EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

EL MÉTODO DE
DIFERENCIAS FINITAS
POR
GUILLERMO HERNÁNDEZ
GARCÍA
1. El Método de Diferencias Finitas
• El Método consiste en una aproximación de las derivadas
parciales por expresiones algebraicas con los valores de la
variable dependiente en un limitado número de puntos
seleccionados.
• Como resultado de la aproximación, la ecuación
diferencial parcial que describe el problema es
reemplazada por un número finito de ecuaciones
algebraicas, en términos de los valores de la variable
dependiente en puntos seleccionados.
• El valor de los puntos seleccionados se convierten en las
incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser
resuelto y puede llevar un número largo de operaciones
aritméticas.
1.1. Flujo Estable
• Para mostrar este método vamos a considerar el caso de
flujo bi-dimensional de un fluido en un acuífero
homogéneo, isotrópico confinado, sin fuentes o sumideros.
Para este, el flujo es descrito por la ecuación de Laplace:
 2h  2h
(1.1.1)
 2 0
2
x
y
• Esta ecuación debe ser satisfecha en todos los puntos del
dominio R del acuífero considerado. En la frontera de R el
nivel del agua, h, debe satisfacer ciertas condiciones de
frontera. Vamos a asumir que las condiciones de frontera
son: (1.1.2)
enS1 h  f
(1.1.3)
en S 2
h
Qn  T
0
n
1.1. Flujo Estable
• Una retícula de cuadrados es trazada sobre la región R
(figura 1.1). El valor de la variable h en un punto nodal de
la retícula, o nodo, es expresada como hi,j, donde i indica la
posición de una línea vertical de la retícula (la columna), y
j la línea horizontal de la retícula (el renglón).
1.1. Flujo Estable
• En general, la aproximación de la primera derivada
con respecto a x de una función F(x,y), es dada por:
• (1.1.4)
F F x  x, y   F x, y 
x

x
• esta se dice que es la aproximación de diferencia
finita hacia adelante de la derivada parcial.
• La diferencia finita hacia atrás es obtenida de la
forma siguiente:
F F x, y   F x  x, y 
• (1.1.5)

x
x
1.1. Flujo Estable
• Existen pequeñas diferencias entre las dos
aproximaciones. La diferencia finita central es a
menudo más exacta:
F F x  12 x, y   F x  12 x, y 

• (1.1.6)
x
x
• La segunda derivada es la derivada de la primera
derivada; y si utilizamos una aproximación de
diferencia finita central, obtendremos:
 2 F F x  x, y   2 F ( x, y )  F x  x, y 
• (1.1.7)

2
2
x 
x

Fi 1, j  2 Fi , j  Fi 1, j
x 2
1.1. Flujo Estable
• La fórmula se ilustra
en la figura 1.2,
donde la función
mostrada
tiene
segunda
derivada
positiva, por el
incremento de la
pendiente en la
dirección x.
1.1. Flujo Estable
• La aplicación de (1.1.7) a las derivadas parciales el (1.1.1) nos
da la aproximación del operador de Laplace. Si por razones de
simplicidad se asumen intervalos iguales en las direcciones de
x e y:
 2 h  2 h hi , j 1  hi , j 1  4hi , j  hi 1, j  hi 1, j
 2 
2
• (1.1.8)
x
y
 2
• como la parte izquierda de la ecuación se reduce a cero según
lo indica la ecuación diferencial básica (1.1.1), se puede hacer
la aproximación requiriendo que:
hi , j  14 hi , j 1  hi , j 1  hi 1, j  hi 1, j 
• (1.1.9)
1.1. Flujo Estable
• Los nodos en la frontera requieren atención especial para
acomodar las condiciones de frontera. Una posible
condición de frontera es la condición de Dirichlet (1.1.2),
la cual establece que el nivel del agua subterránea sea el
especificado a lo largo de parte de la frontera. En este caso
ésta se prescribe a priori y ya no es una incógnita.
• En un nodo de una frontera impermeable, a lo largo de la
cual una condición de frontera de Neumann (1.1.3) es
aplicada, el nivel es una incógnita y la ecuación para ese
nodo debe reflejar la condición de no flujo en la frontera.
1.1. Flujo Estable
• Para un nodo en una frontera vertical por la izquierda esto
puede ser expresado por la condición de que h i-1,j=h i+1,j.
La sustitución en el algoritmo general nos da:
hi , j  14 hi , j 1  hi , j 1  2hi 1, j 
• (1.1.10)
• Un ejemplo simple de una región rectangular es mostrada
en la figura 1.3. A lo largo del límite superior el nivel se
especifica como 100. En la esquina inferior izquierda es
especificado el nivel cero. La estimación inicial para los
nodos con valor desconocido se considera con el valor
promedio de 50.
1.1. Flujo Estable
• En la primera parte de la figura se muestran las
condiciones iniciales. Estas no satisfacen la ecuación
(1.1.9). Son corregidas aplicando la aproximación en una
siguiente iteración o ciclo del programa, y el resultado se
muestra en la parte central de la figura. Tampoco se
satisface la ecuación (1.1.9).
• Después de un número dado de iteraciones, en cada una de
las cuales todos los valores son actualizados, la solución
correcta es obtenida y representada en la parte derecha de
la figura.
• El método descrito es denominado de relajación, porque
en cada paso los errores son relajados. En terminología
matemática el método de relajación es también conocido
como el método de Gauss-Seidel.
1.1. Flujo Estable
Figura 1.3 Ejemplo del método de diferencias finitas