∫ ∫-

Integración por partes
∫ u·dv = u·v − ∫ v·du
Normas para la aplicación de la formula de integración por partes:
a) A una parte de la integral le debemos llamar u y al resto dv
b) Debemos escoger dv, una parte que sea fácilmente integrable puesto que ∫dv = v y necesitamos v para
aplicar la formula.
c)
La integral que resulta
∫ v·du debe ser más sencilla que la propuesta.
d) En algunos casos se deberá aplicar partes más de una vez.
Casos más frecuentes de aplicación de la integración por partes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Función polinómica (u) por función exponencial (dv)
Función polinómica (u) por función trigonométrica. (dv)
Función polinómica (dv) por función inversa de trigonométrica (u)
Función polinómica (dv) por función logarítmica (u).
Función logarítmica (u) dv = dx
Funciones inversas de los trigonométricos (u) dv = dx
Funciones trigonométricas por funciones exponenciales.
a)
∫
b)
∫
c)
∫
d)
∫
e)
∫
f)
∫
u = P( x ); du = P' (x)·dx


1 ax 
P( x )·e ax ·dx : 
ax
=
=
dv
e
·
dx
;
v
e


a
 u = P( x ); du = P' (x)·dx 


−1
P( x )·sen ax·dx : 

=
=
dv
sen
ax·dx;
v
sen
ax


2
 u = P( x ); du = P' (x)·dx 


1
P( x )·cos ax·dx : 

dv = cos ax·dx; v = a sen ax 
1


 u = Ln x; du = x ·dx

P( x )·Ln x·dx : 

dv = P( x )·dx; v = P(x)·dx 


1


·dx 
 u = arctg x; du =
2
1+ x
P( x )·arctg x·dx : 

dv = P( x )·dx; v = P(x)·dx


1


·dx 
u = arcsen x; du =

1- x 2
P( x )·arcsen x·dx : 

 dv = P( x )·dx; v = P(x)·dx 


∫
∫
∫
Ejemplos 1.
∫
1 

1
u = Ln x; du = ·dx 
Ln x·dx = 
x  = x·Ln x − x dx = x·Ln x − dx = x·Ln x − x + C
x
 dv = dx; v = x 
∫
∫
Ejemplo2.
∫
1


1
1
x
·dx 
u = arctg x; du =
2
arctg x·dx = 
·dx = x·arctg x −
·dx =
 = x·arctg x − x·
1+ x
2
2
+
+
1
x
1
x2


dv = dx; v = x
∫
∫
1
x·arctg x − ·Ln 1 + x 2 + C
2
Ejemplo 3.
 u = x 2 ; du = 2x·dx 
1 3x
x 2 ·e 3x 2

 2 1 3x
x ·e dx = 
x
·
·
e
·
e
·
2x·dx
x e 3x ·dx =
=
−
=
−
1

3x
3x
dv
e
·
dx
;
v
·
e
=
=
3
3
3
3


3
u = x; du = dx

 x 2 ·e 3x 2  1
1 3x  x 2 ·e 3x 2 x·e 3x 2 3x
3x
1
−
+
=
−
−
=
·
x
·
e
e ·dx  =
e ·dx =
dv = e 3x ·dx; v = e 3x 
3
3  3
3
3
9
9



3

∫
2
∫
3x
∫
∫
=
∫
x 2 ·e 3x 2x·e 3x 2 1 3x
e 3x
−
+ · e +C =
·(9x 2 − 6x + 2) + C
3
9
93
27
Un tipo especial de integrales por partes son las de función exponencial por función trigonométrica,
cuya principal propiedad es que son iterativas.
Ejemplo 4.
∫
u = cos x; du = −sen x·dx 
1
1 2x
1
= cos x· e 2 x −
e ·(− sen x )·dx =
cos x·e 2 x ·dx = 
dv = e 2 x ·dx; v = e 2 x 
2
2


2
u = sen x; du = cos x·dx 
cos x·e 2 x 1
1
=
=
+
sen x·e 2 x ·dx = 
dv = e 2x ·dx; v = ·e 2x 
2
2


2
∫
∫
=
2x
2x
e 2 x ·cos x 1 
1
1 2x
 e ·cos x e sen x 1
+ ·sen x· ·e 2 x −
+
−
·e ·cos x·dx  =
e 2 x ·cos x·dx
2
2
2
2
2
4
4

igualando con la integral inicial, queda:
e 2 x ·cos x e 2 x ·sen x 1
e 2 x cos x·dx =
+
− · e 2 x cos x·dx
2
4
4
Pasando la integral del segundo miembro al primero, sumando y despejando queda:
4  e 2 x ·cos x e 2 x ·sen x 
e 2 x cos x·dx = 
+
+C
5 
2
4

expresión que simplificada queda de la forma:
e 2x
e 2 x cos x·dx =
·(2 cos x + sen x ) + C
5
∫
∫
∫
∫
∫
∫