Modelos matemáticos para Optimización de Reemplazo Preventivo

Modelos matemáticos para Optimización de
Reemplazo Preventivo e Inspecciones
Preventivas
Ing. Roberto Bottini
Paradigmas
•En la industria los equipos y sistemas
crecen en complejidad.
•Existen mayores exigencias a la eficiencia
de los costos del ciclo de vida útil de las
maquinas de producción.
•Cada fabricante intenta llegar al objetivo de
calidad exigido por el mercado al mínimo
costo posible.
Objetivo de Confiabilidad y Mantenibilidad
• Desde el diseño existe la necesidad de
entregar equipos o sistemas que tengan
las prestaciones deseadas por el cliente y
que además sean Confiables, de fácil
mantenimiento y con funcionamiento
seguro y económico durante su vida útil.
•
Queremos compartir
algunas herramientas de la ingeniería de la
Confiabilidad que nos permiten tomar las mejores decisiones cuando se
esta cumpliendo la expectativa de vida de un sistema o componente.
Nuestro enfoque se limita a aquellos componentes que presentan Desgaste
por uso.
•
El tiempo a la falla para cualquier componente o sistema no puede ser
predecido exactamente. Si es posible obtener información de la transición
entre el estado OPERATIVO al de FALLA.
•
La Ocurrencia de la Falla puede únicamente ser caracterizada por las
propiedades Probabilísticas de la populación Total.
•
Para algunos sistemas la Falla no es Tolerada, puede ser un evento
catastrófico, ahí es mandatorio considerar metodologías de
CONFIABILIDAD del sistema.
Mantenimiento Proactivo
Tácticas basadas en intervalos de
tiempo u otra unidad de medida
Programa de
recambio de
componentes
Overhaull
programado
Mantenimiento
preventivo
Tácticas basadas
en la condición
Operación
hasta la falla
Otras
Tácticas
Actividades
de monitoreo
de condición
Vibraciones
- monitoreo
- análisis
Limpieza
- durante la operación
- antes del mantenimiento
Análisis del lubricante
- condición del aceite
- partículas de desgaste
Lubricación
- rutinaria mientras funciona
- al comienzo/final del cambio
Eléctrico
- análisis corriente
- condición del motor
Ajustes menores
E.N.D
- termografía
- ultrasonido
- radiografía industrial
Inspecciones
- por operarios
- por mantenimiento
(diario/semanal)
Equipos
redundantes
Rediseñar
Mantenimiento
Apropiado
(ad hoc)
CONFIABILIDAD
• La calidad del Ciclo de Vida de una maquina o de sus
componentes debe ser evaluada con respecto a la
duracion esperada, a la complejidad de las tareas de
mantenimiento , a la cantidad y gravedad de fallas
ocurridas.
• Partiendo del estudio de leyes de ocurrencia de fallas,
la ingenieria de la confiabilidad es el conjunto de teorias
y métodos matemáticos que se traducen en
procedimientos de gestión orientados a la solución de
problemas de estimación y optimización de las
probabilidades de supervivencia, vida media y
porcentaje de tiempo de buen funcionamiento de un
sistema.
La Confiabilidad Incorpora la
incertidumbre a la Ingeniería.
• Podríamos decir que la certeza de un hecho (en
nuestro contexto Falla de Maquina), es un
acontecimiento
DETERMINISTA
con
un
resultado finito.
• En cambio la incertidumbre de un hecho seria
un acontecimiento INDETERMINISTA con un
resultado probabilístico.
Los Criterios de Confiabilidad Cuantitativa
se difunden cada vez mas en el mundo
industrial debido a varias razones :
• El aumento de la complejidad de los equipos.
• Las dificultades de mantenimiento de ciertas
maquinas o sistemas.
• La necesidad de reducir los pesos sin afectar la
seguridad del funcionamiento.
• El cambio de visión con respecto a la
responsabilidad civil vinculada a la producción y
comercialización de un producto.
