Resumen de Ampliación - Los Hijos De Lagrange

Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría
Resumen
1 Elementos de Álgebra Lineal
Modos de determinar un subespacio:
Generado por k vectores linealmente independientes: S =< u1 , u2 , . . . , uk >
Ecuación vectorial de S: S = λ1 u1 + . . . + λk uk (siendo u1 , . . . , uk los vectores generadores de S)
Ecuación paramétrica de


x1 = λ1 α11 + · · · + λn αn1
S: . . .


xn = λk αk1 + · · · + λαnk
donde cada αij sale de las coordenadas
de cada ui vector generador de S pasando de una ecuación vectorial a un sistema de ecuaciones en el
cuerpo.

Ecuación cartesiana de
x1
 α11
S: Si, ahora, se impone que la matriz 
 ..
 .
αk1
...
...
...
...
... ...
... ...

xn
α1n 

..  tenga rango
. 
αkn
n-k (o euqivalentemente, que el determinante sea 0) se obtienen las ecuaciones cartesianas.
Dimensión: Número de vectores que engendran el subesapcio vectorial. Si un subespacio tiene k
ecuaciones cartesianas, su dimensión siempre será de n-k.
Recta vectorial: Subespacio de dimensión 1
Plano vectorial: Subespacio de dimensión 2
Hiperplano: Subespacio de dimensión n-1 (en un espacio vectorial de dimensión n)
Retículo de subespacios
S(V): Familia de subespacios de un espacio vectorial V. Con la relación de inclusión se forma un
retículo, donde inf{S, T } = S ∩ T y sup{S, T } = S + T
S + T : es la suma de subespacios. Se halla uniendo las bases de ambos subespacios S y T
S ∩T : es la intersección de subespacios. Se halla imponiendo que se cumplan las ecuaciones cartesianas
de ambos supespacios S y T
Fórmula de Grassman: dim(S + T ) = dim(S) + dim(T ) − dim(S ∩ T )
S ⊕ T : es la suma directa de subespacios. Es una suma de subespacios en la que S ∩ T = 0.
Suplemento: Se dice que S es suplemento de T cuando S ∩ T = 0 y S ⊕ T = V (es decir, engendran
todo el espacio
1
Aplicaciones lineales
Aplicación lineal: es una apliación f
: V → V 0 entre espacios vectoriales que conserva combinaciones
lineales, es decir: f (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 )
Matriz asociada a una aplicación lineal: será una matriz compuesta por las imágenes de los
vectores de la base de V escritos en la base V'.
Propiedades de las aplicaciones lineales: Sea
asociada
f : V → V 0 una aplicación lineal y A su matriz
(1) Ker(f ) ≤ V y Im(f ) ≤ V 0
(2) f es monomorsmo (aplicación lineal inyectiva) ⇐⇒ Ker(f ) = 0 ⇐⇒ conserva independencia lineal
(3) Si dim(V ) = dim(V 0 ); f es monomorsmo ⇐⇒ f es epimorsmo (aplicación lineal sobreyectiva)
(4) rango(A) = dim(f (V ))
(5) Si dim(V ) = dim(V 0 ); f es isomorsmo (aplicación lineal biyectiva) ⇐⇒ A es inversible
Cambio de base: Para hacer un cambio de base se debe multiplicar el vector x por la matriz del
cambio de base que no es más que las imágenes de los vectores de la primera base puestos en la.
Espacio dual
Forma lineal: Es una aplicación lineal φ : V
→ K donde V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K
que también es espacio vectorial sobre sí mismo
V ∗ : Es el espacio dual a V. Se dene como el espacio vectorial sobre K constituido por todas las formas
lineales provisto de las operaciones φ + ψ : v 7→ φ(v) + ψ(v) y λφ : v 7→ φ(v)λ. A V ∗ también se le
llama ortogonal. Dado un subespacio S ≤ V se obtiene S ∗ = {f ∈ V /f (S) = 0}. Dado un subespacio
S ≤ V ∗ se obtiene que S ∗ = ∩f ∈S ker(f )
2 Elementos de Geometría Afín y Proyectiva
Retículo de subespacios
Espacio afín A: Es un espacio vectorial V sobre K al que a los vectores se les llama puntos
Subespacio afín: Es un subespacio vectorial trasladado. T ≤ A ⇐⇒ T = τa (S). Además, se
verica que dim(S) = dim(T )
Espacio proyectivo: Si V es un espacio vectorial cuya dim(V ) = n + 1 sobre K , con n ≥ −1, P (V )
es el conjunto de los subespacios de S ≤ V con dim(S) = 1. Se tiene que dim(P (V )) = n
Subespacio proyectivo:
de V
P (S) será un subespacio proyectivo de P (V ) si S es subespacio vectorial
Puntos: Son los elementos de P (V )
Rectas: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = 1
Planos: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = 2
Hiperplanos: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S)
dim(P (V )) = n)
2
= n − 1 (en un espacio P (V ) con
Fórmula de Grassman: se sigue vericando en espacios proyectivos de la siguiente manera dim(P (S)+
P (T )) = dim(P (S)) + dim(P (T )) − dim(P (S) ∩ P (T )). Como observación de esta fórmula se puede
decir que cada par de rectas un plano proyectivo se interseca en un punto y cada par de hiperplanos
se interseca según uno de sus hiperplanos
Independencia
Puntos independientes: Si tenemos que P1 =< v1 > . . . Pn =< vn >.
P1 . . . Pn son independientes
en el espacio proyectivo si, y sólo si, {v1, . . . vn } son linealmente independientes
P (S) : Subespacio engendrado por S . Es el subespacio más pequeño que contiene a S = {P1 . . . Pn }.
Se halla encontrando una base de dicho subespacio, es decir, encontrando el máximo número de puntos
