lorsian oe prismas oe seccion rectangular

lorsian oe prismas oe seccion rectangular
Pou
ING.
EL
ARGFNTlNO
D. ROBFRTO KURTZ.
De una' memoria presentada
a
la Academia de Ciencias de la Universidad de
Buenos Aires par Roberto Kurtz y que tarnbien Iue
tifico Panamericano de
un
Lima,
que hasta ahora
problema practice
la torsion de prismas de seccion
En este
las bases de
trabajo
una nueva
de Elasticidad y
Vamos
con
que
a
se
se
aplican
esfuerzos moleculares
sus
en
habia tenido
refiere
una
la solucion de
a
solucion satisfactoria:
«Investigaciones sobre Elasticidad»
0 un nuevo
luego al
caso
explicar brevcmente y
que el autor funda
no
se
rectangular.
titula
teoria
prescntada al Congrcso Cien­
extractamos la parte que
metodo de investigacion
particular de
('11 sus
este
en
se
proponen
los fen6menos
problema.
lineamientos generales el razor.arniento
f6rmulas para €1 calculo del memento de torsion y de los
los prismas
rectangularcs.
I.--ANTECRDENTES
Para la mejor inteligencia de esta
sintesis, conviene hacer
antes
una
breve
re­
sefia del estado actual de las cuesriones que trata.
Representamos
en
la fig. 1. la
proyeccion de
un
cilindro somctido
de torsion Imaginemos que la base N ha side obligada
maneciendo fija la base M de tal
manera
que la
a
girar 'sabre
generatriz
mn
ha
81
a un
esfuerzo
misma, per­
pasado
a
ocupar
SECCION RECTANGULAR
TORSION DE PRlSMAS DE
""
�-===============·jn
m
N
M
Fig.
Es evidente
la posicion mn'
sufrido
que todos los elementos de dicha
deformacion angular
una
1
representada
n
tang
por el
generatriz hahran
angulo
n'
y=.�--­
mn
Llamando
r
al radio del cilindro y
designando
con
la letra griega <p cl angulo
de torsion tendrernos
n
tang if'
=
n'
-�­
r
Es evidente que para
angulos pequefios podernos
poner, llamando L
a
la Ion
gitud del prisma,
<p
(
r
=��-
L
Si llamamos S al esfuerzo elemental y G al coeficiente de resistencia al resba­
lamiento,
es
evidente
que
G<pr
S= Gy=-­
L
Formula aplicable
trices
0 en
otras
la fig. 2.
cualquiera de los elementos de cualquicra de las
palabras
Entremos ahora
en
a
a
a
genera­
cualquiera de los elementos superficiales del cilindro.
considerar la seccion transversal del prisma, representada
208
KURTZ
R.
e'
o
Fig.
El esfuerzo
en
cl elemento
sion elementalm que
esc
enos
esfucrzo
2
10 da la formula anterior y el momentodc tor­
origina es
G ¢ r2
m=--�-
L
Para otro clemente tal
c' situado
como
a una
distancia
r' del centro, obten­
driamos
G'cp rt2
m'=---L
El momento de torsion total
la seccion del prisma seria:
en
G¢
M""
m
+m' + m"
...
=
-
-
(r2
+ r'
+ r""
...
)
L
La
suma
de los terminos entre. parentesis
.
inereia polar de la seccion
Asi llegamos
sion de los'
a
aque llamaremos
La es
otra cosa que el momenta de
lp.
la formula universalmente aceptada para el momenta de tor­
prismas cilindricos
G¢
M
=
�----
IO"
L
La nueva teoria
en
relacion
COn
deja
en
pie
esta formula como todo 10 cxpuesto hasta
los prismas cilindricos.
aqui
TQRSr6N DE PRISMAS
Es cuando
se
209'
SECCION RECTANGULAR'
las .secciones rectangulares que
a
pasa
DE
se
evidencia
en
ponen
los errores de las teorias actualssy la utilidad de la nueva teoria.
