Método simplex II

MÉTODO SIMPLEX
PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO
[email protected]
Minimizar Z = 4x1 + x2
Minimizar Z = 4x1 + x2
Sujeto a: 3x1 + x2 = 3
Estandarización
Tradicional
Sujeto a: 3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 ≥ 6
4x1 + 3x2 – S2 = 6
x1 + 2x2 ≤ 4
x1 + 2x2 + S3 = 4
x 1 , x2 ≥ 0
x1 , x2,S2, S3 ≥ 0
Como n=4 y m=3, el Simplex hace n-m variables “cero” (en este caso una) para crear
un sistema de ecuaciones consistente que arroje una Solución Inicial Inmediata y
Factible .
Qué pasa si x1 se hace igual a cero? Qué pasa si x2 se hace igual a cero?
x1 = 0
x2 = 0
x2 = 3
x1 = 1
S2 = 3
S2 = -2
S3 = -2
S3 = 3
1
El método SIMPLEX necesita que la base inicial sea la matriz idéntica
para poder arrancar. El problema general de PL es:
MAX ( MIN ) Z = CX
sujeto a :
AX( ≤, =, ≥ )b
X≥0
Si todas las restricciones son de ≤ , el método SIMPLEX inicia con la
base igual a la matriz idéntica, formada por las columnas de las
variables de holgura. Pero si existe por lo menos una restricción de = ó
de ≥ , la matriz idéntica no aparece en forma automática y por lo tanto
debe crearse mediante la adición de variables artificiales.
En general, las restricciones de “=“ y de “≥” generan
problemas al Simplex al momento de construir la tabla
inicial que arranca el procedimiento. En cambio
cuando las restricciones son de “≤” no existen estos
inconvenientes y el método puede iniciar sin
problemas con las variables de holgura.
El Simplex soluciona estos inconvenientes de arranque
creando Variables Artificiales.
2
Min Z = 4x1 + x2
Min Z = 4x1 + x2
Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2
Sujeto a:
Sujeto a:
Sujeto a:
3x1 + x2 = 3
3x1 + x2 = 3
3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 ≥ 6
4x1 + 3x2 – S2 = 6
4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6
x1 + 2x2 ≤ 4
x1 + 2x2 + S3 = 4
x1 + 2x2 + S3 = 4
x1 , x2 ≥ 0
x1 , x2,S2, S3 ≥ 0
x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0
Aquí n = 6 y m = 3, siendo (n-m) = 3. Es decir, al hacer 3 variables iguales a “cero” sale
una Solución Inicial Inmediata Factible. [Puede observar que estas 3 variables no básicas
iniciales deben ser x1, x2, s2]. La Tabla Simplex Inicial se construye teniendo en cuenta que
en el renglón (Zj – Cj) las variables básicas tienen necesariamente valores de “cero”.
El MÉTODO DE LA GRAN M
Tenga en cuenta que en la Tabla 1:
- Variables No Básicas: x1, x2, s2
Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2
- Variables Básicas: R1, R2, S3
Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2
De la primera y segunda restricción:
Sujeto a:
R1 = 3 - 3x1 - x2
3x1 + x2 + R1 = 3
R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2
4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6
Transformación necesaria en la Función Objetivo:
x1 + 2x2 + S3 = 4
Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x1 - x2) + M(6 - 4x1 - 3x2 + S2)
x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0
Min Z = (4 - 7M) x1 - (4M - 1)x2 + MS2 + 9M
Variables
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
x2
S2
S3
R1
R2
Solución
(R.H.S.)
R1
M
3
1
0
0
1
0
3
R2
M
4
3
-1
0
0
1
6
S3
0
1
2
0
1
0
0
4
- (4-7M)
(4M -1)
-M
0
0
0
9M
Zj - Cj
3
Tabla 1
Variables
Básicas
Coeficientes en
la Función
Objetivo (Cj)
x1
x2
R1
M
3
R2
M
4
S3
0
Zj - Cj
S2
S3
R1
R2
Solución
