Lógica II - Ejercicios resueltos 7

“LÓGICA II”
EJERCICIOS RESUELTOS – 7
(Los ya resueltos en las clases teóricas aparecen recuadrados)
TEMA 5 – IDENTIDAD: DERIVACIONES,
FORMALIZACIÓN Y ÁRBOLES
A) DERIVACIONES
5.01
a=b ├ b=a
(conmutatividad)
1 (1) a=b S
(2) a=a I=
1 (3) b=a E= 1,2
5.02
a=b, b=c ├ a=c
(transitividad)
1 (1) a=b S
2 (2) b=c S
1,2 (3) a=c E= 1,2
5.03
Fa ┤├ ∃x (x=a ∧ Fx)
(a)
Fa ├ ∃x (x=a ∧ Fx)
1 (1)
(2)
1 (3)
1 (4)
(b)
1
2
2
2
2
1
Fa
a=a
a=a ∧ Fa
∃x (x=a ∧ Fx)
S
I=
I∧ 1,2
I∃ 3
∃x (x=a ∧ Fx) ├ Fa
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
∃x (x=a ∧ Fx)
b=a ∧ Fb
b=a
Fb
Fa
Fa
S
S
E∧ 2
E∧ 2
E= 3,4
E∃ 1,2,5
1
5.04
├ ∀x x=x
(reflexividad)
(1) a=a
I=
(2) ∀x x=x I∀ 1
5.05
├ ∀x∀y (x=y → y=x)
1 (1) a=b
1 (2) b=a
(3) a=b → b=a
(4) ∀y (a=y → y=a)
(5) ∀x∀y (x=y → y=x)
5.06
S
C= 1
PC 1,2
I∀ 3
I∀ 4
├ ∀x∀y∀z (x=y ∧ y=z → x=z)
1
1
1
1
5.07
(simetría)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
a=b ∧ b=c
a=b
b=c
a=c
a=b ∧ b=c → a=c
∀z (a=b ∧ b=z → a=z)
∀y∀z (a=y ∧ y=z → a=z)
∀x∀y∀z (x=y ∧ y=z → x=z)
(transitividad)
S
E∧ 1
E∧ 1
E= 2,3
PC 1,4
I∀ 5
I∀ 6
I∀ 7
├ ∃x x=a
(1) a=a
I=
(2) ∃x x=a I∃ 1
5.08
(Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b), ∃x (Fx ∧ Gx) ├ Ga ∨ Gb
1
2
3
1
1
3
3
1,3
9
3,9
3,9
12
3,12
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b)
∃x (Fx ∧ Gx)
Fc ∧ Gc
∀x (Fx → x=a ∨ x=b)
Fc → c=a ∨ c=b
Fc
Gc
c=a ∨ c=b
c=a
Ga
Ga ∨ Gb
c=b
Gb
S
S
S
E∧ 1
E∀ 4
E∧ 3
E∧ 3
MP 5,6
S
E= 7,9
I∨ 10
S
E= 7,12
2
3,12 (14) Ga ∨ Gb
1,3 (15) Ga ∨ Gb
1,2 (16) Ga ∨ Gb
5.09
I∨ 13
E∨ 8,9,11,12,14
E∃ 2,3,15
a=b, a=c ├ b=c
1 (1) a=b S
2 (2) a=c S
1,2 (3) b=c E= 1,2
5.10
a=b ├ a=c ↔ b=c
1
2
1,2
1
5
1,5
1
1
5.11
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
a=b
a=c
b=c
a=c → b=c
b=c
a=c
b=c → a=c
a=c ↔ b=c
a=b ├ Fa ↔ Fb
1 (1) a=b
2 (2) Fa
(3) Fa → Fa
(4) Fa ↔ Fa
1 (5) Fa ↔ Fb
5.12
S
S
E= 1,2
PC 2,3
S
E= 1,5
PC 5,6
I↔ 4,7
S
S
PC 2,2
I↔ 3,3
E= 1,4
Fa ┤├ ∀x (x=a → Fx)
(a)
1
2
2
1,2
1
1
(b)
Fa ├ ∀x (x=a → Fx)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Fa
b=a
a=b
Fb
b=a → Fb
∀x (x=a → Fx)
S
S
C= 2
E= 1,3
PC 2,4
I∀ 5
∀x (x=a → Fx) ├ Fa
1 (1) ∀x (x=a → Fx)
1 (2) a=a → Fa
(3) a=a
1 (4) Fa
S
E∀ 1
I=
MP 2,3
3
5.13
├ ∀x∀y (Fx ∧ x=y → Fy)
1
1
1
1
5.14
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
∀x (Fx → Gx), Fa, a=b ├ Gb
1
2
3
1
1,2
1,2,3
5.15
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
∀x (Fx → Gx)
Fa
a=b
Fa → Ga
Ga
Gb
S
S
S
E∀ 1
MP 2,4
E= 3,5
∀x (Fx → ¬Gx), Fa, Gb ├ a≠b
1
2
3
4
1
1,2
1,2,4
1,2,3,4
1,2,3
5.16
S
E∧ 1
E∧ 1
E= 2,3
PC 1,4
I∀ 5
I∀ 6
Fa ∧ a=b
Fa
a=b
Fb
Fa ∧ a=b → Fb
∀y (Fa ∧ a=y → Fy)
∀x∀y (Fx ∧ x=y → Fy)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