linealmente independientes de S .
Observaciones:
(1) Un punto es independiente
(2) Dos puntos son independientes ⇐⇒ los puntos son distintos
(3) Tres puntos son independientes ⇐⇒ los puntos no están sobre la misma recta
(4) En P (V ) con dim(P (V )) = n caben, a lo sumo, n + 1 puntos independientes. Además n + 1 puntos
independientes generan la totalidad del espacio P (V )
Subespacios por sus ecuaciones: Se hace de manera similar al espacio vectorial
Coordenadas homogéneas
Coordenada homogénea de P: Es la n + 1 − upla (λ0 , . . . , λ1 ) siendo esta la clase de equivalencia
de las coordenadas de los vectores que engendran el punto P. Es decir, (λ0 , . . . , λ1 ) y sus múltiplos
(exceptuando el 0)
Número de puntos de P (V ) sobre un cuerpo K con q elementos: q q−1−1
Sistema de coordenadas homogéneo: Es equivalente a una base en un espacio vectorial. Se puede
n+1
dar de dos formas:
(1) Por las clases de equivalencia: {v0 , v1 , . . . , vn }
(2) Tomando n+1 puntos independientes y añadiéndole uno, llamado unidad U, que no esté en ninguno
de los hiperplanos engendrados por los primeros n + 1 puntos {P0 , P1 , . . . , Pn ; U }
Cambio de base: Si A es la matriz del cambio de base, entonces la ecuación:
λx0 = xA es la del
cambio de base, siendo, x' el nuevo vector en las nuevas coordenadas, x el vector en las primeras
coordenadas y A la matriz cuyas las son las imágenes de los vectores de la base con respecto al
segundo sistema de coordenadas.
Espacio afín dentro del proyectivo
Construcción del espacio afín: Sea H un hiperplano del espacio vectorial V sobre K . Al conjunto
de puntos A(V, H) que quedan en el epacio proyectivo P (V ) al eliminar P (H) se le denomina espacio
afín sobre K . Es decir, A(V, H) = P (V ) − P (H). Dos hiperplanos diferentes H y H 0 del espacio
proyectivo P (V ) generan dos espacios anes diferentes, pero, en esencia son el mismo
Envolvente proyectiva de A(V, H): es el espacio proyectivo P (V ) en el que está insertado
3
Puntos del innito: Los puntos P de P (V ) tales que P ∈ P (H)
Hiperplano del innito o impropio: Es el hiperplano proyectivo P (H)
Subespacio afín: T ≤ A(V, H) ⇐⇒ ∃S ∈ V /S * H tal que T = P (S) − P (H)
Dimensión de A(V, H): coincide con la dimensión del espacio vectorial V y es una menos que la
dimensión de su envolvente proyectiva
Coordenadas cartesianas: Llamaremos así a las coordenadas dadas en un espacio afín A(V, H)
Cambio de coordenadas homogéneas a cartesianas: Si tenemos un punto expresado en las
coordenadas homogéneas (x0 , x1 , . . . , xn ), sus coordenadas cartesianas serán (y1 , . . . , yn ) donde cada
yi = xx0i para i = 1, . . . , n
Cambio de coordenadas cartesianas a homogéneas: Si tenemos un punto expresado en las
coordenadas cartesianas (y1 , . . . , yn ), sus coordenadas homogéneas serán (1, y1 , . . . , yn )
Principio de dualidad
Correlación estándar: Son las aplicaciones
S 7→ S ∗ y su inversa S ∗ 7→ S que resulta ser un an-
tiisomorsmo de retículos (cambia de sentido las inclusiones y, por consiguiente, cambia sumas en
intersecciones y viceversa)
Principio de dualidad: Todo teorema en espacios proyectivos con dim(P (V )) = n sobre un cuerpo
K , enunciado en términos de inclusiones, sumas, e intersecciones de subespacios proporciona un teorema dual, igualmente válido en espacios proyectivos n − dimensionales sobre el mismo cuerpo K ,
obtenido mediante la inversión de las inclusiones, la sustitución de sumas por intersecciones y viceversa y los subespacios de dimensión r por n − r − 1. Esto se debe fundamentalmente a la correlación
estándar
3 Proyectividades, Involuciones y Anidades
Proyectividades
Transformación regular: Es una aplicación lineal f
mente, f es inyectiva)
: V → V 0 en la que Ker(f ) = 0 (equivalente-
Proyectividad: Es una aplicación P (f ) : P (V ) → P (V 0 ) denida como P (f ) < v >=< f (v) > donde
f es una transofrmación regular
Propiedades:
(1) Tiene carácter functorial: P (1v ) = 1P (V ) y P (f ◦ g) = P (f ) ◦ P (g)
(2) dim(P (V )) ≤ dim(P (V 0 )); la igualdad se produce cuando hay proyectividad
(3) Las proyectividades conservan subesapcios: Si P (S) ≤ P (V ) ⇒ f (P (S)) ≤ f (P (V ))
(4) La inversa de una proyectividad es una proyectividad
(5) Una proyectividad conserva: inclusiones, sumas e intersecciones
(6) Si A ∈ BC ⇒ σ(A) ∈ σ(B)σ(C) donde σ es una proyectividad
Ecuación de una proyectividad:
λx = x0 A donde x es el vector la de coordenadas homogénas
de P en la base B, x' es el vector imagen respecto al sistema B', y A es la matriz cuyas las son las
imágenes del sistema B en coordenadas B'
4
Anidades
Anidad: Es la aplicación restricción de una proyectividad al dominio
A(V, H) y a la imagen
A(V 0 , H 0 ). No hay problema porque se sabe que una proyectividad conserva dimensiones, por tanto,
transforma un hiperplano H en otro hiperplano H 0
Ecuación de una anidad: Existen dos formas:

