre su propia obra,
Pfa® no aprendi¶o probablemente tanto como hubiera podido aprender. Gauss admiraba extraordinariamente al profesor (era entonces el m¶as conocido
matem¶
atico de Alemania), no s¶olo por sus excelentes matem¶
aticas, sino tambi¶en por su car¶acter simple y abierto. Gauss sinti¶o aversi¶on y desprecio durante toda su vida por un solo tipo de hombre: el
que pretende saber y no admite sus errores cuando ve que est¶
a equivocado.
Gauss pas¶
o el oto~
no de 1798 (ten¶³a entonces veinti¶
un
a~
nos) en Brunsvie, con viajes ocasionales a Helmstedt, dando los u
¶ltimos toques a las Disquisitiones.
Esperaba su publicaci¶on inmediata, pero el libro permaneci¶
o en prensa debido a di¯cultades del editor
de Leipzig hasta septiembre de 1801. En agradecimiento a todo lo que hab¶³a hecho Fernando por ¶el,
Gauss dedic¶
o su libro al duque: \Serenissimo Principi ac Domino Carolo Guilielmo Ferdinando".
Si nunca un patr¶on generoso mereci¶o el homenaje de su protegido, Fernando mereci¶o el de Gauss.
Cuando el joven genio estuvo gravemente preocupado sobre su futuro despu¶es de dejar GÄottingen (intent¶
o sin ¶exito procurarse alumnos), el duque acudi¶
o a salvarle, pagando la impresi¶on de su tesis doctoral (Universidad de Hehnstedt, 1799), y le proporcion¶
o una modesta pensi¶on que le permitir¶³a continuar su labor cient¶³¯ca libre de la pobreza. \Vuestra bondad |dice Gauss en su dedicatoria| me liber¶
o de todas las otras responsabilidades y me permiti¶
o asumir exclusivamente ¶esta."
Antes de describir las Disquisitiones vamos a dar una
ojeada a la tesis con la cual le fue concedido el grado
de doctor in absentia por la Universidad de Helmstedt, 1799: Demonstratio nova theorematis omnem
ContactoS 33, 39{47 (1999)
functionem algebraicam rationalem integram unius
variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Nueva demostraci¶
on de que toda funci¶
on racional algebraica entera de una variable puede resolverse en factores reales de primer o segundo grado.)
Hay solamente una cosa equivocada en este hito del
¶lgebra. Las dos primeras palabras del t¶³tulo implia
car¶³an que Gauss simplemente ha a~
nadido una nueva demostraci¶
on a otras ya conocidas. Tendr¶³a que
haber omitido \nova". La suya era la primera demostraci¶
on. (Esta a¯rmaci¶
on se justi¯car¶
a m¶
as adelante.) Algunos antes que ¶el hab¶³an publicado lo
que supon¶³an que eran demostraciones de este teorema, llamado habitualmente el teorema fundamental del ¶
algebra, pero ninguno hab¶³a conseguido una
demostraci¶
on. Con su exigencia sin compromisos,
de un rigor l¶
ogico y matem¶
atico, Gauss hab¶³a insistido en dar una demostraci¶
on, y dio la primera.
Otro enunciado equivalente del teorema dice que toda ecuaci¶
on algebraica de una inc¶
ognita tiene una
ra¶³z, a¯rmaci¶
on que los principiantes suponen a menudo que es cierta sin tener la m¶
as remota idea de
lo que signi¯ca.
Si un lun¶
atico garabatea un revoltijo de s¶³mbolos matem¶
aticos no se deduce que lo escrito signi¯que algo simplemente porque el ojo inexperto no lo puede distinguir de las matem¶
aticas superiores. Podemos dudar del mismo modo si la a¯rmaci¶
on de que
toda ecuaci¶
on algebraica tiene una ra¶³z signi¯ca algo hasta que digamos qu¶e clase de ra¶³z tiene la ecuaci¶
on. Presentimos de una manera vaga que un numero satisfar¶
a la ecuaci¶
on, pero no media libra de
mantequilla. Gauss determin¶
o este presentimiento demostrando que las ra¶³ces de toda ecuaci¶
on algebraica son \n¶
umeros"de la forma a + bi, donde
a; b son n¶
umeros reales (los n¶
umeros que corresponden a las distancias, positiva, cero o negativa, medidas desde un punto ¯jo 0 sobre una l¶³nea recta dada, tal como el eje x en la geometr¶³a de Descartes), e i es la ra¶³z cuadrada de ¡1. El nuevo tipo de "n¶
umero"a + bi se llama complejo.
Gauss fue, incidentalmente, el primero en dar una
descripci¶
on coherente de los n¶
umeros complejos y
en interpretarlos como notaci¶
on de los puntos de un
plano, tal como se hace hoy en los textos elementales
de ¶
algebra.
Gauss, el pr¶³ncipe de los matem¶aticos. Parte (1). por Eric Temple Bell
Las coordenadas cartesianas de P son (a, b); el punto P se denota tambi¶en por a+bi. Luego a todo punto del plano corresponde precisamente un n¶
umero
complejo; los n¶
umeros correspondientes a los puntos sobre XOX son \reales" sobre Y OY \imaginarios puros" (son todos del tipo ic, donde e es un
n¶
umero real).