En realidad, eI problema
limitandose
reconocen,
abstracta. Par
primera
nunea
dar algunas formulas empiricas
a
En las
donal
secciones
cillndrica j
es
evidentc que el esfuerzo elemental
la distancia del clemento considerado al
a
formula que da eI valor del
polar. Pero cuando
cia
comprobacion experimental puede aspirar
ha
se
centro
de torsion
momenta
de rectangulos de pcquefia base
can
dimcnsiones de los lades del rectangulo
su
inexactitud,
a
a
las seeciones
especial cuando
en
se
la altura. Hacienda variac las
a
observa que
se
de inercia polar aumcnta y la resistencia
mento
funci6n del momento de iner­
en
relaci6n
propor­
es
de rotacion, De aJli surge la
querido extender la misma formula
rectangulares, la experiencia ha dernostrado
trata
a con­
verdad cientifica.
una
en
de pura especulacion
0
hipotesis queposiblernente corresponde al­
surge una
vez
fenomeno real y que, mediante la
vertirse
rue resuelto y la mayoria de los autores asi 10
en
algunos
casas
el
mo­
Ia torsion disminuye,
Es evidente entonces que cuando salimos de la seccion circular, los esfuerzos
elementales ya
La
en
no son
proporcionales
teoda conduce
nueva
toda la periferia del cuerpo,
rninuyen hasta anularse
en una
a
el circulo
3C
reduce
a un
las distancias 31
ya f,ca
un
prisma rectangular
region central
que
sc
recta como
cs una
en
crecimiento
cimiento
y
d� considerar
vez
que los. csfuerzos
partir del perimetro. Enur.ciada
a
probablemente
a
iguales
circular y que dii­
se
representa
en
la
fig. 12;
pun to.
elemcntales
partir del centro, debe considerarse
a
0
SOn
llama nucleo neutro.
La teoria de la torsion de los cilindros admitida hasta
pero
de rotacion,
centro
admitir que los esfuerzos e1ementales
En cl rectagulo el nucleo neutro
en
a
todas las secciones
COmo
en
que
se
varian scgun
obedecen
esta forma
quizas
hoy sigue siendo exacta,
es
-llegue
a una
una
ley de
ley de deere­
aplicable al rectangulo
a
cornprobar
en
inves
..
tigaciones posteriores,
Ofrece tambien interesIa aplicacion de la
fibras
en
ciones del
que
el sentido
mientos
en
ello
autores
admiten que lz.s
r'cformacion, dejan de serlo dcsj ues.
sec­
Es claro
necesario que las fibras longitudinales sulran algunos desplaza­
La nueva tcoria ofrece €1 mcdio de calcular
el desplazamierito de cada fibra y esta circunstar.cia j.ermitiria
comorobacion
Ingel'liMDs-14
ar.tes de la
sentido del ejc del prisma.
el
exactamente
es
teoria al desplazarnierto de las
longitudinal del prisma. Muchos
prisma, planus
para
nueva
experimental
1= or media
ce aparatos microrr etric os,
su
210
R
En la Memoria, esta expuesta
�conocido
en
su
la forma
siguientc:
fcnomeno complicadisimo, -qlle 'ha
es un
'toda
KURTZ
U.�1iIPOTESIS 1'UNDAMENTAL
.
,La torsion
..
en
Par eso
complejidad.
lCOS
de tardar mucho
Iimitamos
a
estudiarlo dentro
«condiciones muy limitadas, considerando solamente prismas sometidos
«letorsion muy
pequefios, Por otra parte,
«Esto sentado, partiremos de
«a
demostrar
«cretas
<te
en
enes
'su
verosimilitud,
que estan sujetas
nos
conduce
a
a
d�
angulos
general 'en 1a practica.
no nos
dctendremos
conclusiones objetivas y
comprobacion experimental.
