ControlClase25CompensadoresdeAdelantoene... 176KB Mar 14

Control Automático
Compensadores de adelanto en el
dominio de la frecuencia
Contenido
 Introducción
 Estrategia
g
 Ecuaciones del compensador de adelanto
 Cálculo de un compensador de adelanto para
corrección simultánea del margen de fase y
del ancho de banda
 Ejemplos y ejercicios
Introducción
 Los métodos corrientes de diseño implican realizar
iteraciones o probar varios compensadores, evaluar
sus resultados y seleccionar el más adecuado
adecuado.
 Se pueden establecer ecuaciones para la ganancia y
fase que deben ser aportadas por los
compensadores
co
pe sado es a u
una
a frecuencia
ecue c a pa
particular
t cu a y luego
uego
resolver los sistemas de ecuaciones para obtener de
un solo paso el compensador de adelanto requerido.
Estrategia
 Según la estrategia de cálculo, el compensador de
adelanto es el último en ser calculado después de
haber corregido el error de estado estacionario
estacionario.
 Para corregir el ancho de banda y el margen de fase
en un solo paso
paso, se tienen que satisfacer dos
condiciones: un adelanto de fase y una ganancia a
una frecuencia específica
 Ya que existe interacción entre los diferentes
parámetros: polo, cero y atenuación o ganancia,
existirá solamente un compensador de adelanto que
pueda satisfacer simultáneamente tales condiciones
Corrección del ancho de banda
 El ancho
h de
d b
banda
d se pude
d corregir
i utilizando:
tili
d

Una ganancia estática


Un compensador de adelanto


Aumenta o disminuye el ancho de banda; aunque
afecta el margen de ganancia.
Puede aumentar el ancho de banda; además
g de g
ganancia
aumenta en margen
Una combinación de ganancia estática +
compensador de adelanto

Utilizada si el compensador de adelanto escogido no
es capaz de llevar el ancho de banda al valor
deseado
Corrección del margen de fase
 El margen de fase se corrige con un compensador de
adelanto


El compensador de adelanto utilizado
tili ado tiene ganancia
mitad (20*log10 b/a [dB]) a la frecuencia media. Efectos:
 La frecuencia de cruce de ganancia se desplaza hacia
valores mayores (derecha)
 El ancho de banda aumenta
 En margen de fase cambia, usualmente empeora
Se debe de utilizar un compensador cuyo aumento de
fase a la frecuencia media sea:
 máx. > Aumento de fase deseado + pérdida de fase
debida al compensador
p
+ margen
g de seguridad
g
Resumen de fórmulas del
compensador de adelanto
(1 
b
(
s
a
)
b
a

 
 
lim K LEAD ( s )  lim  
 K LEAD ( j )   
s  j
s  j a ( s  b )
 
 a  b (1 
;
max
 0
a
1

  90  2 * tan
b

a
m  b
 a b
b
b
m
a
b
j
j

a

b
)
)
Gráficas de Bode del
compensador de adelanto
Diagram a de Bode
20
a/b=0.1
Magnitud (dB)
15
a/b=0.2
10
a/b=0.3
5
a/b=0.5
0
60
Fase (d
deg)
a/b=0.2
a/b=0.1
30
a/b=0.3
a/b=0.5
0
10
-1
10
0
10
1
Fre cue ncia norm alizada  = w /a (rad/s e c)
10
2
Gráfica de máx
Á
Ángulo
agregado por un compensador de adelanto
90
80
Se puede agregar
fácilmente unos
70°
70
60
 máx [°]
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
relación a/b
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ecuaciones
 Partimos del compensador de adelanto de
primer orden con ganancia unitaria a  = 0

1

( j  z )
z 
 ( )
K LEAD ( j )  
( j  p )
p 
1 


j

z  (1  j )

;  1
  (1  j )
j 
p
Con  = 1/p,  = p/z
 El ángulo de fase del compensador
 ( )  tan 1 ( )  tan 1 ( )
Ecuaciones (2)
 La ecuación del ángulo puede reescribirse, utilizando
identidades trigonométricas generales, como:
  
 ( )  tan
1   ( ) 2
1


Evaluando a la frecuencia de cruce de ganancia c la
tangente p es:
c  c
p  tan(( (c )) 
1   (c ) 2
Y la magnitud
g
M ((en dB)) del compensador
p
expresada
p
como número real c es:
c  10
M
10
1  (c ) 2