(R.H.S.)
1
0
0
1
0
3
3
-1
0
0
1
6
1
2
0
1
0
0
4
- (4-7M)
(4M -1)
-M
0
0
0
9M
Tabla OPTIMA
Tabla 4
Variables
Básicas
Coeficientes en
la Función
Objetivo (Cj)
X1
x2
S2
S3
X1
4
1
0
0
X2
1
0
1
0
S2
0
0
0
0
0
Zj - Cj
R1
R2
Solución
(R.H.S.)
-1/5
2/5
0
2/5
3/5
-1/5
0
9/5
1
1
1
-1
1
0
-1/5
7/5-M
-M
17/5
NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Básicas, o tener valor de “cero”, ya
que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento.
Múltiples Soluciones
Observe que una Tabla Optima de
MAXIMIZACION tiene todos los valores
del renglón (Zj – Cj) ≥ 0. Es decir, el
criterio funciona a la inversa de la
Minimizacion.
Maximice Z = (5/2)X1 + X2
Sujeto a:
3X1 + 5X2 ≤ 15
5X1 + 2X2 ≤ 10
Xj > 0 ; j = 1, 2
Tabla Final OPTIMA
Variable
s
Básicas
Coeficientes en la
Función Objetivo
(Cj)
x1
X2
S1
S2
S1
0
0
3.8
1
-0.6
9
9/3,8 = 2,36
1
0.4
0
0.2
2
2/0.4 = 5
0
0
0
0.5
5
-
X1
5/2
Zj - Cj
Solució
n
Razón θ
(R.H.S.)
Entonces aquí la variable que entra es la variable no-básica que tenga el valor (Zj - Cj) más
negativo. Observe la variable No Básica x2 con un valor de “0”. Si esta variable entra, la
función objetivo permanece inmodificable.
Puede encontrarse otra solución con el mismo valor de Z
4
Problema de solución infinita (ó No Acotada)
Minimice Z = - X1 + X2
Sujeto a:
- X1 + X2 ≤ 0
- 0,5X1 + X2 ≤ 1
Xj > 0 ; j = 1, 2
Tabla Inicial
Variables Coeficientes en la
Básicas Función Objetivo
(Cj)
x1
X2
S1
S2
Solución
(R.H.S.)
Razón θ
S1
0
-1
1
1
0
0
0/-1 = 0
S2
5/2
-0.5
1
0
1
1
1/-0,5 = -2
1
-1
0
0
0
Zj - Cj
Entra x1 pero: ¿Cuál
variable sale?
Problema sin solución
Cuando en la Tabla Final existe como solución una Variable Artificial con valor mayor
que cero.
Condiciones De Parada Del Método Simplex
1. Si todos los valores (Zj – Cj) son positivos (MAX), o negativos (MIN), el
SIMPLEXconcluye y se tiene entonces una solución ÓPTIMA.
2. Si el valor (Zj – Cj) de, por lo menos, una cualquiera de las variables NO
básicas (iniciales) en el tablero SIMPLEX óptimo es cero (0), el SIMPLEX
ha detectado un conjunto infinito de soluciones que puede escribirse
como una combinación líneal convexa de cualesquiera dos ó más de
ellas.
3. Si el tablero SIMPLEX actual tiene una variable candidata a entrar a la
base, pero no hay una candidata a salir de ella, esto es, falla la regla del
cociente, relacionada con la factibilidad de la siguiente solución básica,
entones se concluye que se está trabajando con una función objetivo
no acotada.
4. Si el tablero SIMPLEX cumple con la condición de parada enunciada en
1 pero aparece una variable artificial con un valor positivo en la
solución óptima, entonces el SIMPLEX ha detectado que el problema
NO tiene solución factible alguna.
5
3.3 EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES
Este método elimina el problema de trabajar con la “Gran M” y los
errores de redondeo asociados.
FASE I: trata de encontrar una solución básica factible inicial.
Aquí se minimiza la suma de las variables artificiales, sujeto a las
restricciones del problema original. Hay dos posibilidades:
a) La suma de las variables artificiales es igual a cero, entonces se
continua con la fase II.
b) Si el valor óptimo de la función objetivo es mayor que cero,
entonces el problema original no tiene ninguna solución factible.
FASE II: Se cambia la función objetivo a la función objetivo original
