Álgebra Lineal - Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de

Álgebra Lineal
Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n .
Operaciones con subespacios
Primero Grado Ingenierı́a Informática
Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Informática
Sergio Estrada Domínguez
Juan Férez Alcántara
Francisco de Asís Guil Asensio
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Subespacios vectoriales de K n
Sea W un subconjunto no vacı́o de K n . Diremos que W es
subespacio (vectorial) de K n si:
I
Si u, v ∈ W entonces u + v ∈ W .
I
Si λ ∈ K y v ∈ W entonces λ · v ∈ W .
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Subespacios vectoriales de K n
Sea W un subconjunto no vacı́o de K n . Diremos que W es
subespacio (vectorial) de K n si:
I
Si u, v ∈ W entonces u + v ∈ W .
I
Si λ ∈ K y v ∈ W entonces λ · v ∈ W .
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Formas de expresar un subespacio
1. Mediante un sistema generador. Ejemplo: el subespacio de Q4
dado por:
W = h(−1, 2, 0, 1), (−3, 2, 2, 1)i
2. Mediante una expresión paramétrica. Ejemplo: el subespacio
de Q3 dado por:
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = (2λ+3µ, −λ+µ, 6λ−3µ)}.
3. Mediante unas ecuaciones implı́citas. Ejemplo: el subespacio
de Z413 dado por:


−x2 + 3x3 + 6x4 = 0 

W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Z413 : x1 + 4x2 + 9x3 + 5x4 = 0


9x1 + 9x2 + 6x3 − x4 = 0
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Formas de expresar un subespacio
1. Mediante un sistema generador. Ejemplo: el subespacio de Q4
dado por:
W = h(−1, 2, 0, 1), (−3, 2, 2, 1)i
2. Mediante una expresión paramétrica. Ejemplo: el subespacio
de Q3 dado por:
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = (2λ+3µ, −λ+µ, 6λ−3µ)}.
3. Mediante unas ecuaciones implı́citas. Ejemplo: el subespacio
de Z413 dado por:


−x2 + 3x3 + 6x4 = 0 

W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Z413 : x1 + 4x2 + 9x3 + 5x4 = 0


9x1 + 9x2 + 6x3 − x4 = 0
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Formas de expresar un subespacio
1. Mediante un sistema generador. Ejemplo: el subespacio de Q4
dado por:
W = h(−1, 2, 0, 1), (−3, 2, 2, 1)i
2. Mediante una expresión paramétrica. Ejemplo: el subespacio
de Q3 dado por:
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = (2λ+3µ, −λ+µ, 6λ−3µ)}.
3. Mediante unas ecuaciones implı́citas. Ejemplo: el subespacio
de Z413 dado por:


−x2 + 3x3 + 6x4 = 0 

W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Z413 : x1 + 4x2 + 9x3 + 5x4 = 0


