Teoría Analítica de los Números

Teoría Analítica de los Números
Objetivos
La asignatura está dedicada al estudio de los métodos analíticos en la Teoría de los
Números. Se pretende que el alumno llegue a adquirir los conocimientos suficientes en
esta materia
para que al término de su licenciatura esté en condiciones de, por un
lado, comenzar estudios más profundos en la propia asignatura u otras relacionadas con
ella, y por otro, el alumno debe ser capaz de aplicar los conocimientos adquiridos a otras
materias o campos.
PROGRAMA
1.- FUNCIONES ARITMETICAS.- Divisibilidad en el anillo Z de los enteros. Teorema
fundamental de la aritmética. Números de Fermat. Números de Mersenne.. Funciones
aritméticas multiplicativas. Funciones aritméticas aditivas. Propiedades generales.
Convolución de Dirichlet, grupo de las funciones aritméticas respecto de la convolución.
Funciones divisor y suma de divisores.
2.-FUNCIONES DE: MÖBIUS, LIOUVILLE Y EULER.- Definición y propiedades de la
función de Möbius. Fórmula de inversión de Möbius. Funciones completamente
multiplicativas. Inversa de una función completamente multiplicativa. Función de Liouville.
Definición y propiedades de la función de Euler. Fórmula de Gauss. Función de Jordan.
Inversas de las funciones de Euler y Jordan.
3. FORMULAS DE INVERSION.- Convolución generalizada de Dirichlet, propiedades.
Convolución generalizada y método de la hipérbola. Fórmula de inversión generalizada.
Fórmula de inversión de Chebyshev. Funciones unitarias. Convolución unitaria. Fórmula
de inversión para la convolución unitaria.
4. ORDEN MEDIO DE FUNCIONES ARITMETICAS.- Fórmulas de sumación de Abel y
Euler. Fórmulas asintóticas elementales. Orden de la función divisor y teorema de
Dirichlet. Orden medio de las funciones suma de divisores Euler y Möbius. Función
r(n) y teorema de Gauss.
5. DISTRIBUCION DE NUMEROS PRIMOS.- Función de Mangoldt. Funciones de tipo
Mangoldt. Identidades de Selberg. Funciones de Chebyshev, acotaciones, el problema
de las distribución de los números primos. Ley asintótica de distribución de los números
primos. Teorema tauberiano de Shapiro, aplicaciones. Fórmula asintótica de Selberg.
6. FUNCIONES GENERATRICES: SERIES DE DIRICHLET.- Serie ordinaria de Dirichlet.
Propiedades analíticas. Abscisas de convergencia, multiplicación de series de Dirichlet.
Funciones generatrices de funciones especiales.
7. FUNCION ZETA DE RIEMANN: Definición, convergencia y analiticidad de la función
zeta de Riemann. Prolongación analítica, teorema de Hardy, regiones libres de ceros.
Teorema del número primo y la hipótesis de Riemann.
8. LAS FUNCIONES L DE DIRICHLET: Caracteres de grupos abelianos finitos. Teorema
de Dirichlet de existencia de infinitos números primos en progresiones aritméticas.
Teorema del número primo en progresiones aritméticas.
Bibliografía
1.-E. APARICIO: Teoría de los números. Editorial UPV. 1993
2.-T.M. APOSTOL.Introducción a la teoría analítica de números. Editorial Reverté. S.A.
Barcelona. 1984.
3.-K. CHANDRASEKHRAN. Introduction to Analyctic Number Theory. Springer-Verlag.
Berlin-Heildeberg-New York.1958.
4.-K. CHANDRASEKHRAN. Arithmetical function. Springer-Verlag. Berlin-Heildeberg-New
York. 1970.
5.-W.J. ELLISON, M. MENDES FRANCE. Les nombres premiers. Edit. Hermann. Paris
1975.
6.-E. GROSSWALD. Topics from the Theory of Number. Birkhauser. Boston BaselStuttgart. 1984.
Teoría Analítica de los Números
El fundador de la Teoría Analítica de los Números fue el genial matemático del siglo
XVIII L. Euler. El desarrollo posterior de esta asignatura se debe a célebres matemáticos
como Gauss, Riemann, Hardy, Littlewood, Siegel, Vinogradov , Guelfond, Linnik, etc.
Los métodos del análisis real y complejo son básicos en esta asignatura, aunque los
métodos elementales (que no son los fáciles) y geométricos son también usados en
determinados problemas. Los denominados métodos elementales utilizan la matemática
elemental y el análisis real. En los métodos geométricos , los resultados que se obtienen
son de aplicación en la geometría y cristalografía.
1.- AREA A LA QUE PERTENECE
La asignatura de Teoría Analítica de los Números se engloba dentro del área de
Análisis Matemático.
2.- MATERIAS QUE SE UTILIZAN PARA SU DESARROLLO
Fundamentalmente las del área a la que pertenece: Análisis Matemático.
3.- CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Examen escrito y Trabajos dirigidos.
4.- BIBLIOGRAFÍA
El libro básico es el de T.M. APOSTOL. Introducción a la teoría analítica de
números, tanto para la parte teórica como para los problemas.
5.-DESARROLLO DEL PROGRAMA
Comenzamos recordando algunos conceptos conocidos y necesarios en la asignatura,
Pondremos las bases de la asignatura definiendo las funciones fundamentales que se van a
utilizar a lo largo de todo el curso.
Las fórmulas de inversión nos permiten relacionar las funciones entre si y obtener unas
funciones a partir de otras.
La siguiente cuestión que se aborda es el crecimiento de la función, su comportamiento
para valores grandes de la variable y los valores medios de funciones. Problemas como el
del círculo de Gauss o el de la hipérbola de Dirichlet son abordados en este tema (su
interpretación geométrica es: número de puntos de coordenadas enteras encerrados por el
círculo en el caso del problema de Gauss y número de puntos enteros bajo la hipérbola en
el primer cuadrante, en el caso del problema de Dirichlet).
Uno de los temas fundamentales es la ley asintótica de distribución de los números
primos . Las funciones de Chebyshev juegan un papel fundamental en este tema.
Estudiamos también un tipo de series muy especial y muy importante en toda la
asignatura, son las llamadas series de Dirichlet, sus coeficientes son precisamente las
funciones aritméticas que son las que generan la mayoría de los problemas que se originan
en torno a esta materia.
Un tipo particular de estas series es la que da lugar a la función zeta de Riemann. Uno de
los problemas no resueltos todavía en torno a esta función, es la llamada hipótesis de
Riemann.
Se estudian también las L-funciones, caracteres de Dirichlet , y la existencia de infinitos
números primos no solo en la sucesión natural sino en sucesiones más restrictivas como las
progresiones aritméticas.
Algunas páginas relativas a esta asignatura
*http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/
*http://es.wikipedia.org/wiki/TeoriadeNumeros
http://www.alpertron.com.ar/TNUMEROS.HTM
http://www.matematicas.net
*http://www.math.uwaterloo.ca/PM_Dept/Homepages/Stewart/
stewart.shtml
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi
http://primes.utm.edu/curios/includes/file.php?file=prim
etest.html
http://www.utm.edu/research/primes/
http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html
http://www.math.ubc.ca/~pugh/
http://userpages.umbc.edu/~rcampbel/NumbThy/Class/
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides
.htm#Libro%20VII
http://wordpress.mundocripto.com/
http://www.numbertheory.org/ntw/lecture_notes.html
Profesora de la Asignatura
Catalina Calderón