1 α01 ... α0n
 0 α11 ... α1n
(1) (1, y10 , . . . , yn0 ) = (1, y1 , . . . , yn ) 
 ..
..
 . ... ...
.
0 αn1 ... αnn
de un punto de A(V, H); y' son las coordenadas de
aplicación.α00 6= 0 porque como uo ∈
/ P (H); P (F ) <



 donde, y son las coordenadas cartesianas

su imagen y la matriz es la asociada a la
de
uo >∈
/ P (H 0 ) (es decir, el primer vector
la base cae fuera del hiperplano impropio) y los demás caen dentro y por eso αi0 = 0 con i > 0

α11 ... α1n
 ..
..
..
0
(2) También puede escribirse como: y = a + yA donde a = (α01 , . . . , α0n ) y A =  .
.
.
αn1 ... αnn



Teorema fundamental de la Geometría proyectiva
Símplex: Son n + 2 puntos de un plano proyectivo P (V ) con dim(P (V ) ≥ 1 sobre K de manera que
los n+1 primeros son independientes y el último no pertenece a ninguno de los hiperplanos engendrados por los n+1 primeros. Tiene la misma construcción que un sistema de coordenadas homogéneo
{Po , P1 , . . . , Pn ; U }
Teorema fundamental de la Geometría Proyectiva: Dados
{Pi }, {Qi } dos símplex de dos espacios proyectivos P y P 0 con dim(P ) = dim(P 0 ) > 0 sobre K , ∃!σ : P → P 0 proyectividad tal que
σ(Pi ) = Qi para cada i. Observación: Se deduce de este teorema que basta dar la imagen del simplex
para determinar por completo una proyectividad
Proyectividades entre rectas en un plano
Perspectividad de centro O de r sobre s: es una aplicación πo : r → s denida como A 7→ A0 =
S ∩ OA
Punto doble: es un punto que se aplica sobre sí mismo a través de una aplicación. Punto jo
Propiedades inmediatas:
(1) πO es biyectiva
(2) M = r ∩ s es un punto doble
(3) r = s ⇐⇒ πO = id
−1
(4) πO
es otra perspectividad con el mismo centro
Abcisa: Es el número λ ∈ K tal que en una perspectividad πO , dadas las imágenes de un sistema
de coordenadas {A, B; C} de la recta s, donde A =< a >,B =< b >, C =< a + b >, sobre la recta r
{A0 , B 0 ; C 0 } existe un único escalar λ ∈ K tal que si se toma D ∈ r con D 6= A, D =< λa + b >en
el sistema de coordenadas {A, B; C} en el que A está en el innito, B en el origen y C es el punto
unidad. λ es la coordenada cartesiana en la recta afín r − A
5
Razón doble de cuatro puntos:
(ABCD) = λ siendo A, B, C, D ∈ P1 (V ) con A 6= B 6= C 6= A y
D 6= A
Propiedades de la razón doble:
(1) Las perspectividades conservan la razón doble
(2) (ABCB) = 0
(3) (ABCC) = 1
donde A, B, C, D ∈ P1 (V ) y {a, b} es base de V ; A =< λ0 a >, B =< λ1 b > y
D =< µ0 a + µ1 b > elegido el par (λ0 , λ1 ) para que C sea el punto unidad.
(4) (ABCD) =
(5) (ABCD) =
prejado
λ1 µo
λ0 µ1
(γ−α)(δ−β)
(δ−α)(γ−β)
donde A, B, C, D tienen abcisa α, β, γ, δ en un sistema de coordenadas
Ecuación explicita de una perspectividad:
donde λ0 , λ1 , µ0 , µ1 son escalares que
vienen dados al manipular la fórmula obtenida de la razón doble (ABCX) = (σ(A)σ(B)σ(C)X 0 )
despejando x0 y se conocen las abcisas de dichos cuatro puntos.
x0 =
λ0 +λ1 x
µ0 +µ1 x
Puntos límite: son las imágenes y originales de los respectivos puntos impropios de r y s. Se pueden
hallar haciendo tender a 0 el denominador y a ∞ la x
Teorema: Sea σ : r → s una biyección entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces: σ
conserva razones dobles ⇐⇒ σ es una proyectividad ⇐⇒ σ se descompone, a lo sumo, en producto
de 3 proyectividades
Teorema:
doble
σ : r → s es una perspectividad entre rectas del mismo plano ⇐⇒ M = r ∩ s es un punto
Teorema: Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con (ABCD) = λ.
Se tiene que se reducen a 6 las posibles razones dobles de 4 puntos distintos (que pueden ordenarse de
4! maneras)
Involuciones
Ecuación implícita de σ:
λxx0 + µx + νx0 + ζ = 0 (operando desde la ecuación explícita) donde
λζ − µν 6= 0 y los puntos límite se pueden hallar dividiendo por x y x' y hallando límite cuando tienden
a ∞ respectivamente
Hallar puntos dobles: Se pueden obtener los puntos dobles de una proyectividad tomando x = x0
en la ecuación implícita y hallando sus raíces
Proyectividad hipérbolica: Es una proyectividad que posee dos puntos jos
Proyectividad parabólica: Es una proyectividad que posee un punto jo
Proyectividad elíptica: Es una proyectividad que no posee puntos jos
Involución: Es una proyectividad de una recta r en sí misma con σ2 = 1r
Lema: Si ∃A ∈ r/σ(A) 6= A y σ2 (A) = A ⇒ σ es una involución con σ 6= id
Cuadrivértice: Es un símplex en el plano proyectivo {A, B, C, D}
Vértices: Cada uno de los puntos que forman un cuadrivértice
Puntos diagonales: E = AB ∩ CD, F = AC ∩ BD, G = AD ∩ BC
Cuadrilátero: Son cuatro rectas {a, b, c, d} tales que no haya tres de ellas concurrentes. Es el concepto
dual de cuadrivértices
6
Lados: Son las rectas que forman el cuadrilátero
Diagonales: Las tres rectas distintas de los lados que determinan los siete puntos de intersección de
los cuatro lados
Segundo teorema de Desargues: Sea {A, B, C, D} un cuadrivértice de un plano proyectivo y r una
recta del plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta a BC en P, AD en P', a AB en Q,
a CD en Q0 , a BD en R y a AC en R0 . Entonces, la única proyectividad σ : r → r tal que σ(P ) = P 0 ,
σ(Q) = Q0 y σ(R) = R0 es una involución. Esto quiere decir que una recta corta a los lados opuestos
de un cuadrivértice según parjeas de puntos que están en involución
Teorema de Fano
Teorema de Fano: Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo están
alineados ⇐⇒ la característica del cuerpo base es 2. Dice lo mismo que su dual.
Trapecio: Es un cuadrivértice con un punto diagonal en el innito (tiene un par de lados opuestos
paralelos)
Paralelogramo: Es un cuadrilátero con dos de sus puntos diagonales en el innito (tiene dos parejas
de lados paralelos)
Cuaterna armónica
Cuaterna arnmónica: Es una cuaterna A, B, C, D tal que (ABCD) = −1
Cuarto armónico: Es el punto D que produce una cuaterna armónica en la terna (A, B, C)
Conjugados armónicos: A los puntos C y D se les denomina conjugados armónicos de A y B de
una cuaterna armónicaA, B, C, D
Punto medio R del segemento P Q: R = P +Q
2 . Sólo tiene sentido en el espacio afín
Lema: Cuatro puntos A, B, C, D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna armónica
B se localiza, cuando A está en el innito, en el punto medio del segmento CD
⇐⇒
Lema: Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio
Transformaciones entre haces de rectas (concepto dual)
Lápiz (a, b, c, d): Son cuatro rectas distintas dos a dos y concurrentes de un plano proyectivo
Lápiz armónico: Es un lápiz en el que existe un cuadrilátero que integre a a y b como dos de sus
lados, a c como una de sus diagonales y a d que pase por el punto de corte de las otras dos rectas
diagonales. Observación: Si una recta cualquiera r corta al lápiz en A, B.C, D, estos puntos forman
una cuaterna armónica
A∗ : Es el haz de rectas que pasa por A ∈ P(V )
Perspectividad de eje r: Es la aplicación π : A∗ → B ∗ , denida como:
a∈A ya ∈B
∗
0
∗
πr (a) = a0 = (a ∩ r)B donde