y se utiliza la solución básica factible encontrada en la fase I.
EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES
Minimizar Z = 4X1 + X 2
Ejemplo:
Sujeto a :
3X1 + X 2 = 3
4X1 + X 2 ≥ 6
X1 + 2X 2 ≤ 4
(X1 , X 2 ) ≥ 0
El modelo se transforma como sigue para iniciar el método de las
dos fases:
Minimizar Z ' = A1 + A2
sujeto a :
3 X 1 + X 2 + A1
4 X 1 + 3X 2
X1 + 2X 2
=3
− S1 + A2
=6
+ S2 = 4
( X 1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0; A1 , A2 Var. Artificiales
6
EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES
Minimizar Z ' = A1 + A2
sujeto a :
3 X 1 + X 2 + A1
4 X 1 + 3X 2
Cb
=3
− S 1 + A2
X1 + 2X 2
Coeficientes de las
variables
en
la
función objetivo
=6
+ S2 = 4
( X 1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0; A1 , A2 Var. Artificial es
Pij
Cbi
Columnas
Variables
Básicas
Coeficientes
en la FO
(Cb)
X1
X2
S1
S2
A1
A2
Solución (R.H.S.)
A1
1
3
1
0
0
1
0
3
A2
1
4
3
-1
0
0
1
S2
0
1
2
0
1
0
0
7
4
-1
0
0
0
Zj - Cj
−
=
=1
×
6
Pij
4
9
−
EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES
Minimizar Z ' = A1 + A2
3 X 1 + X 2 + A1
sujeto a :
4 X 1 + 3X 2
=3
− S 1 + A2
X1 + 2X 2
=6
+ S2 = 4
( X 1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0; A1 , A2 Var. Artificial es
Qué variable entra a la base?
Qué variable sale a la base?
Variabl
es
Básicas
Coeficient
es en la
FO (Cb)
X1
X2
A1
1
3
1
0
0
A2
1
4
3
-1
0
S2
0
1
2
0
1
7
4
-1
0
Zj - Cj
S1
S2
A1
A2
Solución
(R.H.S.)
1
0
3
3/3 = 1
0
1
6
6/4 = 1.5
0
0
4
4/1 = 4
0
0
9
Razón
Mínima
(θ)
7
EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES
Variabl
es
Básicas
Coeficient
es en la
FO (Cb)
X1
X2
S1
X1
0
1
1/3
0
-1
S2
A1
A2
Solución
(R.H.S.)
0
1/3
0
1
1 / (1/3) = 3
0
-4/3
1
2
2 / (5/3) = 1,2
3/(5/3) = 1,8
A2
1
0
5/3
S2
0
0
5/3
0
1
-1/3
0
3
0
5/3
-1
0
-7/3
0
2
Zj - Cj
Razón
Mínima (θ)
Gauss…
Variables
Básicas
Coeficientes
en la FO (Cb)
X1
X2
S1
S2
A1
A2
Solución
(R.H.S.)
X1
X2
S2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1/5
- 3/5
1
0
0
0
1
0
3/5
- 4/5
1
-1
- 1/5
3/5
-1
-1
3/5
6/5
1
0
Zj - Cj
Razón
Mínima (θ)
Se debe pasar a la fase dos, con la anterior solución inicial
EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES
FASE 2
Minimizar Z = 4X1 + X 2
−
=
=1
×
En la FO
original:
Cb
4
1
0
0
Variables
Básicas
Coeficientes
en la FO (Cb)
X1
X2
S1
S2
Solución
(R.H.S.)
Razón
Mínima (θ)
X1
X2
S2
4
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1/5
- 3/5
1
1/5
0
0
1
0
3/5
6/5
1
18/5
(3/5)/(1/5) = 3
1/1 = 1
Zj - Cj
Variables
Básicas
Coeficientes
en la FO (Cb)
X1
X2
S1
S2
Solución
(R.H.S.)
X1
X2
S1
4
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
- 1/5
3/5
1
- 1/5
2/5
9/5
1
17/5
Zj - Cj
−
8
3. MÉTODO SIMPLEX
Cualquier problema de Programación Lineal, en su forma estándar puede
escribirse así:
MAX (MIN) Z = CX
sujeto a :
AX = b
X≥0
donde
Z = Valor de la función objetivo
C = Vector fila de los coeficientes de todas las variables en la función
objetivo
X = Vector columna de todas las variables del problema (incluyendo las de
holgura)
A = Matriz de coeficientes del sistema
b = Vector del lado derecho
3. MÉTODO SIMPLEX
En su forma general, un modelo estándar tendrá n variables (incluyendo las de
holgura) y m restricciones. Así, en general, las dimensiones de cada matriz y
vector son las siguientes:
C = [C1 C2 C3 ·······C n ]1×n
 a11 a12
a
 21 a22
 .
.
A=
.
.