No
con­
hay, pues, inconvenien­
admitirla provisionalmente, ya que la prueba experimental de las conclusio­
comprobara
la
a
«Supongamos
-P,
a
Ella
estees el caso mas
hipotesis fundamental y
una
en ser
vez
la exactitud de la
lamina
una
(fig. 3). Irnagincmos haber
«bre la lamina hasta 1a
hipotssis.
material AB
dosplazado'el extrema
posicion
P'
e
imagir cmos
'�fuerias exteriores' deformamos Ia .lamina basta
«Iindrica
con
eje
en
rerosando
y
sobre ella
un
prisma
anterior P. del prisrna ror
que por media de
'conver'tirla
en
una
un
so­
sistema de
superficie ci­
0', manteniendo siempre adherido e1 pri-ma,
P
Q1.
E
A
pH
Fig.3
-Lahipotesis fundamental
.
I
.
.
-por el
prisma
en
estas dos
<Irido si hubiesernos
«Admitid{l, bien
operaciones sucesivas
hasta la
sea con
deformaciones sufridas
;
desphizado
<anterior P del prisma
consiste en admitir que las
mediante
un
Eon
las mismas que hubiera su-
sistema de fuerzas
exteriores
la base
posision P" par sabre la superficie cilindrica A B'.
caracter
provisoral,
esta
hipotesis, podrernos
empren-
TORSI6N
DE
PRISMAS
DE
SECCION RECTA�GULAR
-der el estudio de las deformacioncs del prism a
«sivas del fen6meno
•
En la
4
fig.
en
211
las dos etapas imaginarias
suce­
.
representamos
la
prirnera, No hay
en
ella otra deformacion que
-elalargamiento del prisma desde la longitud Q p. hasta Q P'. Recordaremos aqui
«rue cuando
en un
triangulo rectangulo
de los catetos
uno
cs un
infinitamen te
«juefio del primer orden, la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto
y
_---c
Q
o
\
---
---
_--
-=..----�
;.
---
--'--"-X
'--
Fig
.
..:1
-finitamente pcquefio del segundo orden. La distancia P P'
«asignarle
valor tan pequefio que el
un
in-
P'
----I
------
es un
pe­
finita,
pero podernos
alargamiento del prisrna resulte desprecia­
es
«ble. Nos colocamos asi dentro de las condiciones limitadas
que
estudiamos cl
esta
primera etapa
prism no
ha sido defor-
en
<fen6meno de la torsion.
«Convini�ndo
-runguna
deformaci6n
-rnado, sino
«
en
Para
dcspr�ciar
que
cl
alargamiento,
considerar,
simplemente desplazado
fijar ideas
«adoptarernos
pues
en
queda
no
realidad e1
en
a
.
y para mayor
claridad de las demostraciones posteriores,
algunas denominaciones. Llamaremos desplazarniento virtual al
<que acabamos de dcscribir y
angulo de desplazarniento virtual al angulo
P
Q P'.
«Si observamos ahora la posicion que ternan las diversas fibras longitudinales
«del
prisJ?a
COn
relacion al sistema de ejes considerarlo, notarernos que si
«estaba comprendida
«lespues
entre los valores Xl Y X2 antes
una
fibra
del, desplazamiento virtual,
de1. mismo, estara comprcndido entre los valores
«pudiendo ser
Lix
positive, negative
ecion al eje del prisma.
0
nulo
,s'eg�n
la
posicion de 18. fibra
con rela­
R.
212
,E;s facil calcular el
a ese
'y
valor
de L';x para todas y cada
a
considerar las deformaciones que
etapa imaginaria del fenorneno
En la memoria presentada
y que 10 unico que
se
de otro
una
entre
prendida
aparece ahora
corresponde
0
traccion
tomar
en
0
flexi6n
cuenta
con
son
son
r.ulos
0
despreciables
las deformaeiones angulares.
dos pianos normales
dichos dos planos constituia
con
la segunda
en
a su
eje
antes
de la deformacion
y distantes
prisma
un
com­
cubo que
deformaciones angulares bien definidas.
una
sobre otra las intersecciones obtenidas sobre los dos pianos,
que Ia cara anterior del cubo ha sufrido una deforrnacion angular con
la
a
producen
distancia igual allado de la base del mismo, la parte del
Proyectando
notamos
se
dernuestra que para angulos de torsion rnuy pe­
Si cortamos.elprisma de la figura 3
cion
de las fibras del prism a
.
quefios los esfuerzos de compresion
uno
una
valor le.Ilamaremos desplazamiento real de la fibra»,
Pasemos ahora
.
