FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES

FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES
Departamento de Matemáticas
Elías Robles Rodríguez
1. NOCIONES INTRODUCTORIAS
1.1. Concepto de función. Dominio e Imagen.
Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable
independiente x, le asocia un único valor de la variable dependiente y, que llamaremos imagen de
x. Decimos que y es función de x y lo representamos por
. En adelante usaremos la
terminología función real de variable real, o sea,
. Esta notación es necesario que quede
muy claro lo que significa, vamos a explicarla con suficiente claridad:
La primera que nos encontramos corresponde al espacio donde la toma sus valores, esto es
donde va a estar incluido el dominio. La segunda nos indica el espacio a donde va la por , es
decir, en este espacio están todos los valores “
”, que es lo que venimos llamando el espacio
imagen o recorrido.
Vamos a recordar ahora dos conceptos ligados al de función, el dominio y la imagen aunque este
último sea menos importante.
El DOMINIO de una función es el conjunto de valores de para los cuales existe
, esto es,
La IMAGEN de una función es el conjunto de valores que puede tomar
1.2. Puntos de corte con los ejes
Para hallar los puntos de corte con los ejes de una función
de la siguiente manera:
Puntos de corte con el eje de ordenadas,
:
, es decir,
Puntos de corte con el eje de abscisas,
:
, es decir,
1.3. Monotonía de una función
Diremos que una función es creciente si para cada dos valores
, esto es,
no hay más que igualar a cero
en la ecuación
en la ecuación
, se cumple que
Diremos que una función es decreciente si para cada dos valores
, se cumple que
Diremos que una función es estrictamente creciente si para cada dos valores
, se cumple
que
Diremos que una función es estrictamente decreciente si para cada dos valores
, se cumple
que
Diremos que la función posee un máximo relativo en x  x0 si en el intervalo  x0   , x0   
f ( x0 )  f ( x) x   x0   , x0   .
Diremos que la función posee un mínimo relativo en x  x0 si en el intervalo
 x0   , x0   
f ( x0 )  f ( x) x   x0   , x0   .
Diremos que la función posee un máximo absoluto en x  x0 si f ( x0 )  f ( x) x  Dom  f .
Diremos que la función posee un mínimo absoluto en x  x0 si f ( x0 )  f ( x) x  Dom  f .
1.4. Simetrías de una función
Diremos que una función
es simétrica respecto:
a) Origen de coordenadas
si se cumple que
b) Eje
si se cumple que
1.5. Periodicidad de una función
Diremos que una función
es periódica de período si se cumple que
1.6. Construcción de una función por transformaciones elementales
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.
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Consideremos una función
y su representación gráfica. También consideremos una constante
real positiva . Entonces:
a)
es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de
respecto del eje OX .
b)
es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de
respecto del eje OY .
c)
es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de
respecto del origen
d)
es una función cuya gráfica es la de
desplazada hacia arriba unidades.
e)
es una función cuya gráfica es la de
desplazada hacia abajo unidades.
f)
es una función cuya gráfica es la de
desplazada hacia izquierda unidades.
g)
es una función cuya gráfica es la de
desplazada hacia derecha unidades.
2. FUNCIONES POLINÓMICAS
Son funciones de la forma
Propiedades:
a)
b) Son CONTINUAS en todo su dominio
c) Son DERIVABLES infinitas veces en todo su dominio
2.1. FUNCIONES LINEALES
Son de la forma
Propiedades:
a)
nos indica la pendiente, es decir, por cada +1 unidad en abscisa,
se desplaza
unidades en ordenada. También es el coeficiente líder, el cual nunca puede ser cero.
b)
nos indica la ordenada en el origen, es decir,
pasa por el punto
c) Si
entonces
es estrictamente creciente
d) Si
entonces
es estrictamente decreciente
e) Sus representaciones son rectas.
0.5
2
1
1
2
0.5
1.0
2.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS
Son de la forma
Propiedades:
a)
nos indica la curvatura de la parábola. Si
Convexa (Ramas hacia Arriba);
Si
Cóncava (Ramas hacia abajo). También es el coeficiente líder, el cual nunca
puede ser cero.
b)
nos indica la ordenada en el origen, es decir,
pasa por el punto
c) Todas las parábolas tienen un vértice cuyas coordenadas son (
,
)=( ,
)
indistintamente para una u otra notación. Dicho vértice es máximo si las ramas van hacia
abajo, si es cóncavo o si
. El vértice será mínimo si las ramas van hacia arriba, si es
convexo o si
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d) Su representación se realiza de manera rápida y eficaz sin más que seguir los siguientes
pasos:
Primer paso
Hallar las raíces de
y localizarlas en el plano sobre el eje OX. También los puntos de
corte.
Segundo paso
Hallar las coordenadas del vértice y localizarlo en el plano
Tercer paso
Observar el signo del coeficiente líder y proceder a representar según la tabla
Número de
raíces
de Ninguna
Una
Dos
Observación: el segundo paso proviene del estudio de la monotonía. Con esto tenemos un