 .
.

 am1 .
 X1 
X 
 2
 . 
X =   (incluye variables de holgura Sk)
 . 
 . 
 
 X n  n×1
· · · a1n 
· · · a2 n 
. . . . 

. . . . 
. . . . 

. . . amn  m×n
b1 
b 
 2
 .
b= 
 .
 .
 
bm  m×1
9
•
3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial
•
Modelo Original
Modelo Estándar
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
sujeto a :
3X1 + 5X 2 ≤ 15
sujeto a :
3X1 + 5X 2 + S1
5X1 + 2X 2 ≤ 10
5X1 + 2X 2
(X1 , X 2 ) ≥ 0
C = [5
= 15
+ S 2 = 10
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
3
0 ];
0
X = [ X 1 X 2 S1 S 2 ] ;
T
3 5 1 0 
A=
;
5 2 0 1
15
b= 
10
•
3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial
•
Modelo Estándar
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
sujeto a :
3X1 + 5X 2 + S1
5X1 + 2X 2
Variables no
básicas
= 15
Variables
básicas
+ S 2 = 10
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
Solución Básica Nº
X1
X2
S1
S2
Factible
Valor de Z
1
0
0
15
10
Si
0
2
0
3
0
4
Si
9
3
0
5
-10
0
No
–
4
5
0
0
-15
No
–
5
2
0
9
0
Si
10
6
20/19
45/19
0
0
Si
235/19 = 12.4
10
•3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial
3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2 + 0S1 + 0S2
MaximizarZ = 5(0) + 3(0) + 0(S1 ) + 0(S2 )
sujeto a :
= 15
sujetoa :
3(0)+ 5(0) +1(S1 ) + 0(S2 ) = 15
+ S 2 = 10
5(0)+ 2(0) + 0(S1 ) +1(S2 ) = 10
3X1 + 5X 2 + S1
5X1 + 2X 2
(X1, X2 , S1, S2 ) ≥ 0
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
1 0  S1  15 
0 1  S  = 10 

  2  
−1
 S1  1 0 15  15
 S  = 0 1  10  = 10
    
 2 
Solución básica Nº 1
X1 = 0
S1 = 15
X2 = 0
S2 = 10
•
3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial
•
Modelo Estándar
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
sujeto a :
3X1 + 5X 2 + S1
5X1 + 2X 2
= 15
+ S 2 = 10
Variables no
básicas
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
Variables
básicas
Solución Básica Nº
X1
X2
S1
S2
Factible
Valor de Z
1
0
0
15
10
Si
0
2
0
3
0
4
Si
9
3
0
5
-10
0
No
–
4
5
0
0
-15
No
–
5
2
0
9
0
Si
10
6
20/19
45/19
0
0
Si
235/19 = 12.4
11
3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2 + 0S1 + 0S2 Maximizar Z = 5X1 + 3(0) + 0(0 ) + 0( S 2 )
sujeto a :
sujeto a :
3X1 + 5X 2 + S1
5X1 + 2X 2
3X1 + 5(0) + 1(0) + 0( S 2 )
= 15
5X1 + 2(0) + 0(0) + 1( S 2 ) = 10
+ S 2 = 10
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
3 0  X 1  15 
5 1   S  = 10 

