Soluciones

Seminario de problemas-ESO. Curso 2012-13. Hoja 3
17. En una circunferencia de centro O y de 1 m de radio tenemos un cuadrado con dos vértices
consecutivos en la circunferencia y el lado opuesto tangente a la misma. Halla su área.
Solución.
En la figura anterior, por el teorema de Pitágoras en el triángulo OBC, se tiene que
(x + 1)2
x +
= 1 ⇔ 5x2 + 2x − 3 = 0,
4
2
cuya solución positiva es x = 3/5. De este modo, el área del cuadrado es (1 + 3/5)2 =
2,56 m2 .
18. Noé querı́a instalar a los animales de su arcá repartidos por el mundo. Por esta razón,
cuando llegó el buen tiempo, paró en el monte Ararat y desembarcó a la mitad más uno de
los animales. Luego fue al Everest y desembarcó a la mitad más uno de los que quedaban.
Lo mismo hizo en el Popocatépetl y en el Kilimanjaro y al final llegó al Mont Blanc en el
que desembarcó los últimos 10 animales. ¿Cuántos animales llevaba Noé?
Solución. Sea x el número de animales. Tras desembarcar en el Ararat, quedan
x
− 1.
2
Tras desembarcar en el Everest, quedan
1x
x−2
−1 −1=
− 1.
2 2
4
Tras desembarcar en el Popocatépetl, quedan
1x − 2
x−6
−1 −1=
− 1.
2
4
8
Tras desembarcar en el Kilimanjaro, quedan
x − 14
1x − 6
−1 −1=
− 1.
2
8
16
Finalmente, esta cantidad de animales es la que desembarca en el Mont Blanc, con lo cual
x − 14
− 1 = 10 ⇔ x = 190.
16
19. En la figura vemos bloques de casas. Hay calles entre ellos. ¿De cuantas maneras distintas
podemos ir de A a C, si sólo recorremos las calles hacia arriba y hacia la derecha?
Solución. Para llegar desde A hasta C, tenemos que hacer “3 movimientos hacia la derecha” y “3 movimientos hacia arriba” en total. Esto es equivalente a pensar que tenemos
las letras DDDAAA, y hay que pensar cuántas palabras diferentes podemos hacer con
ellas.
Empezamos con un problema más sencillo. Supongamos que queremos formar todas las
palabras posibles con las letras a, b, c y d. ¿Cuántas palabras pueden formarse?
Solución: observar que hay 4 maneras de fijar la primera letra. Fijada la 1a letra, hay 3
maneras de fijar la 2a . Fijadas la 1a y la 2a hay 2 maneras de fijar la 3a . Fijadas las 3
primeras hay una sola manera de fijar la 4a .
En total habrá 4 · 3 · 2 · 1 = 60 maneras de fijar el orden de las cuatro letras. Se pueden
comprobar las palabras mediante un diagrama de árbol.
Como generalización, razonando de forma análoga llegamos fácilmente a la siguiente conclusión:
“Un conjunto de n elementos puede ordenarse de n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1
maneras”.
2
Cada una de estas ordenaciones se llama “PERMUTACIÓN” de esos n elementos. Su
número se denota por Pn o por n! (se lee “factorial de n”), siendo
Pn = n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n.
Por convenio, 0! = 1.
En nuestro problema, queremos encontrar todas las posibles ordenaciones para las letras de la palabra “DDDAAA”. Si distinguiéramos las letras repetidas (escribiendo por
ejemplo ddDAaa) habrı́a 6! posibles ordenaciones. Al no distinguir los sı́mbolos d, d y D,
ordenaciones como DdadaA y dDadaA aparecerán como repetidas (3! veces). Por tanto
sólo habrá 6!/3! ordenaciones posibles en las que las d0 s sean indistinguibles. Si ahora dejamos de hacer distinguibles las “aes”, ordenaciones como DdadaA, DdadaA y DdadAa
serán la misma. Luego todas las ordenaciones estarı́an repetidas 3! veces a causa de las
“aes”.
Por tanto, habrá
6!
3!·3!
= 20 ordenaciones.
Generalizando, el número de ordenaciones que admite una secuencia formada
por n elementos a, a, . . . , a, b, b, . . . , b, c, . . . donde uno se repite α veces, otro β veces,
otro γ veces, . . . , etc. es:
n!
.