KURTZ
cara
convcrtido
en
posterior. Por
otra
parte, las
caras
laterales antes cuadradas
se
rela­
han
rombos,
AI conjunto de estas deformaciones llamarsmos torsion elemental. No tendria
mayor
zadas
importancia continuar
con
su
analisis,
ya
que quedan perfectamente caracteri­
el angulo que acabamos de definir y que representamos
en
la
fig. 5,
z
o '--------__...;y
Fig.
Es evidente que si Ilamamos L
elemental
es
a
5
la longitud del prisma, cl angulo de torsion
.
TORS1QN
DE
PRI5r\.fAS DE
Este valor indica claramente
los elementos del
prisma
y que
213
SECCI6N RECTANGUL�R
que la torsion
elemental
es
la misma para todos
independiente de la posicion del prisma
es
con
rela­
ci6n al eje de rotaci6n.
La torsion elemental
la memoria
en
debe
se
a
pares
elernentales que
se
originan segun explica
la variacion de las fuerzas tangenciales y cuyo valor
se
deduce de la
derivada de la ecuacion de los esfuerzos moleculares,
III.-DESPLAZAMIENTO
REAL DE LAS FIBRAS LONGITUDINALES
En este capitulo y los siguientes sustituimos las tangentes y
tud del
area
gulos .que
en
senos
par la
longi­
tomando el radio par unidad, sustitucion admisible tratandose de an­
la practica
son
muy
pequefios,
aunque
en
las figuras aparecen agran­
dados para la claridad de la demostracion. Esto dara gran sencillez
a
las formulas,
z
/{1
r
o
v
Fig.
Consideremos ahara
podemos
suponer tall
un
prisrna
delgada
6
/ de base rectangular
como se
en
quieta (fig. 6) sometida
forma de lamina que
a
torsion. Para deter­
rninar los desplazamientos reales de las fibras de esta lamina construiremos la fig. 7
en
que, considerando que la distancia de la lamina aJ centro
Iongitud,
m
n
;/, <pi'
es
;/,/', dames
a
milia
R. xt-arz
214
V
"
A>I
----l
1
"
____
,
f
t
,
0
x
.,
Fig.
Designando
de la fi bra
y
como:
por
real
(3 el angulo de dosplazamiento virtual, el desplazamiento
extrema e
llarnando L
a
sera:
la
Iongitud del prisma
mn
(3�
L
L
resulta
""
II'
x
4L
Este valor
es
positivo scgun
se
deduce de la figura 7.
z·
n·
_..�_.
_:..--"
.c.---L._.-._-..
.---�.,
.
P;--j
.
.
_'--
I.k::::::::::::'_---'--_�\p':'
r
_J
O�------�--------------------�--�x�·
TORSI6�
l'RlSMAS
DE
ssccrox
DE
Considerernos ahora otra lamina I' situada
sicion que
sus
se
muestra en
215
RltCTANGULAR
can
relacion
a
la anterior
en
la po­
la fig. 6. Para determinar los desplazamientos realcs de
Irbras construiremos la fig. 8
en que
m' n'
=
damos am' n' la longitud,
I
y, 1>
El desplazamiento real de la fibra extremae sera:
y como
m' n'
,
8'
L
L
resulta
</>
--II'
Sx
4L
Este valor
es
Comparando
negative Begun
con
se
la anterior,
deduce de la fig. 8
vemos
que
1> II'
6.
x
=
-
6.'
x
=- ..