1  (c ) 2
Ecuaciones (3)
 Despejando c de ambas ecuaciones anteriores y
resolviendo las ecuaciones simultáneas
( p 2  c  1)α 2  (2*p 2*c)  ( p 2*c 2  c 2  c)  0
 Luego
L
resolviendo
l i d para  con la
l condición
di ió
c  p 1
2
 sustituyendo el valor de  obtenemos 
1 c
 
c
c  2
1
Cálculo del compensador de
adelanto con ganancia unidad
a) Defina la frecuencia de cruce de ganancia
c requerida, que garantice que se cumple
la especificación de ancho de banda BW.
(BW se lee entre -6dB y -7.5dB).
b) Defina en margen de fase MF deseado a la
frecuencia de cruce de ganancia requerida,
según la especificación de sobreimpulso.
MF  100  
Cálculo del compensador de
adelanto con ganancia unidad (2)
c) Determine la fase m, (m > 0), que desea
aumentar y tomando en cuenta que existe
incertidumbre en la lectura del gráfico,
sobrecompense con un pequeño margen de
seguridad (3° ó 4°).

Si el ángulo requerido es > 70°, puede ser
necesario usar hasta un compensador doble.
 m  MFdeseado  MF  MSeg
C
d) Luego haga
p  tan( m )
Cálculo del compensador de
adelanto con ganancia unidad (3)
e))
Encuentre
E
t ell margen de
d ganancia
i MG en dB (MG >
0) a la frecuencia c para que la curva de magnitud
cruce p
por cero a esta frecuencia
f)
Luego encuentre la ganancia c, en números reales,
que debe ser aportada por el compensador de
adelanto a la frecuencia de cruce de ganancia
definida c.
MGc
c  10
g)
10
Garantice, para un compensador de orden 1, que las
raíces sean finitas verificando que:
c  p2 1
Cálculo del compensador de
adelanto con ganancia unidad (4)
h) Resuelva para  y tome el valor positivo, (ya
i)
que  es una ganancia), como solución de
( p 2  c  1)α 2  (2*p 2*c)  ( p 2*c 2  c 2  c)  0
Encuentre la constante de tiempo 
1 c
 
c
c  2
1
j)
Escriba el compensador
p
de adelanto como
(s  1
)

;  1
K LEAD ( s)  
1
(s  )

Ejemplo 1: Descripción
Dado el sistema cuya gráfica de Bode se muestra
G(s) H (s) 
5
s ( s  1)( s  3)
H ((ss )  1
 Haga que el margen de fase sea al menos de
45° a la frecuencia de 2 rad/s
Ejemplo 1: Diagrama de Bode
Diagram a de Bode
60
40
Magnitud (dB)
20
0
MG = 10.2dB
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-90
90
Fase (deg)
-135
MF = 23.4°
23 4°
-180
MF = -7°
7°
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
2
Frecuencia [rad/s] (rad/sec)
1
10
2
10
Ejemplo 1: Cálculos
 La ganancia requerida a c = 2 rad/s es MG =
10.2dB y el margen de fase a 2 rad/s será = -7°.
U
Usando
d 3
3.125°
125° como margen de
d seguridad
id d
tenemos
 m  45  (7)  3.125  55.125
 Con p = tan (m) = 1.4348 y c = 10(MG/10)= 10.4, se
verifica que (c > p2 + 1),
1) queda entonces:
(7.3413)α 2  (42.82)  (320.424)  0
 Resolviendo para  y tomando la raíz positiva
 10.138 
α

 4.3053
Ejemplo 1: Cálculos
 Calculamos la constante de tiempo del polo
1 c
1
1  10.4
 
 
 0.1595
2
2
c
c 
2 10.4  10.138
1
 Y finalmente el compensador de adelanto
 s  1

(10.138 * 0.1595) 

K LEAD ( s )  10.138

s 1
0.1595
( s  0.6184)
K LEAD ( s )  10.138
( s  6.27)