Pnα,β,γ... =
α! · β! · γ! · · ·
Cada una de estas ordenaciones se llama “PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN” de
esos n elementos con repeticiones de α, β, γ . . ., etc. Los superı́ndices indican el número
de veces que aparece cada elemento en la secuencia. Se conviene en no consignar entre los
superı́ndices los correspondientes a elementos que sólo aparecen una vez. Por ejemplo, las
letras de la palabra HORROR admiten
P63,2 =
6!
= 60 ordenaciones.
3! · 2!
20. Juan hace una construcción con cubos. La figura 1 muestra como se ve de frente y la
figura 2 como se ve desde arriba.
1. Dibujar un posible alzado lateral de la construcción.
2. Halla el máximo y el mı́nimo número de cubos necesario para hacer la construcción.
Solución.
Apartado 1. Hay varias soluciones posibles. Una posibilidad para el alzado lateral es un
dibujo como la figura 1.
Apartado 2. Máximo número de cubos: 21. Número mı́nimo: 13.
3
21. Dividimos los números 1, 2, . . . , 100 en 6 grupos. Probar que siempre existe al menos un
grupo en el que hay dos números distintos uno múltiplo de otro.
Solución. Consideramos los números 2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , todos ellos menores que 100. Para
cada dos de estos números, se tiene siempre que uno es múltiplo de otro. Los separamos
uno en cada uno de los 6 grupos. Pero el número 1 estará en uno de esos 6 grupos, con lo
cual siempre existirá al menos un grupo en el que hay dos números distintos uno múltiplo
de otro.
22. Tres personas, digamos A, B y C, mantienen una conversación.
A dice que B está mintiendo.
B dice que C está mintiendo.
C dice que A y B están mintiendo.
¿Quién miente? ¿Quién dice la verdad?
Solución. Puede suceder que A mienta o que A diga la verdad.
Supongamos primero que A dice la verdad. Esto implica que B miente, y esto implica
que C dice la verdad. Por tanto, según C, que dice la verdad, A está mintiendo, lo que
contradice a la suposición de que A dice la verdad.
Supongamos que A miente. Esto implica que B dice la verdad, y esto implica que C
miente, lo cual es cierto, porque B dice la verdad.
Por tanto, A y C mienten y B dice la verdad.
23. En una carrera de caballos de 10 Km de longitud, los caballos van a velocidad constante.
Cuando el vencedor termina la carrera, al segundo caballo le faltan 2 Km y al tercero 4
Km. ¿Cúanto le falta al tercero cuando termina el segundo?
Solución. Llamamos T al tiempo que ha tardado el primer caballo en llegar a la meta, y
v1 , v2 y v3 a las velocidades, expresadas en las unidades adecuadas, de los caballos que
llegan en primer, segundo y tercer lugar, respectivamente. Se tiene:
10 = v1 · T
8 = v2 · T
6 = v3 · T.
Observando las dos últimas relaciones, se deduce que vv23 = 43 . Es decir, la velocidad del
tercer caballo es 3/4 la velocidad del segundo caballo. Por tanto, en el tiempo en que el
segundo caballo cubre los dos kilómetros que le quedan, el tercer caballo habrá avanzado
3
· 2 = 1,5 Km, por tanto, le faltarán 2,5 kilómetros.
4
24. Los números de teléfono de un pueblo pequeño consisten en números de dos cifras entre
00 y 99. Posiblemente no se usan todos los números. Si el número de un suscriptor se lee
en orden inverso se obtiene o un número no utilizado o un número utilizado por el mismo
suscriptor. Hallar el mayor número de suscriptores de teléfono del pueblo.
Solución.
En primer lugar, puede haber hasta 10 suscriptores con los números 00, 11, . . . , 99.
4
Puede haber hasta 9 suscriptores distintos de los anteriores con los números 01, 02, . . . , 09.
Los números que resultan de invertir las cifras de estos, o no son utilizados, o son utilizados
por los mismos suscriptores.
Puede haber hasta 8 suscriptores distintos de los anteriores con los números 12, 13, . . . , 19.
Y razonamos igual que antes con los números “invertidos”.
Puede haber hasta 7 suscriptores distintos de los anteriores con los números 23, 24, . . . , 29.
Razonando sucesivamente de la misma manera, concluimos que el número máximo de
= 55.
suscriptores es, en total, 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 10·11
2
5