Teoría de las Probabilidades
•
La ocurrencia de Fallas a lo largo
del Ciclo de Vida de una
populacion similar de
componentes toma la forma
Distribuciones de Probabilidades
conocidas.
•
Estas distribuciones pueden ser
estimadas por testeo o vía el
análisis de datos operativos (ej.
Weibull).
•
•
Las distribuciones representan familias
de
curvas graficas que varían en
forma, porque difieren las ecuaciones
de las funciones
a las cuales
representan.
Teniendo en cuenta siempre que
la probabilidad de que un evento
ocurra (Falla de equipo) es
siempre algún numero entre 0 y 1
de acuerdo a la teoría de la
probabilidad.
EL modelamiento de las probabilidades de falla esta
condicionado a la etapa de vida en que se encuentre el elemento.
Con la curva de la bañera es posible modelar el comportamiento
en cada una de las tres etapas de la tasa de falla a través de
leyes conocidas de probabilidades.
1- Mortalidad Infantil
– Inadecuada Instalación.
– Error armado-reparación.
– Problemas de Calidad
Tasa de Falla
λ<1
2- Fallas Aleatorias
durante la vida Útil.
–
–
–
–
Independientes del Tiempo.
Errores de Mantenimiento.
Electrónica.
Mezcla de Errores.
–
Averías por contaminación
externa (aceite).
Tasa de Falla λ= cte
3- Desgaste por
Envejecimiento
–
–
–
–
–
–
–
–
Low Cicle Fatiga en TG.
Rodamientos.
Corrosión.
Correas.
Corrosión bajo Stress.
Materiales frágiles.
Materiales Cerámicos.
Algunas formas de erosión.
Tasa de Falla
λ>1
• Comúnmente usamos un simple histograma (Falla-mes) para estudiar la ocurrencia
de las Fallas y su impacto en la disponibilidad de equipos.
HISTOGRAMA
10
FALLAS
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
MESES
Serie1
MES
FALLAS
ENERO
FEBRERO
2
5
MARZO
ABRIL
7
MAYO
8
JUNIO
7
JULIO
6
5
AGOSTO
4
SEPTIEMBRE
3
OCTUBRE
1
TOTAL
48
Sin embargo en estudios de Confiabilidad y Mantenimiento necesitamos
utilizar funciones continuas, debido que la variable tiempo a la falla es
continua. Entonces transformamos el Nro de fallas por mes en
probabilidades. Empezamos por la función densidad de probabilidad de
fallas (pdf) que indica la probabilidad de que ocurran fallas entre el intervalo
t1 y t2, Dado que inevitablemente el componente analizado acabara por
estropearse, el área bajo la curva de la función f (t) será igual a 1 si se sitúa
el limite temporal superior en + infinito.
Probability Density Function
pdf
FUNCIÓN pdf
f(t)
10
5
0
1
2
3
4
5
6
meses
7
8
9
10
Cumulative Distribucion Function cdf .
En estimaciones de Confiabilidad necesitamos determinar la probabilidad de que una
falla ocurra antes de un determinado tiempo t . La podemos encontrar con la Función
acumulativa cdf. Que es representada por el área bajo la curva desde - ∞ a t, y nos
indica la probabilidad de acumulación de fallas transcurrido t (el fracaso).
cdf =
Tiempo t
Funcion Reliability R (t).
La Confiabilidad es la función complementaria a la cdf.
La probabilidad de éxito, es decir que sobrevivan sin
falla transcurrido el mismo tiempo t. Representando el
área bajo la curva desde t a infinito.
R(t)= 1- cdf
Tiempo t
El ultimo tipo de función que tenemos derivada de las anteriores es la
Función Riesgo, también llamada función tasa de falla f (λt) en
determinados contextos como el de mantenimiento.
h (t) Función riesgo =
pdf/1-cdf
Estas cuatro funciones pueden a su vez especificarse a
través de las distribuciones estadísticas que adopten, que
como vimos serán distintas en las varias etapas de la vida
del componente.