Razón doble de un lápiz: Concepto dual de la razón doble de cuatro puntos(ABCD)
Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase por
a ∩ b⇒(abcd) = (ABCD), donde A = a ∩ r, B = b ∩ r, C = c ∩ r, D = d ∩ r
7
Teorema (de dualizaciones):
(1) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspectividades
(2) Las proyectividades entre haces de recta de un mismo plano que conserve dobles de lápices es una
proyectividad
(3) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de lápices es
una proyectividad
(4) Una proyectividad entre haces de rectas A∗ y B ∗ de un plano es una perspectividad ⇐⇒ la recta
AB es doble
(5) El lápiz (a, b, c, d) es armónico ⇐⇒ (abcd) = −1
(6) Una proyectividad σ 6= id de un haz en sí mismo es una involución ⇐⇒ existe una recta a del
haz tal que σ(a) 6= a y σ 2 (a) = a
(7) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles
4 Teoremas de conguración
Homologías, homotecias y traslaciones
Subespacio doble: Es un subespacio que permanece invariante por una proyectividad
Recta doble: Es una recta que permanece invariante por una proyectividad.
Observación: Los puntos que forman la recta no tienen por qué ser dobles. Ahora bien, si P
entonces sí que es doble. Además toda recta determinada por dos puntos dobles es doble
= r∩s
Proyectividad central: proyectividad σ : P → P tal que existe un punto C ∈ P tal que cada recta
por C es doble, es decir, si X 6= C⇒ XC = σ(XC). Además, C es el centro de la proyectividad
Propiedades:
(1) Si hay en P dos rectas distintas llenas de puntos dobles ⇒σ = id
(2) Si C es el centro de una proyectividad ⇒ C es doble
(3) Si existen C y C 0 centros de una proyectvidad ⇒σ = id
(4) Si σ es central con centro C y r es una recta doble que no pasa por C ⇒ todo punto de r es doble
Homología: Es una proyectividad central de un plano en sí mismo distinta de la identidad
Teorema: Toda homología posee una única recta con todos sus puntos dobles
Eje de homología: Es la única recta del plano cuyos puntos son dobles por la homología
Observación: Una homología queda determinada por su centro C , su eje r, y un par de puntos A y
σ(A). Si nos dan B , σ(B) se obtiene como la intersección de σ(A)P ∩ CB donde P = AB ∩ r
Homotecia de centro C : Es una anidad que es la identidad o una restricción de una homología de
la envolvente proyectiva que tiene a C por centro, y a la recta del innito por eje. C es un punto del
afín
Teorema de Tales: Para cada homotecia
σ de centro C existe un escalar λ, denominado razón
de la homotecia, tal que σ(X) − C = λ(X − C). Es más, para cualquiera X, Y del plano afín:
σ(X) − σ(Y ) = λ(X − Y )
Observación: La restricción al afín en la que el eje es la recta impropia y C es un punto del innito,
no es más que una traslación
8
Teorema de Pappus
Teorema de Pappus: En un plano proyectivo, dadas dos ternas
(A, B, C) y (P, Q, R) de puntos
alineados, los puntos X = AB ∩ BP , Y = AR ∩ CP y Z = BR ∩ CQ están en línea recta. Como
observación podemos decir que se sule usar como regla nemotécnica para recordar las intersecciones
que intervienen el colocar (A, B, C) y (P, Q, R) como si se fuera a hacer el cálculo de un determinante
Teorema: Sean (A, B, C) una terna de puntos distintos de una recta r de un plano afín y (P, Q, R)
otra terna de puntos situados sobre otra recta s del mismo plano secante con la anterior en un punto
O∈
/ {A, B, C} y tales que AQ k BP y AR k CP ⇒BR k CQ
Teorema menor de Pappus: Sean A, B, C puntos de una recta r de un plano afín y P, Q, R otros
tres puntos situados sobre una recta s del mismo plano paralela a r. Si AQ k BP y AR k CP , entonces
BR k CQ
Teorema: En un plano proyectivo, se verica el teorema de Pappus ⇐⇒ un par de homologías son
conmutativas (σ ◦ τ = τ ◦σ )
Teorema de Desargues
Teorema de Desargues: Sean ABC y A0 B 0 C 0 dos triángulos de un plano proyectivo tales que las
rectas AA0 , BB 0 y CC 0 concurren en un punto O ⇒ las parjeas de lados (AB, A0 B 0 ), (AC, A0 C 0 ) y
(BC, B 0 C 0 ) se cortan según puntos que están alineados
Conguración de Desargues: Es la disposición en la que se encuentran dos triángulos bajo las
hipótesis del Teorema de Desargues
Triángulos homólogos: Son dos triángulos que se encuentran en la conguración de Desargues
Teorema de Desargues (Dual): Sean (A, B, C) y (A0 , B 0 , C 0 ) dos triángulos de un plano proyectivo.
Entonces, las rectas que pasan por vértices homónimos concurren en un punto ⇐⇒ las parejas de
lados homónimos se cortan según puntos que están alineados.
Teorema: Sean (A, B, C) y (A0 , B 0 , C 0 ) dos ternas de puntos de un plano afín tales que, o bien
AA0 ,BB 0 , CC 0 se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí:
(1) Si P = AB ∩ A0 B 0 , Q = AC ∩ A0 C 0 y R = BC ∩ B 0 C 0 , entonces R ∈ P Q (P, Q, R están alineados)
(2) Si ABkA0 B 0 , entonces QRkABkA0 B 0
(3) Si ABkA0 B 0 y ACkA0 C 0 , entonces BCkB 0 C 0
(4) El recíproco también es cierto, es decir, Si se verica (1),(2), o (3), entonces se tiene que, o bien
AA0 ,BB 0 , CC 0 se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí
Teorema: Dado un cuadrivértice (A, B, C, D) de un plano proyectivo con puntos diagonales E =
AB ∩ CD, F = AC ∩ BD, G = AD ∩ BC , sea M la intersección de la diagonal EF y el lado AD.
Entonces G ∈ P Q donde P = AB ∩ CM y Q = CD ∩ BM
Teorema: En un plano afín, las medianas de un triángulo concurren en un punto de la envolvente
proyectiva, que, además reside en el afín a partir de caracterísitca 3.
Baricentro: Es el punto de corte de las medianas de un triángulo
5 Geometría ortogonal
Formas cuadráticas
Producto interno: Es una forma bilineal simétrica q : V × V
9
→ K , es decir, verica las propiedades:
(1) q(λu + µv, w) = λq(u, v) + µq(v, w)
(2) q(u, v) = q(v, u)
Forma cuadrática: Es una aplicación q : V
→ K tal que verica:
(1) q(λv) = λ2 q(v)
(2) La aplicación q(u, v) = 21 (q(u + v) − q(u) − q(v)) constituye un producto itnerno
Polarizada de q: Si q es una forma cuadrática, la aplicación q(u, v) =
es un producto interno, es su polarizada
1
2 (q(u + v) − q(u) − q(v)),
que
Observación:
(1) Notamos igual a la forma cuadrática y a su polarizada (que es un producto interno), pero no debe
haber lugar a confusión porque la forma cuadrática q(u) toma sólo un argumento, mientras que la
polarizada q(u, v) toma dos
(2) Cada producto interno q induce una forma cuadrática cuya polarizada coincide con q
(3) Cada forma cuadrática q induce un producto interno (su polarizada)
(4) Cada matriz simétrica A induce una forma cuadrática (en esencia, no hay más ejemplos)
Matrices congruentes: Lo son A y B si A = P BP t donde P es una matriz inversible del cambio
de base. A y B son matrices de la misma forma cuadrática, pero en bases diferentes. La congruencia
constituye una relación de equivalencia
Vectores ortogonales: Son u, v cuando q(u, v) = 0, donde u, v ∈ V que es espacio vectorial provisto
de una forma cuadrática q