9x1 + 9x2 + 6x3 − x4 = 0
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Paso de una expresión a otra
Paso de 1. a 2. y viceversa
Esencialmente las formas 1. y 2. son lo mismo.
Ejemplo: el subespacio de Q3 , W = h(−3, 2, 1), (1, 5, 0)i en forma
paramétrica es:
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = ((−3)λ + µ, 2λ + 5µ, λ)}.
Y viceversa, si tenemos un subespacio
W = {(x, y , z, t) ∈ Q4 : (x, y , z, t) = (2λ, −3λ + 5µ, λ − µ, µ)},
donde λ, µ ∈ Q, tenemos que
(2λ, −3λ + 5µ, λ − µ, µ) = λ · (2, −3, 1, 0) + µ · (0, 5, −1, 1),
es decir,
W = h(2, −3, 1, 0), (0, 5, −1, 1)i.
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Paso de una expresión a otra
Paso de 1. a 2. y viceversa
Esencialmente las formas 1. y 2. son lo mismo.
Ejemplo: el subespacio de Q3 , W = h(−3, 2, 1), (1, 5, 0)i en forma
paramétrica es:
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = ((−3)λ + µ, 2λ + 5µ, λ)}.
Y viceversa, si tenemos un subespacio
W = {(x, y , z, t) ∈ Q4 : (x, y , z, t) = (2λ, −3λ + 5µ, λ − µ, µ)},
donde λ, µ ∈ Q, tenemos que
(2λ, −3λ + 5µ, λ − µ, µ) = λ · (2, −3, 1, 0) + µ · (0, 5, −1, 1),
es decir,
W = h(2, −3, 1, 0), (0, 5, −1, 1)i.
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Paso de una expresión a otra
Paso de 1. a 2. y viceversa
Esencialmente las formas 1. y 2. son lo mismo.
Ejemplo: el subespacio de Q3 , W = h(−3, 2, 1), (1, 5, 0)i en forma
paramétrica es:
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = ((−3)λ + µ, 2λ + 5µ, λ)}.
Y viceversa, si tenemos un subespacio
W = {(x, y , z, t) ∈ Q4 : (x, y , z, t) = (2λ, −3λ + 5µ, λ − µ, µ)},
donde λ, µ ∈ Q, tenemos que
(2λ, −3λ + 5µ, λ − µ, µ) = λ · (2, −3, 1, 0) + µ · (0, 5, −1, 1),
es decir,
W = h(2, −3, 1, 0), (0, 5, −1, 1)i.
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Paso de Implı́citas a Paramétricas
Para pasar de 3. (ecuaciones implı́citas) a 2. (ecuaciones
paramétricas) simplemente hemos de resolver el SEL homogéneo
asociado con el comando A.right_kernel() (véase Práctica 7).
Ejemplo: pasar el subespacio:
−x2 + 3x3 = 0
3
W = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Z13 :
x1 + 4x2 + 9x3 = 0
a forma paramétrica.
# Introducimos la matriz de coeficientes
A = matrix ( Zmod ( 13 ) , [ [0 , -1 , 3 ] ,[1 ,4 , 9 ] ] ); A
# Calculamos una base de W con el
# comando A . right_kernel ()
A . right_kernel ()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over
Ring of integers modulo 13
Basis matrix :
[ 1 11 8 ]
Por tanto W es el subespacio de Z313 dado por W = h(1, 11, 8)i.
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Paso de Paramétricas a Implı́citas
Partimos de un subespacio dado en paramétricas (o por un sistema
generador):
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = (3λ − 4µ, −2λ + 4µ, 5λ − 6µ)
I
Lo anterior nos dice que un vector (x, y , z) ∈ W si sus
componentes x, y , z verifican
3λ − 4µ = x
−2λ + 4µ = y ,
5λ − 6µ = z
para algunos valores λ, µ ∈ Q.
I
Por tanto un vector (x, y , z) ∈ W si y sólo si el SEL anterior
es compatible, donde λ y µ son las incógnitas.
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Paso de Paramétricas a Implı́citas
Partimos de un subespacio dado en paramétricas (o por un sistema
generador):
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : (x, y , z) = (3λ − 4µ, −2λ + 4µ, 5λ − 6µ)
I
Lo anterior nos dice que un vector (x, y , z) ∈ W si sus
componentes x, y , z verifican
3λ − 4µ = x
−2λ + 4µ = y ,
5λ − 6µ = z
para algunos valores λ, µ ∈ Q.
I
Por tanto un vector (x, y , z) ∈ W si y sólo si el SEL anterior
es compatible, donde λ y µ son las incógnitas.
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Paso a implı́citas con SAGE
I
Escribimos la matriz de coeficientes del Sistema anterior,
ampliándola con la identidad de orden 3. La tercera columna,
corresponde a “x”, la cuarta a “y” y la última a “z”.
A = matrix ( QQ , [ [3 , - 4 ] ,[ -2 , 4 ] ,[5 , - 6 ] ] )
[ 3 -4]
[-2 4]
[ 5 -6]
I3 = identity_matrix ( 3 )
AM = A . augment ( I3 )
[ 3 -4 | 1 0 0]
[-2 4 | 0 1 0]