∀x (Fx → ¬Gx)
Fa
Gb
a=b
Fa → ¬Ga
¬Ga
¬Gb
Gb ∧ ¬Gb
a≠b
S
S
S
S
E∀ 1
MP 2,5
E= 4,6
I∧ 3,7
RA 4,8
(Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b), Ga ∧ Gb ├ ∀x (Fx → Gx)
1 (1) (Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b)
2 (2) Ga ∧ Gb
3 (3) Fc
1 (4) ∀x (Fx → x=a ∨ x=b)
1 (5) Fc → c=a ∨ c=b
1,3 (6) c=a ∨ c=b
7 (7) c=a
2 (8) Ga
7 (9) a=c
2,7 (10) Gc
11 (11) c=b
S
S
S
E∧ 1
E∀ 4
MP 3,6
S
E∧ 2
C= 7
E= 8,9
S
4
2
11
2,11
1,2,3
1,2
1,2
5.17
E∧ 2
C= 11
E= 12,13
E∨ 6,7,10,11,14
PC 3,15
I∀ 16
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
Fa
a≠b
∀y (Fa ∧ Fy → a=y)
Fa ∧ Fb → a=b
¬(Fa ∧ Fb)
¬Fb
S
S
S
E∀ 1
E∀ 4
MT 3,5
SC 2,6
∃x Fx ┤├ ∃x∃y (Fx ∧ Fy)
(a)
1
2
2
2
2
1
∃x Fx ├ ∃x∃y (Fx ∧ Fy)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(b)
1
2
3
3
3
2
1
5.19
Gb
b=c
Gc
Gc
Fc → Gc
∀x (Fx → Gx)
∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y), Fa, a≠b ├ ¬Fb
1
2
3
1
1
1,3
1,2,3
5.18
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
∃x Fx
Fa
Fa ∧ Fa
∃y (Fa ∧ Fy)
∃x∃y (Fx ∧ Fy)
∃x∃y (Fx ∧ Fy)
S
S
I∧ 2,2
I∃ 3
I∃ 4
E∃ 1,2,5
∃x∃y (Fx ∧ Fy) ├ ∃x Fx
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
∃x∃y (Fx ∧ Fy)
∃y (Fa ∧ Fy)
Fa ∧ Fb
Fa
∃x Fx
∃x Fx
∃x Fx
S
S
S
E∧ 3
I∃ 4
E∃ 2,3,5
E∃ 1,2,6
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y)) ┤├ ∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
(a)
1
2
2
2
5
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y)) ├ ∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y))
Fa ∧ ∀y (Fy → a=y)
Fa
∃x Fx
Fb ∧ Fc
S
S
E∧ 2
I∃ 3
S
5
2
2
5
2,5
2
5
2,5
2,5
2
2
2
2
1
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
∀y (Fy → a=y)
Fb → a=b
Fb
a=b
Fc → a=c
Fc
a=c
b=c
Fb ∧ Fc → b=c
∀y (Fb ∧ Fy → b=y)
∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
E∧ 2
E∀ 6
E∧ 5
MP 7,8
E∀ 6
E∧ 5
MP 10,11
E= 9,12
PC 5,13
I∀ 14
I∀ 15
I∧ 4,16
E∃ 1,2,17
(b)
∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y) ├ ∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y))
1
1
1
4
5
1
1
4,5
1,4,5
1,4
1,4
1,4
1,4
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
∃x Fx
∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
Fa
Fb
∀y (Fa ∧ Fy → a=y)
Fa ∧ Fb → a=b
Fa ∧ Fb
a=b
Fb → a=b
∀y (Fy → a=y)
Fa ∧ ∀y (Fy → a=y)
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y))
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y))
S
E∧ 1
E∧ 1
S
S
E∀ 3
E∀ 6
I∧ 4,5
MP 7,8
PC 5,9
I∀ 10
I∧ 4,11
I∃ 12
E∃ 2,4,13
B) FORMALIZACIÓN
EJERCICIO 5.20
Sólo Pérez y el centinela de la entrada principal sabían la contraseña. Alguien que sabía
la contraseña robó el arma. Luego, el arma fue robada o bien por Pérez o bien por el
centinela de la entrada principal.