Vectores isótropos: Son vectores u ∈ V ortogonales a sí mismos (q(u, u) = 0)
Base ortogonal: Es una base del espacio V dada por vectores ortogonales 2 a 2
Subespacio totalmente isotrópico: Es un subespacio compuesto únicamente por vectores isótropos
Espacio no isotrópico: Es un subespacio que tiene como vector isótropo únicamente al 0
Radical de V : Rad(V ) = {u ∈ V : q(u, v) = 0, para cada v ∈ V }
El ortogonal de S : S ⊥ = {u ∈ V : q(u, v) = 0, para cada v ∈ S }
Espacio o forma cuadrática degenerada: Si Rad(V ) posee otros vectores además del 0
Suma ortogonal-directa: Si V = S ⊕ T con q(u, v) = 0 para cada u ∈ S y cada v ∈ T
Isometría: Es un isomorsmo lineal f entre dos K − espacios vectoriales V y V 0 sobre los que hay
denidas sendas formas cuadráticas q y q 0 que satisface q 0 (f (u)) = q(u) para cualquier u ∈ V
Teorema: Si q : V → K es una forma cuadrática en el K − espacio vectorial V , se satisfacen entonces
las siguientes propiedades:
(1) El ortogonal S ⊥ de cada subconjunto S de V es un subespacio. Si S ⊆ T entonces T ⊥ ⊆ S ⊥
(2) Un subespacio S de V tal que V = Rad(V ) ⊕ S nunca puede degenerar
(3) Si A es la matriz asociada a q , dim(V ) = dim(Rad(V )) + rango(A). La no degeneración equivale
a la inversibilidad de A
(4) Si V es totalmente isotrópico, entonces q(u, v) = 0 para cada u, v ∈ V y la matriz de q en cualquier
base se llena de ceros
(5) La no isotropía de un subespacio conlleva la no degeneración del mismo
10
Lema: Para cualquier S ≤ V con forma cuadrática, se verica dim(S ⊥ ) = dim(V )−dim(S)+dim(S ∩
Rad(V ))
Corolario: Si S ≤ V es no degenerado, se tiene (S ⊥ )⊥ = S
Teorema del sumando directo: S ≤ V no degenerado, entonces V
directa.
= S ⊕ S ⊥ es suma ortogonal
Complemento ortogonal de S , no degenerado: es el subespacio S ⊥ que completa el espacio V
Teorema de diagonalización: Cada espacio vectorial V provisto de una forma cuadrática q posee
una base ortogonal
Encontrar una base ortogonal de Witt:
(1) Se busca un vector no isótropo u1 (si no existe, entonces cuaquier pareja de vectores es ortogonal
y cualquier base es ortogonal también)
(2) Se calcula V1 =< u1 > y V = V1 ⊕ V1⊥ en suma ortogonal-directa
(3) Se aplica lo mismo sobre V1⊥ encontrando u2 (si no existe, entonces se completa u1 con cualquier
base de V1⊥ )
(4) Se continúa así un máximo de n pasos porque cada Vi⊥ disminuye en 1 su dimensión, y caben dos
posibilidades: o Vi⊥ = 0 con lo que se encuentra {u1 , . . . , un }, o bien, algún Vi⊥ = Rad(V ) ya que
todos los vectores serían isótropos
Observación: La matriz diagonal B de la forma cuadrática q en la base ortogonal {u1 , . . . , un }, tendrá
por elementos diagonales ai,i = q(ui ) para i = 1, . . . , n
Descomposición de Sylvester
Cuerpo ordenado: Si existe en él una relación de orden total compatible con la suma y la multipli-
cación de elementos mayores que 0, esto es, α ≤ β⇒α + λ ≤ β + λ para cualquier λ y αλ ≤ βλ para
λ>0
Teorema de descomposición de Sylvester (Ley de la inercia):
q : V → K una forma cuadrática
de un espacio vectorial V sobre K con K cuerpo ordenado. Existen, entonces subespacios V+ , V0 , V−
que satisfacen las siguientes condiciones:
(1) El espacio V se descomopone en suma ortogonal-directa como: V = V+ ⊕ V0 ⊕ V−
(2) La restricción de q a V+ es denida positiva (q(u) > 0 para todo u ∈ V+ )
(3) La restricción de q a V− es denida negativa (q(u) < 0 para todo u ∈ V− )
(4) V0 es totalmente isotrópico
(5) Además, cualquier otra descomposición dada de esta manera V = W+ ⊕ W0 ⊕ W− que verica lo
anterior, verica que las dimensiones de homónimos son iguales
Método para la descompoisición de Sylvester:
(1) V0 = Rad(V )
(2) De la obtención de la base ortogonal de Witt, se tiene la base ortogonal {u1 , . . . , un }. Entonces
V+ es el espacio engendrado por los vectores ui tales que q(ui ) > 0 y V− es el espacio engendrado por
los vectores ui tales que q(ui ) < 0
11
Descomposición de Witt
Plano hiperbólico: es un espacio vectorial bidimensional provisto de un producto interno no degenerado y que contiene al menos un vector isótropo no nulo
Lema: Para un espacio vectorial V bidimensional con forma cuadrática no degenerada sobre K , se
tiene que: V es un plano
⇐⇒ ∃u, v ∈ V tal que {u, v} dene una base
hiperbólico
ortogonal
para la
que q toma la forma
0
1
1
0
⇐⇒ Hay otra base para la que q toma la forma
1
0
0
−1
Lema: Si V es un espacio vectoral con producto interno no degenerado sobre K , entonces todos sus
subespacios totalmente isotrópicos maximales tienen la misma dimensión.
Además: V se expresa como suma ortogonal-directa de n planos hiperbólicos ⇐⇒ existen dos
subespacios W1 y W2 totalmente isotrópicos maximales y de dimensión n tales que V = W1 ⊕ W2
Índice de Witt: Es lal invariante n (dimensión de los subespacios totalmente isotrópicos maximales)
Teorema de descomposición de Witt: Sea q : V → K una forma cuadrática, entonces V es suma
ortogonal-directa de V = Rad(V ) ⊕ [⊕i∈s Pi ] ⊕ W con cada Pi un plano hiperbólico y W un subespacio
no isotrópico.
Además, cualquier otra doscomposición de V en suma ortogonal-directa de esta forma ha de conservar
el número de planos y la dimensión de W
Observación: El cardinal de S no es más que el índice de Witt
Método para la descomposición de Witt:
(1) Si en V no hay más vectores isótropos que el 0 ya se ha terminado, V = Rad(V ) ⊕ W donde W es
un subespacio no isotrópico
(2) En caso contrario, tómese u1 ∈ V − {0} con q(u1 ) = 0. Como V es no degenerado, existe otro
vector v1 ∈ V tal que q(u1 , v1 ) 6= 0
(3) El subespacio P =< u1 , v1 > es un plano hiperbólico
(4) Se toma a V1 = P1⊥ y se sigue con el mismo procedimiento
(5) Si en V1 no se encuentran vectores isótropos, hemos terminado V = Rad(V ) ⊕ P ⊕ V1 donde
V1 = W , si no, se continúa el proceso
Observación:
(1) En un cuerpo ordenado en el que todo elemento positivo admita raíz cuadrada, se puede obtener
la descomposición de Witt mediante Sylvester, donde las parejas (ui , vi ) con ui base de V+ y vi base
de V− generan los planos hiperbólicos y los vectores que quedan sueltos de vi generan el espacio no
isotrópico W y V0 = Rad(V )
(2) En productos internos sobre espacios vectoriales reales, la descomposición de Sylvester proporciona
la de Witt ahorrando bastantes cálculos
6 Cuádricas en el proyectivo
Generalidades
Cuádrica proyectiva:
Q(q) Es el conjunto de puntos de un espacio proyectivo P (V ) engendrado por
los vectores isótropos no nulos de q donde V es un espacio vectorial sobre K provisto de una forma
cuadrática q : V → K .
12
Cónica proyectiva: Es el caso particular de una cuádrica proyectiva en dimensión 2
Observación:
(1) Cuádricas procedentes de formas cuadráticas no isométricas pueden denir los mismos lugares
geométricos
(2) Ecuación reducida de la cuádrica: α0 x20 + · · · + αn x2n = 0 cuando se expresa Q(q) diagonalizda,
en una base ortogonal
Teorema: Una proyectividad entre espacios proyectivos transforma cuádricas en cuádricas