(1 )
--
4L
IV.-DEFORMACIONES ANGULARES
Imaginemos
siei6n que
en
el
ahora las dos laminas colocadas exactamente
caso
anterior,
pero
soldadas ambas por la arista
A fin de evitar toda asimetria que pueda introducir
en
en
la misma dispo­
e.
complicaciones innecesarias
el fen6meno que queremos estudiar, imaginemos estas dos laminas
do parte de
un
sentamos en la
que deben
prisma hueco constituido
fig. 9. Las
equilibrarse
cuatro aristas
entre sf.
por cuatro laminas
se
en
veran as! sometidas
a
la
como
forma
forman­
que repre­
acciones simetricas
216
R. _KUNTZ
I�O
0
v
Fig. 9
Propongamonos
e
operando
en
ahora deterrninar cual sera el desplazamiento real de la arista
estas condiciones.
desplazarniento seria positivo, (/::"x fig. 7.)
la lamina I' el desplazamiento seria negative, (' /::"x fig. 8.)
Como perteneciente
como
Vamos
perteneciente
a
deterrninar
a
menor
por
predominara. La arista
e spontaneas
desplazara en el sentido
se
que im­
almacenamiento de energia potencial interna.
Recordarernos
por lado
la lamina 1 el
mediante la aplicaci6n de la ley de deforrnaciones
cual de las dos acciones
plique el
a
sometido
que el
a
trabajo de deforrnacion de
esfuerzos tangenciales
como se
expresi6n:
Y, G
y'
'
..
--
Fig.
10
..
'
un
cubo que tenga
representa
en
ra umcac
la fig. 10 tiene
TORSI6N
Si suponemos que el
ees
DE
PRISMAS
SECCION RECTANGULAR
DE
desplazamiento de
la arista
es
positivo
toda la lamina I' estaria deformada uniformemente
ceria
igual al area de la lamina (que
tiplicado
y
217
e
igual
el valor del
suponemos de espesor
igual
a
a
ll.x enton­
trabajo total
Ia unidad) mul­
por la expresion que
obtengamos para el trabajo de un clemente. Para
deterrninar esto, necesitamos deterrninar el angulo de deformaci6n molecular a
que
llamaremos Yi y cuyo valor seria:
ll.x+ (-L.'x)
4ll.x
=
�----
y, l'
y
sustituyendo Ips valores obtenidos
en
l'
el capitulo anterior y simplificando, ob­
tenemos
'"
y, =-1'
L
ivnuupncanco por
€1
area, el trabajo total seria
.
/
T,=Y, L P' GYi =y,
L I' G
G
1>'
( "'L )2
-
r /2
(2)
T,=-··----,
2L
Si suponernos por el contrario que el
desplazamiento
entonces seria la lamina I la deformada.
EI angulo de deformacion
elemental seria
46x
y,=---
I
es
negative
e
igual
a
ll.'x
218
R.
Y
KORTi
sustituyendo los valores obtenidos
en
el capitulo anterior y simplifi cando
-obtenemos
1>
'}I2 =---1'
L
y
rnultiplicando
por el area de la lamina el
trabajo total, resultaria
1> /'
T2�;4L/G-
('--L )2
(3)
T.
�-�----
2L
Comparando la (2)
con la
(3)
es
evidcnto que
puesto que
1'/2 <://,2
Vemos,
pues, que el
puesto que esto implica
desplazamiento real de 'a fibra
un
e
tender"
almacenamiento de energia
mcnor
a
scrpositivo.
potencial interna.
Restanos ahora averiguar las condiciones de equilibrio.
