Tema 5: Interacción Radiación

Tema 5: Interacción Radiación-Materia
Interacción de partı́culas cargadas pesadas con la
materia
1.
Partı́culas cargadas: excitación o ionización de los átomos del medio.
Partı́culas pesadas (respecto al electrón): no se modifica la trayectoria. Pierde la
energı́a tras muchas colisiones.
Partı́culas ligeras (e− , e+ ): su trayectoria se modifica en cada choque. Radiación de
frenado.
1.1.
Pérdida de energı́a en la colisión frontal.
Máxima energı́a que pierde una partı́cula al colisionar.
Sistema inicial: proyectil de masa M y velocidad v1 y un blanco en reposo (e− ) de
masa m.
Sistema final: proyectil y e− se mueven con velocidades v10 y v20
1.1.1.
Caso no relativista.
Conservación de energı́a-momento:
Energı́a total: T = T1 = T10 + T20
Momento total: p = p1 = p01 + p02
)
Incógnitas: T10 , T20 .
La segunda ecuación es del tipo p = a + b.
p2 = a2 + b2 + 2ab =⇒ −2ab = a2 + b2 − p2
Elevando al cuadrado:
4a2 b2 = p4 + (a2 + b2 )2 − 2p2 (a2 + b2 )
p4 + (a2 − b2 )2 − 2p2 (a2 + b2 ) = 0
=⇒
Conservación del momento
p + (p01 2 − p02 2 )2 − 2p2 (p01 2 + p02 2 ) = 0
4
1
Pérdida de energı́a:
Q = T1 −
T10
=
T20
⇒
(
T10 = T − Q
T20 = Q
Calculemos los factores
p01 2 − p02 2 =
=
02
02
p1 − p 2 =
=
2M T10 − 2mT20 = 2M (T − Q) − 2mQ
2M T − 2(m − M )Q = p2 − 2(m + M )Q
2M T10 + 2mT20 = 2M (T − Q) + 2mQ
2M T + 2(m − M )Q = p2 + 2(m − M )Q
Sustituyendo en la conservación del momento:
p4 + [p2 − 2(m + M )Q]2 − 2p2 [p2 − 2(M − m)Q] = 0
p4 + p4 + 4(m + M )2 Q2 − 4p2 (m + M )Q − 2p4 + 4p2 (M − m)Q = 0
(m + M )2 Q2 − p2 (m + M )Q + p2 (M − m)Q = 0
(m + M )2 Q = 2mp2
Solución:
Q=
4mM
4mM
4m
p21
2mp2
=
=
T1 '
T1 = 2mv12
2
2
2
(m + M )
(m + M ) 2M
(m + M )
M
Pérdida relativa de energı́a:
Q
4mM
4m
=
'
2
T1
(m + M )
M
Ejemplo: Protón M = 938 MeV
Q
4 × 0,511
=
= 2,2 × 10−3 = 0,22 %
T1
938
Un protón de 1 MeV necesita unos 400 choques para detenerse.
Las colisiones no suelen ser frontales. La pérdida de energı́a será significativamente
menor
1.1.2.
Caso relativista
Utilizamos la velocidad de la luz como unidad de velocidad (c = 1).
conservación E-p:
E = E1 + m = E10 + E20
p = p1 = p01 + p02
Relación E-p
E12 − p21 = M 2
E10 2 − p01 2 = m2
E20 2 − p02 2 = m2
2
Pérdida de energı́a: Q = E1 − E10
E10 = E1 − Q
E20 = m + Q
(1)
(2)
Solución:
2mp2
M 2 + m2 + 2E1 m
Q=
En función de la energı́a cinética: E1 = M + T
2(2M T + T 2 )m
(2M + T )T
2(E12 − M 2 )m
=
=
Q= 2
(M +m)2
M + m2 + 2E1 m
(M + m)2 + 2T m
+T
2m
Fracción de energı́a perdida:
Q
=
T
1.2.
2M + T
(M +m)2
2m
+T
'
2M + T
M2
+T
2m
Potencia de frenado -dE/dx
Partı́cula cargada incide sobre un medio
Potencia de frenado: Energı́a que pierde por unidad de longitud, −dE/dx
Energı́a media perdida por colisión:
Qm =
Z
Qmax
Qmin
QP (Q)dQ
P (Q) = probabilidad de perder energı́a Q
Coeficiente de atenuación lineal: Número medio de colisiones por unidad de longitud
dE
1 dE
=⇒ −
= µQm
µ=−
Qm dx
dx
1.3.
Fórmula de Bethe
1.3.1.