Convenciones simbólicas:
- a:
- b:
- Fx:
- Gx:
Pérez
El centinela de la entrada principal
x sabía la contraseña
x robó el arma
Formalización:
(Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b), ∃x (Fx ∧ Gx) ├ Ga ∨ Gb
(= 5.08)
6
EJERCICIO 5.21
Todo asesino es un demente. El Dr. Jekyll es un asesino. El Dr. Jekyll es Mr. Hyde.
Luego, Mr. Hyde es un demente.
Convenciones simbólicas:
- a:
- b:
- Fx:
- Gx:
El Dr. Jekyll
Mr. Hyde
x es un asesino
x es un demente
Formalización:
∀x (Fx → Gx), Fa, a=b ├ Gb
(= 5.14)
EJERCICIO 5.22
Ningún asesino está en su sano juicio. El Dr. Jekyll es un asesino. Mr. Hyde está en su
sano juicio. Luego, el Dr. Jekyll no es Mr. Hyde.
Convenciones simbólicas:
- a:
- b:
- Fx:
- Gx:
El Dr. Jekyll
Mr. Hyde
x es un asesino
x está en su sano juicio
Formalización:
∀x (Fx → ¬Gx), Fa, Gb ├ a≠b
(= 5.15)
EJERCICIO 5.23
Sólo Juan y Lola están bailando. Juan y Lola están bailando el twist. Luego, todos los
que bailan bailan el twist.
Convenciones simbólicas:
- a:
- b:
- Fx:
- Gx:
Juan
Lola
x está bailando
x está bailando el twist
Formalización:
(Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b), Ga ∧ Gb ├ ∀x (Fx → Gx)
(= 5.16)
EJERCICIO 5.24
Hay a lo sumo un único rey de España. Felipe VI es rey de España. Felipe VI no es Juan
Carlos I. Luego, Juan Carlos I no es rey de España.
Convenciones simbólicas:
- a:
- b:
Felipe VI
Juan Carlos I
7
- Fx: x es rey de España
Formalización:
∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y), Fa, a≠b ├ ¬Fb
(= 5.17)
EJERCICIO 5.25
Habrá como mucho un par de candidatos.
Convenciones simbólicas:
- Fx: x es un candidato
Formalización:
∀x∀y∀z (Fx ∧ Fy ∧ Fz → x=y ∨ x=z ∨ y=z)
EJERCICIO 5.26
Hay exactamente tres personas divinas.
Convenciones simbólicas:
- Fx: x es una persona divina
Formalización:
∃x∃y∃z (Fx ∧ Fy ∧ Fz ∧ x≠y ∧ x≠z ∧ y≠z ∧ ∀w (Fw → x=w ∨ y=w ∨ z=w))
EJERCICIO 5.27
El autor de La Ilíada escribió La Odisea. Luego, alguien escribió tanto La Ilíada como la
Odisea.
Convenciones simbólicas:
- Fx: x escribió La Ilíada
- Gx: x escribió La Odisea
Formalización:
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y) ∧ Gx) ├ ∃x (Fx ∧ Gx)
EJERCICIO 5.28
El autor del Quijote era manco. Cervantes escribió el Quijote. Luego, Cervantes era manco.
Convenciones simbólicas:
- a:
Cervantes
- Fx: x escribió El Quijote
- Gx: x era manco
Formalización:
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y) ∧ Gx), Fa ├ Ga
8
C) ÁRBOLES
EJERCICIO 5.29
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∃x (x=a ∧ Fx) ╞ Fa
ü 1.
