FUNCIONES. CARACTERISTICAS

FUNCIONES. CARACTERISTICAS
TEORIA
CONCEPTOS BASICOS
DEFINICIONES
Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama
"x"e"y".
• "x" es la variable independiente.
• "y" es la variable dependiente (depende de la "x").
La función, que se suele denominar y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de
y : x => y = f(x)
Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representación
grafica: sobre unos ejes cartesianos, con sendas escalas, representamos las dos
variables:
• La x sobre el eje horizontal o eje de abscisas.
• La y sobre el eje vertical o eje de ordenadas.
Cada punto de la grafica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.
Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f o D(f), al
conjunto de valores de x para los cuales existe la función.
Se llama recorrido de f y se designa Rec(f) o R(f), al conjunto de valores que toma la
función. Es decir, al conjunto de valores de y para los cuando hay un x tal que f(x) = y
COMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES
1 . MEDIANTE SU REPRESENTACION GRAFICA
Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es mediante
su representación grafica. Por eso, siempre que pretendamos analizar una función,
intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la cual, en
principio, nos venga dada.
2 . MEDIANTE UN ENUNCIADO
Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que nos
podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente poco precisa. Pero si el
enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar perfectamente
determinada.
3. MEDIANTE UNA TABLA DE VALORES
Con frecuencia se nos dan los datos de una función mediante una tabla de valores en
la cual se obtienen directamente los datos buscados, aunque en otros casos, hay que
efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.
4. MEDIANTE SU EXPRESION ANALITICA O FORMULA
La expresión analítica es la forma mas precisa y operativa de dar una función. Pero
requiere un minucioso estudio posterior.
DOMINIO DE DEFINICION Y EXPRESION ANALITICA
1. DEFINICION
Se llama dominio de definición o simplemente dominio de una función f, y se designa
por D(f) = Dom (f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir,
para los cuales hay un f(x).
2. RESTRICCIONES DEL DOMINIO
El dominio de una función puede quedar restringido por una de las siguientes causas:
•Imposibilidad de realizar alguna operación. Valores que anulen el denominador. Raíces
de índice par de números negativos.
• Contexto real del cual se ha extraído la función.
• Voluntad de quien propone la función.
RECORRIDO DE UNA FUNCION
1. DEFINICION
Se llama recorrido de una función f, y se designa por R(f), al conjunto de valores de
y para los cuales existe x, es decir, conjunto de valores que toma la variable dependiente
"y".
2. CALCULO DEL RECORRIDO
Para calcular el recorrido de una función, se dibuja y luego se estudia sobre el eje de
ordenadas.
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS
1. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS, OX
Como el eje de abscisas, tiene de ecuación y = 0, los puntos serán de la forma
(x0, 0)
2. PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS, OY
Como el eje de ordenadas, tiene de ecuación x = 0, los puntos serán de la forma
(0, yo).
DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD
1.
IDEA INTUITIVA
La idea de función continua es la de que puede ser representada con un solo
trazo.
Una función que no es continua presenta alguna discontinuidad.
2.
DEFINICION DE CONTINUIDAD
Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo.
Una función puede ser continua en un intervalo si solo presenta
discontinuidades fuera de el.
Las funciones con expresiones analíticas elementales son continuas en sus
dominios.
3.
•
•
•
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Varias razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:
Tiene ramas infinitas en ese punto. Es decir, los valores de la función crecen
o decrecen indefinidamente cuando la x se acerca al punto. Se dice que
presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en ese punto.
Presenta un salto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de
salto finito en ese punto.
No esta definida (le falta un punto) 6 el punto que parece que le falta lo
tiene desplazado. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en ese
punto.
TENDENCIA Y PERIODICIDAD
1.
TENDENCIA
Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir
como se comportaran lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen
ramas con una tendencia muy clara. Estas ramas reciben el nombre de asíntotas.
Existen tres tipo de asíntotas:
• Asintotas verticales: x = a
• Asintotas horizontales: y = b
• Asintotas oblicuas: y = mx + n
2
PERIODICIDAD
Función periódica; es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable
independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo.