Cuádrica en un espacio proyectivo de dimensión −1: Sólo existen dos opciones, o bien llena
el espacio (que consta sólo de un punto), o bien es vacía, dependiendo de si K como espacio vectorial
sobre sí mismo es totalmente isotrópico o no
Cuádrica en una recta proyectiva: Se considera la cuádrica reducida α0 x20 + α1 x21 = 0. Hay tres
posibilidades:
(1) rango(q) = 2. La cuádrica puede poseer dos puntos o ninguno, dependiendo de si la ecuación
0
( xx01 )2 = − α
α1 tiene solución en K . Si λ es una de las dos raíces cuadradas, la cuádrica se compondra
de los puntos (1, λ), (1, −λ), de lo contrario sólo estará el 0 como vector isótropo
(2) rango(q) = 1. Entonces uno de los dos coecientes se anula, y la ecuación tiene única solución
(0, 1) ó bien (1, 0)
(3) rango(q) = 0. Entonces α0 = α1 = 0 y todo punto de la recta pertenece a la cuádrica
Posiciones relativas de una recta a una cuádrica: Si
restricción de q a la recta S , entonces:
P (S) ≤ P (V ) tomamos qS como la
Recta secante a la cuádrica: Si qS no degenera y tiene dos puntos de corte
Recta exterior a la cuádrica: Si qS no degenera y no tiene puntos de corte
Recta tangente a la cuádrica: Si qS degenera (luego cortará a la cuádrica en un punto o estará
contenida totalmente)
Subespacio tangente a una cuádrica: Es un subespacio tal que qS degenera
Vértice de la cuádrica: Es el subespacio P (Rad(V ))
Punto singular: Aquellos puntos que pertenecen al vértice de la cuádrica
Directriz de la cuádrica: es la cuádrica de S no degenerada Q(qS ), si se descompone V
S , con S no degenerado
= Rad(V )⊕
Generatriz de la cuádrica: es cualquier recta que contenga puntos singulares y puntos de una
directriz
Teorema: Si una cuádrica no se reduce al vértice, entonces es la unión del haz de sus generadores, es
decir, se compone de rectas que pasan por puntos del vértice y se apoyan en una directriz
Teorema: Un punto está en el vértice
tangente a la cuádrica
⇐⇒ pertenece a la cuádrica y cada recta que pase por él es
Un primer estudio de las cónicas
Cónicas (Cuádricas sobre un espacio proyectivo de dimensión 2): Se considera
Q(q) una
cónica del plano proyectivo P (V ) sobre K de ecuación reducida α0 x20 + α1 x21 + α2 x22 = 0. Hay cuatro
posibilidades:
13
(1) La forma cuadrática q es no degenerada (rango(q) = 3): Si V es no isotrópico, entonces Q(q) = ∅.
Si existe V 6= 0 isótropo, podrá aplicarse la descomposición de Witt y sacar que Q(q) tiene al menos
dos puntos (de hecho tantos como cualquier recta)
(2) rango(q) = 2. Entonces puede suponerse α0 = 0 y entonces v = (1, 0, 0) es el vértice de la cónica
y el suplemento del radical . Pueden darse ahora dos situaciones ya que qS no degenera, la directriz o
tiene dos puntos P y Q, o no tiene ninguno. Luego, la cónica, o bien consiste en dos rectas V Q y V P
secantes en el vértice, o bien, se reduce al vértice V
(3) rango(q) = 1 Puede suponerse α0 = α1 = 0. Enonces Rad(V ) =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >. Un
suplemento del radical debe ser no isotrópico, luego la cónica se reduce al vértice V
(4) rango(q) = 0. Entonces la cónica llena todo el espacio
Lema: Una cónica Q degenera en cada una de las siguientes circunstancias:
(1) Hay en Q al menos tres puntos alineados
(2) La cónica se reduce a un punto
(3) Todo punto del plano pertenece a Q
Teorema: Si una cónica Q no ocupa todo el plano y contiene al menos 5 puntos, entonces Q queda
determinada por completo por 5 de los puntos de los que pasa ⇐⇒ hay, a lo sumo, 3 de ellos colineales.
Además si de entre los cinco, no hay 3 colineales, la cónica es no degenerada, mientras que la alineación
de 3 de ellos implica que Q degenere en dos rectas secantes
Polaridad inducida por una cuádrica
Espacios conjugados respecto de una cuádrica: si
P (S), P (T ) ≤ P (V ) sobre K tales que
q(S, T ) = 0
Subespacio polar de A:
singular)
Polo del hiperplano H:
Propiedades:
A⊥ que es un hiperplano (si A no es singular) o todo el espacio (si A es
H⊥ que es un punto cuando H no corta al vértice
(1) Los hiperplanos polares de los puntos de un hiperplano pasan todos por el polo del hiperplano
(2) Hiperplanos que pasan por un punto tienen su polo en el hiperplano polar del punto
(3) Un punto pertenece a la cuádrica ⇐⇒ está en su hiperplano polar
Polaridad inducida por la cuádrica: Es la pareja de aplicaciones A 7→ A⊥ y H 7→ H⊥
Lema (Dual del apartado 3): Un hiperplano es tangente a una cuádrica ⇐⇒ contiene a su polo
Ecuación tangencial de la cuádrica: v.adj(A)vt = 0 que se deduce de imponer que el hiperplano
pase por el polo. La ecuación tangencial de una cuádrica, permite saber qué hiperplanos son tangentes
a la cuádrica
Observación: En ambiente no degenerado, un punto sobre la cuádrica dualiza en hiperplano tangente
a la cuádrica y el concepto de cuádrica es autodual
Teorema: Para un punto no singular de una cuádrica, su hiperplano polar, denominado en este caso
el hiperplano tangente, contiene a todas las rectas tangentes a la cuádrica que pasan por el punto
Polaridad
que:
σ
inducida por una cuádrica
Q
sobre una recta r: Es una biyección σ : r → r tal
14
(1) Si r ⊆ P ⊥ se tiene la tangencia entre r y Q y σ(P ) = P
(2) Si P ⊥ ∩ r = P 0 entonces σ(P ) = P 0
Observación: Estas dos son las únicas posibilidades si se toma en cuenta que r no pasa por el vértice
(luego P no es singular) y la fórmula de Grassman
Posibildades para σ:
(1) σ = 1r si r ⊆ Q, es decir, si r es tangente a Q en todos sus puntos
(2) σ es una aplicación constante si r es tangente a Q en un único punto
(3) σ es una involución elíptica o hiperbólica dependiendo de si r es exterior o secante a Q
Teorema: Los puntos de intersección de una recta secante a una cuádrica son conjugados armónicos
de cualquier pareja de puntos conjugados respecto de la cuádrica
Corolario: Si un cuadrivértice se inscribe en una cónica, entonces cada punto diagonal no singular es
el polo de la recta determinada por los otros dos puntos diagonales
Observación: El teorema y el corolario permiten un método gráco para hallar, dado P un punto no
singular, P ⊥ y las tangentes a una cónica que pasan por P si es que existen:
(1) Se circunscribe un cuadrivértice en la cónica {A, B, A0 , B 0 }
(2) Se hallan sus puntos diagonales, entre los cuales se debe encontrar P = r ∩ s
(3) P ⊥ no es más que QR que es la recta que une las otras dos diagonales y los puntos por los que
pasan las tangentes son S y S 0 que son las intersecciones de la recta dada con los lados r y s
Razón doble de cuatro puntos sobre una cónica
Teorema: Si
σ : A∗ → B ∗ es una proyectividad entre haces de rectas un plano tal que A 6= B y
σ(AB) 6= AB entonces Q = {r ∩ σ(r) : r ∈ A∗ } es una cónica no degenerada que pasa por A y B .
Además, σ transforma la tangente a la cónica por A en la recta AB y, ésta última en la tangente a Q
por B
Teorema: Dada una cónica no
 degenerada Q y dos puntos A y B distintos sobre ella, la aplicación