 2  
−1
 X 1  3 0 15   1 / 3 0 15   5 
 S  = 5 1 10  = − 5 / 3 1 10  = − 15

   
  
 2 
Solución básica Nº 4
= 15
S1 = 0
X2 = 0
S2 = -15 X1 = 5
No factible!
Obsérvese que, en cada caso, la
solución básica se obtiene
invirtiendo
la
base
y
premultiplicándola por el vector
b, o sea que una solución básica
−1
es de la forma ,
B b
donde B es la matriz base
asociada
a
la
solución
correspondiente.
3.1 Método SIMPLEX en Forma Matricial
El problema general de P.L. dado en su forma estándar por el conjunto de
ecuaciones, puede tomarse de la siguiente manera:
A = [B M R ]
XB 
X =  L 
 X R 
C = [C B M C R ]
Bm×m =
Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de la matriz A, correspondientes a
las variables básicas)
Rm×(n-m) =
Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A, asociadas a las variables no
básicas.
XBm×1 =
Vector de las variables básicas.
X R (n-m)×1 =
Vector de las variables no básicas.
CB1×m
Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo.
=
CR1×( n−m ) =
Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la función objetivo.
12
3.1 Método SIMPLEX en
Matricial
Por la tanto el modelo de P.L. quedaría expresado así:
MAX(MIN)Z = CB X B + CR X R
sujetoa :
BXB + RXR = b
X≥0
Una solución básica es aquella en la que
XR = 0 ,
y, por lo tanto,
Una solución básica factible es aquella solución básica
X B = B −1b ,
X B = B −1b .
tal que.
XB ≥ 0
Inicie con una solución básica factible
inmediata
MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL
¿Se cumple el CRITERIO DE
PARADA?
No
Si
La solución
básica factible
actual es una
SOLUCIÓN
ÓPTIMA
Escoger la variable que va a entrar a la
base (CRITERIO DE ENTRADA)
FIN
Determinar la variable que va a salir de la
base (CRITERIO DE SALIDA)
Realizar las operaciones fila elementales
para cambiar de base y obtener una nueva
solución básica factible
13
MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL
1. Llevar el modelo a la forma estándar.
2. Determinar los parámetros de punto de partida:
Bm×m
Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de
la matriz A, correspondientes a las variables básicas)
Rm×(n-m)
Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A,
asociadas a las variables no básicas.
XBm×1
Vector de las variables básicas.
X R (n-m)×1
Vector de las variables no básicas.
C B1×m
Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función
objetivo.
C R1×( n−m )
Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la
función objetivo.
MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL
3. Calcule la solución básica inicial, donde:
X B = B −1b
4. Calcule el valor de
Z j - Cj
Z j = CBYj
Z = CB XB
para las variables no básicas
y
Y j = B −1a j Y = B −1R
donde a son las columnas de A que forman la matriz R.
j
14
MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL
5. Revise el Criterio de Optimalidad:
Caso Maximización: si todos los Z j − C j calculados en el literal
anterior son mayores o iguales que cero, dicha solución es la
solución óptima:
Z j −Cj ≥ 0
Caso Minimización: si todos los Z j − C j calculados en el literal
anterior son menores o iguales que cero, dicha solución es la
solución óptima:
Zj −Cj ≤ 0
Si se cumple el criterio finalice, de lo contrario continúe el
paso 6.
MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL
6. Realice el proceso de primer cambio de base
a) Criterio de entrada:
Caso Maximización: ( Z j − C j ) sea el “más negativo”.
Caso de Minimización: ( Z j − C j ) sea el “más positivo”.
b) Criterio de salida
Sale de la base aquella variable cuyo cociente θ sea el
minimo, donde:
x
θ = s ; ysk > 0
ysk
15
MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL
6. Realice el proceso de primer cambio de base
b) Criterio de salida:
Recuérdese que X B = X B − YX R , en este caso:
  a   c
XB =   =   − 
  b   d
Columna asociada a
Luego:
Xi ,
  xi 
 