Ejemplo 1: Resultados
Diagram a de Bode
40
20
Magnitud (dB)
0
-20
-40
-60
Original
-80
Com pensado
-100
Com pensador
Frecuencia;Fa
ase (deg)
90
0
-90
45°
23°
-180
MF
-270
-2
10
-1
10
0
10
Frecuencia [rad/s] (rad/sec)
1
10
2
10
Ejemplo 1: Análisis
 La frecuencia de cruce de ganancia c es de 2 rad/s
como se pidió; la ganancia requerida de 10.2 dB, fue
proporcionada por el compensador de adelanto
 Se cumple el margen de fase pedido más el margen
de seguridad; y todo ese adelanto de fase fue
proporcionado por el compensador de adelanto a la
frecuencia c = 2 rad/s
 En este caso, de casualidad, la combinación de
ambas, la ganancia y el adelanto de fase a la
frecuencia c, se cumplen a aproximadamente la
frecuencia media del compensador.
Ejemplo 2: Descripción
Dado el sistema
24
G ( s) H ( s) 
s( s  2)( s  6)
H ( s)  1
cuya gráfica de bode se muestra en la
siguiente figura
 Haga que el margen de fase sea al menos de
60° a 3 rad/s
Ejemplo 2: Compensador de
38°
adelanto
Mag
gnitud (dB)
MG = 9
9.6
6 dB @ 3 rad/s
d/
MF’=7° @ 3 rad/s
m=60
=60°-7°+2°=
7 +2 = 55
55°
p = 1.428
c = 9.12
Cumple: c > p2 + 1
Diagram a de Bode
Gm = 12 dB (at 3.46 rad/s e c) , Pm = 38.1 de g (at 1.54 rad/s e c)
30
20
10
MG’=9.6dB
0
MG
-10
-20
-30
10.0904

  3.972
-40
-90
  0.0987
Fase (deg)
-135
( s  1.005)


K lead
(
s
)
10
.
09
l d
( s  10.14)
MF
-180
MF’=7°
-225
10
-1
10
0
Fre cue ncia [rad/s ] (rad/s e c)
10
1
Ejemplo 2: Resultados
Diagrama de Bode
100
Original
Compensador
Magnitud (dB
B)
50
Compensado
0
-50
-100
-150
90
Fase (d
deg)
0
-90
-180
MF=60°
MF
60
-270
-2
10
-1
10
0
10
3
Frecuencia (rad/s)
1
10
2
10
3
10
Ejemplo 2: Análisis
 Se logró dimensionar el compensador que produce
simultáneamente un margen de fase de +60° a la
frecuencia escogida de 3 rad/s (relacionada con el
ancho de banda).
 El margen de fase original de 7°
7 fue llevado a +60°
+60
por el compensador de adelanto calculado
 El margen de seguridad utilizado de 2° fue suficiente
para que el resultado fuese satisfactorio.
 Si se obtienen sin demasiados errores los datos de
MF y MG a la frecuencia escogida, el cálculo
produce directamente un compensador
p
p
adecuado.
Ejercicio
 Sintetice un compensador de adelanto-
atraso para el ejemplo 2 que haga que el
sistema tenga una respuesta con:



Sobreimpulso 21% +/- 5%
Error de estado estacionario menor al 5%
Tiempo de subida menor a 0.15s
Ejercicios
Encuentre la forma de calcular un compensador
doble cuando el ángulo a aumentar sobrepasa
unos 70° o cuando no se satisface que c  p 2  1
2. Calcule un compensador de adelanto para la planta
dada en el ejemplo 1 que satisfaga:

Margen de fase 60°
60 a c = 3 rad/s
3. Haga que el sistema cuya gráfica de Bode se
muestra en la página siguiente tenga:
1
1.


4.
ess < 2% y MF 60° a una frecuencia
f
i d
de cruce d
de
ganancia tal que tenga unos 30 rad/s de BW
Restricción: la ganancia estática solamente puede
ser aumentada
t d en incrementos
i
t de
d +5dB
5dB
Encuentre como calcular un compensador de
p
atraso usando un método similar al presentado.
Diagrama de Bode para el
ejercicio 2
Diagram a de Bode
0
Magnitud (dB
B)
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
Fase ((deg)
-45
-90
-135
-180
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
Frecuencia [rad/s] (rad/sec)
1
10
2
10
3
10
Referencias
[1] Dorf, Richard; Bishop Robert. „Sistemas de
control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall,
España, 2005