[ 5 -6 | 0 0 1]
I
Calculamos la Forma Escalonada Reducida por Filas de AM:
AM . rref ()
[
1
0
[
0
1
[
0
0
|
|
|
0
0
1
3/4 1/2]
5/8 1/4]
1/4 -1/2]
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I
La parte correspondiente a la matriz de coeficientes tiene
rango 2. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, para que el
SEL sea compatible, el rango de AM también ha de ser 2. Por
tanto, debe ser
x + (1/4)y − (1/2)z = 0,
que es una ecuación implı́cita de W . Es decir:
1
1
W = {(x, y , z) ∈ Q3 : x + y − z = 0}
4
2
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Base y dimensión de un subespacio
Definición
Sea W un subespacio vectorial de K n . Una base de W es un
conjunto generador de W que además es linealmente
independiente.
Se llama dimensión de W , dim (W ), al número de vectores en una
base de W .
Nota: Si el subespacio W de K n viene dado por unas ecuaciones
implı́citas se cumple que:
dim (W ) = n − número de ecuaciones implı́citas l.i.
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Subespacios vectoriales con SAGE
Vamos a introducir en SAGE el subespacio U de Q4 dado por:
U = h(1, −1, 2, 1), (4, 0, 6, 3), (2, 2, 2, 1)i.
V = QQ ^ 4
v1 = vector ( QQ , [1 , -1 ,2 , 1 ] )
v2 = vector ( QQ , [4 ,0 ,6 , 3 ] )
v3 = vector ( QQ , [2 ,2 ,2 , 1 ] )
U = V . span ( [ v1 , v2 , v3 ] )
U
Vector space of degree 4 and dimension 2
over Rational Field
Basis matrix :
[
1
0 3/2 3/4]
[
0
1 -1/2 -1/4]
Observamos que nos indica que es un subespacio de dimensión 2
de grado 4 (i.e. los vectores tienen 4 componentes) sobre el cuerpo
Q. Además nos da una base del subespacio.
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Subespacios vectoriales con SAGE (cont.)
Observamos que SAGE nos da una base del subespacio de forma
que su matriz asociada está en FERF. En el ejemplo anterior, si
queremos que tome como base la formada por los dos primeros
vectores:
W = V . sub sp a ce _ w it h _basis ( [ v1 , v2 ] )
W
Vector space of degree 4 and dimension 2
over Rational Field
User basis matrix :
[ 1 -1 2 1]
[ 4 0 6 3]
U==W
True
Observamos que los dos subespacios son iguales.
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Finalmente, si intentamos que nos calcule una base usando los
vectores v1,v2,v3, SAGE nos responde que no es posible por no
ser los vectores linealmente independientes:
W = V . sub sp a ce _ w it h _basis ( [ v1 , v2 , v3 ] )
....
ValueError : The given basis vectors must be
linearly independent .
Por tanto hemos calculado dos bases del subespacio U:
BU = {(1, 0, 3/2, 3/4), (0, 1, −1/2, −1/4)}
y
eU = {(1, −1, 2, 1), (4, 0, 6, 3)}
B
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Coordenadas de un vector de un subespacio
Dado un subespacio W de K n , con base BW , podemos calcular las
coordenadas de un vector v ∈ W respecto de BW .
En el ejemplo anterior, el vector w = (−1, −15, 6, 3) ∈ U.
eU .
Calcularemos sus coordenadas respecto a BU y B
w = vector ( QQ , [ -1 , - 15 ,6 , 3 ] )
U . coord inate_v ector ( w )
( -1 , - 15 )
W . coord inate_v ector ( w )
( 15 , - 4 )
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¿Cómo saber si un vector pertenece a un subespacio?
1. Si el subespacio viene dado por unas ecuaciones implı́citas,
verificamos si el vector cumple las ecuaciones.
# Veamos si v =( -1 ,2 , 1 ) pertenece al subespacio de
# R ^3 , W = { (x ,y , z ): 2x + y =0 , x + z = 0 }
f (x ,y , z ) = [ 2 * x +y , x + z ]
f ( -1 ,2 , 1 )
(0 , 0 )
2. Si el subespacio viene dado por un sistema de generadores:
I
I
podemos pasarlo a ecuaciones implı́citas y proceder como
antes o,
calculamos una base del subespacio y comprobamos si los
vectores de la base, junto con el vector a estudiar, son
linealmente dependientes.
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¿Cómo saber si un vector pertenece a un subespacio?
1. Si el subespacio viene dado por unas ecuaciones implı́citas,
verificamos si el vector cumple las ecuaciones.