Pérdida de energı́a con parámetro de impacto b
Partı́cula cargada pesada contra un electrón en reposo
Incide con parámetro de impacto b
Fuerza atractiva si la carga es Ze
3
La partı́cula no modifica su trayectoria
Momento total comunicado al electrón:
py =
Z
∞
Z
Fy dt =
−∞
∞
F cos θdt =
−∞
Z
∞
−∞
KZe2
cos θdt
r2
El promedio de Fx se anula si la velocidad es elevada
Trayectoria:
~r(t) = vtî + bĵ =⇒ r 2 = v 2 t2 + b2
b
cos θ =
r
Integrando:
b
b
b
cos θ
=
=
=
3/2
2 2
r2
r3
(v 2 t2 + b2 )3/2
b3 vb2t + 1
Cambio de variable: u =
Integral a calcular
=
Z
∞
−∞
vt
b
=⇒ dt = vb du.
1
cos θ
dt = 2
2
r
b
Z
dt
∞
−∞
1+
v2 t
b2
2 3/2
=
1
bv
Z
∞
−∞
du
(1 + u2 )3/2
Usamos la integral indefinida:
=
=⇒
Z
De donde
∞
−∞
Z
du
u
=
2
3/2
(1 + u )
(1 + u2 )1/2
∞
du
u
=1+1=2
=
(1 + u2 )3/2
(1 + u2 )1/2 −∞
cos θ
2
dt =
2
bv
−∞ r
Momento total comunicado al electrón:
Z
∞
p = py =
2KZe2
bv
Energı́a cinética transferida al electrón:
Q=
2Z 2 K 2 e4
p2
=
2m
mv 2 b2
= Energı́a perdida por la partı́cula incidente.
la fórmula no es válida para v → 0 ó b → 0, ya que Q → ∞
4
1.3.2.
Cálculo del potencial de frenado
Efecto de todos los electrones con parámetro de impacto entre b y b + db:
Capa cilı́ndrica de electrones con radio b, anchura db y longitud dx.
Volumen:
dV = 2πbdbdx
Sea ne = densidad de electrones
Número de electrones en dV :
dNe = ne dV = ne 2πbdbdx
Pérdida de energı́a debida a la interacción con estos electrones:
−dE = QdNe =
2Z 2 K 2 e4
ne 2πbdbdx
me v 2 b 2
Pérdida de energı́a por unidad de longitud:
4πK 2 e4 ne Z 2
me v 2
dE
=
−
dx
!
db
b
Pérdida total de energı́a: integrando sobre el parámetro de impacto
=⇒ Dificultades para b = 0 y b = ∞ !!
=⇒ Debe integrase entre un valor mı́nimo bmin > 0 y un máximo bmax .
R
4πZ 2 K 2 e4 ne
me v 2
dE
−
=
dx
!Z
bmax
bmin
db
==
b
db
b
= ln b
4πZ 2 K 2 e4 ne
bmax
ln
2
me v
bmin
!
bmin : la máxima energı́a transmitida a un electrón en reposo corresponde al choque
frontal:
Qmax = 2me v 2
lo que corresponde a bmin :
Qmax
2Z 2 K 2 e4
=
me v 2 b2min
bmax : Para b grande, Q es pequeño y comparable con la energı́a de ligadura de
los electrones =⇒ no pueden considerarse libres.
Para b muy grande, Q no es suficiente para excitar el átomo.
=⇒ Qmin está relacionado con el potencial de ionización medio del átomo = I
Qmin
Se puede escribir:
ln
2Z 2 K 2 e4
=
'I
me v 2 b2max
bmax
1 b2
1 2me v 2
1 Qmax
= ln max
ln
'
ln
=
bmin
2 b2min
2 Qmin
2
I
5
1.3.3.
Fórmula de Bethe.
Bethe calculó con mecánica cuántica relativista:
dE
2me c2 β 2
4πK 2 Z 2 e4 ne
−
ln
=
− β2
dx
me c 2 β 2
I(1 − β 2 )
"
#
donde
K = cte. de Coulomb
Z = carga de la partı́cula incidente
β = v/c
ne = número de electrones por unidad de volumen
I = energı́a media de excitación.
En función de la densidad:
ne =
N (e)
zN (at)
z
M
zNA ρ
=
= NA
=
V
V
V
M (1 mol)
Mmol
z = número atómico del medio.
Energı́a de ionización del medio:





19
Z=1 
I = 11,2 + 11,7z z ≤ 13 (eV )



52,8 + 8,71z z > 13 
6