esbozo. Para hacer una representación precisa hace falta una tabla de valores con más datos.
2.3. FUNCIONES CÚBICAS
Son de la forma
Propiedades:
a)
nos indica el sentido de la “S” tumbada. Si
Las ramas van de
;
Si
Las ramas van de
;. También es el coeficiente líder, el cual nunca
puede ser cero.
b)
nos indica la ordenada en el origen, es decir,
pasa por el punto
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Número de
raíces
de Una
Dos
Tres
2.4. FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR
Son funciones polinómicas de grado superior a 3. Sus gráficas tienen una construcción sencilla y a
partir de ellas obtenemos propiedades varias, a parte de las ya básicas. Veamos algunos ejemplos en
la pizarra y completemos el siguiente cuadro.
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3. FUNCIONES RACIONALES
Son de la forma:
Donde
son funciones polinómicas:
Propiedades:
a)
b) Son continuas en todo su dominio
c) Son derivables en todo su dominio
.
3.1. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Son de la forma:
Donde es una constante
es función polinómica
Propiedades:
a) Sus gráficas son hipérbolas de asíntotas horizontales y verticales
b) Si
y el coeficiente líder de (
), es decir, , tienen ambos el mismo signo,
entonces la función es creciente
c) Si y el coeficiente líder de (
), es decir, , tienen ambos distinto signo, entonces
la función es decreciente
3.2. FUNCIONES RACIONALES REDUCIBLES A PROPORCIONACIDAD INVERSA
Partimos de que el
. Una de las propiedades más importantes y usadas en
expresiones del tipo
es la fórmula de la división:
de donde
Así una fracción de polinomios (con numerador de grado superior al denominador) la hemos
transformado a una suma de un polinomio y una fracción cuyo numerador tiene grado inferior al
denominador. Esta propiedad os será utilísima en este curso y posteriores.
4. FUNCIONES EXPONENCIALES
Son de la forma
Propiedades:
a)
para nosotros será generalmente una constante. Y partimos de esto para continuar con
todas las propiedades
4.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Son de la forma
Propiedades:
a)
b) Es continua en su dominio
c) Es derivable en su dominio
d)
es creciente cuando
e)
es decreciente cuando
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f) Veamos algunas gráficas
4
5
5
4
4
3
2
1
3
2
1
4
3
3
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
3
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
5
4
4
5
5
4.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE CUALQUIERA
Son de la forma
Propiedades:
a)
b) Es continua en su dominio
c) Es derivable en su dominio
d)
es creciente cuando
e)
es decreciente cuando
f) Veamos alguna gráficas explicativas
y
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
2
1
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1
2
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3.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
0.5
2.5
1.0
2.0
1.5
1.5
2.0
1.0
2.5
0.5
3.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
4
3
2
1
1
2.5
0.5
2.0
1.0
1.5
1.5
2.0
1.0
2.5
0.5
3.0
1
1
2
3
4
3.5
5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Son de la forma
Aunque ese tipo de funciones no las estudiaremos nosotros dada su complejidad.
Propiedades:
a) Dom  f   x  / h( x)  0
b) La función logaritmo nace a partir de la inversa de la exponencial
5.1. FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO
Son de la forma
Propiedades:
a) Dom  f   x  / g ( x)  0
b) Son continuas en todo su dominio
c) Son derivables en todo su dominio
d) Su gráficas
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1
1
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
1
1
2
2
2.5
2.5
2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.5
1.0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
5.2. FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE CUALQUIERA
Son de la forma
Propiedades:
a) Dom  f   x  / g ( x)  0
b) Son continuas en todo su dominio
c) Son derivables en todo su dominio
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6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas nacen del estudio y modelización de los problemas del calor y de ondas.
Esto desembocó en asignaturas tales como Ecuaciones en derivadas parciales, que se estudiarán en los
cursos próximos de carreras como Caminos, Canales y Puertos, Aeronáutica, Industriales, Físicas,
Matemáticas, …
6.1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
6.1.1. FUNCIÓN SENO
f ( x)  sen x
Propiedades:
a) Su dominio es todo
b) Su imagen como ya recordareis es  1,1
c) Es una función continua
d) Es una función derivable
e) Es una función 2 periódica: sen x  sen  x  2 
f) Su gráfica es
1.0
0.5
6
4
2
2
4
6
0.5
1.0
6.1.2. FUNCIÓN COSENO
f ( x)  cos x
Propiedades:
a) Su dominio es todo
b) Su imagen es  1,1
c) Es una función continua
d) Es una función derivable
e) Es una función 2 -periódica: cos x  cos  x  2 
f) Su gráfica es
1.0
0.5
6
4
2
2
4
6
0.5
1.0
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6.1.3. FUNCIÓN TANGENTE
f ( x)  tg x 
sen x
cos x
Propiedades:
a) Su dominio: Dom  f  