Tasa de Riesgo
• Supongamos como analogía que un auto tarda para
hacer 200km 4hs. El promedio de velocidad es 50km/h,
sin embargo el conductor en algunos tramos fue mas
ligero y en otros mas despacio La velocidad en cada
instante esta indicada por el velocímetro. La velocidad
instantánea leída es análoga a la tasa de Riesgo Hz
mientras que el promedio de 50Km/h es la Tasa de
Falla.
Las cuatro funciones que definimos pueden usarse una
vez que los datos REALES de ocurrencia de falla han sido
transformados en las distribuciones estadisticas que
adopten.
Afortunadamente, los datos
reales de fallas, generalmente
modelan alguna distribucion
estadistica conocida. En la
figura vemos las funciones de
Probabilidad, Acumulativa y
Riesgo para :
–
–
–
–
Dist. Exponencial
Dist. Normal
Dist. Lognormal
Dist. Weibull
Como ya la distribución de fallas de diferentes tipos de maquinaria no
son las mismas. Aun la distribución de fallas de idénticas maquinas
varia si están sujetas a diferentes solicitaciones. Hay un numero
conocido de Funciones pdf diferentes, que describen las
características de falla de maquinaria.
En la figura vemos las funciones
de Probabilidad, Acumulativa y
Riesgo para :
•
•
•
•
Dist. Exponencial
Dist. Normal
Dist. Lognormal
Dist. Weibull
En estudios de Confiabilidad para Optimizar Reemplazo
Preventivo u Overhaul son importante las siguientes
premisas:
1- La tasa de falla del equipamiento debe
ser creciente. Desgaste por Uso. Esta
evidencia puede ser obtenida realizando
una análisis de Weibull.
1- El Costo total del reemplazo debe ser
mayor DESPUES de la falla que ANTES.
Debería tener como causal una gran
perdida de Producción o efecto domino
sobre otros equipamientos.
Para tasa de falla menor o igual a 1 no
es conveniente Reemplazo preventivo
u Overhaul.
Por lo tanto el Mantenimiento
preventivo de propósitos generales
que no retorna el equipamiento a
nuevo sigue siendo apropiado para
componentes sujeto a tasa de falla
constante. (Ej. Inspecciones menores).
Figura 12. Predecibilidad estadística
Caja reductora
(buena predecibilidad
i.e.pequeña incerteza)
Distribución
de fallas
f(t)
Motor eléctrico
(pobre predecibilidad
i.e. gran incerteza)
Tiempo
• Vemos entonces que la Ingeniería de la confiabilidad
nos da herramientas para iniciar la batalla contra la
incertidumbre de las fallas en las plantas complejas.
• Podemos describir varias distribuciones de fallas y ver
qué podemos aprender de ellas para gestionar los
recursos
de
mantenimiento.
Convirtiendo
el
conocimiento ganado de ellas en acciones proactivas.
• Prediciendo cuando las fallas probablemente ocurran
nosotros podemos determinar el mejor momento para el
mantenimiento Preventivo (Reemplazo Preventivo) y las
políticas de mantenimiento relacionadas con el periodo
optimo para operar hasta la falla o inspección
Como Incorporar estas Características de
Confiabilidad ?
• Realizando un análisis Cualitativo
– Que indicara el tipo y clase de fallas que van
a presentarse en los componentes del
sistemas. (Camino del RCM).
• O Bien ampliarse a un campo Cuantitativo
– Proporcionando las probabilidades
numéricas correspondientes.
• El objetivo es entender el problema, pronosticar
fallas y analizar riesgos para tomar mejores
decisiones de mantenimiento.
• Estas decisiones impactan el momento elegido
para reemplazo, reparación o Overhaul de
Maquinaria, como así también optimizar
cualquier
otra
tarea
de
gestión
del
mantenimiento principalmente las inspecciones
y gestión de repuestos.
•
En Síntesis:
– Utilizar datos históricos de fallas.
– Utilizar la función apropiada que representa nuestra
situación.
– Construir un modelo matemático que represente el
problema en estudio.
