Sobre iluminación con modems inalámbricos de objetos geométricos

Sobre iluminación con modems inalámbricos de
objetos geométricos
Jorge Urrutia
Instituto de Matemáticas
Universidad Nacional Autónoma de México
Uno de los problemas clásicos en la Geometrı́a Computacional es el conocido como el Problema de Iluminación de Galerı́as de Arte. Este problema
consiste en encontrar un conjunto de fuentes de luz, con el menor número
posible de elementos, tal que el interior de un polı́gono sea iluminado por
las mismas. Recientemente, hemos iniciado el estudio de problemas de
iluminación inspirados en problemas de cobertura de señal por modems
inalámbricos. Un problema común hoy en dı́a es el de colocar el menor
número posible de modems inalámbricos en un edificio, de tal forma que en
cualquier lugar del mismo un ordenador tenga una buena señal inalámbrica
para conectarse a INTERNET.
Es bien conocido que, en edificios relativamente chicos, el principal problema que tenemos para obtener buena señal no es la distancia de un ordenador a los modems, sino el número de muros que nos separan de los
mismos. Esto da lugar al siguiente problema. Sea P un polı́gono con n
lados. ¿Cuántos modems tenemos que colocar en P de tal forma que desde
cualquier punto en P exista un modem tal que entre este punto y dicho
modem existan a lo más k muros?
Analizaremos algunas variantes que surgen de este problema. Entre
otras, estudiaremos el siguiente problema sobre arreglos de rectas. Sea F
una familia de n rectas en el plano que se intersectan una a una. ¿Cuántos
modems (puntos) hay que colocar en el plano, y dónde, de tal forma que,
para cualquier punto en el plano, exista un modem tal que el segmento de
recta que une al punto con dicho modem cruce a lo más k lı́neas de F?