MONOTONIA, MAXIMOS Y MINIMOS
1. MONOTONIA
Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y. Una función es
decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y.
2.
MAXIMOS Y MINIMOS
Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor mas alto de su
representación grafica. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un
mínimo absoluto en un punto cuando es el valor mas bajo de su representación grafica.
Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la
función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio. Una función
presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de
decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.
3.
TASA DE VARIACION MEDIA (T.V.M)
Para medir la variación (aumento o disminución) de una función en un intervalo se utiliza
la tasa de variación media.
Se llama tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] al cociente
entre la variación de la función y la longitud del intervalo.
T.V.M de f en [a,b] =(f(b)-f(a)) / (b-a)
La T.V.M. de f en [a,b] es la pendiente del segmento AB.
EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la
gráfica de una función.Razona tu respuesta:
Solución:
a) y c) son funciones, porque para cada valor de “x” hay un único valor de “y”.
b) no es una función, porque para cada valor de “x” hay dos valores de “y”.
EJERCICIO 2 : Dada las gráficas de las siguientes funciones, estudia sus
propiedades:
Ejercicio 3 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en
función del tiempo, desde que se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez
al suelo.
a ¿Cuál es el dominio?
b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento.
c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m?
d. Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función explica su significado
dentro del contexto del problema
Ejercicio 5 : La siguiente gráfica muestra el recorrido que hizo Cristina durante un
día de excursión desde que salía del albergue hasta que regresó.
a Indica cuál es el dominio.
b ¿Qué distancia máxima se aleja del albergue?
c ¿Cuánto tiempo dedica a descansar?
d Describe el crecimiento y el decrecimiento de lagráfica y explica su significado
dentro del contexto del problema.
Ejercicio 6 : La siguiente gráfica muestra el volumen de reservas de una cadena
hotelera a lo largo de un año:
a ¿Cuál es el dominio?
b ¿En qué mes se produce mayor número de reservas? ¿Cuántas hay?
c ¿En qué periodo del año las reservas están por encima de las 15.000?
d ¿En qué mes el número de reservas es de 5.000?
e . Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función.
FUNCIONES ELEMENTALES
DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES
1 - FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx
Las funciones de proporcionalidad se representan mediante
rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre
los valores de las dos variables.
La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad.
2 - FUNCION CONSTANTE: y = n
Se representan mediante una recta paralela al eje X.
Su pendiente es 0.
La recta y = 0 coincide con el eje X.
3- FUNCIÓN GENERAL: y = mx + n
Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y
en el punto (0,n).
Al numero n se le llama "ordenada en el origen".
PARABOLAS Y FUNCIONES CUADRATICAS
1. FUNCIONES CUADRATICAS
Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a distinto de 0 llamadas
cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y
son continuas en todo R.
Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y.
Su forma (hacia arriba, hacia abajo, mas ancha, mas
estrecha,...) depende del coeficiente de la x2 "a", del siguiente
modo:
• Si dos funciones cuadráticas
tienen el mismo coeficiente de x2, las parábolas
correspondientes son idénticas, aunque
pueden estar situadas en posiciones distintas.
• Si a >0 tiene las ramas hacia arriba, es decir, es convexa.
Si a < 0, tiene las ramas hacia abajo, es decir, es cóncava.
• Cuanto mayor sea |a|, mas estilizada es la parábola.
2. REPRESENTACION DE FUNCIONES CUADRATICAS
Las funciones cuadráticas se representan mediante parábolas y la forma de éstas
depende, exclusivamente, del coeficiente de x2.
Veamos algunos pasos que conviene dar para la representación de: y = ax2 + bx + c
1. Obtención de la abscisa del vértice: Vx = -b/2a
2. Obtención de algunos puntos próximos al vértice: Construcción de una tabla de
valores con el vértice y un par de valores más pequeños y un par de valores más
grandes.
3. Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X : y = 0 => Resolver la ecuación => Calcular x => (xo, O) Con el eje Y
: x = 0 => Sustituir la x por cero y hallar y => (0,y0)
4. Representación: Escogemos sobre los ejes unas escalas adecuadas que nos
permitan plasmar la información obtenida.