 
variable a entrar a la base.
a b 
c d 
θ = mín ,  = mín{a/c , b/d}
Por lo tanto sale de la base asociada al θ mínimo
MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL
7. Actualizar la información con la nueva solución y repita todo
el proceso, hasta llegar a la solución óptima.
Ejemplo:
Modelo Original
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
sujeto a :
3X1 + 5X 2 ≤ 15
5X1 + 2X 2 ≤ 10
(X1 , X 2 ) ≥ 0
16
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
1. Llevar el modelo a la forma estándar.
Modelo Original
Modelo Estándar
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
sujeto a :
sujeto a :
3X1 + 5X 2 + S1
3X1 + 5X 2 ≤ 15
5X1 + 2X 2 ≤ 10
(X1 , X 2 ) ≥ 0
5X1 + 2X 2
= 15
+ S 2 = 10
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
2.
Determinar los parámetros de punto de partida:
Bm×m
Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de
la matriz A, correspondientes a las variables básicas)
Rm×(n-m)
Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A,
asociadas a las variables no básicas.
X B m×1
Vector de las variables básicas.
X R (n -m)×1
Vector de las variables no básicas.
C B1×m
C R 1×( n−m )
1 0 
B=
;
0 1 
S 1 S2
Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función
objetivo.
Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la
función objetivo.
 S1 
 X1 
15 
3 5 
C B = [0 0]; C R = [5 3]; b =  ; R = 
; X B =  S  ; X R =  X 
10
5
2
 


 2
 2
X1 X2
17
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
Maximizar Z = 5X1 + 3X 2
sujeto a :
3X1 + 5X 2 + S1
1 0 
15 
B=
; b = 10 ;
0
1


 
5X1 + 2X 2
= 15
+ S 2 = 10
(X1 , X 2 , S1 , S 2 ) ≥ 0
3.
Calculo de la solución básica inicial
X B = B −1b
−1
1 0 15 15
Entonces: X B = B b = 0 1 10 = 10

    
−1
XB
Z = CB XB = 0
es la solución básica factible inicial.
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
4. Calculo de ( Z j − C j ) para las variables no básicas.
Z j = C B Y j = C B B −1a j , donde a j son las columnas
de A que forman
la matriz R.
1 0 3 5 3 5
Y = B −1R = 

=
 (columnas de la matriz Y)
0 1 5 2 5 2
Z1 = C B Y1 = [0 0][3 5] = 0
T
Z 2 = C B Y2 = [0 0][5 2] = 0
T
⇒ Z1 − C1 = 0 − 5 = −5
⇒ Z 2 − C 2 = 0 − 3 = −3
18
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
5. Revisión del criterio de optimalidad
Caso Maximización: si todos los Z j − C j calculados en el literal
anterior son mayores o iguales que cero, dicha solución es la
solución óptima:
Como
⇒ Z1 − C1 = 0 − 5 = −5
⇒ Z 2 − C 2 = 0 − 3 = −3
Z j −Cj ≤ 0
Entonces ésta no es la solución óptima y se debe continuar con
el paso 6
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
6. Primer Cambio de Base:
a) Criterio de entrada: ( Z j − C j ) sea el “más negativo”.
1
Y = B −1R = 
0
0  3
1  5
Z 1 = C B Y1 = [0
Z 2 = C B Y2 = [0
5  3
=
2  5
5
2  (columnas de la matriz Y)
0 ][3 5 ] = 0
T
0 ][5
2] = 0
T
⇒ Z 1 − C1 = 0 − 5 = − 5
⇒ Z 2 − C 2 = 0 − 3 = − 3 ENTRA A LA BASE LA VARIABLE x1
19
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
6. Primer Cambio de base
b. Criterio de salida:
Recuérdese que X B = X B − YX R , en este caso:
 s  15  3 5   x1 
XB =  1  =   − 
 
 s2  10  5 2  x2 
Columna asociada a
Luego:
X1 ,
variable a entrar a la base.
15 10 
,  = mín{5 , 2} = 2
3 5
θ = mín 
Por lo tanto sale de la base la variable S2.
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
7. Actualización de la información con la solución básica
factible actual:
Actualmente, las nuevas condiciones son:
S 
S 
1 3
15
0 5
B =  ; CB = [0 5]; CR = [0 3]; b =  ; R = 
; XB =  1 ; XR =  2 