2.
ü 3.
4.
5.
6.
∃x (x=a ∧ Fx)
¬Fa
b=a ∧ Fb
b=a
Fb
Fa
Ð
(prem.)
(¬concl.)
(de 1)
(de
3)
(de 4 y 5)
Como el árbol está cerrado, las fbfs iniciales serán insatisfacibles. Y el esquema
de inferencia, por tanto, es válido.
EJERCICIO 5.30
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
Fa ╞ ∃x (x=a ∧ Fx)
1.
ü 2.
3.
ü 4.
Fa
¬∃x (x=a ∧ Fx)
∀x ¬(x=a ∧ Fx)
¬(a=a ∧ Fa)
5. a≠a
Ð
6. ¬Fa
Ð
(prem.)
(¬concl.)
(de 2)
(de 3)
(de 4)
El árbol cierra. Las fbfs iniciales son insatisfacibles. Y el esquema es válido.
EJERCICIO 5.31
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∀x (Fx → ¬Gx), Fa, Gb ╞ a≠b
1.
2.
3.
ü 4.
5.
6.
7.
∀x (Fx → ¬Gx)
Fa
Gb
¬¬a=b
a=b
Fb
Ga
(prem.)
(prem.)
(prem.)
(¬concl.)
(de 4)
(de 2 y 5)
(de 3 y 5)
9
ü 8. Fa → ¬Ga
9. Fb → ¬Gb
(de 1)
(de 1)
10. ¬Fa
11. ¬Ga
(de 8)
Ð
Ð
Como el árbol está cerrado, las fbfs iniciales serán insatisfacibles. Y el esquema
de inferencia, por tanto, es válido. (Las líneas 6 y 9 son superfluas)
EJERCICIO 5.32
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∀x (Fx → x=a ∨ x=b), Ga ∧ Gb ╞ ∀x (Fx → Gx)
1.
ü 2.
ü 3.
4.
5.
ü 6.
ü 7.
8.
9.
ü 10.
11.
12.
13. ¬Fc
Ð
∀x (Fx → x=a ∨ x=b)
Ga ∧ Gb
¬∀x (Fx → Gx)
Ga
Gb
∃x ¬(Fx → Gx)
¬(Fc → Gc)
Fa → a=a ∨ a=b
Fb → b=a ∨ b=b
Fc → c=a ∨ c=b
Fc
¬Gc
(prem.)
(prem.)
(¬concl.)
(de
2)
(de 3)
(de 6)
(de 1)
(de 1)
(de 1)
(de
7)
ü 14. c=a ∨ c=b
(de 10)
15. c=a
17. ¬Ga
Ð
16. c=b
(de 14)
⏐
(de 12 y 15)
18. ¬Gb
(de 12 y 16)
Ð
El árbol cierra. Las fbfs iniciales son insatisfacibles. Y el esquema es válido.
(Para simplificar el árbol, evitando más ramificaciones, se ha omitido la aplicación de las correspondientes reglas a las líneas 8 y 9, que son superfluas)
EJERCICIO 5.33
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y)), Fa ╞ Fb
ü 1. ∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y))
2. Fa
3. ¬Fb
(prem.)
(prem.)
(¬concl.)
10
ü 4.
5.
6.
ü 7.
ü 8.
ü 9.
Fc ∧ ∀y (Fy → c=y)
Fc
∀y (Fy → c=y)
Fa → c=a
Fb → c=b
Fc → c=c
10. ¬Fa
Ð
(de 1)
(de
4)
(de 6)
(de 6)
(de 6)
11. c=a
12. ¬Fc
Ð
(de 7)
13. c=c
(de 9)
14. ¬Fb
15. c=b
⏐
16. Fb
⏐
Ð
17. ∀y (Fy → a=y)
18. a=a
19. a=c
ü 20. Fa → a=a
ü 21. Fb → a=b
ü 22. Fc → a=c
23. ¬Fa
Ð
(de 8)
(de 3 y 15)
(de 6 y 11)
(de 11 y 11)
(de 11 y 13)
(de 17)
(de 17)
(de 17)
24. a=a
25. ¬Fc
Ð
(de 20)
26. a=c
27. ¬Fb
(de 22)
28. a=b
29. Fb
Ð
(de 21)
(de 2 y 28)
El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las tres fbfs iniciales son insatisfacibles. Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido.
11