Ejercicios tema 6

INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES
PROBLEMAS DEL CURSO CERO DE MATEMATICAS
Elaborados por Domingo Pestana Galván
y José Manuel Rodrı́guez Garcı́a
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Escuela Politécnica Superior
Departamento de Matemáticas
1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

 x2 − 11x + 18
,
si x 6= 2 ,
f (x) = x3 − 2x2 + 3x − 6

−1 ,
si x = 2 .

2
x + 6x + 9

,
si x 6= −3 ,
5+
g(x) =
x+3

−2 ,
si x = −3 .

x2 arctan 8 ,
si x 6= 0 ,
h(x) =
x
0 ,
si x = 0 .
(
−| sen x| − 4 ,
si x < π ,
u(x) =
| cos x| − 5 ,
si x ≥ π .
(
cos x ,
si x < 0 ,
v(x) =
2
|x + 5x − 1| ,
si x ≥ 0 .
(
x2 − x + arctan x ,
si x < 0 ,
w(x) =
2
x
cos(3x − 5x) + 2 ,
si x ≥ 0 .


si x ≤ 0 ,
arctan x ,
y(x) = sen(πx) ,
si 0 < x < 1 ,

 2
|x − 5x + 4| ,
si x ≥ 1 .
Solución: 1) f (x) es continua en R . 2) g(x) es continua en R \ {−3} y tiene en −3 una discontinuidad
evitable. 3) h(x) es continua en R . 4) u(x) es continua en R . 5) v(x) es continua en R . 6) w(x) es
continua en R \ {0} 7) y(x) es continua en R .
4.7. Halla
1) lı́m arc sen
x→1
³ x2 − 2x + 1 ´
x2 − 7x + 6
.
2)
³
´
3
lı́m+ cos (1 + x2 )−7/x .
x→0
Solución: 1) arc sen 0 = 0. 2) cos 0 = 1.
4.8. Prueba que la función F (x) = g(f (x)) es continua en R , donde
(
(
sen(πx) + 1 ,
si x < 5 ,
ex ,
f (x) =
g(x)
=
x2 − 24 ,
si x ≥ 5 ,
|x − 1| ,
4.9. Prueba que la siguiente función es continua en R :
(
0,
f (x) =
e−1/x ,
5.
Derivadas
Halla las derivadas de las siguientes funciones:
5.1. f (x) = 2x3 − x2 − 5x + 21π.
Solución: f 0 (x) = 6x2 − 2x − 5.
5.2. g(x) = (log x)7 .
Solución: g 0 (x) =
7(log x)6
.
x
5.3. h(x) = ex sen x.
Solución: h0 (x) = ex (sen x + cos x).
9
si x ≤ 0 ,
si x > 0 .
si x < 0 ,
si x ≥ 0 .
5.4. f (x) =
x2 + 1
.
x2 − 1
Solución: f 0 (x) =
−4x
.
(x2 − 1)2
5.5. g(x) = xex cos x.
Solución: g 0 (x) = ex (cos x + x cos x − x sen x).
√
5.6. f (x) = cos x − e2x .
− sen x − 2e2x
Solución: f 0 (x) = √
.
2 cos x − e2x
r
x−1
.
5.7. g(x) =
x+1
Solución: g 0 (x) =
1
(x −
1)1/2 (x
+ 1)3/2
.
√
x−1
5.8. g(x) = √
.
x+1
1
√ .
Solución: g 0 (x) = √
( x + 1)2 x
√
5.9. h(x) = sec x.
√
√
1
Solución: h0 (x) = √ sec x tan x.
2 x
5.10. u(x) = log sen x.
cos x
= cotan x.
sen x
arc sen x
5.11. v(x) =
.
log x
√
x log x − 1 − x2 arc sen x
0
√
Solución: v (x) =
.
x 1 − x2 (log x)2
Solución: u0 (x) =
5.12. w(x) = arc sen ex .
ex
.
1 − e2x
√
5.13. y(x) = arc cos( x).
Solución: w0 (x) = √
−1
Solución: y 0 (x) = √
.
2 x − x2
5.14. a(x) =
sen x − cos x
.
sen x + cos x
Solución: a0 (x) =
2
.
(sen x + cos x)2
5.15. b(x) = 3arc sen
√
1−x2
.
− log 3 arc sen √1−x2
Solución: b0 (x) = √
3
, si x > 0;
1 − x2
√
log 3
2
b0 (x) = √
3arc sen 1−x , si x < 0.
2
1−x
10
5.16. f (x) =
p
7
(ex + log x)13 .
Solución: f 0 (x) =
13 ³ x 1 ´ x
e +
(e + log x)6/7 .
7
x
5.17. Halla la derivada de f (x) = xlog x , calculando primero la derivada de g(x) = log f (x).
Solución: g(x) = (log x)2 , g 0 (x) =
2 log x 0
, f (x) = 2xlog x−1 log x.
x
5.18. Halla la recta tangente a la gráfica de la función G(x) = ex + log(x + 1) en el punto x = 0.
Solución: y = G(0) + G0 (0)(x − 0) = 1 + 2(x − 0) = 2x + 1.
5.19. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones y calcula su derivada en los puntos en que sean
derivables:
1) f (x) = x1/7 .
2) g(x) = arc cos x .
3) h(x) = |x2 − 4| .
1 −6/7
−1
0
0
(−1) = g−
(1) = −∞.
x
si x 6= 0. f 0 (0) = ∞. 2) g 0 (x) = √1−x
si x ∈ (−1, 1). g+
2
7
0
0
0
0
3) h (x) = 2x si x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞); h (x) = −2x si x ∈ (−2, 2). No existen h (−2) ni h (2).
Solución: 1) f 0 (x) =
5.20. Estudia la derivabilidad de las
puntos en que sean derivables:


sen x ,
1) f (x) = x ,

 x
e ,
siguientes funciones definidas a trozos y calcula su derivada en los
si x ≤ 0 ,
si 0 < x < 2 ,
si x ≥ 2 .
(
0,
si x ≤ 0 ,
2) g(x) =
−1/x
e
, si x > 0 .
Solución: 1) f 0 (x) = cos x si x ∈ (−∞, 0); f 0 (x) = 1 si x ∈ (0, 2); f 0 (x) = ex si x ∈ (2, ∞). f 0 (0) = 1 y no
existe f 0 (2). 2) g 0 (x) = x−2 e−1/x si x ∈ (0, ∞); g 0 (x) = 0 si x ∈ (−∞, 0). g 0 (0) = 0.
5.21. Halla las derivadas de las siguientes funciones usando la definición de derivada:
a) 7 ,
Solución: a) 0 ,
6.
b) 3 ,
c) 4x ,
c) 2x2 ,
b) 3x ,
d) x3 .
d) 3x2 .
Representaciones gráficas
6.1. Representa f (x) = x4 − x2 .
√
√
√
√
Solución: Decreciente en (−∞, −1/ 2 ) y en (0, 1/ 2 ), √
creciente en (−1/ 2 , 0) y √
en (1/ 2 , ∞);
√ punto
máximo local x √
= 0, puntos
mı́nimos
absolutos
x
=
±1/
2
;
convexa
en
(−∞,
−1/
6
)
y
en
(1/
6 , ∞),
√
√
cóncava en (−1/ 6 , 1/ 6 ); puntos de inflexión x = ±1/ 6 .
6.2. Representa f (x) =
x+2
.
(x − 1)3
Solución: Ası́ntota horizontal y = 0 para x → ±∞, ası́ntota vertical en x = 1; creciente en (−∞, −7/2),
decreciente en (−7/2, 1) y en (1, ∞); punto máximo local x = −7/2; cóncava en (−5, 1), convexa en (−∞, −5)
y en (1, ∞); punto de inflexión x = −5.
6.3. Representa gráficamente y =
x2 − 1
.
x2 + 1
Solución: Ası́ntota horizontal y = 1 para x →
en (−∞, 0) y creciente
en√(0, ∞); punto
√
√
√ ±∞; decreciente
mı́nimo absoluto x√= 0; cóncava en (−∞, −1/ 3 ) y en (1/ 3 , ∞), convexa en (−1/ 3 , 1/ 3 ); puntos de
inflexión x = ±1/ 3 .
11