– Con los datos históricos analizamos los resultados
gráficos del modelo matemático empleado.
– Con éste análisis tomamos
mantenimiento óptimas.
las
decisiones
de
Modelos Matemáticos
• Una de las principales herramientas en este
avance científico hacia la optimización de las
decisiones de Gestión son los modelos
matemáticos como simple representación del
problema en estudio.
• En la aplicación de técnicas cuantitativas de
Optimización del Mantenimiento, el tipo de
modelo usado es frecuentemente un modelo
simbólico donde los componentes del sistema
están representados por símbolos y la relación
de estos componentes esta representada por
ecuaciones matemáticas.
Reemplazo Preventivo Optimo de un
ítem sujeto rotura
•
Construcción del Modelo
Decimos que el costo total de reemplazo es
C(tp)=
Costo Total esperado del Reemplazo por ciclo
Tiempo Esperado del ciclo.
Modelo Matemático utilizado
• Cp: costo del Reemplazo Preventivo.
• R(tp): es la confiabilidad. Multiplicamos aquí el costo del
éxito por la probabilidad de lograrlo.
• Cf: costo total del Reemplazo por Falla.
• 1- R(tp): Es la Inconfiabilidad. Multiplicamos aquí el costo
del fracaso por la probabilidad de fracasar.
• tp: tiempo medio del Reemplazo Preventivo.
•
es el tiempo medio a la falla MTTF (para el
intervalo de reemplazo).
• f(t): es la función pdf para la distribución normal o
distribución de Weibull para beta >1
Aplicación Optimización Rebobinado de
Motores Eléctricos de 1500HP.
Tabla 3.2. Fallas en bobinados de grandes motores: datos de falla y cálculos de riesgo
Motor
Rango
Años
C-70
C-71A
C-71B
P-70A
P-70B
P-71
C-25
C-11
C-52
C-13
C-31
C-53
C-41
C-91
C-32A
C-32B
C-01
C-30
C-50
C-51
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
8
8
8
8
8
10
11a
12a
13a
13
15a
16a
17a
17
17
18b
18
18
18
Riesgo
Riesgo
acumulado
7.69
8.33
9.09
7.69
16.03
25.12
11.11
12.58
14.29
36.23
48.73
63.01
6 fallas ocurridas antes
de la expectativa de vida
de 18 años.
a
b
Fallas en bobinados
Remplazo preventivo
de los bobinados
Aplicación Optimización Overhaull para caso
de Motores Eléctricos de 1500HP.
T abla 3.2. Fallas en bobinados de grandes m otores: datos de falla y cálculos de riesgo
M otor
R ango
Años
C -70
C -71A
C -71B
P-70A
P-70B
P-71
C -25
C -11
C -52
C -13
C -31
C -53
C -41
C -91
C -32A
C -32B
C -01
C -30
C -50
C -51
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
8
8
8
8
8
10
11 a
12 a
13 a
13
15 a
16 a
17 a
17
17
18 b
18
18
18
R iesgo
R iesgo
acum ulado
7.69
8.33
9.09
7.69
16.03
25.12
11.11
12.58
14.29
36.23
48.73
63.01
a
b
F allas e n bo bina dos
R e m p la zo prev entiv o
de los bo bina dos
Ploteo de Weibull para determinar parámetros de la
distribución de fallas.
•
Factor Beta 4.3
•
El
procedimiento
es
plotear en Weibull los
datos representativos de
la falla contra la función
cdf. Obteniendo un factor
de forma beta de 4.3.
Demostrando que las
ocurrencias de falla se
suceden dentro de la
distribución normal de
desgaste por uso y en
consecuencia
es
consistente el uso de
modelos
matemáticos
para optimizar el tiempo
de rebobinado.
Distribución de Weibull (cuanto más chica la
dispersión mayor el factor de forma y mejor la
estimación).
