HOJA 3

HOJA 3
Matemática Discreta 2014/2015
HOJA
Matemática Discreta 2014/2015
1. Halla 3
el número de vértices de los siguientes grafos simples:
(a)
9 aristas
y todos
sus
vértices grafos
son desimples:
grado
3.
1. Halla
número
de vértices
de los
siguientes
HOJA
3 Gel tiene
Matemática
Discreta 2015/2016
(b) G es un grafo regular con 15 aristas.
G tiene
aristas de
y todos
sus vértices
son simples:
de grado 3.
1. Halla el (a)
número
de 9vértices
los siguientes
grafos
(c) G tiene 10 aristas, dos de sus vértices son de grado 4, y los restantes de grado 3.
(b)9 G
es un ygrafo
regular
con 15 aristas.
(a) G tiene
aristas
todos
sus vértices
son de grado 3.
(c)
G
tiene
10
aristas,
dos
dedibuja.
sus vértices
de grado
4, y no
los puede
restantes
de grado 3.
decir,
nombra,
. . ) o son
explica
por qué
existir:
(b) G2.es Describe
un grafo (es
regular
con
15 aristas.
(c) G tiene 10 aristas, dos de sus vértices son de grado 4, y los restantes de grado 3.
2. Describe
(es decir,
dibuja.
. . )de
o explica
(a) un grafo
con nombra,
7 vértices,
todos
grado 3;por qué no puede existir:
2. Describe (es decir, nombra, dibuja. . . ) o explica por qué no puede existir:
(b)
un grafo
grafocon
con7 15
vértices
y 105
(a) un
vértices,
todos
de aristas;
grado 3;
(a) un grafo
con
7
vértices,
todos
de
grado
3;uno con 6 vértices, todos de grado de 2;
(c)
dos
grafos
no
isomorfos,
cada
(b) un grafo con 15 vértices y 105 aristas;
(b) un grafo con 15 vértices y 105 aristas;
(d)
un grafo
con 8 vértices
cuya
sucesióntodos
de grados
seade
(1,2;1, 1, 2, 3, 4, 5, 7).
(c) dos
grafosconexo
no isomorfos,
cada unoycon
6 vértices,
de grado
(c) dos grafos no isomorfos, cada uno con 6 vértices, todos de grado de 2;
(e) conexo
un grafo
grafo
con
20con
vértices
y sucesión
(d)
un
conexo
8 yvértices
y cuya de
sucesión
de sea
grados
sea
1,4,
1,5,
2, 7).
3, 4, 5, 7).
(d) un grafo
con
8 vértices
cuya
sucesión
degrados
grados
(1, 1,
1, (1,
2, 3,
(e) con
un grafo
con 20 yvértices
y sucesión
de grados
(e) un grafo
20 vértices
sucesión
de grados
(1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4 , !"#$
5 );
! "# $ !
"#
$ ! "# $ !"#$
, 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,22,
3,3,
3,33,, 3,
(1, 1, 1(1,
, 2,1,2,12,
, 3,2,3,2,3,
4,534,, 4,
54 , );
25 ); 1
!"#$
|{z}
$ !"#$
| {z } !|"# 3$ ! {z "# 9} | ${z! "#
} |{z}
3
3
9
9
5
5
21
2
(f) un grafo conexo con 25 vértices y sucesión de grados
(f) un grafo
25 vértices
sucesión
de grados
(f) conexo
un grafocon
conexo
con 25 yvértices
y sucesión
de grados
1
, 2,
3,
(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
(1, 1, 1, 1,
,1,
2,1,
2,1,
2,12,
2,2,
2,2,
2, 2,
2, 2,
2, 2,
3,2,
3 ,2,4,$2,4!"#$
). 3 , 4, 4 ).
"#1, 1,1}1,
|
|1, 1, 2,$2,!{z2, 2, 2, 2,"#
}2, |{z}
|{z}
2, 2, 3,
3 , 4, 4 ).!"#$
(1,!1, 1,{z
1, 1, 1, 1,
"#
$
!
"#
$
!"#$
!"#$
!
12
9
2
2
12
9
2
2
12
9
2
2
3. Demuestra
que en todo
G conexo
conconexo
más decon
dosmás
vértices
tienevértices
que haber
al menos
2 vértices
3. Demuestra
que grafo
en todo
grafo G
de dos
tiene
que haber
al menos 2
3.
Demuestra
que
en
todo
grafo
G
conexo
con
más
de
dos
vértices
tiene
que
haber
al
menos 2
con el mismo
grado.
vértices con el mismo grado.
vértices con el mismo grado.
4. ¿Cuántos grafos no isomorfos con tres vértices pueden construirse? ¿Y con cuatro vértices? ¿Y
4. ¿Cuántos
¿Cuántosgrafos
grafosno
noisomorfos
isomorfos
con
tres
vértices
pueden
construirse?
¿Ycuatro
con cuatro
vértices?
con
tres
vértices
pueden
construirse?
¿Y con
vértices?