BP
σ : A → B dada por σ(r) = AB

 ⊥
B
∗
∗
r = AP ; P ∈ Q − {A, B}
es una proyectividad
r = A⊥
r = AB
Teorema de Steiner: Si A, B, C, D se sitúan sobre una cónica Q que no ocupa todo el plano y X
es otro punto de Q para el que tiene sentido referirse al lápiz (XA, XB, XC, XD) entonces la razón
doble del lápiz no depende de la elección de X . Además, esta razón doble coincide con la de los lápices
del tipo (A⊥ , AB, AC, AD) cada vez que estos existan
Teorema de Pascal: Si A, B, C, P, Q, R son seis puntos sobre una cónica Q para los que existen las
intersecciones X = AQ ∩ BP , Y = AR ∩ CP , Z = BR ∩ CQ, entonces X, Y, Z están alineados
Teorema: Sean P, Q, R, B, C cinco puntos distintos sobre una cónica no degenerada Q y r una recta
arbitraria que pasa por el punto Z = CQ ∩ BR, entonces A = RY ∩ QX pertenece a la cónica, donde
Y = CP ∩ r y X = BP ∩ r
15
Clasicación proyectiva de las cuádricas
Cuádricas proyectivamente equivalentes: Si existe alguna proyectividad que transforme una en la otra
Teorema: Si dos cuádricas son proyectivamente equivalentes, entonces coinciden el rango y el índice
de Witt de las formas cuadráticas q y q 0
Observación: El recíproco es cierto si el cuerpo K es algebraicamente cerrado o es un cuerpo ordenado
en el que cada elemento positivo admite raíz cuadrada
Clasicación sobre P2 (Z3 ) (Ejemplo accesible sobre un cuerpo pequeño)
I. Cónicas no degeneradas: Son cuadrivértices del plano y todos son proyectivamente equivalentes
II. Cónicas denidas por rango(q) = 2:
(a) Si la ecuación es x20 + x21 = 0, entonces no tiene solución y la cónica se limita al vértice
(b) Si la ecuación es 2x20 + x21 = 0, entonces la cónica consta de 7 puntos distribuidos en dos rectas
III. Cónicas denidas por rango(q) = 1 : Es la recta x0 = 0 que pasa por 4 puntos
IV. Cónicas de rango(q) = 0: La cónica llena el espacio y posee 13 puntos
Clasicación de cónicas reales
I. Rango 3. Cónicas no degeneradas:
I.1) Índice 0. Q(q) ≡ x20 + x21 + x22 = 0 A = ±diag(1, 1, 1). La cónica no tiene puntos y se dice que es
una elipse imaginaria
I.2) Índice 1. Q(q) ≡ −x20 + x21 + x22 = 0 A = ±diag(−1, 1, 1) Hay vectires isótropos y se le denomina
elipse real
II. Rango 2. El vértice consiste en un punto:
II.1) Índice 0. Q(q) ≡ x20 + x21 = 0 A = ±diag(0, 1, 1) La directriz no tiene puntos y la cónica se reduce
al vértice y se le denomina pareja de rectas imaginarias que se cortan en un punto real
II.2) Índice 1. Q(q) ≡ x21 − x22 = 0 A = diag(0, 1, −1) La directriz es ahora una cuádrica no degenerada
y no vacía sobre una recta y la cónica constará de dos generatrices que pasan por el vértice y se apoyan
en los dos puntos de la directriz. La cónica son la pareja de rectas x2 = x1 y x2 = −x1
III. Rango 1. El vértice es toda una recta Q(q) ≡ x22
= 0 A = ±diag(0, 0, 1) La directriz no tiene
puntos y la cónica coincide con el vértice, se le denomina recta doble
IV. Rango 0. Q(q) ≡ 0 = 0 A = 0. El índice se anula y la cónica llena el plano
Observación: La clasicación de complejos se reduce a tomar siempre los subcasos con el índice de
Witt máximo
Clasicación de cuádricas tridimensionales reales
Reglada: Es una cuádrica no degenerada en la cual, por cada punto, pasan rectas contenidas en la
cuádrica
Cono: Es una cuádrice en la que el vértice se reduce a un punto
I. Rango 4. Cuádricas no degeneradas
16
I.1) Índice 0. Q(q) ≡ x20 + x21 + x22 + x23 = 0 A = ±diag(1, 1, 1, 1) La cuádrica no tiene puntos y se le
denomina elpsoide imaginario
I.2) Índice 1. Q(q) ≡ −x20 + x21 + x22 = 0 A = ±diag(−1, 1, 1, 1) Sí tiene puntos, pero no contiene rectas
y se ele denomina elipsoide real no reglado
I.3) Índice 2. Q(q) ≡ −x20 + x21 − x22 + x23 = 0 A = ±diag(−1, 1, −1, 1) Por cada punto de la cuádrica
pasan dos rectas totalmente contenidas en ella y se le denomina elpsoide real reglado
II. Rango 3. El vértice es un punto
II.1) Índice 0. Q(q) ≡ x21 + x22 + x23 = 0 A = ±diag(0, 1, 1, 1) La directriz es una elpise imaginaria y la
cuádrica se limita al vértice y se le denomina cono imaginario con vértice real
II.2) Índice 1. Q(q) ≡ −x21 + x22 + x23 = 0 A = ±diag(0, −1, 1, 1) La cuádrica consiste en el haz de
rectas que pasan por el vértice y atraviesan una elpise real, se le denomna cono real
III. Rango 2. El vértice es una recta
Índice 0.Q(q) ≡ x22 + x23 = 0 A = ±diag(0, 0, 1, 1) La directriz no tiene puntos y se reduce al vértice,
se le denomina par de planos imaginarios que se cortan en una recta real
Índice 1. Q(q) ≡ x22 −x23 = 0 A = ±diag(0, 0, 1, −1) La directriz consiste en una cuádrica no degenerada
no vacía sobre una recta luego consta de 2 puntos, la cuádrica se comone de dos planos secantes en
una recta (el vértice)
IV. Rango 1. El vértice ocupa todo un plano Q(q) ≡ x23 = 0 A = ±diag(0, 0, 0, 1) La cuádrica se
reduce a un plano doble
IV. Rango 0. Q(q) ≡ 0 = 0 A = 0. El índice se anula y la cónica llena el espacio
Cómo clasicar una familia de cónicas
(1) Se escribe la matriz A asociada a la forma cuadrática q
(2) Se halla el determinante de A y los casos degenerados se dejan para el nal (Cuando |A| = 0)
(3) Se determina el índice de Witt encontrando una base ortogonal (con el método de Witt por ejemplo)
(4) Se sigue hallando el rango y el índice de Witt en los casos en los que |A| = 0
7 Cuádricas en el afín
Posición relativa de una cuádrica y un hiperplano
Cuádrica afín: Es el conjunto Q(q, H) = Q(q) − P(h) = Q(q) ∩ A(V, H) donde Q(q) es una cuádrica
de la envolvente proyectiva de A(V, H)
Observación: Dependiendo del hiperplano del innito escogido, la misma cuádrica proyectiva, puede
generar diferentes cuádricas anes
Cuádrica del innito de una cuádrica afín: Es la restricción Q(qH ) = Q(q) ∩ P(H)
Observación:
(1) Se evidencia que Q(q) = Q(q, H) ∪ Q(qH )
(2) Se debe tener cuidado ya que la misma cuádrica afín puede proceder de dos cuádricas proyectivas
distintas, es decir, Q(q, H) = Q(q 0 , H) con q y q 0 ni siquiera equivalentes
17
Teorema: Si f
: V → V 0 es un isomorsmo lineal entre espacios vectoriales, entonces cada cuádrica
afín Q(q, H) de A(V, H) se transforma por la anidad A(f ) en una cuádrica afín de A(V 0 , f (H))
Teorema: Si H es un hiperplano vectorial de V de dimensión n ≥ 2 sobre K en el que hay denida
una forma cuadrática q , entonces:
(a) Si H ⊥ * H , entonces V se descompone en suma ortogonal directa V =< u > ⊕H para cada vector
u ∈ H⊥ − H
(b) Si H ⊥ ⊆ H , existen entonces un subespacio U y un par hiperbólico (u, v) con v ∈ H ⊥ − Rad(V )
y u ∈
/ H tales que V y H se descomponen en suma ortogonal directa como V =< u, v > ⊕U y
H =< v > ⊕U
Cuádricas con centro: Son aquellas cuádricas anes Q(q, H) en las que H ⊥ * H .
Propiedades:
(1) Se puede tomar base ortogonal {u1 , . . . , un } y completarla con u de manera que Q(q, H) ≡ λ0 +
λ1 y12 + · · · + λn yn2 = 0 mediante el paso a coordenadas cartesianas de la expresión de la cuádrica
proyectiva resultante Q(q) ≡ λ0 x20 + · · · + λn x2n = 0.


