Problema 8

Problema realizado por Jorge Sánchez Racionero
Enunciado
Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular m para que el triángulo ABC
tenga de área 3.
Bases teóricas
•
Distancia entre dos puntos. Es el módulo del vector que forman entre dos
puntos en el plano. Es siempre un número positivo o nulo. Su expresión
analítica es:
d(A,B) = AB = (x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Siendo A(x1, y1) y B(x2, y2) las coordenadas de los puntos A y B
respectivamente.
•
Distancia de un punto a una recta. Es el camino más corto entre el punto y
la recta, es decir, la perpendicular entre ellas. Su expresión analítica es:
d(P, r) =
Ax 0 + By 0 + C
A 2 + B2
Siendo las coordenadas del punto P= (xo, yo) y la ecuación de la recta en
forma general: Ax +By +C = 0.
•
Área de un triángulo. Superficie comprendida dentro del perímetro de un
triángulo. Su expresión analítica es:
Área del triángulo
Siendo: b:base
•
y
b ⋅h
2
h:altura
Altura de un triágulo relativa a un lado que se toma como base, es la
distancia desde el lado base al vértice opuesto a él.
•
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1
Siendo:
(x, y) = Punto cualquiera, desconocido
(x1, y1)= Punto conocido de la recta
(x2, y2 )= Punto conocido de la recta
Resolución gráfica
1ª Solución
2ª Solución
Cálculo
Para representar estos dos triángulos en dichas gráficas debo situar cada uno de
sus tres puntos (vértices) según sus coordenadas(x, y). Cuando tengo los tres
puntos situados en la gráfica, los uno por medio de rectas y obtengo la figura
(triángulo).
La resolución práctica de este ejercicio sigue los siguientes pasos:
1º Calculamos el valor de la distancia entre el punto A y el punto B
d(A,B) = AB = (x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 =
[(2 + 3)
2
+ (1 − 5 )
2
]=
2º Calculamos la ecuación de la recta que pasa por los vértices A y B
41 u
r:
x − a1
y − b1
x −2 y −1
=
⇒ operando llegamos a la ecuación
;
=
- 3 −2 5 −1
a 2 − a1 b 2 − b1
de la recta en forma general: r: 4x + 5y – 13 = 0
3º Calculamos la distancia de una recta r al punto C(4, m)
Ax 0 + By 0 + C
d(rAB, C)=
A2 + B
=
16 + 5m − 15
41
4º Partiendo de la fórmula para hallar el área de un triángulo, sustituimos lo que
conocemos para despejar m.
A=
b.h
=
2
41.
16 + 5m − 13
41
2
= ± 3 ⇒ Simplificando,
Primera solución: 16 + 5m – 13 = 6 ⇒ m =
3
5
Segunda solución: 16 + 5m – 13 = - 6 ⇒ m =
-9
5