En laforma
es
en que
operamos, las fuerzas exteriores
decir, al eje del prisma,
a su propia direcci6n,
es
del eje del prisma,
produce
se
sobr,e
las
por
en
x,·
la
fibra
e, en el sentido
es
decir,
por
es­
moleculares internas, y estas reacciones s610
s' y
Estos dos esfuerzos tienen que
ginan
desplazamiento de
esfuerzos de origen ospontaneo,
rea cci ones
caras s
normalss al eje de las
pueden tener nirguna componente normal
evidente que el
fuerzos que proceden de
pueden ejercerse
no
y como
son
s
ser
s" de la fibra e, fig. 11.
iguales
y de
]a deforrnacion angular de los elementos
signa contrario, Ambos
en
inmediato contacto
se
con
ori­
la fi-
TORSION
DE
SECcrON
PRISMAS DE
219
RE("�:\l'l"GULAR
z
r
0'--
_
y
bra
e.
Ahora bien, si el clemente e' ejeree sobre
para mantenerse
en
e un
esfuerzo
s
equilibrio, que el elemento e" ejerza sobre el
necesita
un
a su vez
esfuerzo izual
de donde dedueimos que todos los elementos de la lamina / estan uniformemente
deform ados bajo la acci6n de esfuerzos
El mismo razonamiento
nos
todos iguales.
s,
llevaria
a
la conclusion de que todos los elementos
de la lamina I' estan uniformemente deformados bajo la acci6n de esfuerzos todos
iguales.
El valor de estos esfuerzos
depende del angulo
de deformaci6n. Vamos
a
cal­
cularlo.
Llamemos d al desplazamiento real que finalmente sufrira la fibra
bemos que sera positivo, La condici6n de equilibria
es
que sean
L'>x-d
r
2
de donde obtenemos, recordando la (1), trasponiendo y simplificando
/ /'
d=
(r
-
x
4L
1'+/
/)
y que sa­
iguales las angulos
de dsformacion de ambas Iaminas. Luego deberemos tener
z
e
R.
220
.
KURTZ
EI angulo de deformacion molecular que
en
definitiva sufriran todos y cada
uno
de los elementos de ambaslaminas y al que Ilamaremos y, 10 podemos calcular ahora
en
cualquiera de las dos, Considerando la fig. 80btendremos:
-.6'x+d
y�--_
I
-I'
2
y
sustituyendo los valores obtenidos
en
la
+- X
Y""
2L
sea,
despues de
(4)
1'---1
.pI
1'1
o
y en la
(1)
I' + I
2L
toda reducci6n
l}'
.p
Y
X _'_'
_._
�
(5)
_
1+1'
2L
EI valor del. esfuerzo elemental 10 obtenemos ahara multiplicarido el angulo y
par el coeficiente de resistencia a] resbalamiento
a
que llamamos
11'
G.p
(61
s
1+)'
L
Cada elemento
de valor
con
S,
que
se
ve, pues,
constituyen un
otro par de fuerzas
en
G. Luego
sometido ados fuerzas iguales y de signo contrario,
par que
se
equilibra segun
se
dernuestra
en
la memoria
el plano de los eje Z. Y. y que proceden directamente de
las fuerzas. exteriores.
V.-TORSION
Imaginemos ahora
sentado
en
rrespondan
una
DE UN
serie de
la fig. 9, tornados de
exactamente
a
PRISMA
DE
BASE RECTANGULAR.
prismas rectangulares huecos
manera
que
como
el repre­
las dimensiones exteriores de uno
las dimensiones interiores de otro,
co­
TORS16N DE
Coloquemos todos
en
taran
a
la
torsion,
hemos explicado
como
SECCJON RECTANGULAR
DE
prismas huecos
estos
la fig. 12. Sometidos
PRISMAS
en
el
es
unos
221
dentro de otro
evidente que todos
como se muestra
y cada uno se compor­
capitulo anterior.
z
O'---�-----y
Fig.1i
Ahora bien, si
contacto de
zar la
manera que
hipotesis de
En
un
procedernos
que
en que
prisma
a que
hueco
formen
soldarlos todos
prisrna solido,
un
siguiran comportandose
elemento tal
la formula (6)
a
como d
darernos
pertcnece
a
F el esfuerzo
los
esc
sidad hasta anularse
en
hay
de
caras
raz6n alguna para
recha­
manera.