¿Y ¿Y
con 4.
cinco?
con cinco?
cinco?
con
5. Demuéstrese que los dos siguientes grafos son isomorfos. ¿Cuántos isomorfismos distintos hay
Demuéstreseque
quelos
losdos
dossiguientes
siguientes
grafos
isomorfos.
¿Cuántos
isomorfismos
distintos
5.ellos?
Demuéstrese
grafos
sonson
isomorfos.
¿Cuántos
isomorfismos
distintos
hay hay
entre5.
entre ellos?
ellos?
entre
a a
11
2 2
3 3
f
f
7 7
g
e
44
5 5
b
c
c
g
e
6 6
b
d
d
6. Estudia si son isomorfos los siguientes grafos:
6. Estudia
si son isomorfos
los siguientes
6. Estudia
si son isomorfos
los siguientes
grafos: grafos:
G1
G1
G2
G3
G2
a)
b)
a)
G3
G4
G4
b)
7. (a) Sea un grafo G con n vértices y 2 componentes conexas. En estas condiciones, ¿cuál es el
7. (a) Sea
unSea
grafo
cony G
nmı́nimo
vértices
yaristas
2 componentes
conexas.
En estas
¿cuál es
el es el
7. número
(a)
unGgrafo
con
n de
vértices
yque
2 componentes
conexas.
En condiciones,
estas condiciones,
¿cuál
máximo
puede tener?
númeronúmero
máximomáximo
y mı́nimo
de aristas
puede
y mı́nimo
de que
aristas
quetener?
puede tener?
(b) Comprueba que si G tiene n vértices y p componentes conexas, entonces el número de aristas
debe cumplir que
n − p ≤ |A(G)| ≤
1
(n − p) (n − p + 1) .
2
8. Siete estudiantes se van de vacaciones y deciden que cada uno escribirá una tarjeta a los otros
tres. ¿Es posible que cada uno de ellos reciba tarjetas de exactamente los tres a los que ha escrito?
9. Cuatro parejas celebran una fiesta. Al terminar, uno de los ocho preguntó a los demás a cuántas
habı́an saludado al llegar, recibiendo una respuesta diferente de cada uno. ¿A cuántos habı́a
saludado la persona que hizo la pregunta? ¿Y su pareja?
10. En una reunión de 20 personas hay, en total, 48 pares de personas que se conocen.
(a) Justifica por qué hay, el menos, una persona que a lo sumo conoce a otras cuatro.
(b) Supongamos que sólo hay una persona que conoce a lo sumo a cuatro personas. ¿A cuántas
personas conoce exactamente?
11. Sea G = (V, A) un grafo con n vértices. Se define su grafo complementario GC como aquél que
tiene los mismos vértices que G y las aristas que le “faltan” a G. Esto es,
V (GC ) = V (G)
y
A(GC ) = A(Kn ) \ A(G) .
(a) Demuéstrese que G = (V, A) y G0 = (V 0 , A0 ) son isomorfos si y sólo si sus complementarios son
isomorfos.
(b) Encuéntrese un grafo con 5 vértices que sea isomorfo a su complementario.
(c) ¿Existe un grafo con 3 vértices que sea isomorfo a su complementario? ¿Y con 6 vértices?
(d) Si G tiene n vértices y su sucesión de grados es (g1 , g2 , . . . , gn ), ¿cuál es la sucesión de grados
de su complementario?
12. ¿Existen árboles de siete vértices y con
a) cinco vértices de grado 1 y dos de grado 2?;
b) vértices de grados (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3)?
13. Hállese el número de árboles distintos que se pueden formar con los vértices {1, 2, . . . , n} si
(a) n = 6 y cuatro vértices tienen grado 2;
(b) n = 5 y exactamente tres vértices tienen grado 1.
(c) n = 8, dos de los vértices tienen grado 4 y los seis restantes tienen grado 1.
14. Si G es árbol con p vértices de grado 1 y q vértices de grado 4, y ningún otro vértice, ¿qué relación
hay entre p y q? Dibuja un árbol que cumpla estas condiciones con q arbitrario.
15. Un bosque es un grafo sin ciclos. Pruébese que, si G es un bosque, entonces |A(G)| = |V (G)| − p,
donde p es el número de componentes conexas de G.
16. ¿Es cierto que
(a) si |A(G)| ≥ |V (G)|, entonces G contiene, al menos, un ciclo?;
(b) si G es conexo y |A| = |V | + 1, entonces G posee exactamente dos ciclos?
17. Sea G un grafo conexo. Demuéstrese que G es árbol si y sólo si G tiene un único árbol abarcador.
18. Consideremos el grafo que se obtiene al tomar n triángulos con exactamente un vértice común (el
número total de vértices es 2n + 1 y el número de aristas es 3n). ¿Cuántos árboles abarcadores
tiene?
19. Calcular el número de árboles abarcadores distintos del grafo bipartito completo K2,r . ¿Y del
grafo bipartito completo K3,r ?