Resultado de cálculos utilizando
modelo matemático
Cálculo términos
modelo
matemático
R (t p )
1 − R (t p )
1
1,00
0,00
0,00
100,00
0,00
2
1,00
0,00
0,00
50,00
0,00
3
1,00
0,00
0,00
33,33
0,00
4
1,00
0,00
0,00
25,00
0,00
5
1,00
0,00
0,00
20,00
0,00
6
1,00
0,00
0,00
16,67
0,00
7
1,00
0,00
0,00
14,29
0,00
8
1,00
0,00
0,00
12,50
0,00
9
1,00
0,00
0,00
11,11
0,00
10
1,00
0,00
0,00
10,01
0,00
11
1,00
0,00
0,02
9,27
0,00
12
0,99
0,00
0,09
9,28
0,01
13
0,98
0,02
0,32
10,68
0,03
14
0,94
0,06
0,86
14,26
0,05
15
0,87
0,13
1,89
20,76
0,10
16
0,76
0,24
3,59
30,55
0,17
17
0,62
0,38
6,02
43,29
0,26
18
0,45
0,55
9,00
57,71
0,38
19
0,29
0,71
12,09
71,68
0,54
20
0,15
0,85
14,75
82,92
0,73
21
0,07
0,93
16,60
90,11
0,98
22
0,02
0,98
17,60
93,58
1,27
23
0,00
1,00
18,00
94,76
1,63
24
0,00
1,00
18,12
95,02
2,04
25
0,00
1,00
18,14
95,06
2,53
tp
∫ t. f (t
p
) dt
C (t p )
h(t p )
0
Gráfico Resultante
C(tp) K$
Gráfico Resultante
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Curva de
Costo Total
0
3
6
9
12
15 18
Edad,t (Años)
21
24
27
30
C (tp) K $
Gráfico Resultante
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Curva de
Costo Total
0
3
6
9
12 15 18 21 24 27 30
Edad,t (Años)
C(tp) K$
Gráfico Resultante
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Curva de
Costo Total
0
3
6
9
12
15 18
Edad,t (Años)
21
24
27
30
Gráfico Resultante
C(tp) K$
100
90
80
70
60
50
40
30
20
Costo 10
Mínimo
0
Curva de
Costo Total
Reemplazo Óptimo
0
3
6
9
12
15 18
Tiempo Óptimo
de rebobinado Edad,t
11 /12 años
(Años)
21
24
27
30
Costos esperados de reemplazo en función del tiempo para
Motor Eléctrico Falla Bobinado
Costo
Costo del
mantenimiento
preventivo por
downtime
Curva de
costo total
Costo del
recurso de
mantenimiento
preventivo
Ctp MINIMO
Reemplazo Óptimo
Costo del mantenimiento
correctivo por downtime
(paradas imprevistas)
Costo del recurso de
mantenimiento correctivo
=)
Tp óptimo Rebobinado =12 /13 años
Tp
Modelos Matemáticos para el
intervalo Optimo de Inspección y
sus Beneficios
• El propósito básico es determinar el
estado del equipo, obteniendo el máximo
beneficio y las mínimas perdidas.
1. FRECUENCIA DE INSPECCION: Para
equipamiento que es en operación
continua y sujeto a falla.
2. INTERVALOS DE INSPECCION: Para
equipamiento usado solamente en
condiciones de emergencia.
3. MONITOREO DE CONDICION.
1.
Mientras que con el reemplazo preventivo u
overhaul nos situamos en la última parte de la curva
de la bañera, con las inspecciones estamos
actuando en la parte de Vida Útil, donde las fallas
son aleatorias y responden a la Distribución
exponencial negativa.
MTTF = 1/λ
2.
3.
4.
5.
6.
Tiempo de reparación
1/µ
Nº reparaciones
/unidad de tiempo
Política de Inspección 1/i Nº inspecciones/unidad
de tiempo
Expresamos con B al valor del beneficio si no hay
paradas.
Costo promedio de la Inspección por unidad de
tiempo I.
Costo promedio de reparación por unidad de tiempo
no interrumpido R.