EJERCICIO 1 . Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes
de coordenadas de la recta 5x - 6y + 2 = 0. Represéntala gráficamente
EJERCICIO 2 : Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y=-2/5x+2
b) y=-3/2
c) y=5/3x
EJERCICIO 3 : Representa gráficamente las siguientes parábolas
a) y = 1/2x2 - x – 3/2
Solución:
d) y = -25x2 + 75x
e) y = - x2+ 2x – 1
PROBAS DE ANOS ANTERIORES
EXERCICIO 1
O seguinte gráfico representa as variacións na velocidade (en quilómetros por hora)
dun coche durante 10 minutos. Indique que resposta corresponde ao gráfico.
A. O coche aumentou tres veces a súa velocidade e ao final detívose.
B. O coche aumentou tres veces a súa velocidade, reduciu a súa velocidade dúas
veces e circulou con velocidade constante dúas veces.
C. O coche aumentou tres veces a súa velocidade, reduciu a súa velocidade dúas
veces e non circulou con velocidade constante en ningún momento.
EXERCICIO 2
Considere a seguinte relación entre dúas variables x= - 2/y2 .Entón o que se cumpre
é:
A. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”.
Ademáis, o valor da variable “x” sempre é positivo para calquera valor da
variable“y”.
B. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”.
Ademáis, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable
“y”.
C. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis aumenta o da variable “x”.
Ademáis, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable
“y”.
EXERCICIO 3
Un microbús realiza unha viaxe e a seguinte gráfica reflicte o contido de gasóleo do
depósito segundo vai transcorrendo a viaxe. Daquela:
A. O autobús botou gasóleo en tres ocasións e cargou un total de 75 litros.
B. O autobús consumiu 100 litros de gasóleo na viaxe.
C. A segunda vez que botou gasóleo o autobús estivo, ademais, dúas horas parado.
EXERCICIO 4
Unha persoa sae a camiñar; o gráfico representa o tempo transcorrido e a distancia
percorrida. Daquela:
A. A persoa estivo camiñando 10 horas seguidas e percorreu 18 quilómetros.
B. A persoa empregou en percorrer 18 quilómetros un total de 10 horas, pero
detívose nunha ocasión.
C. A persoa empregou en percorrer 18 quilómetros un total de 10 horas, pero
detívose en dúas ocasións.
EXERCICIO 5
Considere a seguinte relación entre dúas variables: x
3
y2 1
e os valores
positivos da varia-ble y. Daquela o que se cumpre é:
A. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”.
Ade-mais, o valor da variable “x” sempre é positivo para calquera valor da variable
“y”.
B. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis aumenta o da variable “x”.
Ademais, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable
“y”.
C. Canto máis aumenta o valor da variable “y” máis se reduce o da variable “x”.
Ade-mais, o valor da variable “x” sempre é negativo para calquera valor da variable
“y”.
EXERCICIO 6
Considere a expresión
y
3
x
2
1
, entón:
A. O valor da variable “y” sempre é positivo.
B. O valor da variable “y” sempre é negativo.
2 , entón y=0
C. Se x
EXERCICIO 7
Observando a seguinte gráfica espazo (e) – tempo (t) que corresponde ao
movemento de dous ciclistas que fan o mesmo percorrido, podemos asegurar que:
A. Os dous ciclistas soben unha montaña.
B. O ciclista que sae máis tarde leva unha hora correndo cando adianta o outro
ciclista.
C. O ciclista que sae máis tarde adianta o outro ciclista cando leva percorridos 10
km.
EXERCICIO 8
Na gráfica da cuestión anterior dedúcese que:
A. Un ciclista leva unha velocidade de 10 km/h e o outro de 20 km/h.
B. Un ciclista leva unha velocidade de 1.5 km/h e o outro de 2 km/h.
C. Os dous ciclistas levan a mesma velocidade.
EXERCICIO 9
A gráfica corresponde á función cuadrática que ten por ecuación:
EXERCICIO 10
Observando a seguinte gráfica, que corresponde ao volume de auga en función do
tempo en dous depósitos da mesma capacidade, podemos asegurar que:
A. Un depósito énchese a razón de 2 m3 por minuto e outro baléirase a razón de 4
m3 por minuto.