F ig ura 1 . Re pre se nta c i¶o n de l n¶ume ro c o mple jo .
La palabra \imaginario"es una gran calamidad algebraica, pero est¶a demasiado bien enraizada en las
matem¶
aticas para eliminarla. No tendr¶³a que haber
sido usada nunca. Los libros de ¶algebra elemental
dan una interpretaci¶on simple de los n¶
umeros imaginarios a base de rotaciones. Con ello si interpretamos la multiplicaci¶on i £ c, donde c es real, como una rotaci¶on alrededor de 0 del segmento Oc
en un ¶
angulo recto. Oc queda rotado hasta OY ;
otra multiplicaci¶on por i, es decir, i £ i £ c, gira Oc otro ¶
angulo recto y el efecto total es rotar
Oc en dos ¶
angulos rectos, de modo que +Oc se convierte en ¡Oc. Como operaci¶on, la multiplicaci¶
on
por i £ i produce el mismo efecto que la multiplicaci¶
on por ¡1; la multiplicaci¶on por i produce el
mismo efecto que una rotaci¶on en un ¶angulo recto, y estas interpretaciones (como acabamos de ver)
son coherentes. Si queremos podemos escribir ahora en las operaciones i £ i = ¡1, ¶o i2 = ¡1; de modo que la operaci¶on p
de rotaci¶on en ¶angulo recto viene simbolizada por ¡1.
Todo esto por supuesto no demuestra nada. No se
pretende que demuestre nada. No hay nada que demostrar; a los s¶³mbolos y operaciones del ¶
algebra
atribuimos cualquier signi¯cado que nos lleve a la
coherencia. Aunque la interpretaci¶on mediante rotaciones no demuestra nada, puede sugerir que no
hay motivo para que nadie se entontezca en un estado de maravilla m¶³stica sobre nada referente a los
mal llamados \imaginarios". Para m¶as detalles tenemos que referirnos a casi todos los libros de texto sobre ¶
algebra elemental.
Gauss pens¶
o que el teorema de que toda ecuaci¶
on algebraica tiene una ra¶³z en el sentido que acabamos de
explicar era tan importante que dio de ¶el cuatro demostraciones distintas, la u
¶ltima cuando ten¶³a se-
47
tenta a~
nos. Hoy en d¶³a algunos quisieran transferir el teorema del ¶
algebra (que se limita a procesos que pueden realizarse mediante un n¶
umero ¯nito de pasos) al an¶
alisis. El mismo Gauss dio por
sentado que la gr¶
a¯ca de un polinomio es una curva continua y que si el polinomio es de grado impar la gr¶
a¯ca ha de cruzar por lo menos una vez
el eje. Para cualquier principiante en ¶
algebra esto es obvio. Pero en la actualidad no es obvio sin demostraci¶
on, y los intentos para volver a demostrarlo conducen a di¯cultades conectadas con la continuidad y el in¯nito. Las ra¶³ces de una ecuaci¶on tan
simple como x2 ¡ 2 = 0 no pueden calcularse exactamente en un n¶
umero ¯nito de pasos. Continuemos con las Disquisitiones Arithmeticae.
Las Disquisitiones fueron la primera obra maestra
de Gauss y algunos la consideran la mayor. Fueron su adi¶
os a las matem¶
aticas puras como objeto exclusivo de su inter¶es. Despu¶es de su publicaci¶on en
1801 (Gauss ten¶³a entonces veinticuatro a~
nos), ensanch¶
o su actividad para incluir la astronom¶³a, geodesia y electromagnetismo tanto en sus aspectos matem¶
aticos como pr¶
acticos. Pero la aritm¶etica fue su
primer amor y m¶
as tarde lament¶
o no haber dispuesto nunca de tiempo para escribir el segundo volumen que hab¶³a planeado cuando era joven. El libro est¶
a dividido en siete \secciones". Ten¶³a que haber una octava, pero ¶esta se omiti¶
o para disminuir
el coste de la impresi¶
on.
La frase inicial del prefacio describe el objeto general del libro. \Las investigaciones contenidas en esta obra pertenecen a la parte de las matem¶
aticas que
trata con n¶
umeros enteros, tambi¶en fracciones, excluyendo siempre los sordos [irracionales]."
Las primeras tres secciones tratan de la teor¶³a de las
congruencias y dan en particular una discusi¶on exhaustiva de la congruencia bin¶
omica xn ´ A (mod.
p), donde los enteros dados n, A son arbitrarios y
p es primo. Esta bella teor¶³a aritm¶etica tiene muchas semejanzas con la correspondiente teor¶³a algebraica de la ecuaci¶
on bin¶
omica xn = A, pero en sus
partes aritm¶eticas, peculiares es incomparablemente m¶
as rica y m¶
as dif¶³cil que el ¶
algebra, que no ofrece analog¶³as con la aritm¶etica.
cs