Costo / Unidad de Tiempo
Construimos ahora un modelo para Optimizar
la frecuencia de las inspecciones
Frecuencia Óptima
de Inspección
Beneficio / unidad de tiempo
Pérdidas de beneficio
debidas a inspecciones
Costo de Inspecciones
Pérdidas de beneficio
debidas a reparaciones
Costos de Reparaciones
Frecuencia de Inspección, n
P(n): Valor del Beneficio con operación interrumpida
por reparaciones en la unidad de tiempo.
P(n)= B - B
-B
-R
-I
•B: Beneficio de la operación no interrumpida por
unidad de tiempo.
• Perdida de Beneficio por Reparaciones, donde λ(n)
es el Nº de Reparaciones y µ el tiempo medio de
reparaciones MTTR.
• Perdida de Beneficio por inspecciones, donde n es
el Nº de Inspecciones e i el tiempo medio para las
inspecciones.
•R es el costo promedio de reparaciones.
•I es el costo promedio de inspecciones.
= B
Despejando:
-
-
-
=0
μ
B + I
λ ′( n ) = −
×
B + R
i
Debemos hallar el n (Nº de Inspecciones) que resuelva
esta ecuación.
Decimos que:
Derivando
−K
λ ′(n) = 2
n
K es la tasa de falla, cuando realizamos una inspección
por unidad de tiempo.
Asumimos que n es inversamente proporcional a λ (es
cierto, al aumentar el número de inspecciones disminuye
la tasa de falla)
• Igualando:
−K
λ ′( n ) =
2
n
B + I
μ
×
con λ ′ ( n ) = −
B + R
i
Obtenemos:
De donde despejando n, resulta:
n ES EL NÚMERO ÓPTIMO DE
INSPECCIONES A REALIZAR
Resolviendo la anterior ecuación y despejando
despejando n, resulta:
n ES EL NÚMERO ÓPTIMO DE
INSPECCIONES A REALIZAR
• La premisa fundamental sobre la que se basa el
Mantenimiento Planificado es muy sencilla, no
basta con reparar la avería una vez ocurrida,
sino que es necesario prevenirla. Con este
objetivo nosotros realizamos inspecciones
periódicas de los equipos y rectificamos
cualquier menor defecto. Lógicamente estas
inspecciones tienen costo en términos de M.O. ,
insumos, materiales y Hs de Producción.
• El Objetivo es determinar la política de
Inspección que dé el balance correcto entre el
número de inspecciones y los beneficios
resultantes de su aplicación.
BUENA PRÁCTICA GENERAL DE MANTENIMIENTO!!!
PRECISIÓN
PRECISIÓN
INCREMENTAR
INCREMENTAR
TAREAS
TAREAS
WEIBULL
WEIBULLyy
Modelos
Modelos
PROACTIVAS
PROACTIVAS yy SU
SU
PLANIFICACION.
PLANIFICACION.
matemáticos
matemáticos
de
de
Optimización.
Optimización.
La importancia de la confiabilidad también depende del
alcance que demos a nuestra probabilidad de éxito, a
veces llamado Factor de Servicio F= 1- R(t). Pensemos
que tener un factor de servicio del 99 % seria bastante
bueno ….
Sin embargo en EEUU ocasionaría :
•
•
•
•
Una hora de agua no potable por mes.
Dos aterrizajes peligrosos por día en JFK.
10.000 piezas de correo perdidas por hora.
20.000 prescripciones incorrectas de
medicamentos por año.
• 22.000 cheques deducidos de la cuenta
equivocada por hora.
Fuentes consultadas para el presente trabajo:
• Andrew Jardine, Universidad de Toronto,
Canada
• Albert Tsang, Hong Kong Politechnic University
• Adolfo Arata, Universidad Santa Maria, Chile.
• John Campbell, PriceWaterhouseCoopers,
Canada
• Heinz Bloch, Machinary Reliability Assesment.
• Luciano Furlaneto, Politecnico de Milan.
Preguntas ?
MUCHAS GRACIAS !!
Ing. Roberto Bottini
[email protected]