B Un depósito énchese a razón de 6 m3 por minuto e outro baléirase a razón de 3 m3
por minuto.
C Os dous depósitos vanse enchendo segundo pasan os minutos.
EXERCICIO 11
Na gráfica da cuestión anterior, dedúcese que:
A. Aos dous minutos os dous depósitos conteñen a mesma cantidade de auga.
B. Un dos depósitos contén 12 m3 de auga aos tres minutos.
C. Aos seis minutos os dous depósitos están baleiros.
EXERCICIO 12
Observando a seguinte gráfica que representa a distancia percorrida por un móbil en
función do tempo, podemos asegurar que as distancias percorridas nas cinco
primeiras horas e nas cinco horas seguintes son, respectivamente :
A. 5 km / 10 km
B. 15 km / 20 km
C. 15 km / 5 km
EXERCICIO 13
Unha característica da función anterior é:
A. É unha función crecente.
B. É unha función periódica de período 5.
C. É unha función descontinua
EXERCICIO 14
Sinale na táboa a gráfica da función que expresa a lonxitude da altura en función da
base nun rectángulo de 4 m2 de área.
EXERCICIO 15
Indique a gráfica que lle corresponde á función y = 2x – 1
EXERCICIO 16
O eixe de simetría da parábola de ecuación y =2 x 2 - 4x + 5 é:
A. x = - 2
B. y = 1
C. x = 1
EXERCICIO 17
Un depósito énchese coa auga que sae dunha billa. Dous minutos despois de que se
peche a billa un desaugadoiro empeza a baleirar o depósito. A gráfica representa o
nivel de auga no depósito en función do tempo. Dedúcese que:
A. A billa tarda máis tempo en encher o depósito que o desaugadoiro en baleiralo.
B. O desaugadoiro tarda máis tempo en baleirar o depósito que a billa en enchelo.
C. A billa tarda tanto tempo en encher o depósito como o desaugadoiro en baleiralo.
EXERCICIO 18
A gráfica representa a temperatura (en ºC) dunha substancia, inicialmente en estado
sólido, en función do tempo transcorrido (en minutos). Durante a fusión a
temperatura mantense constante durante uns minutos, e o mesmo ocorre máis tarde
durante a ebulición. Na gráfica obsérvase que:
A. A fusión prolóngase durante 2 minutos e a ebulición durante 6 minutos.
B. A fusión prodúcese a 10º C e prolóngase durante 4 minutos.
C. A ebulición prodúcese a 50ºC e prolóngasedurante 2 minutos
EXERCICIO 19
Da gráfica da cuestión anterior dedúcese que:
A. Antes da fusión a temperatura aumenta a razón de 10º C por minuto, e despois
da fusión a razón de 20º C por minuto.
B. Antes da fusión a función é decrecente, e despois da fusión é crecente.
C. Antes da fusión a temperatura aumenta a razón de 20º C por minuto, e despois da
fusión a razón de 40º C por minuto.
EXERCICIO 20
A función h(t) = 4t – t2 describe a altura dun obxecto en función do tempo
transcorrido. Indique a súa gráfica.
EXERCICIO 21
Considerando a función da cuestión anterior e supondo que a altura vén expresada
en metros e o tempo en segundos, indique cando se atopa o obxecto a 3 m de altura.
A. No instante t = 2s
B. Nos instantes t = 1s e t =3s
C. Nos instantes t = 0s e t = 4s.
EXERCICIO 22
Considérese a función afín y = 3x - 2 . Indique que enunciado dos seguintes lle
corresponde.
A. Atopábase a 3 km de distancia e veu andando a unha velocidade de 2 km/h.
B. Na floraría están de oferta, o prezo de cada planta é de 3 euros e por cada unha
que merques levas dúas de regalo.
C. Estabamos a 2 graos baixo cero cando chegamos e a temperatura empezou a
subir a un ritmo de tres graos cada hora.
EXERCICIO 23
Sinale unha característica da función que se representa na seguinte gráfica:
A. A función é crecente de x=- 3 a x = 3
B. A función é continua.
C. A gráfica da función é simétrica con respecto ao eixe Y.