# Veamos si v =( -1 ,2 , 1 ) pertenece al subespacio de
# R ^3 , W = { (x ,y , z ): 2x + y =0 , x + z = 0 }
f (x ,y , z ) = [ 2 * x +y , x + z ]
f ( -1 ,2 , 1 )
(0 , 0 )
2. Si el subespacio viene dado por un sistema de generadores:
I
I
podemos pasarlo a ecuaciones implı́citas y proceder como
antes o,
calculamos una base del subespacio y comprobamos si los
vectores de la base, junto con el vector a estudiar, son
linealmente dependientes.
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¿Cómo saber si un vector pertenece a un subespacio?
1. Si el subespacio viene dado por unas ecuaciones implı́citas,
verificamos si el vector cumple las ecuaciones.
# Veamos si v =( -1 ,2 , 1 ) pertenece al subespacio de
# R ^3 , W = { (x ,y , z ): 2x + y =0 , x + z = 0 }
f (x ,y , z ) = [ 2 * x +y , x + z ]
f ( -1 ,2 , 1 )
(0 , 0 )
2. Si el subespacio viene dado por un sistema de generadores:
I
I
podemos pasarlo a ecuaciones implı́citas y proceder como
antes o,
calculamos una base del subespacio y comprobamos si los
vectores de la base, junto con el vector a estudiar, son
linealmente dependientes.
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¿Cómo saber si un vector pertenece a un subespacio?
1. Si el subespacio viene dado por unas ecuaciones implı́citas,
verificamos si el vector cumple las ecuaciones.
# Veamos si v =( -1 ,2 , 1 ) pertenece al subespacio de
# R ^3 , W = { (x ,y , z ): 2x + y =0 , x + z = 0 }
f (x ,y , z ) = [ 2 * x +y , x + z ]
f ( -1 ,2 , 1 )
(0 , 0 )
2. Si el subespacio viene dado por un sistema de generadores:
I
I
podemos pasarlo a ecuaciones implı́citas y proceder como
antes o,
calculamos una base del subespacio y comprobamos si los
vectores de la base, junto con el vector a estudiar, son
linealmente dependientes.
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Veamos si el vector v = (2, 2, 0, 2) pertenece al subespacio W de
Z43 dado por:
W = h(2, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 2, 1)i.
# Primero calculamos una base de W
S = Zmod ( 3 )
v1 = vector (S , [2 ,1 ,1 , 0 ] )
v2 = vector (S , [1 ,1 ,0 , 1 ] )
v3 = vector (S , [2 ,0 ,2 , 1 ] )
span ( [ v1 , v2 , v3 ] )
Vector space of degree 4 and dimension 2
over Ring of integers modulo 3
Basis matrix :
[1 0 1 2]
[0 1 2 2]
# Ahora vemos si los dos vectores de la base
junto con v = (2 ,2 ,0 , 2 ) son l . d .
w1 = vector (S , [1 ,0 ,1 , 2 ] )
w2 = vector (S , [0 ,1 ,2 , 2 ] )
v = vector (S , [2 ,2 ,0 , 2 ] )
span ( [ w1 , w2 , v ] )
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Suma de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
suma U + W como el subespacio de K n dado por:
U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W }.
Para calcular una base de U + W :
I
Calculamos un sistema generador de U.
I
Calculamos un sistema generador de W .
I
Juntamos todos los vectores anteriores y nos quedamos con
unos l.i. (por ejemplo los vectores fila de la FERF)
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Suma de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
suma U + W como el subespacio de K n dado por:
U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W }.
Para calcular una base de U + W :
I
Calculamos un sistema generador de U.
I
Calculamos un sistema generador de W .
I
Juntamos todos los vectores anteriores y nos quedamos con
unos l.i. (por ejemplo los vectores fila de la FERF)
16 / 22
Suma de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
suma U + W como el subespacio de K n dado por:
U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W }.
Para calcular una base de U + W :
I
Calculamos un sistema generador de U.
I
Calculamos un sistema generador de W .
I
Juntamos todos los vectores anteriores y nos quedamos con
unos l.i. (por ejemplo los vectores fila de la FERF)
16 / 22
Suma de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
suma U + W como el subespacio de K n dado por:
U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W }.
Para calcular una base de U + W :
I
Calculamos un sistema generador de U.
I
Calculamos un sistema generador de W .