  2k  1 , k  
2


b) Su imagen es todo
c) Es una función 2 -periódica
d)
Su gráfica es
f ( x)  tg x
6
4
2
6
4
2
2
4
6
2
4
6
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6.1.4. FUNCIÓN COSECANTE
1
sen x
f ( x)  cosec x 
Propiedades:
 

 k , k  
 2

a) Su dominio es el conjunto Dom  f  
b) Su gráfica es
5
6
4
2
2
4
6
5
6.1.5. FUNCIÓN SECANTE
f ( x)  sec x 
1
cos x
Propiedades:



  2k  1 , k  
2


a) Su dominio es el conjunto Dom  f  
b) Su gráfica
6
4
2
6
4
2
2
4
6
2
4
6
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6.1.6. FUNCIÓN COTANGENTE
1
f ( x)  cotg x 
tg x
Propiedades:
a) Su dominio es el conjunto Dom  f  
 

 k , k  
 2

b) Su gráfica es
6
4
2
6
4
2
2
4
6
2
4
6
6.1.7. ALGUNAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS ÚTILES
1  tg 2 x 
sen 2 x  cos2 x  1
cos  2 x   cos2 x  sen 2 x
cos x  
1
cos2 x
1  cos  2 x 
2
sen  2 x   2sen x cos x
sen x  
1  cos  2 x 
2
6.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Estas funciones nacen a partir de la curiosidad de querer saber qué ángulo engendra la razón
trigonométrica tratada. Al componerlas obtenemos la identidad.
sen  arcsen x   x arcsen  sen x   x
cos  arccos x   x
arccos  cos x   x
tg  arctg x   x
arctg  tg x   x
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6.2.1. FUNCIÓN ARCOSENO
f ( x)  arcsen x
Propiedades:
a) Su dominio es
b) Su gráfica es
1.5
1.0
0.5
2
1
1
2
0.5
1.0
1.5
6.2.2. FUNCIÓN ARCOCOSENO
f ( x)  arccos x
Propiedades:
a) Su dominio es
b) Su gráfica es
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
2
1
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1
2
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6.2.3. FUNCIÓN ARCOTANGENTE
f ( x)  arctg x
Propiedades:
a) Su dominio es todo
b) Su gráfica es
1.0
0.5
4
2
2
4
0.5
1.0
7. FUNCIONES VALOR ABSOLUTO
Se define la función valor absoluto como
 x
x 
x
x0
x0
6
5
4
3
2
1
6
4
2
2
4
6
De aquí podremos directamente definir el valor absoluto de funciones de todo tipo.
g ( x)  0
 g ( x)
f ( x)  g ( x)  
g ( x)  0
 g ( x)
Veamos algunos ejemplos que puedan ayudarnos a dominar este tipo de funciones.
Ejemplo 1
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Ejemplo 2
Imaginamos que sólo nos dan esto: “
”, con esto no podemos hacer nada, primero hay que
transformarla a una función a trozos. Una vez tenemos la función a trozos entonces estudiamos lo que
nos pidan (continuidad, derivabilidad, …)
Vamos a transformarla:
Entonces nos quedaría esta función de la forma siguiente. Primero distinguimos y ordenamos los
intervalos, éstos serían:
. Ahora observando en la partición de valor
absoluto que hemos hecho ahí arriba y al tener tres intervalos, obtenemos:
Cuya representación gráfica quedaría así:
4
3
4
2
3
1
2
2
1
1
2
3
1
1
2
2
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1
1
2
3
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8.
FUNCION PARTE ENTERA
La función parte entera tiene poco interés para nosotros, es aquella que hace corresponder a cada valor
real su parte entera, se define así:
 :

x   x   la parte entera del número dado
Veamos algunos ejemplos y representaciones
Sea la función f ( x)   x  , veamos qué valores toma,
f 1'764  1, f ( )  3, f (e)  2, f  5'001  5, f
 2   1 , si nos fijamos, siempre es la parte entera
3
del número, representemos:
4
2
4
2
2
4
1
2
2
4
Representemos f ( x)   x  1
2
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
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3
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9. FUNCIONES A TROZOS
Con la introducción vista en valor absoluto de lo que es una función a trozos. Vamos a definir lo que es
una
función
a
trozos
y
vamos
a
ver
un
ejemplo:
 g1 ( x)
 g ( x)

f ( x)   2


 g n ( x)
x  I1
x  I2
x  In
Ejemplo 1
ln  x  2 
x  1

1  x  0
3x

f ( x)   0'9375  2 x  x 2
0  x  2'5

2'5  x  3
sen 3
sen x
x3

2
1
2
2
4
6
8
10
1
2
3
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