λ0 0 . . . 0
 0 λ1 . . . 0 

(2) La matriz de q , en la base dada, queda como: 
 ..

.. . .
 .
.
0 
.
0
0
0 λn
(3) Si un punto P ∈ Q(q, H), entonces −P ∈ Q(q, H) porque se verica la ecuación, de manera que el
punto O =< u > ejerce de centro
Paraboloides: Son aquellas cuádricas anes Q(q, H) en las que H ⊥ ⊆ H
Propiedades:
(1) Se puede tomar el sistema de coordenadas homogéneas {u, v, u2 , . . . , un } con (u, v) el par hiperbólico
y los ui intergrando una base ortonogal de U . La ecuación de la cuádrica proyectiva será Q(q) ≡
2x0 x1 + λ2 x22 + · · · + λn x2n que proporciona la cuádrica afín Q(q, H) ≡ 2y1 + λ2 y22 + . . . yn2

0
1
0


(2) La matriz de q , en la base dada, queda como: 

 ..
 .
0
1
0
0
0
0
λ2
...
...
...
0
0
...
..
.
..
.
..
.
0
0
0





.. 
. 
λn
(3) Si un punto P = (α1 , . . . , αn ) está en el paraboloide, su simétrico con respecto del eje r ≡ y2 =
· · · = yn = 0; P 0 = (α1 , −α2 , . . . , −αn ) también pertenece al paraboloide
Observación: La cónica Q(q, H) donde q = 0, es decir, la que llena todo el espacio, se sitúa entre las
cuádricas con centro
Ecuación reducida de la cuádrica afín: Es de la forma Q(q, H) ≡ 2y1 + λ2 y22 + . . . yn2 ó Q(q) ≡
λ0 x20 + · · · + λn x2n = 0
Ejes de la cuádrica: La parte af´ni de las rectas proyectivas P0 Pi con P0 =< u > y Pi =< ui >
donde {u, u1 , . . . , un } es la base donde se alcanza la ecuación reducida de q
Observación: El eje P0 P1 es en realidad el eje de simetría en un paraboloide
Vértice: Es la intersección de la cuádrica afín con sus ejes (que pueden existir o no)
Centro de una cuádrica: (En una cuádrica con centro) es la parte afín del subespacio P(H ⊥ ), es
decir, el polo del hiperplano impropio
18
Observación: En dimensión n, las cuádricas no degeneradas, admiten como sistema de ejes a cualquier
conjunto de n rectas concurrentes en el centro y conjugadas dos a dos, mientras que todo punto V de
un paraboloide puede hacer de vértice
Elipsoide: Si Q(q) es exterior al innito (cuádrica en el innito vacía)
Hiperboloide: Si Q(q) se sitúa secante al innito
Observación: En dimensión 2, al elipsoide se le conoce como elipse, al hiperboloide como hipérbola
y alos paraboloides no degenerados por parábolas
Diámetro: Es la parte afín de los hiperplanos polares de los puntos del innito (Para cuádricas anes
con centro no degeneradas)
Asíntota: Es la recta tangente a una cuádrica en un punto del innito
Extensión proyectiva de una cuádrica afín
Teorema: Una cuádrica afín Q no contenida en ningún hiperplano (del afín), posee una única extensión
proyectiva Q0
Lema: Si los vectores isótropos de un espacio vectorial provisto de una forma cuadrática constituyen
un subespacio, entonces todo vector isótropo está en el radical
Lema: Una cuádrica proyectiva no vacía contenida en un hiperplano se reduce al vértice
Teorema: Las únicas cuádricas proyectivas no degeneradas y no vacías cuya restricción al afín está
contenida en un hiperplano son:
(1) La que consiste en dos puntos de una recta proyectiva con uno de ellos en el innito
(2) La constituída por un símplex del plano proyectivo sobre Z3 con dos puntos en el innito, en
denitiva, una cuádrica degenerada de P2 (Z3 )
Corolario: En dimensión mayor que 1 y sobre cuerpos con más de 3 elementos, si una cuádrica afín
no vacía posee extensión proyectiva no degenerada, entonces ésta es única
Clasicación afín de las cuádricas
Pares afínmente equivalentes: Son
(q, H) y (q 0 , H 0 ), donde H y H 0 son hiperplanos de V y V 0
respectivamente, y q y q son sendas formas cuadráticas, de manera que existe un isomorsmo lineal
f : V → V 0 tal que q = q 0 ◦ f y f (H) = H 0
0
Teorema: Si dos pares (q, H) y (q0 , H 0 ) son afínmente equivalentes, entonces, coinciden los rangos e
índices de Witt de las formas cuadráticas y sus restricciones a los hiperplanos impropios
Observación: El recíproco es cierto cuando se trata de un cuerpo algebraicamente cerrado, o bien,
un cuerpo ordenado que admita raíz cuadrada de cada elemento positivo
19
Clasicación de las cónicas de R2
Cónica
elipse imaginaria
elipse real
hipérbola
dos rectas secantes imaginarias (*)
dos rectas secantes
dos rectas imaginarias paralelas
dos rectas paralelas
recta doble
recta impropia doble (el vacio)
todo el plano
parábola
una recta (y la impropia)
r
3
3
3
2
2
2
2
1
1
0
3
2
r0
2
2
2
2
2
1
1
1
0
0
1
0
i
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
i0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
ecuación reducida
1 + x2 + y 2 = 0
−1 + x2 + y 2 = 0
1 + x2 + y 2 = 0
x2 + y 2 = 0
x2 − y 2 = 0
x2 + 1 = 0
x2 − 1 = 0
x2 = 0
1=0
0=0
2x + y 2 = 0
2x = 0
(*) Las rectas secantes imaginarias se cortan en un punto real
Observación: Hemos tomado como parámetros de clascación a r y r0 que son los rangos de q y qH
e i, i0 que son los índices de Witt de q y qH
Clasicación de cuádricas de
R3
Cuádrica
elipsoide imaginario
elipsoide real
hiperboloide elíptico
hiperboloide hiperbólico
cono imaginario
cono real
cilindro imaginario
cilindro con base una elipse
cilindro con base una hipérbola
par de planos imaginarios
par de planos secantes
par de planos imaginarios paralelos
par de planos paralelos
plano doble
plano impropio doble
todo el espacio
paraboloide elíptico
paraboloide hiperbólico
cilindro con base una parábola
plano y el impropio
r
4
4
4
4
3
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
0
4
4
3
2
r0
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
0
0
2
2
1
0
i
0
1
1
2
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
2
1
1
i0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
20
ecuación reducida
1 + x2 + y 2 + z 2 = 0
−1 + x2 + y 2 + z 2 = 0
1 − x2 + y 2 + z 2 = 0
1 − x2 + y 2 − z 2 = 0
x2 + y 2 + z 2 = 0
−x2 + y 2 + z 2 = 0
1 + +x2 + y 2 = 0
−1 + x2 + y 2 = 0
−1 + x2 − y 2 = 0
x2 + y 2 = 0
x2 − y 2 = 0
1 + x2 = 0
−1 + x2 = 0
x2 = 0
1=0
0=0
2x + y 2 + +z 2 = 0
2x − y 2 + z 2 = 0
2x + y 2 = 0
2x = 0