I
Juntamos todos los vectores anteriores y nos quedamos con
unos l.i. (por ejemplo los vectores fila de la FERF)
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Ejemplo
Vamos a calcular una base del subespacio U + W de Q4 , donde,
U = h(4, 3, 2, 3), (14, 6, 2, 9), (−2, 3, 4, 0)i y
W = h(−9, −24, −14, −6), (−12, 0, 4, −6)i.
# Introducimos los vectores generadores de los
# subespacios
u1 = vector ( QQ , [4 ,3 ,2 , 3 ] ); u2 = vector ( QQ , [ 14 ,6 ,2 , 9 ] );
u3 = vector ( QQ , [ -2 ,3 ,4 , 0 ] )
w1 = vector ( QQ , [ -9 , - 24 , - 14 , - 6 ] );
w2 = vector ( QQ , [ - 12 ,0 ,4 , - 6 ] )
span ( [ u1 , u2 , u3 , w1 , w2 ] )
Vector space of degree 4 and dimension 3
over Rational Field
Basis matrix :
[
1
0
0 21 / 29 ]
[
0
1
0 - 12 / 29 ]
[
0
0
1 39 / 58 ]
Por tanto, dim (U + W ) = 3.
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Intersección de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
intersección U ∩ W como el subespacio de K n dado por:
U ∩ W = {v : v ∈ U y v ∈ W }.
Para calcular una base de U ∩ W :
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de U.
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de W .
I
Juntamos todas las ecuaciones implı́citas y resolvemos el SEL
homogéneo asociado.
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Intersección de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
intersección U ∩ W como el subespacio de K n dado por:
U ∩ W = {v : v ∈ U y v ∈ W }.
Para calcular una base de U ∩ W :
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de U.
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de W .
I
Juntamos todas las ecuaciones implı́citas y resolvemos el SEL
homogéneo asociado.
18 / 22
Intersección de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
intersección U ∩ W como el subespacio de K n dado por:
U ∩ W = {v : v ∈ U y v ∈ W }.
Para calcular una base de U ∩ W :
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de U.
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de W .
I
Juntamos todas las ecuaciones implı́citas y resolvemos el SEL
homogéneo asociado.
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Intersección de Subespacios
Dados dos subespacios U y W de K n se define el subespacio
intersección U ∩ W como el subespacio de K n dado por:
U ∩ W = {v : v ∈ U y v ∈ W }.
Para calcular una base de U ∩ W :
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de U.
I
Calculamos unas ecuaciones implı́citas de W .
I
Juntamos todas las ecuaciones implı́citas y resolvemos el SEL
homogéneo asociado.
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Vamos a calcular una base del subespacio U ∩ W con los datos del
ejemplo anterior.
# Pasamos U a implicitas
A = matrix ( QQ , [ u1 , u2 , u3 ] ); A
U = A . transpose (); U
I4 = identity_matrix ( 4 )
Uaux = U . augment ( I4 ); Uaux
Uaux . rref ()
[
1
0
3 | 0
0 3/4 -1/6]
[
0
1
-1 | 0
0 -1/4 1/6]
[
0
0
0 | 1
0 1/2 -5/3]
[
0
0
0 | 0
1 -3/4 -1/2]
Por tanto
U=
4
(x, y , z, t) ∈ Q :
x + (1/2)z − (5/3)t = 0
y − (3/4)z − (1/2)t = 0
19 / 22
# Pasamos W a implicitas
A = matrix ( QQ , [ w1 , w2 ] ); A
W = A . transpose (); W
I4 = identity_matrix ( 4 )
Waux = W . augment ( I4 ); Waux
Waux . rref ()
[
1
0 |
0
[
0
1 |
0
[
0
0 |
1
[
0
0 |
0
0 - 1 / 18 - 1 / 27 ]
0 1 / 18 - 7 / 54 ]
0
1 / 6 - 17 / 9 ]
1 -4/3 -8/9]
Por tanto
W =
(x, y , z, t) ∈ Q4 :
x + (1/6)z − (17/9)t = 0
y − (4/3)z − (8/9)t = 0
20 / 22
Finalmente calculamos una base de U ∩ W . Para ello introducimos
la matriz de coeficientes de los SEL que definen a U y a W :
A = matrix ( QQ , [ [1 ,0 , 1 /2 , - 5 / 3 ] ,
[0 ,1 , - 3 /4 , - 1 / 2 ] ,[1 ,0 , 1 /6 , - 17 / 9 ] ,[0 ,1 , - 4 /3 , - 8 / 9 ] ] )
A . right_kernel ()
Vector space of degree 4 and dimension 1
over Rational Field
Basis matrix :
[
1
0 -1/3 1/2]
Por tanto dim (U ∩ W ) = 1.
21 / 22
Fórmula de Grassman
Dados dos subespacios U y W de K n se verifica la siguiente
fórmula:
dim (U) + dim (W ) = dim (U + W ) + dim (U ∩ W )
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