Sea rλ una familia de rectas de ecuación a(λ)x+b(λ)y+c(λ) = 0. Es

Matemática II
octubre 2014
Liceo Nº35 - IAVA
Envolvente familia de rectas
Sea rλ una familia de rectas de ecuación a(λ )x + b(λ )y + c(λ ) = 0. Es decir que un punto P(xP , yP ) ∈
rλ sii existe al menos un λ ∈ R tal que a(λ )xP + b(λ )yP + c(λ ) = 0.
Ejemplo 1:
Sea
rλ : λ x − y + λ 2 − 1 = 0
Investiguemos si el punto P = (1, −2) pertenece a la familia, para ello nos preguntamos si existe algún
λ ∈ R para el que λ .(1) − (−2) + λ 2 − 1 = 0 es decir si λ 2 + λ + 1 = 0 y aplicando la fórmula de
resolución de la ecuación de segundo grado, vemos que no tiene soluciones reales, por tanto decimos
que el punto P = (1, −2) no pertenece a la familia rλ o lo que es lo mismo, no hay ninguna recta de
la familia que pase por el punto P = (1, −2).
Veamos ahora qué pasa con el punto Q = (2, −2). Procediendo como en el caso anterior, nos preguntamos si existe algún λ ∈ R para el que λ .(2) − (−2) + λ 2 − 1 = 0 es decir si λ 2 + 2λ + 1 = 0 y
factorizando queda (λ + 1)2 = 0 con lo que vemos que para λ = −1 hay una integrante de la familia
que pasa por el punto Q, se trata de la recta r−1 : −x − y = 0.
Investiguemos la situación del punto R = (2, 2). En este caso la ecuación a resolver queda λ .(2) −
(2) + λ 2 − 1 = 0
Si graficásemos algunas rectas de la familia anterior en un mismo referencial, tendrı́amos algo ası́
como
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Vemos entonces que hay puntos del plano por donde no pasa ninguna1 recta de la familia, otros por
los que pasa una sola2 recta y otros por los que pasan más de una3 recta de la familia.
Definición: Diremos que una curva Γ es la envolvente de una familia de rectas rλ sii rλ es la familia
de tangentes a Γ.
Ecuación paramétrica de la envolvente
a(λ ) b(λ ) 6= 0. Nos interesa hallar puntos del plano para
Supondremos que para todo λ ∈ R, 0
a (λ ) b0 (λ ) los que valga la definición, como por ejemplo el punto Q de la figura,
es decir que la determinación de la envolvente será en forma paramétrica
(
x = x(λ )
y = y(λ )
con λ ∈ R.
Entonces si la familia4 rλ admite una envolvente Γ , las coordenadas de sus puntos verifican el sistema
(
a(λ )x + b(λ )y + c(λ )
=0
(1)
0
0
0
a (λ )x + b (λ )y + c (λ ) = 0
1 como el punto P
2 como el punto Q
3 como el punto R
4 suponemos que las funciones a(λ ), b(λ ) y c(λ ) son de clase C1 (con derivada primera continua)
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porque si Q(λ ) = (xQ (λ ), yQ (λ )) pertenece a la envolvente para todo valor de λ , vale que a(λ )xQ (λ )+
b(λ )yQ (λ ) + c(λ ) = 0 lo que a su vez significa que el punto Q(λ ) pertenece a la recta rλ . Derivando
la igualdad anterior obtenemos que
0
a0 (λ )xQ (λ ) + b0 (λ )yQ (λ ) + c0 (λ ) + a(λ )xQ
(λ ) + b(λ )y0Q (λ ) = 0
pero
0
a(λ )xQ
(λ ) + b(λ )y0Q (λ )
0 (λ ), y0 (λ )) con el vector v = (a(λ ), b(λ )) que es ortogonal al vector
es el producto escalar de (xQ
Q
0 (λ ), y0 (λ )) es
director u de la recta rλ , entonces ese producto escalar en cero, ya sea porque (xQ
Q
el vector nulo o porque es el vector tangente a Γ en Q y por lo tanto quiero que coincida con u.
Finalmente queda que a0 (λ )x + b0 (λ )y + c0 (λ ) = 0.
Apliquemos lo anterior a la familia del comienzo del trabajo.
Ejemplo 2
Nuestra familia está dada por
rλ : λ x − y + λ 2 − 1 = 0


λ −→ λ
son las tres del tipo C1 . Conlo primero que observamos es que las funciones λ −→ −1


λ −→ λ 2 − 1
struyamos ahora el sistema (1) para este caso
(
λx−y+λ2 −1 = 0
x + 2λ
=0
deducimos entonces que x = −2λ e y = −λ 2 − 1, luego eliminando el parámetro se tiene que
x2 = −4(y + 1)
es la envolvente de la familia rλ y cuyo gráfico es la parábola de la figura
Una situación particual serı́a cuando las expresiones de a(λ ), b(λ ) y c(λ ) son polinómicas y a lo
sumo de grado dos, entonces en ese caso podrı́amos investigar cuáles son los puntos por los que pasa
una y solo una integrante de la familia, para ello ordenarı́amos la ecuación de la familia según el
parámetro y si queda una ecuación cuadrática en el parámetro, obligarı́amos a que el discriminante
sea cero, con lo que los puntos del plano que lo hagan serán por los que pasa una y solo una integrante
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de la familia, y salvo casos especiales dichas rectas serán tangentes al lugar geométrico que anuló el
discriminante.
Veamos lo anterior con un
Ejemplo 3
reordenamos la ecuación de la familia de rectas según el parámetro λ , obteniendo
λ 2 + λ x − (y + 1) = 0
resolvamos la ecuación cuadrática y analicemos su discriminante
∆ = x2 + 4(y + 1)
dicho discriminante se anulará en los puntos del plano que verifiquen
x2 = 4(y + 1)
obteniendo el mismo resultado que en el caso anterior.
Ejercicios:
1) Considera la recta s : x − y + 1 = 0 y el punto P = (2, 1). Sean Q un punto genérico de la recta
s y las correspondientes rectas definidas por P y Q. Se pide hallar la envolvente de la familia de
rectas rλ respectivamente perpendiculares a las rectas PQ por Q. Reconóce la envolvente y grafı́cala
aproximadamente.
2) Un punto M describe la recta r de ecuación x + y = 1, siendo P y Q sus proyecciones sobre los
ejes coordenados. Halla la ecuación de la envolvente de la familia de rectas PQ al variar M sobre r.
Reconoce y grafica dicha envolvente.
3) Halla la ecuación de la envolvente de la familia de rectas de ecuación
rλ : 2λ x + 2(λ + 1)y + λ 2 = 0
Reconócela y grafı́cala.
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