tangencial sera el mismo
que
nos
da
para metros lyI' los valores correspondientes al
clemente.
el perimetro, siguiendo la direcci6n que
perimetro hacia cl
no
otros, por las
de la misma
SCgUn eso, los esfuerzos y deformaciones
james del
uno con
interior del
elernentales
indican-las
prisma,
SOn
uniforrnes
los esfuerzos
disminuyen
la recta central que der.ominaremos nucleo neutro.
todo
en
flechas, A medida que
nos
en
ale­
inten­
Pasando
el nucleo neutro los esfuerzos carnbian de signo,
Notase claramente la
sion de
un
prisms
de base
perfecta similitud
rectangular
COn
de la
explicacion obtenida
la teoria universalmente
torsion de los prismas cilindricos. En estes, el nucleo neutro
se
para la tor­
aceptada para la.
ha reducido
a Un
punta.
Esta similitud
Notando que 11'
par los
"esfuerzo
es
se
pone aun mas
eI area y la
correspondientes
suma
de manifiesto si analizamos las formulas 5 y 6.
1+1', la mitad del perimetro.
y
sustituyendolos
elementos del circulo, obteneroos para la deformaci6n y
elementales los valores correspondientes de 108, prismas cillndricos.
Vamos
a
calcular .ahora el
memento
de torsion.
R.
222
Notaremos ante todo que los
estan ligados por
una
KUR'IZ
parametres I
y I' que entran
en la formula (6)
relacion permanentc que deducirnos de [a fig. 12. En efecto..
1'�I+N
'
'llamando N a la longitud del nucleo neutro.
Tomarcmos,
como
'
variable independiente la distancia k del elemento super­
ficial d F al nucleo neutro, En la formula (6) deberemos poner 2x
N
en vez
en
vez de
l, y
2x +
de l',
As! obtendrernos
4x'+2xN
G P
S
4x+N
L
Tal
es
el esfuerzo tangcncial
en
el'elemento
Para obtener el momenta de esta fuerza
plicaremos la, expresion anterior
Consideremos ahora eI
'_
"
mas a
las laminas el espesor
base de
ese
prisma
esc
prisma hueco,
la
por
dF.
con
relacion al nucleo neutro, multi­
x.
prisma hueco
a
,
dxy teniendo en
es
(7)
_.,--'--
�-
que pertenece el
cuenta que el
8x+2N. obtendremos
elemento dF. Asigna-
perimetro del rectangulo,
para el momento
de
torsion de
expresion
2" (4x+N) dx
4x+N
o sea
(8X3+4Nx�)
dM
dx
L
,
EI memento de torsion para �l prisma solido total
Gp
M",,­
L
(8x3
+4
Nx2)
dx
nos
10
dara
18
integral.
,
TORsr6K DE
Ccp
[20
M
L
Ccp
Si
en
Ia
expresi6n del
la formula
X,]�
+ 4!3 N
(8)
-+��
6
'.8.
L
es
223
(/4 Ni3)
M
Tal
SECCION RECTANGULAR
PRIS.\-lAS DE
(7)
momento de
hacemos N
=
0,
torsion
para
un
prisrna de base
rectar gular.
obtenemos la cxprcsion
Ccp
S
-,-,
(9)
x
L
que
nos
da el valor del esfucrzo elemental
nucleo neutro
se
ha
Haciendo otra
reducido
vez
N=
a un
a en
en un
prism a de base cuadrada
en que
el
pur.to.
la Iorrnula
(8),obtencmos el momenta de torsion
del prisma de base cuadrada.
(ll )
M
L·
Finalmente si
nifica que
en
un
en
la formula (4) hac ernos I
prism
fibras longitudinales,
8
es
a
de base cuadrada
decir,
=
LO
I', el valor de d
nulo, 10
que
sig­
hay desplazamientos rcales de las
'que las secciones norrnalcs al
tienen planas despues de la deformacion.
es
eje del prisma
se man­