0 5
10
1 2
X1
X2 
s1 x 1
s2 x2
Entonces, la solución actual es:
−1
1 3 15 1 − 3 5  15 9 
  =  
XB = B b = 
  =
0 5 10 0 15  10  2
−1
Z = C B X B = 10
20
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
Segundo Cambio de Base: (si se necesita)
Criterio de entrada: ( Z − C ) sea el “más negativo”.
Z = C Y = C B a , donde a son las columnas de A que forman la
matriz R.
j
j
−1
j
B
j
B
j
j
1 − 3 / 5 0 5 − 3 / 5 19 / 5
Y = B −1R = 

=
2 / 5 
0 1 / 5  1 2  1 / 5
(Columnas de Y)
S2 X2
Z1 = C B Y1 = [0 5][− 3 / 5 1 / 5] = 1
T
Z 2 = C B Y2 = [0 5][19 / 5 2 / 5] = 2
⇒ Z1 − C1 = 1 − 0 = 1
T
⇒ Z 2 − C 2 = 2 − 3 = −1 ,
ENTRA A LA BASE LA VARIABLE X2
(la única cuyo Zj – Cj es negativo)
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
Criterio de salida:
Recuérdese que X B = X B − YX R , en este caso:
 s1  9  − 3 / 5 19 / 5  s2 
XB =   =   − 
2 / 5   x2 
 x1  2  1 / 5
Columna asociada a
Luego:
X2 ,
variable a entrar a la base.
 45  45
, 5 =
19

 19
θ = mín 
Por lo tanto sale de la base la variable S1.
21
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
Solución básica factible actual:
Actualmente, las nuevas condiciones son:
X 2 
15
0 1 
C B = [3 5]; C R = [0 0]; b =  ; R = 
; X B =  X ; X R
10
1
0
 


 1
5 3
B=
;
 2 5
x2 x1
s2 s1
Entonces, la solución actual es:
−1
5 3 15  5 / 19 − 3 / 19 15 45 / 19
XB = B b = 
  =
  = 

2 5 10 − 2 / 19 5 / 19  10 20 / 19
−1
Z = C B X B = 235 / 19 ≅ 12.37
Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial
Tercer Cambio de Base: (si se necesita)
Criterio de entrada: ( Z − C ) sea el “más negativo”.
Z = C Y = C B a , donde a son las columnas de A que forman la
matriz R.
j
j
−1
j
B
j
B
j
j
 5 / 19 − 3 / 19 0 1 − 3 / 19 5 / 19 
Y = B −1R = 

=
 (columnas de Y)
− 2 / 19 5 / 19  1 0  5 / 19 − 2 / 19
Z1 = CB Y1 = [3 5][− 3 / 19 5 / 19] = 16 / 19
T
Z 2 = CB Y2 = [3 5][5 / 19 − 2 / 19] = 5 / 19
T
⇒ Z1 − C1 = 16 / 19 − 0 = 16 / 19 
 ≥ 0 , SE CUMPLE EL CRITERIO DE PARADA Y
⇒ Z 2 − C2 = 5 / 19 − 0 = 5 / 19
OPTIMALIDAD.
22
FUENTES:
1. Vidal, Carlos Julio (2005). Introducción A La
Modelación Matemática Y Optimización.
2. Bravo, Juan José. Notas de Clase: Método
Simplex.
3. Ramírez, Luis Felipe (2009). Notas de Clase:
Método Simplex.
4. Toro, Héctor Hernán. Notas de Clase. Método
Simplex
23